高等數(shù)學(xué)(高教版)第一章多項(xiàng)式第八節(jié)課件教學(xué)文稿

1、高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)(高教版高教版)第一章多項(xiàng)式第一章多項(xiàng)式第八節(jié)課件第八節(jié)課件 這個(gè)定理的證明在本課程中不講，將來利用復(fù)這個(gè)定理的證明在本課程中不講，將來利用復(fù)變函數(shù)論中的結(jié)論，可以很簡(jiǎn)單地證明變函數(shù)論中的結(jié)論，可以很簡(jiǎn)單地證明.利用根與一次因式的關(guān)系利用根與一次因式的關(guān)系()代數(shù)基本定理顯然可以等價(jià)地?cái)⑹鰹椋捍鷶?shù)基本定理顯然可以等價(jià)地?cái)⑹鰹椋?由此可知，在復(fù)數(shù)域上所有次數(shù)大于由此可知，在復(fù)數(shù)域上所有次數(shù)大于 1 的多項(xiàng)的多項(xiàng)式全是可約的式全是可約的.換句話說，不可約多項(xiàng)式只有一次換句話說，不可約多項(xiàng)式只有一次多項(xiàng)式多項(xiàng)式.于是，因式分解定理在復(fù)數(shù)域上可以敘述于是，因式分解定理在復(fù)數(shù)域上可以敘述

2、成：成：因此，復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式具有標(biāo)準(zhǔn)分解式因此，復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式具有標(biāo)準(zhǔn)分解式,)()()()(2121slsllnxxxaxf其中其中 1 , 2 , , s 是不同的復(fù)數(shù)，是不同的復(fù)數(shù)，l1 , l2 , , ls是正整數(shù)是正整數(shù).標(biāo)準(zhǔn)分解式說明了標(biāo)準(zhǔn)分解式說明了下面來討論實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的分解下面來討論實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的分解.對(duì)于實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式，以下的事實(shí)是基本的，即對(duì)于實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式，以下的事實(shí)是基本的，即因?yàn)樵O(shè)因?yàn)樵O(shè)f (x) = anxn + an-1xn-1 + + a0 ,其中其中 a0 , a1 , , an 是實(shí)數(shù)是實(shí)數(shù).由假設(shè)由假設(shè)f ( ) = an n + an-1 n-1 + + 0

3、 = 0 .兩邊取共軛數(shù)，有兩邊取共軛數(shù)，有f ( ) = an n + an-1 n-1 + + a0 = 0 ,這就是說，這就是說， f ( ) = 0， 也是也是 f (x) 的根的根. 由此可以證明由此可以證明 定理對(duì)一次多項(xiàng)式顯然成立定理對(duì)一次多項(xiàng)式顯然成立.假設(shè)定理對(duì)次數(shù)假設(shè)定理對(duì)次數(shù) n 的多項(xiàng)式已經(jīng)證明的多項(xiàng)式已經(jīng)證明.設(shè)設(shè) f (x) 是是 n 次實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式次實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式.由由f (x) 有一復(fù)根有一復(fù)根 .如果如果 是實(shí)數(shù)，那么是實(shí)數(shù)，那么f (x) = (x - ) f1(x) ,其中其中 f1(x) 是是 n - 1 次實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式次實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式.如果如果 不不是實(shí)是

4、實(shí)數(shù)，那么數(shù)，那么 也是也是 f (x) 的根且的根且 .于是于是f (x) = (x - ) (x - ) f2(x) .顯然顯然 (x - ) (x - ) = x2 - ( + )x + 是一實(shí)系是一實(shí)系數(shù)二次不可約多項(xiàng)式數(shù)二次不可約多項(xiàng)式.從而從而 f2(x) 是是 n - 2 次實(shí)系數(shù)次實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式多項(xiàng)式.由歸納法假設(shè)，由歸納法假設(shè)， f1(x) 或或 f2(x) 可以分解成可以分解成一次與二次不可約多項(xiàng)式的乘積，因而一次與二次不可約多項(xiàng)式的乘積，因而 f (x) 也可以也可以如此分解如此分解.因此，實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式具有標(biāo)準(zhǔn)分解式因此，實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式具有標(biāo)準(zhǔn)分解式,)()()()()(21

5、12111rskrrklslnqxpxqxpxcxcxaxf其中其中 c1 , , cs , p1 , , pr , q1 , , qr 全是實(shí)數(shù)，全是實(shí)數(shù)，l1 , , ls , k1 , , kr 是正整數(shù)，并且是正整數(shù)，并且x2 + pi x + qi ( i = 1 , 2 , , r )是不可約的，也就是適合條件是不可約的，也就是適合條件pi2 - 4 qi 0, i = 1 , 2 , , r .代數(shù)基本定理雖然肯定了代數(shù)基本定理雖然肯定了 n 次方程有次方程有 n 個(gè)復(fù)個(gè)復(fù)根，但是并沒有給出根的一個(gè)具體的求法根，但是并沒有給出根的一個(gè)具體的求法.高次方高次方程求根的問題還遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒有解決程求根的問題還遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒有解決.特別是在應(yīng)用方面特別是在應(yīng)用方面方程求根是一個(gè)重要的問題，這個(gè)問題是相當(dāng)復(fù)雜方程求根是一個(gè)重要的問題，這個(gè)問題是相當(dāng)復(fù)雜的，它構(gòu)成了計(jì)算數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，在這里我們就的，它構(gòu)成了計(jì)算數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，在這