實(shí)驗(yàn)報(bào)告-數(shù)據(jù)濾波和數(shù)據(jù)壓縮實(shí)驗(yàn)

1、實(shí)驗(yàn)題目：使用Haar小波和傅里葉變換方法濾波及數(shù)據(jù)壓縮1實(shí)驗(yàn)?zāi)康?1)掌握離散數(shù)據(jù)的Haar小波變換和傅里葉變換的定義，基本原理和方法(2) 使用C+實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)的Haar小波變換和離散傅里葉變換(3) 掌握數(shù)據(jù)濾波的基本原理和方法(4) 掌握使用Haar小波變換和離散傅里葉變換應(yīng)用于數(shù)據(jù)壓縮的基本原理和方法，并且對兩種數(shù)據(jù)壓縮進(jìn)行評價(jià)2實(shí)驗(yàn)步驟2.1算法原理小波變換(1) 平均，細(xì)節(jié)及壓縮原理設(shè)x1，x2是一組兩個(gè)元素組成的信號，定義平均與細(xì)節(jié)為a(x1x2)/2，d(x1x2)/2。則可以將a，d作為原信號的一種表示，且信號可由a，d恢復(fù)，x1ad，x2ad。由上述可以看出，當(dāng)x1，x2非常

2、接近時(shí)，d會(huì)很小。此時(shí)，x1，x2可以近似的用a來表示，由此實(shí)現(xiàn)了信號的壓縮。重構(gòu)的信號為a,a，誤差信號為|x1a|，1x2a|d|，1d|。因此,平均值a可以看做是原信號的整體信息，而d可以看成是原信號的細(xì)節(jié)信息。用a近似的表示原信號，可以實(shí)現(xiàn)對原信號的壓縮，而且丟失的細(xì)節(jié)對于最終信號的重構(gòu)不會(huì)有重大影響。對于多元素的信號，可以看成是對于二元信號的一種推廣。(2) 尺度函數(shù)和小波方程在小波分析中，引入記號(t)X1,o)(t)，其中，X1，0)(t)表示區(qū)間1，0上的特征函數(shù)。定義稱(t)為Haar尺度函數(shù)。由上式可知，肚都可以由°0伸縮和平移得到。小波分析中，對于信號有不同分辨

3、率的表示，當(dāng)用較低分辨率來表示原始信號時(shí)，會(huì)丟失細(xì)節(jié)信息，需要找到一個(gè)函數(shù)來描述這種信息，該函數(shù)稱之為小波函數(shù)?；镜男〔ê瘮?shù)定義如下：則(t)(2t)(2t1)。(t)稱為Haar小波。1,01,1稱為兩尺度方程，(t)1,0(t)1,1(t)稱為小波方程。(3) Haar小波變換計(jì)算方法該序列可以該序列可以設(shè)%,公2宀是一個(gè)長度為2n(n>1)的離散信號序列，記為弘臥1J，用如下的帶有尺度函數(shù)來表示：一次小波分解的結(jié)果：f(t)an1,0n1,0(t)an1,2n11n1,2n11(t)dn1,0n1,0(t)dn12n11n1,2n11(t)對上式積分，由尺度函數(shù)的正交性，可得0f

4、(t)n1,k(t)dtani,kk=0,得到an1,0(an,0an,1)/2。一般的，有同理傅里葉變換(1) 一維連續(xù)函數(shù)的傅里葉變換定義設(shè)f(t)為連續(xù)的時(shí)間信號，則定義F(u)設(shè)f(t)為連續(xù)的時(shí)間信號，則定義F(u)f(t)ej2utQt為f(t)的傅里葉變換，其反變換為f(t)f(t)F(u)ej2utdu。(2) 維離散傅里葉變換對連續(xù)的時(shí)間信號f(t)等間隔采樣，得到離散序列f(n)。假設(shè)米樣N次，則序列表示為f(0),f(1),.,f(N1)。令n為離散變量，u為離散頻率變量，則一維離散傅里葉變換及其反變換定義：域中看起來占滿全空間的信號，這就得到一個(gè)極為實(shí)用的結(jié)論：從頻域中

5、很可能只占用了極小一塊區(qū)域，而大部分頻率是被為零的。一個(gè)看起來信息量很大的信號，其實(shí)可以只用極少的數(shù)據(jù)就可加以傅里葉變換的數(shù)學(xué)性質(zhì)中，最重要的一點(diǎn)是：一個(gè)在時(shí)域或空域上看起來很復(fù)雜的信號(比如聲音或圖像)通常在頻域上只集中在很小一塊區(qū)域內(nèi)，而很大一部分?jǐn)?shù)值都接近于零。即一個(gè)在空描述。只要對它先做傅里葉變換，然后只記錄那些不接近零的頻域信息就可以達(dá)到數(shù)據(jù)壓縮的目的。(3) 快速傅里葉變換FFT原理FFT的基本思想：將大點(diǎn)數(shù)的DFT分解為若干個(gè)小點(diǎn)數(shù)DFT的組合，從而減少運(yùn)算量。令WNnAj2nk/NeF(k)，貝UF(u)可改寫為1NNn1f(n)Wk0。令N=2M，其中M為一正整數(shù)。帶入式中,

6、得到Fe(k)令f(2n)wM,kFo(k)1f(2n1WM,k0則有1F(k)2Fe(k)Fo(k)W2MF(k上述推導(dǎo)說明：對一個(gè)長度為N的序列進(jìn)行傅里葉變換可以通過將其劃分為2個(gè)N/2的序列進(jìn)行傅里葉變換，對于N/2的傅里葉變換，可劃分為兩個(gè)N/4的變換，這一過程不斷迭代，知道兩點(diǎn)的序列為止，可計(jì)算出該序列的傅里葉變換。(4) 時(shí)間抽取的基2FFT蝶形算法對于(3)中的計(jì)算方法，可以采用蝶形運(yùn)算符號來表示。本實(shí)驗(yàn)中采用的算法是時(shí)間抽取的基2FFT算法實(shí)現(xiàn)快速傅里葉變換。數(shù)據(jù)壓縮的評價(jià)準(zhǔn)則(1) 數(shù)據(jù)壓縮比設(shè)原始信號f(n)的數(shù)據(jù)量大小為S,經(jīng)過數(shù)據(jù)壓縮后，信號的數(shù)據(jù)量變?yōu)镸,般情況下M&

7、lt;S。則數(shù)據(jù)壓縮比率的定義為：由上式可知，數(shù)據(jù)壓縮得越小，其數(shù)據(jù)壓縮比越大。(2) 數(shù)據(jù)失真度對于壓縮后的數(shù)據(jù)，可以采用反變換等方式還原信號。設(shè)原信號為f(n),還原信號為f1(n),則我們定義還原信號與原始信號的差異為數(shù)據(jù)失真度。顯然，數(shù)據(jù)恢復(fù)越接近原始信號，數(shù)據(jù)失真度越小。2.2算法步驟(1)Haar小波方法步驟a) 讀入原始數(shù)據(jù)f(n)對原始數(shù)據(jù)f(n)進(jìn)行小波變換。對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行不同層級(分辨率)下的小波變換，得到不同的小波變換結(jié)果An,Dnb) 對于上步中的小波變換結(jié)果，把細(xì)節(jié)分量Dn置為0，即濾波得到壓縮數(shù)據(jù)Anc) 對于濾波結(jié)果An，通過小波逆變換，恢復(fù)數(shù)據(jù)d) 計(jì)算恢復(fù)數(shù)據(jù)

8、與原始數(shù)據(jù)的差異，進(jìn)行壓縮評價(jià)離散傅里葉變換步驟a) 讀入原始數(shù)據(jù)f(n)b) 對原始數(shù)據(jù)f(n)進(jìn)行離散傅里葉變換。使用蝶形算法計(jì)算傅里葉變換結(jié)果F(u)c) 對F(u)進(jìn)行濾波，保留低頻成分，舍棄高頻成分，即得到原始數(shù)據(jù)的近似表示d) 對濾波結(jié)果的低頻數(shù)據(jù)，高頻分量恢復(fù)為零值，使用傅里葉反變換，恢復(fù)數(shù)據(jù)e) 計(jì)算恢復(fù)數(shù)據(jù)和原始數(shù)據(jù)的差異，進(jìn)行壓縮評價(jià)2.3程序流程圖圖1Haar小波變換流程圖在圖1中，原始數(shù)據(jù)存放在文本文件eggs.txt中，由程序運(yùn)行時(shí)讀入。對結(jié)果的濾波是舍棄小波分解的細(xì)節(jié)部分。計(jì)算結(jié)果寫入dwt.txt文件中。圖2Haar小波壓縮數(shù)據(jù)差異計(jì)算流程圖圖2是計(jì)算使用Haar

9、小波進(jìn)行數(shù)據(jù)壓縮后，與原始數(shù)據(jù)差異。圖中的f(n)表示原始數(shù)據(jù)，A(n)是小波變化結(jié)果，f1(n)表示逆變換結(jié)果。圖3離散傅里葉變換流程圖圖3是傅里葉變換流程圖。原始數(shù)據(jù)是eggs.txt。對F(u)濾波時(shí)，舍棄高頻信息。寫入fft.txt文件中。計(jì)算結(jié)果圖4離散傅里葉變換壓縮數(shù)據(jù)差異計(jì)算流程圖圖4是傅里葉變化壓縮數(shù)據(jù)后的差異計(jì)算。傅里葉逆變換時(shí)，對于高頻分量補(bǔ)零,來恢復(fù)數(shù)據(jù)f1(n)。3實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析(1)傅里葉變換圖5測試數(shù)據(jù)集的FFT變換及IFFT變換結(jié)果在上圖中，得到測試數(shù)據(jù)集的傅里葉變換結(jié)果。圖中帶括號的是數(shù)據(jù)變換的復(fù)數(shù)結(jié)果，與低頻分量與低頻分量后邊的1/2的數(shù)據(jù)經(jīng)過變換之后變?yōu)?值。

10、小數(shù)是變換后的幅值?？梢钥闯?，在傅里葉變換的結(jié)果中，有這部分為0值的數(shù)據(jù)可以采用壓縮方式存儲(chǔ)，從而壓縮原始數(shù)據(jù)。并且，經(jīng)過傅里葉反變換后，原始數(shù)據(jù)可以得到良好的恢復(fù)。圖6eggs.txt數(shù)據(jù)傅里葉變換結(jié)果使用eggs.txt中的數(shù)據(jù)時(shí)，由于數(shù)據(jù)量較大，此處只是部分?jǐn)?shù)據(jù)截圖。數(shù)據(jù)不足2"的部分用零補(bǔ)齊。可以看出，變換后的數(shù)據(jù)幅值較大，且基本沒有為0數(shù)據(jù)。此時(shí)，采用閾值進(jìn)行濾波處理，取閾值30，即將閾值小于30的值置為0。（2）小波變換圖7測試數(shù)據(jù)集的小波變換DWT由上圖的實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，數(shù)據(jù)經(jīng)過小波變換后，其能量集中于數(shù)據(jù)的靠前的小波系數(shù)。對于相同的數(shù)據(jù)集，可以采用不同級別的小波變換

11、數(shù)據(jù)。圖8eggs.txt數(shù)據(jù)小波變換結(jié)果由上圖，對于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，經(jīng)過小波變換后，大部分的數(shù)據(jù)都為0。正式小波變換的這一特點(diǎn)，使得小波變換可以用于數(shù)據(jù)的壓縮。4 實(shí)驗(yàn)結(jié)論在文章的上兩節(jié)中，分別介紹了使用傅里葉變換和小波變換處理數(shù)據(jù)的方法。由實(shí)驗(yàn)中，可以得到以下兩點(diǎn)：第一，傅里葉變換時(shí)數(shù)據(jù)的整體變換方法，數(shù)據(jù)經(jīng)過傅里葉變化后，其能量主要集中在變換結(jié)果的靠前的數(shù)據(jù)部分，對于后邊的能量較小的部分，對于原始數(shù)據(jù)的差異描述，在存儲(chǔ)時(shí)可以忽略，從而進(jìn)行數(shù)據(jù)壓縮。第二，小波變換的方法是既考慮數(shù)據(jù)整體性，又考慮數(shù)據(jù)的局部性。數(shù)據(jù)小波變換后，小波變換的前半部分系數(shù)表示數(shù)據(jù)的整體，后半部分表示數(shù)據(jù)的細(xì)節(jié)特征，對于一

12、個(gè)連續(xù)的信號，其細(xì)節(jié)部分是微小的，可以忽略，從而使得小波變換的后半部分系數(shù)為0，從而實(shí)現(xiàn)了數(shù)據(jù)的壓縮。小波變換可以在不同的層級上進(jìn)行。對于一個(gè)連續(xù)的信號，采用傅里葉變換或是小波變換，數(shù)據(jù)可以得到較好的恢復(fù)，例如實(shí)驗(yàn)中的測試樣本數(shù)據(jù)。對于給定的eggs.txt數(shù)據(jù)集，由于其波動(dòng)較大，細(xì)節(jié)差異超過了原始信號，對其進(jìn)行壓縮，恢復(fù)得到的數(shù)據(jù)跟原始數(shù)據(jù)的差異很大。5 實(shí)驗(yàn)心得體會(huì)（1）傅里葉變換和小波變換的原始數(shù)據(jù)n快速傅里葉變換和小波變換處理的數(shù)據(jù)都是N2個(gè)。對于不足N的數(shù)據(jù)，用零補(bǔ)齊后進(jìn)行相應(yīng)的變換，原始數(shù)據(jù)實(shí)際上改變。2）數(shù)據(jù)恢復(fù)數(shù)據(jù)壓縮后，為了得到數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)恢復(fù)是必須的。對于傅里葉變換，采用傅里葉反變換的方法，可以得到壓縮數(shù)據(jù)的回復(fù)數(shù)據(jù)；對于小波變換，則采用小波重構(gòu)的方式。由于采用的壓縮方式是有損的，所以恢復(fù)得到數(shù)據(jù)并非原始數(shù)據(jù)。（3）小波變換可以得到數(shù)據(jù)的不同分辨率的表示，對于數(shù)據(jù)的濾波和壓縮也可以在不同的分辨率上進(jìn)行。原始數(shù)據(jù)是最高分辨率。采用的分辨率越高，則對于數(shù)據(jù)的壓縮比越小。（4）對于非2n個(gè)數(shù)據(jù)的原始