蘇錫常鎮(zhèn)四市2017屆高三教學(xué)情況調(diào)研數(shù)學(xué)試題（一）含解析

1、.江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)四市2017屆高三教學(xué)情況調(diào)研（一）數(shù)學(xué)試題一、填空題1. 已知集合，_【答案】 【解析】由，得：，則，故答案為.2. 若復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則_【答案】【解析】由，得，則，故答案為.3. 函數(shù)的定義域?yàn)開【答案】【解析】要使函數(shù)有意義需滿足，解得，故答案為.4. 下圖是給出的一種算法，則該算法輸出的結(jié)果是_【答案】【解析】由題意列出如下循環(huán)過程：； 不滿足循環(huán)條件，輸出的值，故答案為.5. 某高級(jí)中學(xué)共有名學(xué)生，現(xiàn)用分層抽樣的方法從該校學(xué)生中抽取個(gè)容量為的樣本，其中高一年級(jí)抽人，高三年級(jí)抽人則該校高二年級(jí)學(xué)生人數(shù)為_【答案】300【解析】由題意得高二年級(jí)應(yīng)抽取人，則高二年

2、級(jí)學(xué)生人數(shù)為，故答案為.點(diǎn)睛：本題考查分層抽樣，抽樣過程中每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性相同，這是解決抽樣問題的依據(jù)，樣本容量、總體個(gè)數(shù)、每個(gè)個(gè)體被抽到的概率，這三者可以做到知二求一；用分層抽樣的方法抽取一個(gè)容量為的樣本，根據(jù)高一年級(jí)抽人，高三年級(jí)抽人，得到高二年級(jí)要抽取的人數(shù)，根據(jù)該高級(jí)中學(xué)共有名學(xué)生，算出高二年級(jí)學(xué)生人數(shù).6. 已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)是，側(cè)棱長(zhǎng)是，則該正四棱錐的體積為_【答案】【解析】正四棱錐的底面邊長(zhǎng)是2，側(cè)棱長(zhǎng)為，底面對(duì)角線長(zhǎng)為，所以棱錐的高為，所以棱錐的體積為，故答案為.7. 從集合中任取兩個(gè)不同的數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)的和為的倍數(shù)的概率為_【答案】【解析】從中任取兩個(gè)不同的數(shù)，共有

3、6種情況，和是3的倍數(shù)的有，兩種情況，所以根據(jù)古典概型公式得，故答案為.8. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線的焦點(diǎn)恰好是雙曲線的右焦點(diǎn)，則雙曲線的離心率為_【答案】2【解析】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則在雙曲線中，則離心率為，故答案為.9. 設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若成等差數(shù)列，且，則的值為_【答案】2【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，首項(xiàng)是，當(dāng)時(shí)，有、，不滿足成等差數(shù)列；當(dāng)時(shí)，因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以，化簡(jiǎn)得，解得或（舍去），則，得，則，故答案為2.點(diǎn)睛：本題考查等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式、通項(xiàng)公式，分類討論思想，使用等比數(shù)列的前 項(xiàng)和公式時(shí)需要對(duì)公比與1的關(guān)系進(jìn)行討論；設(shè)等比數(shù)列的公比為、首項(xiàng)是，根據(jù)公比與1的關(guān)

4、系進(jìn)行分類，由等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式化簡(jiǎn)求值，再由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)可得和的值，故可求得.10. 在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)的直線與圓交于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在第一象限，且，則直線的方程為_【答案】11. 在中，已知，若點(diǎn)滿足，且，則實(shí)數(shù)的值為_【答案】或【解析】中，點(diǎn)滿足，又，整理得，解得或，故答案為 或.12. 已知，則_【答案】【解析】由，得，即整理得：，即，而，故，故答案為.13. 若函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_【答案】4【解析】 當(dāng)時(shí)，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，該函數(shù)單調(diào)遞減且，故由兩個(gè)解；當(dāng)時(shí)，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；，故，故由兩個(gè)解，綜上可得函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4，故答案為.點(diǎn)

5、睛：本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的求法，考查數(shù)形結(jié)合以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查計(jì)算能力；利用分段函數(shù)，對(duì)，通過函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系求解零點(diǎn)個(gè)數(shù)，當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用數(shù)形結(jié)合思想求解函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.14. 若正數(shù)滿足，則的最小值為_【答案】1【解析】由正數(shù)滿足，可得，則，又，其中，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，設(shè)，的導(dǎo)數(shù)為，當(dāng)時(shí)，遞增，時(shí)，遞減即有在處取得極小值，也為最小值，此時(shí)，則當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，取得最小值1，故答案為1.點(diǎn)睛：本題考查最值的求法，注意運(yùn)用變形和導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于難題；由題意可得，又，求出，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，設(shè)

6、，求出導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，即可得到所求最小值.二、解答題15. 在中，分別為角的對(duì)邊若，且（1）求邊的長(zhǎng)；（2）求角的大小【答案】（1）;（2）. 【解析】試題分析：（1）由，利用余弦定理化為：，相加即可得出；（2）運(yùn)用正弦定理結(jié)合題意可得：，將其代入中可解出，結(jié)合的范圍可得結(jié)果.試題解析：（1）（法一）在中，由余弦定理，則，得； ，則，得，+得：，. （法二）因?yàn)樵谥?，則， 由得：，代入上式得： . （2）由正弦定理得， 又， 解得，. 16. 如圖，在斜三棱柱中，側(cè)面是菱形，與交于點(diǎn)，是棱上一點(diǎn)，且平面（1）求證：是中點(diǎn)；（2）若，求證：【答案】（1）見解析;(2)見解析.17.

7、某單位將舉辦慶典活動(dòng)，要在廣場(chǎng)上豎立一形狀為等腰梯形的彩門（如圖）設(shè)計(jì)要求彩門的面積為（單位：），高為（單位：）（為常數(shù)）彩門的下底固定在廣場(chǎng)底面上，上底和兩腰由不銹鋼支架構(gòu)成，設(shè)腰和下底的夾角為，不銹鋼支架的長(zhǎng)度和記為（1）請(qǐng)將表示成關(guān)于的函數(shù)；（2）問當(dāng)為何值最小，并求最小值【答案】（1）l表示成關(guān)于的函數(shù)為 ()；（2）當(dāng)時(shí)，l有最小值為. 【解析】試題分析：（1）求出上底，即可將表示成關(guān)于的函數(shù)；（2）求導(dǎo)數(shù)，取得函數(shù)的單調(diào)性，即可解決當(dāng)為何值時(shí)最小，并求最小值.試題解析：（1）過作于點(diǎn)，則（）， ，設(shè)，則， 因?yàn)镾=，則 ； 則 ()； （2）， 令，得. 減極小值增所以， . 答：

8、（1）l表示成關(guān)于的函數(shù)為 ()；（2）當(dāng)時(shí)，l有最小值為. 18. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的焦距為，離心率為，橢圓的右頂點(diǎn)為.（1）求該橢圓的方程；（2）過點(diǎn)作直線交橢圓于兩個(gè)不同點(diǎn)，求證：直線的斜率之和為定值.【答案】（1）（2）直線AP，AQ的斜率之和為定值1. 【解析】試題分析：（1）由題意可知，離心率，求得，則，即可求得橢圓的方程；（2）則直線的方程：，代入橢圓方程，由韋達(dá)定理及直線的斜率公式，分別求得直線，的斜率，即可證明直線，的率之和為定值.試題解析：（1）由題 所以，. 所以橢圓C的方程為 （2）當(dāng)直線PQ的斜率不存在時(shí)，不合題意； 當(dāng)直線PQ的斜率存在時(shí)，設(shè)直線PQ的方

9、程為， 代入 得， 設(shè)，則：， 所以， 又=1.所以直線AP，AQ的斜率之和為定值1. 19. 已知函數(shù)（為正實(shí)數(shù)，且為常數(shù)）.（1）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）.（2）.【解析】試題分析：（1）對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)即，因在上單調(diào)遞增，則，利用分離參數(shù)思想得恒成立，即即可；（2）分為和兩種情形，當(dāng)時(shí)，結(jié)合（1）很容易得到結(jié)論，當(dāng)時(shí)，運(yùn)用二次求導(dǎo)確定其單調(diào)性得解.試題解析：（1），. 因在上單調(diào)遞增，則，恒成立. 令，則， x減極小值增因此，即. （2）當(dāng)時(shí)，由（1）知，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增. 又，當(dāng)，；當(dāng)時(shí)，. 故不等式恒成立 若， 設(shè)，

10、令，則. 當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，則，則，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減， 則當(dāng)時(shí)，此時(shí)，矛盾. 因此，. 點(diǎn)睛：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想，考查函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題；考查恒成立問題，正確分離參數(shù)是關(guān)鍵，也是常用的一種手段通過分離參數(shù)可轉(zhuǎn)化為或恒成立，即或即可，利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)結(jié)合單調(diào)性求出或即得解.20. 已知為正整數(shù)，數(shù)列滿足，設(shè)數(shù)列滿足.（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）若數(shù)列是等差數(shù)列，求實(shí)數(shù)的值；（3）若數(shù)列是等差數(shù)列，前項(xiàng)和為，對(duì)任意的，均存在，使得成立，求滿足條件的所有整數(shù)的值.【答案】（1）見解析;（2）;（3）當(dāng)N*，對(duì)任意的N*，均存在N*，

11、使.【解析】試題分析：（1）將經(jīng)過移項(xiàng)、兩邊同時(shí)除以可得，故可得結(jié)論為等比數(shù)列；（2）由（1）得，代入得，由數(shù)列是等差數(shù)列易知，代入可解得，將其進(jìn)行檢驗(yàn)得結(jié)果；（3）由（2）得，利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式代入，解出，經(jīng)討論當(dāng)時(shí)符合題意，當(dāng)時(shí)不符合題意.試題解析：（1）由題意得，因?yàn)閿?shù)列各項(xiàng)均正，得，所以， 因此，所以是以為首項(xiàng)公比為2的等比數(shù)列. （2）由（1）得， 如果數(shù)列是等差數(shù)列，則， 得：，即，則，解得 ，. 當(dāng)時(shí)，數(shù)列是等差數(shù)列，符合題意； 當(dāng)=12時(shí)，數(shù)列不是等差數(shù)列，=12不符合題意； 綜上，如果數(shù)列是等差數(shù)列，. （3）由（2）得，對(duì)任意的N*，均存在N*，使，則，所以. 當(dāng)，N*

12、，此時(shí)，對(duì)任意的N*，符合題意； 當(dāng)，N*，當(dāng)時(shí)，. 不合題意. 綜上，當(dāng)N*，對(duì)任意的N*，均存在N*，使.21. 已知二階矩陣有特征值及對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量，并且矩陣對(duì)應(yīng)的變換將點(diǎn)變換成.（1）求矩陣；（2）求矩陣的另一個(gè)特征值.【答案】(1)M=. （2）矩陣M的另一個(gè)特征值為. 【解析】試題分析：（1）先設(shè)矩陣M=，由二階矩陣有特征值及對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量及矩陣對(duì)應(yīng)的變換將點(diǎn)換成，得到關(guān)于的方程組，即可求得矩陣；（2）由（1）知，矩陣的特征多項(xiàng)式為，從而求得另一個(gè)特征值為2.試題解析：設(shè)M=，M，M，解得 即M=. （2）則令特征多項(xiàng)式， 解得.矩陣M的另一個(gè)特征值為. 22. 已知圓和圓

13、的極坐標(biāo)方程分別為.（1）把圓和圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）求經(jīng)過兩圓交點(diǎn)的直線的極坐標(biāo)方程.【答案】（1）圓的直角坐標(biāo)方程為，圓的直角坐標(biāo)方程為， （2）該直線的極坐標(biāo)方程為. 【解析】略23. 如圖，已知正四棱錐中， ，點(diǎn)分別在上，且.（1）求異面直線與所成角的大?。唬?）求二面角的余弦值.【答案】（1）.; （2）.【解析】試題分析：（1）設(shè)，交于點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向分別是軸、軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，將異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為直線的方向向量所的角；（2）將二面角用面的法向量所成的角表示.試題解析：（1）設(shè)，交于點(diǎn)，在正四棱錐中，平面. 又，所以. 以為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向分別是

14、軸、軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖： 則， 故， 所以，所以與所成角的大小為. （2）， ，.設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則,，可得 令，即， 設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，可得 令，即， ，則二面角的余弦值為.點(diǎn)睛：本題考查異面直線所成角的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)；建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，異面直線所成的角與直線的方向向量所成的角之間相等或互補(bǔ)，主要通過異面直線所成的角的范圍為來確定，兩個(gè)半平面所成的角與面的法向量之間也是相等或互補(bǔ)，主要是通過圖形來確定范圍.24. 設(shè)，為正整數(shù)，數(shù)列的通項(xiàng)公式，其前項(xiàng)和為.（1）求證：當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；（2）求證：對(duì)任何正整數(shù)，.【答案】（1）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，;（2）見解析.【解析】試題分析：（1）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，易得，當(dāng)為奇數(shù)，即時(shí)，分為和兩種情形分別討論；（2）利用數(shù)學(xué)歸納法證明.試題解析：（1）因?yàn)?當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)，.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，設(shè)，.