數(shù)字邏輯武慶生2

1、種取值，故稱雙值變量。 前面介紹了數(shù)字信號是離散信號，其變量只有兩電路表示：高電位(UH) ; 低電位(UL)雙值代數(shù)表示：兩個(gè)符號“ 1 ” ;“ 0 ”這些變量進(jìn)行三種基本運(yùn)算： 定義：邏輯代數(shù)是用于處理有限多個(gè)邏輯變量的邏輯乘(與)、 邏輯加(或)、 邏輯反(非)定義：開關(guān)閉合為1，斷開為0。燈亮為1，燈滅為0。一、與運(yùn)算FE AB真值表 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 A B FFE AB邏輯電路稱為與門，與門的邏輯符號為：即 Ff(A，B)AB=ABAB 。實(shí)現(xiàn)邏輯乘的 ABF曾用符號 A B&F國標(biāo)符號ABF美國符號滅為0。定義：開關(guān)閉合為1，斷開為0。燈亮

2、為1，燈F 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 A B F真值表F 號為：實(shí)現(xiàn)這種邏輯關(guān)系的電路稱或門，或門的邏輯符即：Ff(A，B)ABAB ABF+曾用符號 1ABF國標(biāo)符號ABF美國符號1 00 1A F真值表 1國標(biāo)符號美國符號門的邏輯符號為：完成非運(yùn)算的電路稱非門。函數(shù)式為：FA 。非 曾用符號二、邏輯函數(shù)的相等00011101010100111010 01 三、交換律00 A11 AAAAAAA0 AA1 AAABBAABBAAA 1AA 0四、結(jié)合律六、摩根律BAABBABA證：用真值表法證明BAABABABBABABA七、常用公式AABABABAAABAAB冗余律添

3、加律CAABBCCAABBCAABCCAABBCAACAAB)(CAABBCACAB)1 ()1 (CAABHGEBCDCAAB)(BCHGEBCDCAAB)(CAABBCCAABHGEDBCCAAB)(1 一、代入規(guī)則例:BAAB令 代入式中,則BCBCBABCABCA)(A的位置都代之以同一個(gè)邏輯函數(shù)F,則等式仍然成任何一個(gè)含有變量A的邏輯等式,如果將所有出現(xiàn)立。以此推廣得到摩根律的一般形式: DCBAABCD DCBADCBA二、反演規(guī)則。另外不屬于單個(gè)變量上的反號號應(yīng)保持不變。符號的優(yōu)先順序不變(先與后或，除非另加括號。) 使用反演規(guī)則時(shí)，應(yīng)注意保持原函數(shù)式中的運(yùn)算即由),(CBAF求

4、),(CBAF+0 11 0+AAAA)(EDCBAF)(EDCBAF例2：CBAF(直接去掉反號)CBAFCBACBACBAF)(其實(shí)反演規(guī)則就是摩根律的推廣。例3：)(CABBAF按反演規(guī)則可直接寫出：)(CABBAF若用摩根律則先對原函數(shù)兩邊取非，得：)()()()(CABBACABBACABBACABBAF三、對偶規(guī)則(2)若兩個(gè)邏輯式相等，則它們的對偶式也相等。(1)若一個(gè)定理是正確的，則其對偶式也一定正確。結(jié)論:由 F(A，B，C )求F(A，B，C ) 0 1 1 0+AAAA(3) (F)=F四、展開規(guī)則一個(gè)多變量函數(shù)F=f(X1,X2,Xn)，可以將其中任意一個(gè)變量，例如X1

5、分離出來，并展開成：),(21nXXXfF ), 1 (), 0(), 1 (), 0(21212121nnnnXXfXXXfXXXfXXXfX 上述算式之正確性的驗(yàn)證只要令X1=0或1分別代入便知。例：試化簡下列函數(shù)：)(EADACAABAF)0)(1 (01 1)1)(0(10 0EDCBAEDCBAF解：)()0)(1 (01 10EBAEDCBA1 FFAB A A B B11ABF FAB F A A B B1ABFAAABBB C C CDDD F F F=AB+CD 1 +1 ABFCD&1n 異或的邏輯符號:n =1AABBFFFAB曾用符號美國符號國標(biāo)符號=1AABB

6、FFFAB曾用符號美國符號國標(biāo)符號n同或的邏輯符號:AF BBABA 異或AF BBAAB同或異或和同或的真值表如下:A B A B A BA A=0 A A=11 A=A 0 A=A(2) 0 A=A 1 A=A1 1=0 0 0=10 0=0 1 1=1(1) 1 0=0 1=1 0 1=1 0=0A A=1 A A=0A B=B A A B=B A(4)結(jié)合律 A (B C)=(A B) C A (B C)=(A B) C(5)分配律 =ABC+ABC=A(B C)=左式證: 右式=ABAC+ABAC=AB(A+C)+AC(A+B)A(B C)=AB AC若 A B=C 則 A C=B

7、或 B C=A 若 A B=C 則 A C=B 或 B C=A(6) 因果互換律=A+BC+BC=A+(B C)=左式 證:右式=A+BA+C+(A+B)(A+C)=ABC+A+BC 正邏輯 負(fù)邏輯與門 或門或門 與門與非門 或非門或非門 與非門異或門 同或門同或門 異或門n 如:正邏輯與門 F=AB ,對應(yīng)負(fù)邏輯的或門 F=A+BABF&1ABF例：正邏輯的與門等價(jià)負(fù)邏輯的或門0V 0V 0V 0 0 0 1 1 1 0V +3.6V 0V 0 1 0 1 0 1 +3.6V 0V 0V 1 0 0 0 1 1 +3.6V +3.6V +3.6V 1 1 1 0 0 0電平表 正邏輯

8、 負(fù)邏輯輸入 輸出 真值表 真值表VA VB VF A B F A B F一、基本與或式二、基本或與式如:CBCACBAF),(如:)(),(BACACBAF 借助摩根律，以上兩種基本式可以變換成：與非-與非式；或與非式；或非或式以及或非或非式；與或非式；與非與式。一、標(biāo)準(zhǔn)與或式(積之和)、最小項(xiàng)和式二、標(biāo)準(zhǔn)或與式(和之積)、最大項(xiàng)積式現(xiàn)一次，且僅出現(xiàn)一次。數(shù)式的每一項(xiàng)中都必須以原變量或反變量的形式出* 標(biāo)準(zhǔn)式:n個(gè)變量組成的函數(shù)式，每個(gè)變量在函如:ABCCBACABCBAF),(如:)()(),(CBACBACBACBAFCABCBABCACBACBAF),(6532mmmm)6 , 5 ,

9、 3 , 2(m* 最小項(xiàng)的幾個(gè)性質(zhì)CBAm 5(3)0jimm)(ji 即任意兩個(gè)不相同的最小項(xiàng)的乘積為0。1201niim(4) 所有最小項(xiàng)的和為1。ABBABABAmmmmBAF3210),(1)()(AABBABBA(6) 任一個(gè)n變量的最小項(xiàng)，都有n個(gè)相鄰的最小項(xiàng)。n)()(),(CBACBACBACBAF)4,2,0(M420MMM 最大項(xiàng)的幾個(gè)性質(zhì)：(1) 在輸入變量的任何取值下,必有一個(gè)，且僅有一個(gè)最大項(xiàng)的值為0。如三變量ABC101，則：0)(CBA1jiMM)(ji )()()(),(BABABABABAF0)(AABABAAABBAA例:BABCACCBBABCAABAC

10、BACBA)(5) iimM 例:CBAm0CBACBAmM00(4) 只有一個(gè)變量不同的兩個(gè)最大項(xiàng)的乘積等于各相同變量之和,即消去一個(gè)變量。A B C 最小項(xiàng) 編號 最大項(xiàng) 編號1 1 1 m7 M71 1 0 m6 M61 0 1 m5 M5 1 0 0 m4 M40 1 1 m3 M30 1 0 m2 M20 0 1 m1 M10 0 0 m0 M0CBACBACBACBACBACBACBACBACBACBACBACBACBACBACBACBA一、代數(shù)轉(zhuǎn)換法 用代數(shù)法求一個(gè)函數(shù)的“最小項(xiàng)之和”的形式： 第一步：將函數(shù)式變換成一般“與或”表達(dá)式)(BBAA 第二步：反復(fù)使用 ，將表達(dá)式中所

11、有非最小項(xiàng)的“與項(xiàng)”擴(kuò)展成最小項(xiàng)用代數(shù)法求一個(gè)函數(shù)的最大項(xiàng)之積的形式：非最大項(xiàng)的“或項(xiàng)”擴(kuò)展成最大項(xiàng)。 第二步：反復(fù)利用 把表達(dá)式中)(BABAAABCBBACBAF)(),(ABCBBAABCBBACBAF)()(),(ABBCCABA(1)將表達(dá)式變換成“與或”表達(dá)式。解:(2)變換為標(biāo)準(zhǔn)積之和)7 , 6 , 3 , 1 , 0(76310mmmmmmABCCABBCACBACBA)()()()(CCABAABCBBCACCBAF解: 例2. 將 變換成最大項(xiàng)之CBCAABCBAF),(積。(1)將表達(dá)式變換成“或與”表達(dá)式CBCAABCBCAABCBAF),(CBCABA)()()(C

12、CABABCABA)()()(CCACBABCABBA)()(CCABABCABA)()(CBACBABA)7 , 6 , 3()()()()()(763MMMMCBACBACBACBACBACBACBAF例1:將 表示成最小項(xiàng)之和。CBBACBAF),(二、真值表轉(zhuǎn)換法CBBACBAF),()6 , 5 , 4 , 2(),(mCABCBACBACBACBAF)7 , 3 , 1 , 0()()()(),(MCBACBACBACBACBAF例2. 將上式表示成最大項(xiàng)之積。ABAABBACBACBAACBACAB例2：BAFEBCDABA)(3、消去法，利用定理BABAA例3DCADCCADC

13、ACAAABA2、吸收法，利用定理4、配項(xiàng)法，利用AA1及1 AACACBBACBABCACBACBACBBABACCCBAACBBABACBCBBA)()(例4：CDBCDBACDBACDABAACDBACBAF)()(),(ABDCDCABDCABABDCABABDCBAF)(1 )(),(BAEDCBAEDCBAEDCBAEDCBAEDCBAEDCBEEADCBADCBAF)(),(例1: DBCBADCDBCBADEBAADCDBCBACDEBACBADCDBCBACDEBADBCACBADCDBCBACF)()()()(DCACBBABAFBCAACDBCAACDBCBAABF二、或

14、與式化簡)()(CBAFF例2:)()()(CACBBABAFCBABACBABABACABBABACABCBABAF)(CBABAFF)()(F1AB001m0m1m2m31F2ABC01101101m0m1m2m3m4m5m6m700ABCDF30001000110101111m0m1m2m3m4m5m6m7m8m9m10m11m12m13m14m15BCDEF40001111000011110m0m1m2m3m4m5m6m7m8m9m10m11m12m13m14m15BCDEF40001111000011110m16m17m18m19m20m21m22m23m24m25m26m27m28

15、m29m30m31A=0A=1F5ABCDE00011110000 001 011010 110 111 101 100m0m1m2m3m4m5m6m7m8m9m10m11m12m13m14m15m16m17m18m19m20m21m22m23m24m25m26m27m28m29m30m31最小項(xiàng)為1時(shí)的變量取值(1為原變量,0為反變量)。n 圖形兩側(cè)標(biāo)注的“0”和“1” 表示使對應(yīng)小方格內(nèi)為1的是原變量。 在卡諾圖中,變量取值為0的是反變量，變量取值 2、按1將卡諾圖中所有的“1”格圈完。3、將所得到的乘積項(xiàng)相加，得到函數(shù)的最簡與或式。0011ABF11110011ABF211BAF1BAB

16、AF2(1)、圈“1”所得的邏輯函數(shù)表達(dá)式0001101101BCAF3111111CBCABAF30001101101BCAF3111111BACBCAF30001101101BCAF411111ABBCACCBAF40001101101BCAF51111CF 50001101101BCAF6111111CAF60001101101BCAF711111111F7=111111111DCAABCCDACBAF811111111DCBDF911111111DBBDF101111111111DCBCADBAF1111111111DBDBF12(2)、圈“0”所得的邏輯函數(shù)表達(dá)式11111111)(

17、)()(13CBADCADCACBAF11111111)(14DBDBF1111111111)()(15DCBDBACAF1、把與或式化成標(biāo)準(zhǔn)與或式填入卡諾圖例1)7 , 6 , 5 , 3(7653)()(mmmmmBCACBACABABCBCABBACCCABBCAACABF0001101101BCAF1111化簡后: F=AC+AB+BC)7 , 6 , 5 , 3(mFABCD00FCDBDCBACABDCBDCBAF),(CBACDCBF3、化簡為或與式)(DCBAFFCDABF4、利用禁止邏輯化簡邏輯函數(shù)0001101101BCAF111CBACBCACmCF3 即任何邏輯函數(shù)乘上

18、不屬于它的最小項(xiàng)之非，其邏輯功能不變。禁止項(xiàng)0001101101BCAF111禁止項(xiàng)以上圖為例，則：75137513375133)()()(mmmmmmmmmmmmmmFF事實(shí)上，禁止邏輯也可由幾個(gè)最小項(xiàng)組成，例如可將函數(shù)F寫成 ，只要 和 都不屬jimmFjmim于原函數(shù)F即可。這種利用禁止項(xiàng)化簡邏輯函數(shù)的方法，稱為禁止法或阻塞法，寫出的表達(dá)式叫做禁止邏輯式。例1：試用禁止法化簡下列邏輯函數(shù)：CBAACDDBADABDCBAF),(CBAACDDBADABDCBAF),(DCABADABCBF)(91111111例2:試用禁止法化簡下列邏輯函數(shù))14,13,11,10, 7 , 4 , 1

19、, 0(),(mDCBAFABCDF000001011010111111111111禁止項(xiàng)BCDADCABBDACCAF)(BDCACABDCACABDCACABDCACABDACCAF)()()()()(的化簡步驟如下:列表化簡法適用于計(jì)算機(jī)排序處理.列表化簡法(3) 找出函數(shù)的必要質(zhì)蘊(yùn)涵項(xiàng)(4) 找出函數(shù)的最小覆蓋. 例:F(A,B,C,D)=m(0,2,3,5,7,8,10,11,13,15)再相鄰,故合并到此結(jié)束.比較;合并,形成第()欄.由于第()欄的與項(xiàng)不用以上同樣的方法,對第()欄的全部與項(xiàng)進(jìn)行蘊(yùn)涵項(xiàng)，用 表示。表中凡是未打“ ”標(biāo)記的“ 與”項(xiàng),即函數(shù)的質(zhì)),2, 1 ,0(niPi 該函數(shù)的全部質(zhì)蘊(yùn)涵項(xiàng)為:P3=m(0,2,8,10)=BDP2=m(2,3,10,11)=BC 必要質(zhì)蘊(yùn)涵項(xiàng)，在這些質(zhì)蘊(yùn)涵項(xiàng)右上角加“*”標(biāo)記。(3)找出包含 的各行，這些行對應(yīng)的質(zhì)蘊(yùn)涵項(xiàng)即為必要最小項(xiàng),標(biāo)記：(2)表中凡是只有一個(gè)“”號的列對應(yīng)的最小項(xiàng)即覆蓋時(shí)參考。最小項(xiàng),在該列打“