排列組合典型例題

1、-典型例題一例1 用0到9這10 個數(shù)字可組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù).解法1：當(dāng)個位數(shù)上排"0時，千位，百位，十位上可以從余下的九個數(shù)字中任選3個來排列，故有個； 當(dāng)個位上在"2、4、6、8中任選一個來排，則千位上從余下的八個非零數(shù)字中任選一個，百位，十位上再從余下的八個數(shù)字中任選兩個來排，按乘法原理有個 沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有個典型例題二例2 三個女生和五個男生排成一排 1如果女生必須全排在一起，可有多少種不同的排法. 2如果女生必須全分開，可有多少種不同的排法. 3如果兩端都不能排女生，可有多少種不同的排法. 4如果兩端不能都排女生，可有多少種不同的排法.解：1

2、捆綁法因為三個女生必須排在一起，所以可以先把她們看成一個整體，這樣同五個男生合一起共有六個元素，然成一排有種不同排法對于其中的每一種排法，三個女生之間又都有對種不同的排法，因此共有種不同的排法 2插空法要保證女生全分開，可先把五個男生排好，每兩個相鄰的男生之間留出一個空檔這樣共有4個空檔，加上兩邊兩個男生外側(cè)的兩個位置，共有六個位置，再把三個女生插入這六個位置中，只要保證每個位置至多插入一個女生，就能保證任意兩個女生都不相鄰由于五個男生排成一排有種不同排法，對于其中任意一種排法，從上述六個位置中選出三個來讓三個女生插入都有種方法，因此共有種不同的排法 3解法1：位置分析法因為兩端不能排女生，所

3、以兩端只能挑選5個男生中的2個，有種不同的排法，對于其中的任意一種排法，其余六位都有種排法，所以共有種不同的排法4解法1：因為只要求兩端不都排女生，所以如果首位排了男生，則未位就不再受條件限制了，這樣可有種不同的排法；如果首位排女生，有種排法，這時末位就只能排男生，有種排法，首末兩端任意排定一種情況后，其余6位都有種不同的排法，這樣可有種不同排法因此共有種不同的排法解法2：3個女生和5個男生排成一排有種排法，從中扣去兩端都是女生排法種，就能得到兩端不都是女生的排法種數(shù)因此共有種不同的排法典型例題三例3 排一有5個歌唱節(jié)目和4個舞蹈節(jié)目的演出節(jié)目單。 1任何兩個舞蹈節(jié)目不相鄰的排法有多少種. 2

4、歌唱節(jié)目與舞蹈節(jié)目間隔排列的方法有多少種. 解：1先排歌唱節(jié)目有種，歌唱節(jié)目之間以及兩端共有6個位子，從中選4個放入舞蹈節(jié)目，共有中方法，所以任兩個舞蹈節(jié)目不相鄰排法有：43200. 2先排舞蹈節(jié)目有中方法，在舞蹈節(jié)目之間以及兩端共有5個空位，恰好供5個歌唱節(jié)目放入。所以歌唱節(jié)目與舞蹈節(jié)目間隔排列的排法有：2880種方法。典型例題四例4 *一天的課程表要排入政治、語文、數(shù)學(xué)、物理、體育、美術(shù)共六節(jié)課，如果第一節(jié)不排體育，最后一節(jié)不排數(shù)學(xué)，則共有多少種不同的排課程表的方法分析與解法1：6六門課總的排法是，其中不符合要求的可分為：體育排在第一書有種排法，如圖中；數(shù)學(xué)排在最后一節(jié)有種排法，如圖中；但

5、這兩種排法，都包括體育排在第一書數(shù)學(xué)排在最后一節(jié)，如圖中，這種情況有種排法，因此符合條件的排法應(yīng)是：種典型例題五例5現(xiàn)有輛公交車、位司機(jī)和位售票員，每輛車上需配位司機(jī)和位售票員問車輛、司機(jī)、售票員搭配方案一共有多少種.分析：可以把輛車看成排了順序的三個空：，然后把名司機(jī)和名售票員分別填入因此可認(rèn)為事件分兩步完成，每一步都是一個排列問題解：分兩步完成第一步，把名司機(jī)安排到輛車中，有種安排方法；第二步把名售票員安排到輛車中，有種安排方法故搭配方案共有種典型例題六例6下是表是高考第一批錄取的一份志愿表如果有所重點(diǎn)院校，每所院校有個專業(yè)是你較為滿意的選擇假設(shè)表格填滿且規(guī)定學(xué)校沒有重復(fù)，同一學(xué)校的專業(yè)也

6、沒有重復(fù)的話，你將有多少種不同的填表方法.解：填表過程可分兩步第一步，確定填報學(xué)校及其順序，則在所學(xué)校中選出所并加排列，共有種不同的排法；第二步，從每所院校的個專業(yè)中選出個專業(yè)并確定其順序，其中又包含三小步，因此總的排列數(shù)有種綜合以上兩步，由分步計數(shù)原理得不同的填表方法有：種典型例題七例5名同學(xué)排隊照相(1)假設(shè)分成兩排照，前排人，后排人，有多少種不同的排法.(2)假設(shè)排成兩排照，前排人，后排人，但其中甲必須在前排，乙必須在后排，有多少種不同的排法.(3)假設(shè)排成一排照，甲、乙、丙三人必須相鄰，有多少種不同的排法.(4)假設(shè)排成一排照，人中有名男生，名女生，女生不能相鄰，有多少種不面的排法.解

7、：(1)種(2)第一步安排甲，有種排法；第二步安排乙，有種排法；第三步余下的人排在剩下的個位置上，有種排法，由分步計數(shù)原理得，符合要求的排法共有種(3)第一步，將甲、乙、丙視為一個元素，有其余個元素排成一排，即看成個元素的全排列問題，有種排法；第二步，甲、乙、丙三人部全排列，有種排法由分步計數(shù)原理得，共有種排法(4)第一步，名男生全排列，有種排法；第二步，女生插空，即將名女生插入名男生之間的個空位，這樣可保證女生不相鄰，易知有種插入方法由分步計數(shù)原理得，符合條件的排法共有：種典型例題八例8從五個數(shù)字中每次取出三個不同的數(shù)字組成三位數(shù)，求所有三位數(shù)的和解：形如的數(shù)共有個，當(dāng)這些數(shù)相加時，由&qu

8、ot;產(chǎn)生的和是；形如的數(shù)也有個，當(dāng)這些數(shù)相加時，由"產(chǎn)生的和是；形如的數(shù)也有個，當(dāng)這些數(shù)相加時，由"產(chǎn)生的和應(yīng)是這樣在所有三位數(shù)的和中，由"產(chǎn)生的和是同理由產(chǎn)生的和分別是，因此所有三位數(shù)的和是典型例題九例9計算以下各題：(1)；(2)；(3)；(4)(5)解：(1)；(2);(3)原式；(4)原式；(5)，此題計算中靈活地用到以下各式：；使問題解得簡單、快捷典型例題十例10六人排一列縱隊，限定要排在的前面與可以相鄰，也可以不相鄰，求共有幾種排法對這個題目，、四位同學(xué)各自給出了一種算式：的算式是；的算式是；的算式是；的算式是上面四個算式是否正確，正確的加以解釋，不

9、正確的說明理由解：中很顯然，"在前的六人縱隊的排隊數(shù)目與"在前的六人縱隊排隊數(shù)目相等，而"六人縱隊的排法數(shù)目應(yīng)是這二者數(shù)目之和這說明：的算式正確中把六人排隊這件事劃分為占位，占位，其他四人占位這樣三個階段，然后用乘法求出總數(shù)，注意到占位的狀況決定了占位的方法數(shù)，第一階段，當(dāng)占據(jù)第一個位置時，占位方法數(shù)是；當(dāng)占據(jù)第2個位置時，占位的方法數(shù)是；當(dāng)占據(jù)第5個位置時，占位的方法數(shù)是，當(dāng)，占位后，再排其他四人，他們有種排法，可見的算式是正確的中可理解為從6個位置中選4個位置讓占據(jù)，這時，剩下的兩個位置依前后順序應(yīng)是的因此的算式也正確中把6個位置先圈定兩個位置的方法數(shù)，這兩個

10、位置讓占據(jù)，顯然，占據(jù)這兩個圈定的位置的方法只有一種要在的前面，這時，再排其余四人，又有種排法，可見的算式是對的說明：下一節(jié)組合學(xué)完后，可回過頭來學(xué)習(xí)的解法典型例題十一例11八個人分兩排坐，每排四人，限定甲必須坐在前排，乙、丙必須坐在同一排，共有多少種安排方法.解法1：可分為"乙、丙坐在前排，甲坐在前排的八人坐法和"乙、丙在后排，甲坐在前排的八人坐法兩類情況應(yīng)當(dāng)使用加法原理，在每類情況下，劃分"乙丙坐下、"甲坐下；"其他五人坐下三個步驟，又要用到分步計數(shù)原理，這樣可有如下算法：(種)解法2：采取"總方法數(shù)減去不命題意的所有方法數(shù)的算法

11、把"甲坐在第一排的八人坐法數(shù)看成"總方法數(shù)，這個數(shù)目是在這種前提下，不合題意的方法是"甲坐第一排，且乙、丙坐兩排的八人坐法這個數(shù)目是其中第一個因數(shù)表示甲坐在第一排的方法數(shù)，表示從乙、丙中任選出一人的方法數(shù)，表示把選出的這個人安排在第一排的方法數(shù)，下一個則表示乙、丙中沿未安排的那個人坐在第二排的方法數(shù)，就是其他五人的坐法數(shù)，于是總的方法數(shù)為(種)說明：解法2可在學(xué)完組合后回過頭來學(xué)習(xí)典型例題十二例12 方案在*畫廊展出10幅不同的畫，其中1幅水彩畫、4幅油畫、5幅國畫，排成一行列，要求同一品種的畫必須連在一起，并且不彩畫不放在兩端，則不同列方式有ABCD解：將同一品

12、種的畫"捆在一起，注意到水彩畫不放在兩端，共有種排列但4幅油畫、5幅國畫本身還有排列順序要求所以共有種列方式應(yīng)選D說明：關(guān)于"假設(shè)干個元素相鄰的排列問題，一般使用"捆綁法，也就是將相鄰的假設(shè)干個元素"捆綁在一起，看作一個大元素，與其他的元素進(jìn)展全排列；然后，再"松綁，將被"捆綁的假設(shè)干元素，部進(jìn)展全排列本例題就是一個典型的用"捆綁法來解答的問題典型例題十三例13 由數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個位數(shù)字小于十位數(shù)的個數(shù)共有A210B300C464D600解法1：直接法：分別用作十萬位的排列數(shù)，共有種，所以其中個位數(shù)字小于

13、十位數(shù)字的這樣的六位數(shù)有個解法2：間接法：取個數(shù)字排列有，而作為十萬位的排列有，所以其中個位數(shù)字小于十位數(shù)字的這樣的六位數(shù)有(個)應(yīng)選B說明：(1)直接法、間接法是解決有關(guān)排列應(yīng)用題的兩種根本方法，何時使用直接法或間接法要視問題而定，有的問題如果使用直接法解決比擬困難或者比擬麻煩，這時應(yīng)考慮能否用間接法來解(2)"個位數(shù)字小于十位數(shù)字與"個位數(shù)字大于十位數(shù)字具有對稱性，這兩類的六位數(shù)個數(shù)一樣多，即各占全部六位數(shù)的一半，同類問題還有6個人排隊照像時，甲必須站在乙的左側(cè)，共有多少種排法典型例題十四例14 用，這五個數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有A24個B30個C4

14、0個D60個分析：此題是帶有附加條件的排列問題，可以有多種思考方法，可分類，可分步，可利用概率，也可利用此題所提供的選擇項分析判斷解法1：分類計算將符合條件的偶數(shù)分為兩類一類是2作個位數(shù)，共有個，另一類是4作個位數(shù)，也有個因此符合條件的偶數(shù)共有個解法2：分步計算先排個位數(shù)字，有種排法，再排十位和百位數(shù)字，有種排法，根據(jù)分步計數(shù)原理，三位偶數(shù)應(yīng)有個解法3：按概率算用這個數(shù)字可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共有個，其中偶點(diǎn)其中的因此三位偶數(shù)共有個解法4：利用選擇項判斷用這個數(shù)字可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共有個其中偶數(shù)少于奇數(shù)，因此偶數(shù)的個數(shù)應(yīng)少于個，四個選擇項所提供的答案中，只有符合條件應(yīng)選典型例題

15、十五例15(1)計算(2)求()的個位數(shù)字分析：此題如果直接用排列數(shù)公式計算，在運(yùn)算上比擬困難，現(xiàn)在我們可以從和式中項的特點(diǎn)以及排列數(shù)公式的特點(diǎn)兩方面考慮在(1)中，項可抽象為，(2)中，項為，當(dāng)時，乘積中出現(xiàn)5和2，積的個位數(shù)為0，在加法運(yùn)算中可不考慮解：(1)由原式(2)當(dāng)時，的個位數(shù)為0，()的個位數(shù)字與的個位數(shù)字一樣而，的個位數(shù)字為3說明：對排列數(shù)公式特點(diǎn)的分析是我們解決此類問題的關(guān)鍵，比方：求證：，我們首先可抓等式右邊的，左邊右邊典型例題十六例16用共六個數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)，(1)可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字的位偶數(shù).(2)可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字且被整除的三位數(shù).分析：位偶數(shù)

16、要求個位是偶數(shù)且首位數(shù)字不能是，由于個位用或者不用數(shù)字，對確定首位數(shù)字有影響，所以需要就個位數(shù)字用或者用進(jìn)展分類一個自然數(shù)能被整除的條件是所有數(shù)字之和是的倍數(shù)，此題可以先確定用哪三個數(shù)字，然后進(jìn)展排列，但要注意就用與不用數(shù)字進(jìn)展分類解：(1)就個位用還是用分成兩類，個位用，其它兩位從中任取兩數(shù)排列，共有(個)，個位用或，再確定首位，最后確定十位，共有(個)，所有位偶數(shù)的總數(shù)為：(個)(2)從中取出和為的倍數(shù)的三個數(shù)，分別有以下取法：、，前四組中有，后四組中沒有，用它們排成三位數(shù)，如果用前組，共有(個)，如果用后四組，共有(個)，所有被整除的三位數(shù)的總數(shù)為(個)典型例題十七例17一條長椅上有個座位，人坐，要求個空位中，有個空位相鄰，另一個空位與個相鄰空位不相鄰，共有幾種坐法.分析：對于空位，我們可以當(dāng)成特殊元素對待，設(shè)空座梯形依次編號為先選定兩個空位，可以在號位，也可以在號位共有六種可能，再安排另一空位，此時需看到，如果空位在號，則另一空位可以在號位，有種可能，相鄰空位在號位，亦如此如果相鄰空位在號位，另一空位可以在號位，只有種可能，相鄰空位在號，號，號亦如此，所以必須就兩相鄰空位的位置進(jìn)展分類此題的另一考慮是，對于兩相鄰空位可以用合并法看成一個元素與另一空位插入已坐人的個座位之間，用插空法處理它們的不相鄰解答一：就兩相鄰