線性代數(shù)：1-6 行列式的計(jì)算

1、 除了一些除了一些低階低階行列式行列式(如二階、三階如二階、三階)或有很多或有很多零零元素元素的高階行列式可直接用行列式定義計(jì)算外，大多數(shù)行列式的高階行列式可直接用行列式定義計(jì)算外，大多數(shù)行列式的計(jì)算需靈活利用行列式的的計(jì)算需靈活利用行列式的性質(zhì)性質(zhì)及其展開及其展開法則法則。 先從第先從第1列（列（1，1）位置的元素開始，如果該元素為）位置的元素開始，如果該元素為0, 先將第先將第1行與其行與其它行交換使得（它行交換使得（1，1）位置的元素不為）位置的元素不為0; 然后把第然后把第1行分別乘以適當(dāng)?shù)臄?shù)加行分別乘以適當(dāng)?shù)臄?shù)加到其它各行到其它各行,使得第使得第1列列（1，1）位置下方的元素全化為）

2、位置下方的元素全化為0。 如此繼續(xù)下去如此繼續(xù)下去,直至使它成為直至使它成為, 這時主對角線上元素的這時主對角線上元素的乘積就是所求行列式的值乘積就是所求行列式的值. 再從第再從第2列（列（2，2）位置的元素開始，如果該元素為）位置的元素開始，如果該元素為0, 先將第先將第2行與行與下方行交換使得（下方行交換使得（2，2）位置的元素不為）位置的元素不為0; 然后把第然后把第2行分別乘以適當(dāng)?shù)男蟹謩e乘以適當(dāng)?shù)臄?shù)加到下方各行數(shù)加到下方各行,使得第使得第2 列列（2，2）位置下方的元素全化為）位置下方的元素全化為0。112114124611242100112053240313011123000203

3、035114 1125011203000503 00011200011250392 93222232222322223D 計(jì)算例例1 19222932292329223D 解：1222132291232122312220100900100001=9累加累加提公因子提公因子特點(diǎn)：各行元素特點(diǎn)：各行元素 之和相等之和相等一般地，可以計(jì)算abbbabbba(1)(1) ()nanb ab1111120213141111111234020000300004用主對角線上的元用主對角線上的元素化去爪的下支素化去爪的下支1111121314D 例例2 2 計(jì)算計(jì)算 n 階行列式階行列式nnaaaaD1111

4、111111111111321不為零。，其中naaa21準(zhǔn)準(zhǔn)三角形行列式的公式：三角形行列式的公式：111111111111111111110000kkkkkkkkrrrrrrrkkrrrbbbbbbbbaaaaaaaacccc111111111111111111110000kkrrkrrrrrrkkrkkkkrkbbbbbbbbaaaaaaaacccc或或 計(jì)算叉形計(jì)算叉形(或回形或回形)行列式行列式6,abababDcdcdcd其中未寫出的元素為其中未寫出的元素為 0 .3112513420111533D5111111550 405526按按零較多零較多的行（列）展開。的行（列）展開。51

5、111110315530010516251500 00nxyxyDxyxyyx 計(jì)算 階行列式 解：按第一列展開，得xyxyxyxxDnnnyx1) 1(yxyxyxyyn1) 1( 證明：證明： (Vandermonde) 行列式行列式222212311111233121111nnnnnnnnVaaaaaaaaaaaa1()ijjinaa 記21314113242243431)()()()()()()()()()nnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa（對對 n 作數(shù)學(xué)歸納法作數(shù)學(xué)歸納法.當(dāng)當(dāng) n = 2 時，時，結(jié)論成立結(jié)論成立.設(shè)對于設(shè)對于 n - 1 階的范德蒙德行列式結(jié)論階的

6、范德蒙德行列式結(jié)論成立成立，現(xiàn)在來看現(xiàn)在來看 n 階范德蒙德行階范德蒙德行列式列式的情形的情形.對對Vn降階：自下而上降階：自下而上, 每行減去前行的每行減去前行的 a1 倍倍,有有2211211Vaaaa2131122221231 3112121221231 310010111nnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa123222212311111231111nnnnnnnnaaaaVaaaaaaaa2131122221231 3112121221231 31nnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa按第1列展開232222131123

7、22223111()()()nnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaa各列提取公因子n - 1 階范德蒙階范德蒙德德行列式行列式213112()()()()nijj i naaaaaaaa 應(yīng)用歸納假設(shè). )(1nijjiaa例如：例如：2134111141916812764D （）)34)(14)(13)(24)(23)(21 (12148111?1927121341664D （）123 2 122223333123411111(1)(2)(3)(4)(1)(2)(3)(4)aaaaaaaaaaaa （）1233332222(1)(2)(3)(4)(1)(2)(3)(4)(3)123411

8、11aaaaaaaaDaaaa1111111112222222223333333332abbccaabcabbccaabcabbccaabc證明例1. 叉形行列式的其它解法叉形行列式的其它解法25253535232332322nD法法1第第n+1列加到第列加到第n列列,第第2n列加到第列加到第1列列. 1010353511行減第行第nnn5) 1(2323233232322nD212323232232n212323332332n224nD229nD225nD422)5(nD623)5(nD21)5(Dnn)5(523322D法法27527527527527nD 17nD按第一行展開725725752521107nnDD2. 三線形行列式三線形行列式21107nnnDDD)5