高考文科數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)專題復(fù)習(xí)

1、高考文科數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)專題復(fù)習(xí)第1講變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的計算知 識 梳 理1.導(dǎo)數(shù)的概念(1)函數(shù)yf(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)f(x0)或y|xx0，即f(x0).(2)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù).2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)yf(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線yf(x)在點P(x0，f(x0)處的切線的斜率，過點P的切線方程為yy0f(x0)(xx0).3.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式4.導(dǎo)數(shù)的運算法則若f(x)，g(x)存在，則有：考點一導(dǎo)數(shù)的計算【例1】 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)yexln x；(2)yx；解(1)y(ex)ln xex(ln x)exln xexex.(2)因

2、為yx31，所以y(x3)(1)3x2.【訓(xùn)練1】 (1) 已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f(x)，且滿足f(x)2x·f(1)ln x，則f(1)等于()A.e B.1 C.1 D.e解析由f(x)2xf(1)ln x，得f(x)2f(1)，f(1)2f(1)1，則f(1)1.答案B (2)(2015·天津卷)已知函數(shù)f(x)axln x，x(0，)，其中a為實數(shù)，f(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù).若f(1)3，則a的值為_. (2)f(x)aa(1ln x).由于f(1)a(1ln 1)a，又f(1)3，所以a3.答案(2)3考點二導(dǎo)數(shù)的幾何意義命題角度一求切線方程【例2】 (2

3、016·全國卷)已知f(x)為偶函數(shù)，當x0時，f(x)ex1x，則曲線yf(x)在點(1，2)處的切線方程是_.解析(1)設(shè)x>0，則x<0，f(x)ex1x.又f(x)為偶函數(shù)，f(x)f(x)ex1x，所以當x>0時，f(x)ex1x.因此，當x>0時，f(x)ex11，f(1)e012.則曲線yf(x)在點(1，2)處的切線的斜率為f(1)2，所以切線方程為y22(x1)，即2xy0. 答案2xy0【訓(xùn)練2】(2017·威海質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)xln x，若直線l過點(0，1)，并且與曲線yf(x)相切，則直線l的方程為()A.xy10 B

4、.xy10 C.xy10 D.xy10 (2)點(0，1)不在曲線f(x)xln x上，設(shè)切點為(x0，y0).又f(x)1ln x，解得x01，y00.切點為(1，0)，f(1)1ln 11.直線l的方程為yx1，即xy10.答案B命題角度二求切點坐標【例3】 (2017·西安調(diào)研)設(shè)曲線yex在點(0，1)處的切線與曲線y(x>0)上點P處的切線垂直，則P的坐標為_.解析由yex，知曲線yex在點(0，1)處的切線斜率k1e01.設(shè)P(m，n)，又y(x>0)的導(dǎo)數(shù)y，曲線y(x>0)在點P處的切線斜率k2.依題意k1k21，所以m1，從而n1.則點P的坐標為(

5、1，1).答案(1，1)【訓(xùn)練3】若曲線yxln x上點P處的切線平行于直線2xy10，則點P的坐標是_.解析(1)由題意得yln xx·1ln x，直線2xy10的斜率為2.設(shè)P(m，n)，則1ln m2，解得me，所以neln ee，即點P的坐標為(e，e). 答案(1)(e，e)命題角度三求與切線有關(guān)的參數(shù)值(或范圍)【例4】 (2015·全國卷)已知曲線yxln x在點(1，1)處的切線與曲線yax2(a2)x1相切，則a_.解析由yxln x，得y1，得曲線在點(1，1)處的切線的斜率為ky|x12，所以切線方程為y12(x1)，即y2x1.又該切線與yax2(a

6、2)x1相切，消去y，得ax2ax20，a0且a28a0，解得a8.答案8【訓(xùn)練4】1.函數(shù)f(x)ln xax的圖象存在與直線2xy0平行的切線，則實數(shù)a的取值范圍是_.函數(shù)f(x)ln xax的圖象存在與直線2xy0平行的切線，即f(x)2在(0，)上有解，而f(x)a，即a在(0，)上有解，a2，因為a0，所以22，所以a的取值范圍是(，2).答案 (2)(，2)2.點P是曲線x2yln x0上的任意一點，則點P到直線yx2的最小距離為()A.1 B. C. D.解析點P是曲線yx2ln x上任意一點，當過點P的切線和直線yx2平行時，點P到直線yx2的距離最小，直線yx2的斜率為1，令

7、yx2ln x，得y2x1，解得x1或x(舍去)，故曲線yx2ln x上和直線yx2平行的切線經(jīng)過的切點坐標為(1，1)，點(1，1)到直線yx2的距離等于，點P到直線yx2的最小距離為.答案D第2講導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用知 識 梳 理函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系函數(shù)yf(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則：(1)若f(x)>0，則f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；(2)若f(x)<0，則f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；(3)若f(x)0，則f(x)在這個區(qū)間內(nèi)是常數(shù)函數(shù).考點一利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性【例1】設(shè)f(x)ex(ax2x1)(a0)，試討論f(x)的單調(diào)性.解f(x)ex(ax2x1)e

8、x(2ax1)exax2(2a1)x2ex(ax1)(x2)aex(x2)當a時，f(x)ex(x2)20恒成立，函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增；當0a時，有2，令f(x)aex(x2)0，有x2或x，令f(x)aex(x2)0，有x2，函數(shù)f(x)在和(2，)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當a時，有2，令f(x)aex(x2)0時，有x或x2，令f(x)aex(x2)0時，有2x，函數(shù)f(x)在(，2)和上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減.【訓(xùn)練1】(2016·四川卷節(jié)選)設(shè)函數(shù)f(x)ax2alnx，g(x)，其中aR，e2.718為自然對數(shù)的底數(shù).(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)證明：當x&g

9、t;1時，g(x)>0.(1)解由題意得f(x)2ax(x>0).當a0時，f(x)<0，f(x)在(0，)內(nèi)單調(diào)遞減.當a>0時，由f(x)0有x，當x時，f(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當x時，f(x)>0，f(x)單調(diào)遞增.(2)證明令s(x)ex1x，則s(x)ex11.當x>1時，s(x)>0，所以ex1>x，從而g(x)>0. 考點二求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【例2】 (2015·重慶卷改編)已知函數(shù)f(x)ax3x2(aR)在x處取得極值.(1)確定a的值；(2)若g(x)f(x)ex，求函數(shù)g(x)的單調(diào)減區(qū)間.解(1

10、)對f(x)求導(dǎo)得f(x)3ax22x，因為f(x)在x處取得極值，所以f0，即3a·2·0，解得a.(2)由(1)得g(x)ex故g(x)exexexx(x1)(x4)ex.令g(x)<0，得x(x1)(x4)<0.解之得1<x<0或x<4.所以g(x)的單調(diào)減區(qū)間為(1，0)，(，4).【訓(xùn)練2】 已知函數(shù)f(x)ln x，其中aR，且曲線yf(x)在點(1，f(1)處的切線垂直于直線yx.(1)求a的值；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.解(1)對f(x)求導(dǎo)得f(x)，由f(x)在點(1，f(1)處的切線垂直于直線yx知f(1)a2，解得

11、a.(2)由(1)知f(x)ln x，(x>0).則f(x).令f(x)0，解得x1或x5.但1(0，)，舍去.當x(0，5)時，f(x)<0；當x(5，)時，f(x)>0.f(x)的增區(qū)間為(5，)，減區(qū)間為(0，5).考點三已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)【例3】 (2017·西安模擬)已知函數(shù)f(x)ln x，g(x)ax22x(a0).(1)若函數(shù)h(x)f(x)g(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍；(2)若函數(shù)h(x)f(x)g(x)在1，4上單調(diào)遞減，求a的取值范圍.解(1)h(x)ln xax22x，x>0.h(x)ax2.若函數(shù)h(x)在(0，)上存

12、在單調(diào)減區(qū)間，則當x>0時，ax2<0有解，即a>有解.設(shè)G(x)，所以只要a>G(x)min.(*)又G(x)1，所以G(x)min1.所以a>1.即實數(shù)a的取值范圍是(1，).(2)由h(x)在1，4上單調(diào)遞減，當x1，4時，h(x)ax20恒成立，(*)則a恒成立，所以aG(x)max.又G(x)1，x1，4因為x1，4，所以，所以G(x)max(此時x4)，所以a.當a時，h(x)x2，x1，4，h(x)0，當且僅當x4時等號成立.(*)h(x)在1，4上為減函數(shù).故實數(shù)a的取值范圍是.【訓(xùn)練3】 已知函數(shù)f(x)x3ax1.(1)若f(x)在R上為增函數(shù)

13、，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(1，1)，求a的值.解(1)因為f(x)在R上是增函數(shù)，所以f(x)3x2a0在R上恒成立，即a3x2對xR恒成立.因為3x20，所以只需a0.又因為a0時，f(x)3x20，當且僅當x0時取等號.f(x)x31在R上是增函數(shù).所以實數(shù)a的取值范圍是(，0.(2)f(x)3x2a.當a0時，f(x)0，f(x)在(，)上為增函數(shù)，所以a0不合題意.當a>0時，令3x2a<0，得<x<，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為，依題意，1，即a3.第3講導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值知 識 梳 理1.函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系(1)函數(shù)的極小

14、值與極小值點:若函數(shù)f(x)在點xa處的函數(shù)值f(a)比它在點xa附近其他點的函數(shù)值都小，f(a)0，而且在點xa附近的左側(cè)f(x)<0，右側(cè)f(x)>0，則點a叫做函數(shù)的極小值點，f(a)叫做函數(shù)的極小值.(2)函數(shù)的極大值與極大值點:若函數(shù)f(x)在點xb處的函數(shù)值f(b)比它在點xb附近其他點的函數(shù)值都大，f(b)0，而且在點xb附近的左側(cè)f(x)>0，右側(cè)f(x)<0，則點b叫做函數(shù)的極大值點，f(b)叫做函數(shù)的極大值.2.函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系(1)函數(shù)f(x)在a，b上有最值的條件:如果在區(qū)間a，b上函數(shù)yf(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值

15、和最小值.(2)求yf(x)在a，b上的最大(小)值的步驟考點一用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值命題角度一根據(jù)函數(shù)圖象判斷極值【例1】 設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f(x)，且函數(shù)y(1x)f(x)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是()A.函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(1)B.函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(1)C.函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(2)D.函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(2)解析由題圖可知，當x<2時，1x>3，此時f(x)>0；當2<x<1時，0<1x<3，此時f(x)<0；當1<x&l

16、t;2時，1<1x<0，此時f(x)<0；當x>2時，1x<1，此時f(x)>0，由此可以得到函數(shù)f(x)在x2處取得極大值，在x2處取得極小值.答案D命題角度二求函數(shù)的極值【例2】 求函數(shù)f(x)xaln x(aR)的極值.解由f(x)1，x>0知：(1)當a0時，f(x)>0，函數(shù)f(x)為(0，)上的增函數(shù)，函數(shù)f(x)無極值；(2)當a>0時，令f(x)0，解得xa.又當x(0，a)時，f(x)<0；當x(a，)，f(x)>0，從而函數(shù)f(x)在xa處取得極小值，且極小值為f(a)aaln a，無極大值.綜上，當a0時，

17、函數(shù)f(x)無極值；當a>0時，函數(shù)f(x)在xa處取得極小值aaln a，無極大值.命題角度三已知極值求參數(shù)【例3】 已知關(guān)于x的函數(shù)f(x)x3bx2cxbc在x1處有極值，試求b，c的值.解f(x)x22bxc，由f(x)在x1處有極值，可得解得或若b1，c1，則f(x)x22x1(x1)20，f(x)沒有極值.若b1，c3，則f(x)x22x3(x3)(x1).當x變化時，f(x)與f(x)的變化情況如下表：x(，3)3(3，1)1(1，)f(x)001f(x)極小值12極大值當x1時，f(x)有極大值，滿足題意.故b1，c3為所求.【訓(xùn)練1】 設(shè)函數(shù)f(x)ax32x2xc(a

18、>0).(1)當a1，且函數(shù)圖象過(0，1)時，求函數(shù)的極小值；(2)若f(x)在R上無極值點，求a的取值范圍.解由題意得f(x)3ax24x1.(1)函數(shù)圖象過(0，1)時，有f(0)c1.當a1時，f(x)3x24x1.令f(x)>0，解得x<或x>1；令f(x)<0，解得<x<1.所以函數(shù)在和(1，)上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減.故函數(shù)f(x)的極小值是f(1)132×12111.(2)若f(x)在R上無極值點，則f(x)在R上是單調(diào)函數(shù)，故f(x)0或f(x)0恒成立.當a0時，f(x)4x1，顯然不滿足條件；當a0時，f(x)0或f(1

19、)0恒成立的充要條件是(4)24×3a×10，即1612a0，解得a.綜上，a的取值范圍是.考點二利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值【例4】 (2017·鄭州模擬)已知函數(shù)f(x)(xk)ex.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)求f(x)在區(qū)間0，1上的最小值.解(1)由f(x)(xk)ex，得f(x)(xk1)ex，令f(x)0，得xk1.當x變化時，f(x)與f(x)的變化情況如下表：x(，k1)k1(k1，)f(x)0f(x)ek1所以，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(，k1)；單調(diào)遞增區(qū)間是(k1，).(2)當k10，即k1時，函數(shù)f(x)在0，1上單調(diào)遞增，所以f(x)在區(qū)

20、間0，1上的最小值為f(0)k，當0<k1<1，即1<k<2時，由(1)知f(x)在0，k1)上單調(diào)遞減，在(k1，1上單調(diào)遞增，所以f(x)在區(qū)間0，1上的最小值為f(k1)ek1.當k11，即k2時，函數(shù)f(x)在0，1上單調(diào)遞減，所以f(x)在區(qū)間0，1上的最小值為f(1)(1k)e.綜上可知，當k1時，f(x)mink；當1<k<2時，f(x)minek1；當k2時，f(x)min(1k)e.【訓(xùn)練2】 設(shè)函數(shù)f(x)aln xbx2(x>0)，若函數(shù)f(x)在x1處與直線y相切，(1)求實數(shù)a，b的值；(2)求函數(shù)f(x)在上的最大值.解(1

21、)由f(x)aln xbx2，得f(x)2bx(x>0).函數(shù)f(x)在x1處與直線y相切.解得(2)由(1)知f(x)ln xx2，則f(x)x，當xe時，令f(x)>0，得<x<1，令f(x)<0，得1<x<e，f(x)在上單調(diào)遞增，在(1，e)上單調(diào)遞減，f(x)maxf(1).考點三函數(shù)極值與最值的綜合問題【例5】 已知函數(shù)f(x)(a>0)的導(dǎo)函數(shù)yf(x)的兩個零點為3和0.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若f(x)的極小值為e3，求f(x)在區(qū)間5，)上的最大值.解(1)f(x).令g(x)ax2(2ab)xbc，由于ex>

22、0.令f(x)0，則g(x)ax2(2ab)xbc0，3和0是yg(x)的零點，且f(x)與g(x)的符號相同.又因為a>0，所以3<x<0時，g(x)>0，即f(x)>0，當x<3或x>0時，g(x)<0，即f(x)<0，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(3，0)，單調(diào)遞減區(qū)間是(，3)，(0，).(2)由(1)知，x3是f(x)的極小值點，所以有解得a1，b5，c5，所以f(x).因為f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(3，0)，單調(diào)遞減區(qū)間是(，3)，(0，).所以f(0)5為函數(shù)f(x)的極大值，故f(x)在區(qū)間5，)上的最大值取f(5)和f(0

23、)中的最大者，又f(5)5e5>5f(0)，所數(shù)f(x)在區(qū)間5，)上的最大值是5e5.【訓(xùn)練3】 (2017·衡水中學(xué)月考)已知函數(shù)f(x)ax1ln x(aR).(1)討論函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)的極值點的個數(shù)；(2)若函數(shù)f(x)在x1處取得極值，x(0，)，f(x)bx2恒成立，求實數(shù)b的最大值.解(1)f(x)的定義域為(0，)，f(x)a.當a0時，f(x)0在(0，)上恒成立，函數(shù)f(x)在(0，)上單調(diào)遞減.f(x)在(0，)上沒有極值點.當a>0時，由f(x)<0，得0<x<；由f(x)>0，得x>，f(x)在上遞減，在上遞增

24、，即f(x)在x處有極小值.綜上，當a0時，f(x)在(0，)上沒有極值點；當a>0時，f(x)在(0，)上有一個極值點.(2)函數(shù)f(x)在x1處取得極值，f(1)a10，則a1，從而f(x)x1ln x.因此f(x)bx21b，令g(x)1，則g(x)，令g(x)0，得xe2，則g(x)在(0，e2)上遞減，在(e2，)上遞增，g(x)ming(e2)1，即b1.故實數(shù)b的最大值是1.第4講導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的綜合應(yīng)用考點一利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)【例1】 (2015·全國卷)已知函數(shù)f(x)ln xa(1x).(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)當f(x)有最大值，且最大值大于2a2

25、時，求a的取值范圍.解(1)f(x)的定義域為(0，)，f(x)a.若a0，則f(x)>0，所以f(x)在(0，)上單調(diào)遞增.若a>0，則當x時，f(x)>0；當x時，f(x)<0.所以f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.(2)由(1)知，當a0，f(x)在(0，)上無最大值；當a>0時，f(x)在x取得最大值，最大值為f lnaln aa1.因此f >2a2等價于ln aa1<0.令g(a)ln aa1，則g(a)在(0，)上單調(diào)遞增，g(1)0.于是，當0<a<1時，g(a)<0；當a>1時，g(a)>0.因此，a的取

26、值范圍是(0，1).【訓(xùn)練1】設(shè)f(x)x3x22ax.(1)若f(x)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求a的取值范圍；(2)當0a2時，f(x)在1，4上的最小值為，求f(x)在該區(qū)間上的最大值.解(1)由f(x)x2x2a2a，當x時，f(x)的最大值為f2a；令2a0，得a.所以，當a時，f(x)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間.(2)已知0a2，f(x)在1，4上取到最小值，而f(x)x2x2a的圖象開口向下，且對稱軸x，f(1)112a2a0，f(4)1642a2a120，則必有一點x01，4，使得f(x0)0，此時函數(shù)f(x)在1，x0上單調(diào)遞增，在x0，4上單調(diào)遞減，f(1)2a2a0，f(4)

27、15;64×168a8aa1.此時，由f(x0)xx020x02或1(舍去)，所以函數(shù)f(x)maxf(2).考點二利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點或方程的根【例2】 (2015·北京卷)設(shè)函數(shù)f(x)kln x，k>0.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)證明：若f(x)存在零點，則f(x)在區(qū)間(1，上僅有一個零點.(1)解由f(x)kln x(k>0)，得x>0且f(x)x.由f(x)0，解得x(負值舍去).f(x)與f(x)在區(qū)間(0，)上的情況如下：x(0，)(，)f(x)0f(x)所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0，)，單調(diào)遞增區(qū)間是(，).f(x)在

28、x處取得極小值f().(2)證明由(1)知，f(x)在區(qū)間(0，)上的最小值為f().因為f(x)存在零點，所以0，從而ke.當ke時，f(x)在區(qū)間(1，)上單調(diào)遞減，且f()0，所以x是f(x)在區(qū)間(1，上的唯一零點.當k>e時，f(x)在區(qū)間(0，)上單調(diào)遞減，且f(1)>0，f()<0，所以f(x)在區(qū)間(1，上僅有一個零點.綜上可知，若f(x)存在零點，則f(x)在區(qū)間(1，上僅有一個零點.【訓(xùn)練2】 (2016·北京卷節(jié)選)設(shè)函數(shù)f(x)x3ax2bxc.(1)求曲線yf(x)在點(0，f(0)處的切線方程；(2)設(shè)ab4，若函數(shù)f(x)有三個不同零點

29、，求c的取值范圍.解(1)由f(x)x3ax2bxc，得f(x)3x22axb.因為f(0)c，f(0)b，所以曲線yf(x)在點(0，f(0)處的切線方程為ybxc.(2)當ab4時，f(x)x34x24xc，所以f(x)3x28x4.令f(x)0，得3x28x40，解得x2或x.當x變化時，f(x)與f(x)的變化情況如下：x(，2)2f(x)00f(x)cc所以，當c>0且c<0，存在x1(4，2)，x2，x3，使得f(x1)f(x2)f(x3)0.由f(x)的單調(diào)性知，當且僅當c時，函數(shù)f(x)x34x24xc有三個不同零點.考點三導(dǎo)數(shù)在不等式中的應(yīng)用命題角度一不等式恒成立問題【例3】 (2017·合肥模擬)已知f(x)xln x，g(x)x3ax2x2.(1)如果函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為，求函數(shù)g(x)的解析式；(2)對任意x(0，)，2f(x)g(x)2恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.解(1)g(x)3x22ax1，由題意3x22ax1<0的解集是，即3x22ax10的兩根分別是，1.將x1或代入方程3x22ax10，得a1.所以g(x)x3x2x2.(2)由題意2xln x3x22ax12在x(0，)上恒成立，可得aln xx，設(shè)h(x)ln xx，則h(x)，令h(x)0，