概率的統(tǒng)計定義

1、上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁12 概率 一、概率的統(tǒng)計定義 二、概率的古典定義 三、計算概率的例題 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁一、概率的統(tǒng)計定義 事件發(fā)生的頻率 在n次重復試驗中 若事件A發(fā)性了m次 則m/n稱為事件A發(fā)生的頻率 同樣若事件B發(fā)生了k次 則事件B發(fā)生的頻率為k/n 如果A是必然事件 則有mn 即必然事件的頻率是1 顯然 不可能事件的頻率為0 而一般事件的頻率必在0與1之間 如果事件A與B互不相容 那么事件AB的頻率為(mk)/n 這稱之為頻率的可加性 下頁上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁擲硬幣試驗 前人擲硬幣試驗的一些結(jié)果列于下表 由表看出 出現(xiàn)正面的頻率接近0.5 并且拋擲

2、次數(shù)越多 頻率越接近0.5 經(jīng)驗告訴人們 當試驗次數(shù)n很大時 事件A的頻率具有一種穩(wěn)定性 它的數(shù)值徘徊在某個確定的常數(shù)附近 而且一般說來 試驗次數(shù)越多 事件A的頻率就越接近那個確定的常數(shù) 下頁上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁擲硬幣試驗 前人擲硬幣試驗的一些結(jié)果列于下表 這種在多次重復試驗中 事件頻率穩(wěn)定的統(tǒng)計規(guī)律 便是概率這一概念的經(jīng)驗基礎 而所謂某事件發(fā)生的可能性大小 就是這個 “頻率的穩(wěn)定值” 下頁上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁說明 定義1.1(概率的統(tǒng)計定義) 在不變的條件下 重復進行n次試驗 事件A發(fā)生的頻率穩(wěn)定地在某一常數(shù)p附近擺動 且一般說來 n越多 擺動幅度越小 則稱常數(shù)p為事件A的概率 記作P(

3、A) 數(shù)值p(即P(A)就是在一次試驗中對事件A發(fā)生的可能性大小的數(shù)量描述 例如 用0.5來描述擲一枚勻稱的硬幣 “正面”出現(xiàn)的可能性 下頁上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁說明 定義1.1(概率的統(tǒng)計定義) 在不變的條件下 重復進行n次試驗 事件A發(fā)生的頻率穩(wěn)定地在某一常數(shù)p附近擺動 且一般說來 n越多 擺動幅度越小 則稱常數(shù)p為事件A的概率 記作P(A) 頻率的穩(wěn)定性是概率的經(jīng)驗基礎 但并不是說概率決定于試驗 一個事件發(fā)生的概率完全決定于事件本身的結(jié)構(gòu) 是先于試驗而客觀存在的 下頁上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁說明 定義1.1(概率的統(tǒng)計定義) 在不變的條件下 重復進行n次試驗 事件A發(fā)生的頻率穩(wěn)定地在某一常

4、數(shù)p附近擺動 且一般說來 n越多 擺動幅度越小 則稱常數(shù)p為事件A的概率 記作P(A) 概率的統(tǒng)計定義僅僅指出了事件的概率是客觀存在的 但并不能用這個定義計算概率P(A) 實際上 人們是采取一次大量試驗的頻率或一系列頻率的平均值作為P(A)的近似值的 下頁上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁舉例 從對一個婦產(chǎn)醫(yī)院6年出生嬰兒的調(diào)查(見表)可以看到生男孩的頻率是穩(wěn)定的 可以取0.515作為生男孩概率的近似值 首頁上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁二、概率的古典定義 觀察與思考 考察下述類型的試驗的共同特點 (1)拋擲一枚勻稱的硬幣 可能出現(xiàn)正面與反面兩種結(jié)果 并且這兩種結(jié)果出現(xiàn)的可能性是相同的 (2)200個同型號產(chǎn)品中

5、有6個廢品 從中每次抽取3個進行檢驗 共有3200C種不同的可能抽取結(jié)果 并且任意 3 個產(chǎn)品被取到的機會相同 這類試驗的共同特點是 每次試驗只有有限種可能的試驗結(jié)果 即組成試驗的基本事件總數(shù)為有限個 每次試驗中 各基本事件出現(xiàn)的可能性完全相同 具有上述特點的試驗稱為古典概型試驗 下頁上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁二、概率的古典定義 觀察與思考 考察下述類型的試驗的共同特點 (1)拋擲一枚勻稱的硬幣 可能出現(xiàn)正面與反面兩種結(jié)果 并且這兩種結(jié)果出現(xiàn)的可能性是相同的 (2)200個同型號產(chǎn)品中有6個廢品 從中每次抽取3個進行檢驗 共有3200C種不同的可能抽取結(jié)果 并且任意 3 個產(chǎn)品被取到的機會相同 在

6、古典概型試驗中 假定能夠知道有利于某一事件A的基本事件數(shù) 就可以通過這個數(shù)與試驗的基本事件總數(shù)之比計算出概率P(A) 下頁上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁定義1.2(概率的古典定義) 若試驗結(jié)果一共由n個基本事件E1 E2 En組成 并且這些事件的出現(xiàn)具有相同的可能性 而事件A由其中某m個基本事件組成 則事件A的概率可以用下式計算 nmAAP試驗的基本事件總數(shù)的基本事件數(shù)有利于)( 這里E1 E2 En構(gòu)成一個等概完備事件組 首頁上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁三、計算概率的例題 例1 袋內(nèi)裝有5個白球 3個黑球 從中任取兩個球 計算取出的兩個球都是白球的概率 解 組成試驗的基本事件總數(shù)為 235Cn 組成所求事

7、件A(取到兩個白球)的基本事件數(shù)為 25Cm 由概率的計算公式 有 357. 0145)(2825CCnmAP下頁357. 0145)(2825CCnmAP357. 0145)(2825CCnmAP 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 例2 一批產(chǎn)品共200個 有6個廢品 求 (1)這批產(chǎn)品的廢品率 (2)任取3個恰有1個是廢品的概率 (3)任取3個全非廢品的概率 設事件A1表示任取一個是廢品 事件A2表示任取3個恰有1個是廢品 事件A3表示任取3個全非廢品 則所求概率為 解 (1)03. 02006)(1AP (2)0855. 0)(32002194162CCCAP (3)9122. 0)(320031943CCAP03. 02006)(1AP03. 02006)(1AP 0855. 0)(32002194162CCCAP0855. 0)(32002194162CCCAP 9122. 0)(320031943CCAP9122. 0)(320031943CCAP 下頁上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 例3 兩封信隨機地向標號為I、II、III、IV的4個郵筒投寄 求第二個郵筒恰好被投入1封信的概率 設事件A表示第二個郵筒只投入1封信 解 兩封信隨機地投入 4 個郵筒 共有 42種可能投法 而組成事件 A 的不同投法只有1312CC種 由概率的計算公式 有 834)(21312CCnmAP同樣還可以計算