數(shù)學思想方法專題

1、學習方法報社 全新課標理念，優(yōu)質課程資源數(shù)學思想方法專題 一、數(shù)形結合思想 數(shù)形結合思想，其實質是將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖形結合起來，關鍵是數(shù)與形之間的相互轉化.在運用數(shù)形結合思想分析和解決問題時，要徹底明白一些概念和運算的幾何意義以及常見函數(shù)圖象的代數(shù)特征，對數(shù)學題目中的條件和結論既分析其幾何意義又分析其代數(shù)意義. 例1 如圖1，數(shù)軸上的A，B，C，D四點所表示的數(shù)分別為a，b，c，d，且O為原點根據(jù)圖中各點位置，判斷與|ac|的值不同的是（）A |a|+|b|+|c|B |a-b|+|c-b| C |a-d|-|d-c| D |a|+|d|-|c-d| 分析：根據(jù)絕對值的性質計算出各絕對

2、值表示的線段長，與|a-c|的長進行比較即可解：由題意，知|a-c|=AC. |a|+|b|+|c|=AO+BO+COAC，故A選項正確； |ab|+|cb|=AB+BC=AC，故B選項錯誤； |ad|dc|=ADCD=AC，故C選項錯誤； |a|+|d|cd|=AO+DOCD=AC，故D選項錯誤. 所以選A點評：本題考查了實數(shù)與數(shù)軸，知道絕對值的意義是解題的關鍵例2 （2012年河南?。┤鐖D2，函數(shù)y=2x和y=ax+4的圖象相交于點A（m，3），則不等式2x<ax+4的解集為（）A. x< B. x<3 C. x> D. x>3分析：由于兩條直線交于點A，結合

3、函數(shù)表達式y(tǒng)=2x確定點A的橫坐標注意在交點左邊和右邊y值的變化情況，根據(jù)圖象信息直接確定不等式的解集.解：把A（m，3）代入y=2x，得m=.所以A（，3）. 由圖象可知，不等式2xax+4的解集為x故選A.點評：本題主要考查對一次函數(shù)與一元一次不等式等知識點的理解和掌握，能熟練運用性質進行解題，并通過圖象判斷不等式的關系是解題的關鍵.2、 分類討論思想 分類討論思想是指當被研究的問題存在一些不明確的因素，無法用統(tǒng)一的方法或結論給出統(tǒng)一的描述時，按可能出現(xiàn)的所有情況來分別進行討論，得出各種情況下相互獨立的結論.分類的原則是：分類的每一部分是相互獨立的；一次分類必須依據(jù)同一個標準；分類必須是逐

4、次進行的.例3 （2012年湘潭市）已知一次函數(shù)y=kx+b（k0）的圖象過點（0，2），且與兩坐標軸圍成的三角形面積為2，求此一次函數(shù)的表達式分析：根據(jù)點（0，2）以及圖象與兩坐標軸圍成的三角形面積確定圖象與x軸的交點坐標，注意分交點位于原點左側和原點右側兩種情況討論，根據(jù)兩個點的坐標即可確定一次函數(shù)的表達式解：一次函數(shù)y=kxb（k0）的圖象過點（0，2），b=2. 令y=0，則x=.函數(shù)圖象與兩坐標軸圍成的三角形面積為2，×2×=2，即=2.當k0時，=2.解得k=1； 當k0時，-=2.解得k=-1故此一次函數(shù)的表達式為y=x+2或y=-x+2點評：確定一次函數(shù)的表

5、達式，關鍵是確定圖象與坐標軸的另一交點坐標.由于題目中沒有明確指出圖象與x軸交于正半軸還是負半軸，故需要分兩種情況進行討論.例4 （2012年龍東市）等腰三角形的一腰長為5，一邊上的高為3，則底邊長為_分析：結合題意“一邊上的高”將問題分為底上的高與腰上的高兩種情況，等腰三角形腰上的高又分為高在三角形內(nèi)（銳角三角形）與高在三角形外（鈍角三角形）兩種情況，運用勾股定理，分別求解.解：（1）若高是該等腰三角形底邊上的高，如圖3，此時，AB=AC=5，AD=3.由勾股定理，得BD=4.所以底邊BC=8.（2）若高是該等腰三角形腰上的高.當?shù)妊切螢殇J角三角形時，如圖4，此時AB=AC=5，BD=3

6、.由勾股定理，得AD=4.故CD=1.在RtBCD中，由勾股定理，得BC=；當?shù)妊切螢殁g角三角形時，如圖5.此時AB=AC=5，CD=3.由勾股定理，得AD=4.故BD=9.在RtBCD中，由勾股定理，得BC=3.綜上，底邊長為8或或3. 點評：題目沒有圖形，僅僅已知腰長以及一邊上的高，答案不唯一，可以分高是底邊上的高和是腰上的高兩種情況討論，其中腰上的高又分兩種情況，高位于等腰三角形內(nèi)和高位于等腰三角形外進行分類討論，避免漏解或重解3、 轉化思想轉化思想常用的解題策略是：（1）已知與未知的轉化：分析已知條件的內(nèi)涵，挖掘其隱含條件，使得已知條件朝著明朗化的方面轉化；對于一個未知的新問題，通

7、過聯(lián)想，尋找轉化為已知的途徑，或者是從結論入手進行轉化；（2）數(shù)與形的轉化：把抽象的數(shù)學語言與直觀的圖形相結合，使許多概念直觀而形象，有利于發(fā)現(xiàn)解題途徑；（3）一般與特殊的轉化：比如探究規(guī)律問題，從簡單的某些屬性，按照某種不變的規(guī)律向一般圖形具有的性質進行探究等；（4）復雜與簡單的轉化：把一個復雜的、陌生的問題轉化為簡單的、熟悉的問題來解答. 例5 （2012年湛江市）先閱讀理解下面的例題，再按要求解答下列問題.例：解一元二次不等式x240.解：x24=（x2）（x2），x240可化為（x2）（x2）0.由有理數(shù)的乘法法則“兩數(shù)相乘，同號得正”，得，或.解不等式組，得x2； 解不等式組，得x2

8、.（x2）（x2）0的解集為x2或x2.即一元二次不等式x240的解集為x2或x2.（1）一元二次不等式x2160的解集為_；（2）分式不等式0的解集為_；（3）解一元二次不等式2x23x0.分析：（1）將一元二次不等式的左邊分解因式后化為兩個一元一次不等式組求解即可；（2）根據(jù)分式不等式大于零可以得到其分子、分母同號，從而轉化為兩個一元一次不等式組求解即可；（3）將一元二次不等式的左邊分解因式后化為兩個一元一次不等式組求解即可. 解：（1）x4或x4.（2）x3或x1.（3）2x23x=x（2x3），2x23x0可化為x（2x3）0.由有理數(shù)的乘法法則“兩數(shù)相乘，異號得負”，得 或.解不等式

9、組，無解；解不等式組，得0x.x（2x3）0的解集為0x.即一元二次不等式2x23x0的解集為0x.點評：這是一道方法滲透性閱讀理解題，解題的關鍵是認真閱讀材料，并運用材料中提供的方法解答新的問題，這里滲透了轉化思想例6 （2012年日照市）如圖6-，正方形OCDE的邊長為1，陰影部分的面積記作S1；如圖6-，最大圓的半徑r=1，陰影部分的面積記作S2，則S1_S2（用“>”、“<”或“=”填空）.分析：觀察圖可知，陰影部分的面積等于矩形CAFD的面積，觀察圖可知，陰影部分的面積等于最大圓面積的，分別求出矩形CAFD的面積、最大圓面積的后作比較即可解：連接OD，如圖6-.四邊形OC

10、DE為正方形，OE=1，由勾股定理，得OD=.AO=.AC=AO-CO=1.S1=S矩形CAFD=（1）×1=1.S大圓=r2=，S2=<，即<， 1-1，即1.又<<，1.S1S2點評：對不規(guī)則圖形面積的考查是近幾年中考的熱點問題，主要是通過轉化，將不規(guī)則圖形轉化為規(guī)則圖形，再利用和或差進行計算4、 整體思想整體思想就是從問題的整體出發(fā)，把某些式子或圖形看成一個整體，把握它們之間的聯(lián)系，進行有目的、有意識的整體處理.例7 （2012年南通市）無論a取什么實數(shù)，點P（a1，2a3）都在直線l上，Q（m，n）是直線l上的點，則（2mn3）2的值等于_分析：根據(jù)無

11、論a取什么實數(shù)，點P（a1，2a3）都在直線l上，確定函數(shù)的表達式，再把x=m，y=n代入函數(shù)表達式，求出2mn的值，最后整體代入解：因為2a3=2（a1）1，而無論a取什么實數(shù)，點P（a1，2a3）都在直線l上，所以直線l的表達式是y=2x1. 又Q（m，n）是直線l上的點，所以n=2m1，即2mn=1. 所以（2mn3）2=（13）2=16點評：如果已知以含有字母的代數(shù)式為坐標的點在某直線上，可以通過研究點的橫、縱坐標之間的關系來確定函數(shù)表達式.用整體代入的方法求代數(shù)式的值是一種常用的方法例8 （2012年內(nèi)江市）如圖7，在矩形ABCD中，AB=10，BC=5，點E，F(xiàn)分別在AB，CD上，

12、將矩形ABCD沿EF折疊，使點A，D分別落在矩形ABCD外部的點A1，D1處，則陰影部分圖形的周長為（）A. 15B. 20 C. 25D. 30分析：要求陰影部分的周長，我們可以把兩塊陰影部分的周長相加，運用軸對稱的性質，找到陰影部分的周長與原矩形邊長的關系.解：因為在矩形ABCD中，AB=10，BC=5，所以CD=AB=10，AD=BC=5.根據(jù)軸對稱的性質，得A1E=AE，A1D1=AD，D1F=DF.設線段D1F與線段AB交于點M，則陰影部分的周長是：（A1EEMMD1A1D1）（MBMFFCCB）=AEEMMD1ADMBMFFCCB=（AEEMMB）（MD1MFFC）ADCB=AB（

13、FD1FC）55=10（FDFC）10=20DC=2010=30. 故選D. 點評：靈活運用軸對稱的性質是解決此類問題的關鍵，正確找出折疊前后的對應邊和對應角，運用整體代換有助于解決問題.5、 建模思想 建模思想就是運用數(shù)學的語言和方法，通過抽象、簡化建立能近似刻畫并解決實際問題的數(shù)學模型的一種思想方法 例 某地上年度電價為元/度，年用電量為億度，本年度計劃將電價調至至元之間經(jīng)測算，若電價調至元，則本年度新增用電量億度與成反比例，又當元時，（）求與的函數(shù)關系式.（）若每度電的成本價為元，則電價調至元時，本年度電力部門的收益是多少？收益用電量×（實際電價成本價） 分析：本題與雖不是反比

14、例函數(shù)，但根據(jù)題意與成反比例，根據(jù)反比例的特點列出關系式，用待定系數(shù)法就可確定函數(shù)關系式用電量與實際電價減去成本價，二者乘積即為收益根據(jù)題意列出方程解之即可得到結果 解：（） 與成反比例， 設與的函數(shù)關系式為（），把，代入，可以求出 = （）根據(jù)題意，收益為1+·（）億元將代入，得收益為億元所以當電價調至元時，本年度電力部門的收益是億元 點評：函數(shù)是描述變量之間相互關系的重要數(shù)學模型之一很多實際問題都可以歸結為函數(shù)問題根據(jù)題意，找出變量之間的關系，建立適當?shù)臄?shù)學模型是解題的關鍵六、方程思想方程思想是從問題的數(shù)量關系入手，運用數(shù)學語言將問題轉化為數(shù)學模型，然后通過解方程（組）來使問題獲

15、解.一般方法是認真分析題中的各個量以及相互關系，用一個或者幾個等量關系描述題目中所有的相等關系，建立方程（組）模型，進而確定未知數(shù)的值，使問題獲得解答.例10 （2012年濟寧市）一學校為了綠化校園環(huán)境，向某園林公司購買了一批樹苗，園林公司規(guī)定：如果購買樹苗不超過60棵，每棵售價120元；如果購買樹苗超過60棵，每增加1棵，所出售的這批樹苗每棵售價均降低0.5元，但每棵樹苗最低售價不得少于100元，該校最終向園林公司支付樹苗款8800元，請問該校共購買了多少棵樹苗？分析：設該校共購買了x棵樹苗.由題意，得x1200.5（x60）=8800，解方程即可解：因為60棵樹苗售價為120元×

16、60=7200元，7200元8800元，所以該校購買樹苗超過60棵.設該校共購買了x棵樹苗.由題意，得x1200.5（x60）=8800.解得x1=220，x2=80當x1=220時，1200.5×（22060）=40100，x1=220（不合題意，舍去）；當x2=80時，1200.5×（8060）=110100，該校共購買了80棵樹苗點評：根據(jù)已知“如果購買樹苗超過60棵，每增加1棵，所出售的這批樹苗每棵售價均降低0.5元”列出方程是解題關鍵.例11 （2012年濰坊市）為了援助失學兒童，九年級學生李明從2012年1月份開始，每月一次將相等數(shù)額的零用錢存入已有部分存款的儲

17、蓄盒內(nèi)，準備每6個月一次將儲蓄盒內(nèi)的存款一并匯出（匯款手續(xù)費不計）已知2月份存款后清點儲蓄盒內(nèi)有存款80元，5月份存款后清點儲蓄盒內(nèi)有存款125元（1）在李明2012年1月份存款前，儲蓄盒內(nèi)已有存款多少元？ （2）為了實現(xiàn)到2015年6月份存款后存款總數(shù)超過1000元的目標，李明計劃從2013年1月份開始，每月存款都比2012年每月存款多t元（t為整數(shù)），求t的最小值分析：（1）根據(jù)題目中的兩個相等關系：儲蓄盒內(nèi)原有存款+2個月的存款=80元；儲蓄盒內(nèi)原有存款+5個月的存款=125元，列方程組求解即可.（2）首先計算出2012年共有的存款數(shù)，再由題意可得從2013年1月份開始，每月存款為（15

18、+t）元；從2013年1月到2015年6月共有30個月，共存款30×（15+t），再加上2012年共有的存款總數(shù)超過1000元，由此構造不等式取符合條件的最小整數(shù)值即可解：（1）設李明每月存款x元，儲蓄盒內(nèi)原有存款y元.依題意，得2x+y=80和5x+y=125.解得x=15，y=50.所以儲蓄盒內(nèi)原有存款50元（2）由（1），得李明2012年共有存款12×1550=230（元），2013年1月份后每月存入（15t）元，2013年1月到2015年6月共有30個月.依題意，得23030（15t）1000.解得t10.所以t的最小值是11點評：建立方程模型應從現(xiàn)實生活或具體情境

19、中抽象出數(shù)學問題，用數(shù)學符號建立方程、不等式等，求出結果并結合題意討論結果的意義，得出符合題意的解7、 函數(shù)思想 函數(shù)思想是指用函數(shù)的概念和性質去分析問題和解決問題.也是從問題的數(shù)量關系入手，運用數(shù)學語言將問題中的條件轉化為數(shù)學模型，一般方法是認真分析題意，恰當設變量，尋找題目中相關量之間的相等關系，構造方程（組），確定函數(shù)的表達式，再結合題意進行有關探究、計算.例12 （2012年溫州市）如圖8，在ABC中，C=90°，M是AB的中點，動點P從點A出發(fā)，沿AC方向勻速運動到終點C，動點Q從點C出發(fā)，沿CB方向勻速運動到終點B已知P，Q兩點同時出發(fā)，并同時到達終點，連接MP，MQ，P

20、Q在整個運動過程中，MPQ面積的變化情況是（）A 一直增大B 一直減小 C 先減小后增大D 先增大后減少分析：思路1，找出幾個特殊情況時MPQ的面積大小情況：當P，Q兩點剛開始運動時，MPQ的面積；當P，Q兩點同時運動到三角形所在邊的中點時，MPQ的面積；當P，Q兩點運動到接近終點時，MPQ的面積然后比較求解思路2，把MPQ的面積用運動時間t的函數(shù)表示出來，根據(jù)函數(shù)性質解答解法一（合情推理）：當點P從點A出發(fā)時，MPQ的面積等于ACM的面積，即等于ABC面積的； 當點P運動到邊AC的中點時，點Q也相應地運動到BC邊的中點，此時MPQ是ABC的中點三角形，MPQCBA，其相似比為. MPQ的面積

21、等于ABC面積的； 當點P接近點C，點Q接近點B時，MPQ的面積接近于BCM的面積，即約等于ABC面積的.綜上可知，MPQ的面積大小變化情況是先減小后增大故選C解法二（建立面積的函數(shù)模型）：設點P從A到C運動的總時間為t，從A到P運動的時間為m，從P到C運動的時間為n，則mn=t，記AC=b，BC=a，則APM中，AP=b，AP邊上的高為a，所以S·b·a=··ab.同理得到SBQM·a·b=··ab；S·b·a=··ab；Sab.SMPQ=S-SPM-SBQM-SPCQab-··ab·