高等代數(shù)與解析幾何課程教學大綱上海交通大學數(shù)學系

1、高等代數(shù)與空間解析幾何課程教學大綱課程名稱：高等代數(shù)與空間解析幾何課程代碼：學 分 / 學 時：10學分 / 160學時適用專業(yè)：數(shù)學專業(yè)先修課程：開課單位：理學院數(shù)學系一、課程性質(zhì)和教學目標（需明確各教學環(huán)節(jié)對人才培養(yǎng)目標的貢獻）（一）本課程的性質(zhì)、地位和作用高等代數(shù)與空間解析幾何是數(shù)學系兩門最重要的專業(yè)基礎課之一，其主要內(nèi)容有多項式理論與線性代數(shù)兩部分。本課程的教學目的是使學生初步掌握基本的、系統(tǒng)的代數(shù)知識和抽象的嚴格的代數(shù)方法，為后繼課程如近世代數(shù)、常微分方程、概率論與數(shù)理統(tǒng)計、泛函分析、拓撲學、代數(shù)幾何、計算方法等提供必須具備的代數(shù)知識，也為進一步學習數(shù)學的各門課程所需要的抽象思維能力

2、提供一定的訓練。高等代數(shù)與空間解析幾何課程是中學代數(shù)的繼續(xù)和提高。通過本課程的教學，要使學生對中學代數(shù)的理解得到實質(zhì)性的提高和升華。本課程在教學中要求學生確切理解高等代數(shù)與空間解析幾何中的基本概念，不僅要正確掌握這些概念的內(nèi)涵，還要了解這些概念的實際背景與對將來各課程的應用前景和對人類文明的推動作用。對于一些基本的重要概念，還要求了解它們產(chǎn)生與發(fā)展的過程及概念推廣的原則；與中學代數(shù)有直接聯(lián)系或者平行的概念，要求學生能與中學數(shù)學中相應概念加以比較，并以新的高級觀點理解、認識已有的概念和知識體系。對于高等代數(shù)與空間解析幾何的基本理論，要求學生理解基本理論的結(jié)果，掌握典型定理的論證方法或思想，同時要

3、求學生能了解嚴謹?shù)睦碚擉w系，體會建立這種體系的抽象的代數(shù)方法。通過本課程的教學，要求學生能顯著地提高應用基本概念、基本理論作抽象論證的能力；熟練地掌握基本的論證方法與基本的計算方法，特別要掌握基本的線性代數(shù)計算法。（二）本大綱制訂的依據(jù)根據(jù)我校建設世界一流大學的宏偉藍圖，數(shù)學系的目標應當是培養(yǎng)“科學大師”。本大綱即是以此標準而制定，較原有大綱在教學內(nèi)容上有了大幅度擴充和加深，對學生的能力要求也有較大提高。（三）大綱內(nèi)容選編原則與要求1鑒于我校尚無符合要求的自己的教材，以往的大綱往往以與北京大學數(shù)學系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組編高等代數(shù)（高等教育出版社第三版）為藍本制定，授課教師爺往往以自己的偏好

4、選擇講授內(nèi)容，具有較大隨意性。2為了避免教學上的難點過于集中，個別定理(如Jordan標準型)的掌握可以側(cè)重于定理的結(jié)果和證明定理的方法，以達到掌握基本的代數(shù)方法的目的。3每一章的重點內(nèi)容要重點講解，在講清概念的基礎上，通過適當?shù)木毩暎ㄕn堂討論、作業(yè)、習題課、自學課外資料、大作業(yè)、問題探討）以達到掌握高等代數(shù)中常用的計算方法、基本運算中的技能和技巧以及提高綜合計算和解決問題的能力的目的。難點要逐步引入，分散講解。4本大綱列入部分帶“ ”的內(nèi)容，供選用，不計算入總課時。本課程各教學環(huán)節(jié)對人才培養(yǎng)目標的貢獻見下表。知識能力素質(zhì)要求各教學環(huán)節(jié)的貢獻度課堂講授課堂討論自學小組大作業(yè) 作業(yè)考試課堂整體貢

5、獻度知識知識體系理解一元多項式,掌握矩陣與線性方程組、線性空間與內(nèi)積空間、矩陣與線性變換的基本理論能力清晰思考和用語言文字準確表達的能力 發(fā)現(xiàn)、分析和解決問題的能力批判性思考和創(chuàng)造性工作的能力與不同類型的人合作共事的能力至少一種外語的應用能力終生學習的能力組織管理能力獲取整理信息的能力*素質(zhì)志存高遠、意志堅強刻苦務實、精勤進取身心和諧、視野開闊思維敏捷、樂于創(chuàng)新二、課程教學內(nèi)容及學時分配（含習題課、作業(yè)、討論等的內(nèi)容及要求）教學內(nèi)容學時課堂教學討論作業(yè)及要求自學及要求團組大作業(yè)及要求第一章 多項式數(shù)域、一元多項式、帶余除法、最大公因式、多項式的根、代數(shù)基本定理、實數(shù)域和有理數(shù)域上的多項式、多元

6、多項式24學時18學時一元多項式與整數(shù)的關(guān)系每堂課均布置課后作業(yè)或自學內(nèi)容；一周后請若干完成作業(yè)優(yōu)秀的同學上臺講解，師生共同點評將一元多項式的除法推廣到二元多項式(查閱相關(guān)文獻)并總結(jié)研究一元多項式的除法如何推廣到多元多項式(查閱相關(guān)文獻)并總結(jié)第二章 行列式矩陣、行列式及性質(zhì)、Cramer法則10學時8學時行列式不同定義之比較布置課后作業(yè)查閱資料，了解排列、置換與置換群等第三章 矩陣矩陣的運算、可逆矩陣、矩陣的秩、矩陣的初等變換與初等矩陣、分塊矩陣、矩陣與線性方程組16學時12學時運算的本質(zhì)是什么？布置課后作業(yè)第四章 線性空間向量及其線性運算、線性空間的定義、線性相關(guān)與線性無關(guān)、秩、維數(shù)與基

7、、線性方程組的解、坐標與基變換、子空間與商空間、子空間的和與直和、線性空間的同同態(tài)與同構(gòu)28學時22學時線性空間的定義的若干問題；數(shù)學的抽象性布置課后作業(yè)線性空間在現(xiàn)代科技的例子是否有必要拓展線性空間的定義？如何拓展？第五章 線性變換線性變換的定義、線性變換的運算、線性變換的矩陣、線性變換的和核與像、特征值與特征向量、特征子空間、特征多項式與最小多項式、可對角化的線性變換、不變子空間。30學時24學時線性變換在現(xiàn)代科技中的例子布置課后作業(yè)利用特征值與特征向量的理論，研究整數(shù)矩陣方程X2=I等；有何啟發(fā)？線性變換的微分學、Jacobi猜想第六章多項式矩陣多項式矩陣及標準型、矩陣相似的條件、復方陣

8、的Jordan標準形12學時10學時布置課后作業(yè)第七章 歐氏空間歐式空間的定義、標準正交基、歐氏空間的同構(gòu)、共軛變換、實正規(guī)變換、正交變換、對稱變換、酉空間、復正規(guī)變換、酉變換及Hermite變換、向量積與混合積28學時22學時布置課后作業(yè)第八章 雙線性函數(shù)與實二次型對偶空間、雙線性函數(shù)、實二次型及標準形、正定二次型、二次型在分析中的應用、二次型在解析幾何中的應用。26學時20學時布置課后作業(yè)利用矩陣及整系數(shù)二次型的理論，研究四平方數(shù)定理及CS的15定理.第九章 仿射幾何與射影幾何仿射幾何、基本仿射性質(zhì)、仿射同構(gòu)、仿射幾何基本定理、射影幾何、射影幾何的基本關(guān)聯(lián)定理、射影同構(gòu)、對偶、對偶幾何、射

9、影二次型30學時24學時幾何學與代數(shù)學的關(guān)系布置課后作業(yè)仿射幾何與射影幾何的歷史三、教學方法以課堂教學為主，結(jié)合試題課、自學、數(shù)學作業(yè)。四、考核及成績評定方式建議最終成績由平時作業(yè)與課堂參與度、期中考試、考試成績等部分組合而成。各部分所占比例建議如下：平時作業(yè)和上課參與程度：30%。期中考試：30%期末考試 40%五、教材及參考書目教材：1. 藍以中，高等代數(shù)簡明教程（上、下），第二版，北京大學出版社，2010 參考書目：1. 姚慕生、吳泉水，高等代數(shù)學，復旦大學出版社；2. 張賢科、許莆華，高等代數(shù)學，清華大學出版社，2004；3. 許以超，線性代數(shù)與矩陣論，高等教育出版社，2008；4.

10、龔升，線性代數(shù)五講，科學出版社，2005；5. 孟道驥，高等代數(shù)與空間解析幾何(第二版)，科學出版社，2007。6. 蘇步青，高等幾何講義， 上?？萍汲霭嫔?，1964；7. 方德植、陳奕培， 射影幾何，高等教育出版社，1983；8. A N. 柯斯特利金，代數(shù)學引論（第二版），高等教育出版社，2010；9 S K. Berberian, Linear algebra. Oxford, USA:Oxford Univ. Press,1992.10. W C. Bwown, A second course in linear algebra, New York: J. Wiley & Sons, 198811. K W. Gruenberg, A J. Weir, Linear geometry (2nd Edition). New York: Springer-Verlag, 1997.12. D H. Griffel, Linear algebra and its applications, New York: Marcei Dekker, 1985.13. P.Lax, Linear algebra and its applications,2ndEdition, New York: J. Wiley &am