基于SABR模型的上證50ETF隱含波動率研究計算機專業(yè)

1、基于SABR模型的上證50ETF隱含波動率研究 摘要期權(quán)交易的核心問題在于波動率估計，波動率估計得過程中，最重要的是模型選擇以及數(shù)據(jù)處理，本文主要基于SABR隨機波動率模型，研究上證50ETF期權(quán)隱含波動率曲線的擬合問題。實證過程中將采用合約的Tick級數(shù)據(jù)，通過修正上證50指數(shù)期貨的交易數(shù)據(jù)近似地表示50ETF的遠期價格，應(yīng)用BS模型計算平值期權(quán)的隱含波動率，進而估計出SABR模型的參數(shù)，擬合出隱含波動率曲線。本文首先介紹BS模型和SABR模型，然后基于國內(nèi)首只場內(nèi)期權(quán)50ETF期權(quán)的實證分析表明，SABR模型能夠較準確的擬合上證50ETF期權(quán)隱含波動率，這對于期權(quán)做市商以及比較關(guān)注期權(quán)波動

2、率的投資者來說，無論是做風(fēng)險對沖或波動率套利均具有重要意義。關(guān)鍵詞： SABR隨機波動率 上證50ETF期權(quán) 隱含波動率 AbstractOptions trading at the core of the problem is that volatility estimates, volatility estimation process, the most important is model selection and data processing, this paper mainly based on SABR stochastic volatility model, researc

3、h the Shanghai 50 ETF options implied volatility curve fitting problem. Empirical process will use the Tick of the contract data, this revised Shanghai 50 index futures transaction data approximate forward price of 50 ETF, application of BS model calculation value of options implied volatility, then

4、 estimate the SABR model parameters, the implied volatility curve fitting.This paper introduces the BS model and SABR model, and then based on the domestic first floor empirical analysis shows that for 50 ETF options SABR model can more accurately fitting the Shanghai 50 ETF options implied volatili

5、ty, this volatility marketmakers and more focus on options for investors, whether do risk hedge or volatility arbitrage is of great significance.Key words: SABR random fluctuation rate Shanghai 50ETF option Implied volatility目 錄一、緒論1（一）研究背景1（二）研究意義1二、文獻綜述2三、隨機波動率模型3（一）BS模型和隱含波動率3（二）SABR模型4（三）SABR模型參

6、數(shù)估計原理61.參數(shù)-62.參數(shù)-63.參數(shù)-、6四、 SABR模型實證分析6（一）實證數(shù)據(jù)選取和數(shù)據(jù)處理71.數(shù)據(jù)選取72.數(shù)據(jù)處理8（二） SABR模型參數(shù)估計131.隱含波動率132.估計參數(shù)143.估計參數(shù)、和14（三） 波動率曲線分析15五、總結(jié)與展望15（一）實證總結(jié)16（二）本文的不足與展望16參考文獻17附錄18致謝1、 緒論（1） 研究背景及意義隨著經(jīng)濟的全球化發(fā)展，經(jīng)濟體制的競爭力主要體現(xiàn)在財富與資源的合理配置上。為了給經(jīng)濟的發(fā)展提供源源不斷的動力，金融市場為資產(chǎn)配置提供必要的場所和有價證券，健全的金融市場對于經(jīng)濟發(fā)展是非常重要的。在金融市場規(guī)模不斷創(chuàng)新高的同時，為了滿足各

7、類投資者的不同需求，金融衍生品由此產(chǎn)生，其高杠桿性滿足了投資者對于風(fēng)險和收益的雙重追求。金融衍生品誕生的數(shù)十年間，交易品種已從最初滿足基礎(chǔ)杠桿交易需求的遠期、期權(quán)和互換等普通衍生品發(fā)展到用于滿足特定交易者特殊需求的各類奇異金融衍生產(chǎn)品。2015年2月9日，我國首只期權(quán)上證50ETF期權(quán)在上海證券交易所正式上市交易，標志著中國衍生品市場正式進入期權(quán)時代。國外證券市場中，期權(quán)交易已經(jīng)非常成熟，相應(yīng)的研究也比較透徹，投資者對期權(quán)功能以及風(fēng)險的認識也非常清晰，在這種前提下，期權(quán)對于金融市場起到了重要的調(diào)節(jié)作用，而國內(nèi)處于期權(quán)交易的起步階段，對于廣大投資者來說期權(quán)完全是一種新鮮事物，盲目的從事期權(quán)交易不

8、但會給投資者帶來一定的投資風(fēng)險，也會影響國內(nèi)金融市場的穩(wěn)定，因此對期權(quán)的深入研究對于市場參與者以及管理者都有著重要意義。（2） 研究意義 現(xiàn)代金融交易中，期權(quán)作為一種高風(fēng)險的金融產(chǎn)品，交易者必須選擇合適的交易策略來規(guī)避風(fēng)險，其中最重要的是波動率交易策略，因此波動率的估計至關(guān)重要。國內(nèi)期權(quán)處于起步階段，50ETF是基于國內(nèi)金融市場的一類創(chuàng)新型基金，本身是對國內(nèi)股票市場的跟蹤刻畫，在這類基金上衍生出的期權(quán)也就成為對國內(nèi)金融市場風(fēng)險的一種刻畫。因此，基于國內(nèi)市場特征的波動率模型的適應(yīng)性研究對于國內(nèi)期權(quán)交易有重要意義。 期權(quán)交易的關(guān)鍵是定價與波動率估計，目前市場上最主要的定價模型是Black-Scho

9、les模型，模型參數(shù)中，波動率是影響定價結(jié)果的唯一變量，故期權(quán)交易的核心就體現(xiàn)在波動率估計方面。在金融實物中，通常應(yīng)用Black-Scholes模型進行反解以獲取隱含波動率，而國內(nèi)期權(quán)交易處于起步階段，交易量相對較少，直接應(yīng)用所帶來的模型誤差較大，擬合效果不好。SABR模型相對簡單，且具有解析解形式，同時對于歐式期權(quán)的波動率結(jié)構(gòu)的刻畫比較準確，并且能夠?qū)Σ▌勇曙L(fēng)險進行一致度量，是一個被廣泛應(yīng)用的隨機波動率模型。本文旨在從SABR模型的發(fā)展以及基于上證50ETF期權(quán)的實證分析出發(fā)，驗證其對國內(nèi)期權(quán)市場的適應(yīng)性，為隱含波動率的進一步研究提供參考。2、 文獻綜述自1973年，Black-Schole

10、s期權(quán)定價理論的提出，并且成為了金融實物中關(guān)于期權(quán)定價方面不可動搖的理論基礎(chǔ)，幾乎所有的期權(quán)定價以及波動率估計模型都是以Black-Scholes模型為基礎(chǔ)的推廣，直到現(xiàn)代備受關(guān)注的隨機波動率模型。在現(xiàn)代金融實物中，對于歐式期權(quán)定價通常選擇Black-Scholes模型，在Black-Scholes模型中，期權(quán)價格與波動率通常是一一對應(yīng)的，因此，期權(quán)價格往往可以用隱含波動率來刻畫。Black-Scholes模型中通常假設(shè)同一標的的期權(quán)波動率，在指定時刻為常數(shù)，而客觀情況下，對于具有不同執(zhí)行價格K的期權(quán)，往往需要不同的波動率估計方法，才能夠準確地擬合其真實的市場價格。對于從事固定收益以及外匯交易

11、的期權(quán)使用者，常常會接觸較為寬泛的執(zhí)行價格區(qū)間，因此，如果要準確地把握市場傾斜與微笑的狀態(tài)，必須在不同情形選擇不同的波動率估計方法，這就暴露了Black-Scholes模型的不足以及潛在的模型風(fēng)險。仿照基礎(chǔ)資產(chǎn)，利用新的隨機函數(shù)對波動率進行建模，并且以資產(chǎn)收益率與該隨機函數(shù)的變動的相關(guān)性為基本假設(shè)，提出的隨機波動率模型，簡稱SVM。Heston、Ball-Roma、Hull-White等人曾對此類模型進行深入研究，其中Heston在1993年的一篇文章中，曾給出了一個關(guān)于歐式期權(quán)的顯示積分表達式，提高了模型擬合的有效性，使得該模型受到受到廣泛關(guān)注。Lewis于2000年給出了模型混合解，并且該

12、混合解會隨著資產(chǎn)與波動率相關(guān)性變化時發(fā)生退化，即不相關(guān)時退化成Hull-White公式，其微笑特征可以從Black-Scholes模型的凸性中得出。Black-Scholes模型是最經(jīng)典的期權(quán)定價模型，它奠定了期權(quán)定價理論的基礎(chǔ)、推動了期權(quán)市場的發(fā)展，并被廣泛應(yīng)用于衍生品市場中，但它假設(shè)隱含波動率為常數(shù)，與市場上實際觀測到的“隱含波動率曲面”現(xiàn)象不符。Carr和Wu在2010年的論文中指出，“相比于期權(quán)價格，隱含波動率能夠更好的衡量不同期權(quán)合約的相對價格、反應(yīng)標的資產(chǎn)收益率的分布情況、識別套利機會”。Black-Scholes模型的缺陷，引發(fā)了后續(xù)學(xué)者對波動率建模的一系列研究。一類模型直接刻畫

13、標的資產(chǎn)在風(fēng)險中性測度下的動態(tài)，根據(jù)其對標的資產(chǎn)波動率的假設(shè)，被分為：局部波動率模型、隨即波動率模型、基于Levy過程的模型。Hull和Suo指出，使用這些模型為路徑依賴期權(quán)等奇異衍生品定價時存在很大的模型風(fēng)險，Cont和Fonseca指出對沖模型參數(shù)的頻繁變化在風(fēng)險管理方面存在較大的問題。另一類模型直接對隱含波動率動態(tài)進行建模，力圖在擬合隱含波動率曲面在某一時刻的形態(tài)的同時，刻畫隱含波動率曲面隨著時間的變化規(guī)律?，F(xiàn)有的關(guān)于動態(tài)隱含波動率模型的研究有三個分支：第一個分支為“市場模型”，它構(gòu)建了標的資產(chǎn)和隱含波動率的聯(lián)合動態(tài)，采用了與利率模型中的HJM模型相同的方法。Carr和Wu、Schwei

14、zer和Wissel指出，這種建模方法的缺陷為，作為初值輸入的隱含波動率曲面會對隱含波動率動態(tài)過程的組成成分造成未知的影響。Carr和Wu提出了第二個分支方法，Vega-Gamma-Vanna-Volga模型，該模型根據(jù)期權(quán)價格在風(fēng)險中性測度下為鞅這一原則，推導(dǎo)出確定波動率曲面形態(tài)的偏微分方程。第三個分支為“因子模型”，這類模型假設(shè)隱含波動率曲面是被一些隨機的因子驅(qū)動的。Cont、Fonseca、Fengler和Skiadopoulos等分別用Karhunen-Loeve分解、共同主成分分析和主成分分析幾種非參數(shù)化方法，在隱含波動率曲面時間序列數(shù)據(jù)中提取因子刻畫曲面形態(tài)的主要因子，通過對這些主

15、要因子動態(tài)過程建模達到對整個波動率曲面動態(tài)過程的建模目的。3、 隨機波動率模型期權(quán)作為一類高級金融衍生品，其定價問題一直是金融學(xué)者的研究重心，1973年BS期權(quán)定價公式建立，進一步的推動了金融衍生品的研究浪潮。近年來，隨著金融市場全球化的步伐日益加快，國內(nèi)市場上出現(xiàn)了更加靈活方便的奇異期權(quán)，截至目前，其主要集中在以滬深300指數(shù)、中證500指數(shù)等為標的場外市場，主要品種有：鯊魚期權(quán)、二元期權(quán)、價差期權(quán)等，同時也有部分股票期權(quán)、亞式期權(quán)等。首先，在合約的功能上來說，奇異期權(quán)場內(nèi)的標準期權(quán)合約更加靈活，更適合出現(xiàn)在結(jié)構(gòu)化產(chǎn)品中，是一類更加適合普通投資者參與的金融衍生品。奇異期權(quán)的品種、交易數(shù)量以及

16、交易額均發(fā)展迅速，并且隨著投資者的需求會更加的靈活多變，因此，這類期權(quán)的定價是當前國內(nèi)市場的研究熱點之一，也具有很重要的學(xué)術(shù)價值和社會經(jīng)濟意義。熟悉BS公式的學(xué)者均了解，期權(quán)定價的核心問題是波動率估計，而波動率不僅僅在期權(quán)定價中發(fā)揮著重要作用，其本身也是一個重要的風(fēng)險指標，是對資產(chǎn)收益不確定性的一種度量，在投資組合構(gòu)建、風(fēng)險管理以及貨幣政策制定等領(lǐng)域均發(fā)揮這不可替代的作用。（一）B-S模型和隱含波動率B-S模型為包括股票、債券、貨幣、商品在內(nèi)的新興衍生金融市場的各種以市場價格變動定價的衍生金融產(chǎn)品的合理定價奠定了基礎(chǔ)。該模型假設(shè)，風(fēng)險中性測度下標的資產(chǎn)過程符合幾何布朗運動： （1） 其中，在給

17、定測度下，dW為布朗運動；無風(fēng)險利率r和波動率為常數(shù)。在該模型假設(shè)下，在t時刻，以不分紅資產(chǎn)S為標的資產(chǎn)、到期日為T、執(zhí)行價為K的歐式看漲期權(quán)的價格C和歐式看漲期權(quán)的價格P可以由B-S公式給出： （2） 其中， (3) N(x)是標準正態(tài)分布的累積分布函數(shù)。隱含波動率是將市場上的期權(quán)交易價格代入B-S公式反推出來的波動率數(shù)值。在其他條件不變的情況下，期權(quán)價格隨隱含波動率的上升而上升，B-S公式提供了隱含波動率和期權(quán)價格的一一對應(yīng)關(guān)系。實際中，同一標的資產(chǎn)、不同行權(quán)價、不同到期日的期權(quán)所對應(yīng)的隱含波動率不同，在三維空間中成曲面或傾斜的形態(tài)，稱之為“隱含波動率曲面”。波動率曲面是期權(quán)定價的核心，也

18、是金融工程方向研究的熱點問題，模型是否能夠合理刻畫隱含波動率曲面對期權(quán)定價、交易與對沖至關(guān)重要。（二）SABR模型隨機波動率模型是一類假設(shè)標的資產(chǎn)波動率服從某一隨機過程的模型，基于隨機波動率模型構(gòu)建隱含波動率曲面的方法在實際中使用的非常廣泛。隨機波動率模型的期權(quán)定價公式是在風(fēng)險中性測度下基于無風(fēng)險定價理論得出的，基于這類模型得到的隱含波動率曲面具有無套利的性質(zhì)。最常用的隨機波動率模型是Heston模型和SABR模型。Heston模型是第一個通過嚴格的理論證明得到歐式期權(quán)價格半顯示解的隨機波動率模型，顯示解是否存在對模型參數(shù)矯正速度的影響非常大；另外，Heston模型對標的資產(chǎn)和隨機波動率的假設(shè)

19、符合市場上實際觀察到的數(shù)據(jù)特點；除此之外，Heston模型比其他隨即波動率模型更容易實現(xiàn)。另一個在實際應(yīng)用十分廣泛的隨機波動率模型是SABR模型，SABR模型直接給出期權(quán)隱含波動率的顯示解，而非期權(quán)定價公式。隱含波動率被越來越多地應(yīng)用于衡量期權(quán)的相對價格，SABR模型直接得到隱含波動率的顯示解，使它的應(yīng)用更加方便。通過這個顯示解和B-S公式的結(jié)合，可以非常方便的得出期權(quán)的各種風(fēng)險因子(Delta,Gamma,Vega,Volga等)。除此之外，SABR模型還具有精準擬合市場數(shù)據(jù)，參數(shù)穩(wěn)定等優(yōu)點。SABR模型假設(shè)標的資產(chǎn)遠期價格和波動率的動態(tài)服從以下過程： （4） 遠期價格和波動率的初始值為。S

20、ABR模型的歐式期權(quán)價格由B-S公式給出：（5）其中，在給定測度下，dW和dZ為布朗運動；F為標的資產(chǎn)遠期價格；K為期權(quán)合約交割價；T為期權(quán)合約剩余期限；為常數(shù)，即波動率常數(shù)假設(shè)，由SABR模型給出。模型中因子F和都是隨機的，參數(shù)、為常數(shù)；其中是類波動率參數(shù)，與平值期權(quán)隱含波動率有函數(shù)關(guān)系，代表波動率的波動率，表示波動率的聚集狀態(tài)；而則決定了標的價格與平值隱含波動率的關(guān)系。當1時，該隨機模型接近對數(shù)正態(tài)，當0時，該隨機模型接近正態(tài)分布。Hagan給出的解在1時存在內(nèi)部矛盾，而且對長期限和敲定價格較小的情況定價不精準，針對這一問題Obloj提出了修正的解如下：(6)其中，(7)在值狀態(tài)的隱含波動

21、率如下：(8)（三） SABR模型參數(shù)估計原理由波動率的表達式（8）可以看出，在應(yīng)用SABR模型時，首先需要對模型進行參數(shù)估計，分別估計出其、四個參數(shù)，下面將展開介紹其參數(shù)的估計原理。1.參數(shù)- 從平值期權(quán)的波動率表達式（8）中可以看出，參數(shù)的估計可以由(F,F)以及F的log-log圖中得到的，其精確性依賴于合約交易的活躍程度，交易活躍程度通常依賴于市場特征以及合約距離到期日的時間，對式（8）兩邊取對數(shù)： （9）模型中，參數(shù)滿足：01.通過市場數(shù)據(jù)及模型對應(yīng)的定價公式，反解出平值期權(quán)的隱含波動率，對式（9）做回歸分析，即可獲得的最小二乘估計。2.參數(shù)-整理式（9）得：(10) 該式在給定（，

22、）后，是關(guān)于的三次方程，可以直接求解。3.參數(shù)-、求解參數(shù)、時，首先假設(shè)其給定，由式（10）求解出參數(shù)，再代入式（8-10）可以求解出不同執(zhí)行價格的期權(quán)波動率，將不同時刻、不同執(zhí)行價格的數(shù)據(jù)匯總，通過式（4-5）可反解出隱含波動率，得到模型誤差：(11)通過優(yōu)化參數(shù)、，使得err達到最小。需要注意的是，優(yōu)化目標err的形式以及具體的優(yōu)化方法對于優(yōu)化結(jié)果均有一定影響，在這里可以選擇不同方法，例如時間加權(quán)等，即可以對距離當前時刻較遠的數(shù)據(jù)賦予較小的權(quán)重，使模型能夠趨向于擬合當前最新的市場動態(tài)。得到、后，可以繪制出當前時刻的波動率曲線。由于波動率與期權(quán)價格滿足一一對應(yīng)的關(guān)系，投資者可以依據(jù)隱含波動率

23、相對于波動率曲線的偏差制定對應(yīng)的交易策略，獲取相對穩(wěn)健的投資收益。四、SABR模型實證分析（一）實證數(shù)據(jù)選取與數(shù)據(jù)處理1.數(shù)據(jù)選取對于SABR模型參數(shù)估計而言，參數(shù)的估計對合約期限的要求較為嚴格，在國外成熟市場中，往往會將合約到期期限分為遠月、中期、近月合約，通常來說遠月合約為大概兩年的期限，近月合約大約為六個月，對于波動率模型來說只有在遠月以內(nèi)的合約才有交易意義，而國內(nèi)合約編制中，通常為當月、下月及兩個季月，最長期限一般為六個月左右，通常季月合約比較豐富，合約數(shù)量較多，因此，本文將選擇當前三月份到期合約。通過對SABR模型分析發(fā)現(xiàn)，在對期權(quán)波動率進行估計時，使用的是期權(quán)標的的遠期價格f，依據(jù)

24、國內(nèi)期權(quán)市場的現(xiàn)狀，本文將采用相應(yīng)的期貨價格作為標的遠期價格，截至目前，國內(nèi)發(fā)行的期權(quán)是以50ETF為標的，不存在對應(yīng)的期貨品種，我們將通過修正上證50指數(shù)期貨數(shù)據(jù)來代替50ETF期貨，主要選取數(shù)據(jù)如下表：表1：模型估計所使用的指數(shù)、期貨及期權(quán)合約（來源：wind資訊）合約名稱合約代碼數(shù)據(jù)周期日期范圍上證50指數(shù)000018.SHTick20180312-20180315上證50ETF510050.SHTick20180312-20180315上證50指數(shù)期貨IH1803.CFETick20180312-2018031550ETF購3月2.601001237Tick20180312-20180

25、31550ETF購3月2.6510001163Tick20180312-2018031550ETF購3月2.7010001137Tick20180312-2018031550ETF購3月2.7510001129Tick20180312-2018031550ETF購3月2.8010001105Tick20180312-2018031550ETF購3月2.8510001106Tick20180312-2018031550ETF購3月2.9010001107Tick20180312-2018031550ETF購3月3.0010001108Tick20180312-2018031550ETF購3月3.

26、1010001164Tick20180312-2018031550ETF購3月3.2010001175Tick20180312-2018031550ETF購3月3.3010001183Tick20180312-2018031550ETF購3月3.4010001191Tick20180312-2018031550ETF購3月3.5010001199Tick20180312-2018031550ETF購3月3.6010001207Tick20180312-201803152.數(shù)據(jù)處理第一步：選取的市場數(shù)據(jù)均從wind資訊獲取，首先就下列問題進行數(shù)據(jù)修正。提取的不同合約數(shù)據(jù)之間，由于報價機制與win

27、d資訊平臺對數(shù)據(jù)的一些處理，往往會造成直接獲得的數(shù)據(jù)時間上并不一致，因此，要在保持市場特征的前提下，在統(tǒng)一的時間軸上對數(shù)據(jù)進行對齊工作，時間軸設(shè)定為： 9:30:00-11:30:00,13:00:00-15:00:00，具體對齊規(guī)則如下：1）當對應(yīng)時間軸上沒有原始數(shù)據(jù)時，向后（歷史）選取最近的行情數(shù)據(jù)進行補全；2）當每秒鐘對應(yīng)多個原始數(shù)據(jù)時，選取最新（最后一個）數(shù)據(jù)作為當前行情數(shù)據(jù)；3）若當天開盤時刻數(shù)據(jù)缺失，則選擇當天距離缺失時刻最近的行情數(shù)據(jù)進行補全。數(shù)據(jù)修正前后對比（數(shù)據(jù)區(qū)間均為：2018-03-12至2018-03-15）：圖1：上證50ETF數(shù)據(jù)與修正后的50指數(shù)數(shù)據(jù)對比由于原始數(shù)

28、據(jù)在時間軸上有一定缺失，為給出明確對比，首先對缺失數(shù)據(jù)補0，可以看出數(shù)據(jù)修復(fù)前后基本一致，其余合約數(shù)據(jù)如下： 圖2：上證50指數(shù)數(shù)據(jù) 圖3：上證50指數(shù)期貨圖4：50ETF購3月2.60數(shù)據(jù) 圖4：550ETF購3月2.65數(shù)據(jù)圖6：50ETF購3月2.70數(shù)據(jù) 圖7：50ETF購3月2.75數(shù)據(jù)圖8：50ETF購3月2.80數(shù)據(jù) 圖9：50ETF購3月2.85數(shù)據(jù)圖10：50ETF購3月2.90數(shù)據(jù) 圖11：50ETF購3月2.95數(shù)據(jù)圖12：50ETF購3月3.00數(shù)據(jù) 圖13：50ETF購3月3.10數(shù)據(jù)圖14：50ETF購3月3.20數(shù)據(jù) 圖15：50ETF購3月3.30數(shù)據(jù)圖16：5

29、0ETF購3月3.40數(shù)據(jù) 圖17：50ETF購3月3.50數(shù)據(jù)圖18：50ETF購3月3.60數(shù)據(jù) 第二步：為獲取50ETF的遠期價格，首先驗證上證50指數(shù)與50ETF之間的相關(guān)性。選取2018-03-08至2018-03-15數(shù)據(jù)區(qū)間，在這個區(qū)間內(nèi)對50指數(shù)和50ETF數(shù)據(jù)收益率序列進行Pearson相關(guān)性分析，結(jié)果如圖18所示?？梢钥闯觯献C50指數(shù)數(shù)據(jù)和50ETF數(shù)據(jù)呈線性相關(guān)，且相關(guān)系數(shù)為0.986，在區(qū)間內(nèi)，Pearson檢驗Tick級數(shù)據(jù)的P值為0，因此Tick級數(shù)據(jù)高度相關(guān)。上述情況表明，50ETF對上證指數(shù)有很好的追蹤效果。圖19：50指數(shù)與50ETF數(shù)據(jù)在不同周期下收益率相

30、關(guān)性第三步：依照50指數(shù)數(shù)據(jù)與50ETF數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，我們認為50ETF期貨與50指數(shù)期貨所給予的布朗運動可以近似看作同一個，因此其在數(shù)據(jù)上存在一個穩(wěn)定的價格差，而收益率基本一致，故可通過對50指數(shù)期貨數(shù)據(jù)進行修正以獲取模擬50ETF期貨的市場數(shù)據(jù)。在2018-03-08至2018-03-15數(shù)據(jù)區(qū)間內(nèi)，計算上證50指數(shù)與50ETF數(shù)據(jù)之間的平均價差e；以平均價差e為基準，對上證50指數(shù)期貨IH1803合約數(shù)據(jù)進行調(diào)整，具體調(diào)整方法如下：1) 計算50指數(shù)期貨合約IH1803的對數(shù)收益率，即；2) 在合約IH1803的區(qū)間段數(shù)據(jù)起始，即2018-03-08當天第一個最新價增加一個平均價差e；

31、3) 在保證數(shù)據(jù)對數(shù)收益率不變的前提下，一次修正剩余交易數(shù)據(jù)。經(jīng)過修正后的數(shù)據(jù)將作為50ETF遠期價格序列，結(jié)果如圖19所示：圖20：模擬50ETF遠期價格走勢第四步：為驗證上述數(shù)據(jù)修正方法的可靠性，運用上述修正方法對上證50指數(shù)進行調(diào)整，驗證修正后的上證50指數(shù)數(shù)據(jù)與50ETF數(shù)據(jù)的擬合度。（二） SABR模型參數(shù)估計1.隱含波動率模型參數(shù)估計過程中，隱含波動率的計算是最重要的，本文主要使用Matlab軟件，利用BS公式進行反解，由于SABR模型的特點，在計算中應(yīng)注意隱含波動率計算方法，軟件中通常使用標的為股票或指數(shù)的期權(quán)定價公式進行反解，而模型是基于遠期價格的定價模型，因此因注意定價公式的

32、差異。圖21為2018-03-12至2018-03-15每日的盤中（10：30時）看漲期權(quán)隱含波動率，由于通?？礉q期權(quán)的隱含波動率在平值附近最低，呈現(xiàn)微笑狀態(tài)：圖21：不同時刻上證50ETF看漲期權(quán)隱含波動率曲線從圖中每日波動率情況可以看出，平值及虛值部分比較集中，一般情況下，這兩類期權(quán)交易量大，定價也通常比較準確。圖22為2018-03-12至2018-03-15區(qū)間每隔半小時計算一次隱含波動率的匯總圖：圖22：隱含波動率匯總（時間間隔為30分鐘）2.估計參數(shù) 根據(jù)3.3節(jié)中提出的公式（9）（忽略剩余項）：（12）應(yīng)用由B-S公式計算的平值期權(quán)隱含波動率，考察在2018-03-12至2018

33、-03-15時間段內(nèi)，到期日為2018-03-28的看漲期權(quán)，如圖23：圖23：隱含波動率匯總（時間間隔30分鐘 ）從圖23可以看出，隱含波動率呈現(xiàn)出按時間聚集的狀態(tài)，每30分鐘做一次重估參數(shù)，具體估計結(jié)果如圖24：圖24：參數(shù)估計值基本保持穩(wěn)定經(jīng)觀察發(fā)現(xiàn)，由于Tick級數(shù)據(jù)上噪聲比較明顯，在做最小二乘估計時會早成一定誤差，呈現(xiàn)一定波動，故取其移動平均值作為當前的估計值。3.估計參數(shù)、和在式中需要首先假定參數(shù)、已知時才能解出，因此，本文將參數(shù)與、合并估計，優(yōu)化方向和定位期權(quán)歷史數(shù)據(jù)計算的隱含波動率。具體地，首先在2018-03-12至2018-03-15時間段中，用代表不同執(zhí)行價格期權(quán)在不同時

34、刻的隱含波動率，在一定范圍內(nèi)選取參數(shù)對（，），代入式（10）求接觸參數(shù)，選取解中最小的正實數(shù)作為的參數(shù)估計，將（，）帶入式（6-8）得到對應(yīng)執(zhí)行價格的模型波動率，設(shè)定目標函數(shù)為：圖25為2018-03-15 13:29:34，不同（，）下的模型誤差圖像：圖25：不同，下模型誤差由于選取的為Tick級數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)量較大，且數(shù)據(jù)間一般維持一個最小變動，故誤差圖像的地步會相對平坦。另外，由于標的期貨數(shù)據(jù)是經(jīng)過修正相關(guān)數(shù)據(jù)獲得的，存在一定的誤差，有些情況下會呈現(xiàn)不規(guī)律狀態(tài)，會給參數(shù)估計造成一定的影響，體現(xiàn)了目前該模型在國內(nèi)期權(quán)市場應(yīng)用的局限性。（3） 波動率曲線分析根據(jù)當日的參數(shù)估計結(jié)果，將參數(shù)代入SA

35、BR模型的波動率解析公式，中，求接出每日不同時刻對應(yīng)的隱含波動率，結(jié)果如圖26：2018-03-12波動率擬合 2018-03-13波動率擬合2018-03-14波動率擬合 2018-03-15波動率擬合圖26：SABR模型基于當日收盤前參數(shù)對隱含波動率的擬合上述模型預(yù)測結(jié)果，明顯可以刻畫出隱含波動率的微笑狀態(tài)，其中由于交易量較小，市場活躍性低，波動率聚集現(xiàn)象比較明顯，同時也反映出SABR模型對上證50ETF期權(quán)隱含波動率具有較好的擬合效果。五、總結(jié)與展望（一）實證總結(jié)SABR模型座位一種對局部隨機波動率模型的改進，由于其能夠較好的解決局部波動率在波動率微笑動態(tài)預(yù)測方面的問題，較好的擬合波動率

36、曲面，受到金融業(yè)內(nèi)的廣泛應(yīng)用。本文主要基于國內(nèi)新興場內(nèi)期權(quán)市場，選取50ETF期權(quán)合約，通過修正50指數(shù)期貨數(shù)據(jù)來獲取對應(yīng)標的的近似遠期價格，應(yīng)用SABR模型對上證50ETF期權(quán)市場的波動率進行了分析，實現(xiàn)了SABR模型在上證50ETF期權(quán)上的應(yīng)用，最終給出了穩(wěn)定的參數(shù)估計結(jié)果，驗證了該模型在國內(nèi)期權(quán)市場的適用性，同事，也證明了在當前的市場結(jié)構(gòu)下，中國新興期權(quán)市場定價的合理性。（二）本文的不足與展望在上述分析中存在一定的不足，具體如下：(1) 由于在模型參數(shù)估計過程中，標的遠期價格是通過數(shù)據(jù)的相關(guān)性修復(fù)獲取，與實際結(jié)果可能存在一定的誤差，從而導(dǎo)致參數(shù)估計誤差的累積，進而帶來模型風(fēng)險；(2) 在數(shù)據(jù)選擇上，由于選取的Tick級數(shù)據(jù)，有一定的噪聲，參數(shù)的穩(wěn)定性任需進一步改