附不等式約束的平差理論

1、附不等式約束的平差理論經(jīng)典平差模型的擴(kuò)展中南大學(xué)朱建軍中南大學(xué)n中南大學(xué)由 湖南醫(yī)科大學(xué)、長(zhǎng)沙鐵道學(xué)院與中南工業(yè)大學(xué)于2000年合并組建而成n全國(guó)首批211學(xué)校，985n國(guó)家一級(jí)重點(diǎn)學(xué)科6個(gè)，其他二級(jí)重點(diǎn)學(xué)科12個(gè)，總共25個(gè)n兩院院士15人，博士導(dǎo)師574人，教授及正高職稱(chēng)898人，n擁有博士學(xué)位授權(quán)一級(jí)學(xué)科17個(gè)，博士學(xué)位授權(quán)二級(jí)學(xué)科102個(gè)，博士后科研流動(dòng)站22個(gè)n2000年以來(lái)，中南大學(xué)獲國(guó)家科技三大獎(jiǎng)37項(xiàng)，獲獎(jiǎng)數(shù)居全國(guó)高校第二位，其中一等獎(jiǎng)3項(xiàng)，居全國(guó)高校第一位中南大學(xué)測(cè)繪學(xué)科n1953年籌建n1956年招收本科生n1959年招收研究生n1986年在全國(guó)首批獲工程測(cè)量博士學(xué)位授予權(quán)

2、n2003年獲測(cè)繪科學(xué)與技術(shù)一級(jí)學(xué)科博士點(diǎn)n2003年獲批測(cè)繪科學(xué)與技術(shù)博士后流動(dòng)站n2003年與湖南省國(guó)土資源廳合建湖南省地理空間信息工程技術(shù)研究中心n2006年湖南省重點(diǎn)學(xué)科n2008年獲湖南省精密工程測(cè)量與形變?yōu)暮ΡO(jiān)測(cè)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室學(xué)科點(diǎn)的情況n博士點(diǎn)：大地測(cè)量學(xué)與測(cè)量工程攝影測(cè)量與遙感地圖制圖與地理信息工程國(guó)土資源遙感光電測(cè)量與信息處理n碩士點(diǎn)：大地測(cè)量學(xué)與測(cè)量工程攝影測(cè)量與遙感地圖制圖與地理信息工程國(guó)土資源遙感光電測(cè)量與信息處理地圖學(xué)與地理信息系統(tǒng)土地資源管理目錄p附不等式平差問(wèn)題的提出p主要研究進(jìn)展p附不等式約束平差精度實(shí)驗(yàn)p存在的主要問(wèn)題附不等式平差問(wèn)題的提出經(jīng)典平差模型n條件平差：

3、AVWn間接平差模型：LVBXn附未知參數(shù)的條件平差：AVBXWn附條件的間接平差：LVBXCXW經(jīng)典平差模型 p概括模型：附有限制條件的條件平差模型 p最小二乘解為：p其中 CWXCLXBAV)(21122LSCccTbbLSECLSXCWNCNXXCNCNBNBNAQANbbTccaaTbbTaa11,經(jīng)典平差模型n模型：n附不等式約束的平差問(wèn)題LVBXCXW看看這個(gè)模型怎么辦？不等式約束n平差前有先驗(yàn)信息可以用不等式約束表示：n滑坡一般是沿某個(gè)方向；n大橋一般是沿上下方向振動(dòng)；n高層建筑沿水平方向擺動(dòng)；n船舶、火車(chē)、飛機(jī)等動(dòng)態(tài)物體模型的軌跡一定是連續(xù)的，并且其高程起伏正常情況下在一定的范

4、圍內(nèi)；n方差估計(jì)中，方差是正的（大于0）n某某目標(biāo)位于某某目標(biāo)的東或南等等n這些先驗(yàn)信息是可以用來(lái)改善平差結(jié)果的統(tǒng)一模型p考慮不等式約束，概括模型可擴(kuò)展為：p擴(kuò)展的模型的意義n克服等式限制條件的局限性 n改善平差結(jié)果，提高平差精n測(cè)量平差理論的發(fā)展 cWXCLXBAV兩大問(wèn)題p與經(jīng)典測(cè)量平差方法相比不等式約束存在如下兩大難題：n解的顯示表達(dá)n解的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)分析主要研究進(jìn)展附不等式約束平差的主要算法不等式約束平差經(jīng)典算法p最小距離方法 p有效約束法p橢圓約束法 pBayes法 p基于TK條件的算法p虛擬觀(guān)測(cè)方法最小距離方法n對(duì)于附不等式約束的平差模型n在最小二乘準(zhǔn)則下，有LVBXCXWmin()(

5、)()Tf XBXLP BXLCXW最小距離方法n令n上式可變換成：n這是一個(gè)典型的最小距離問(wèn)題，可利用最優(yōu)方法中的最小距離方法求解。1()()min TXXXQXXCXW11(),()TTTXXB PBB PL QB PB最小距離方法p評(píng)述：p可以得到最后解，但其算法與傳統(tǒng)的平差算法相差很遠(yuǎn)，特別需要測(cè)量工作者掌握傳統(tǒng)平差知識(shí)以外的其它知識(shí)。p不能得到解向量與觀(guān)測(cè)向量之間的顯式表達(dá)式，因此也就不能進(jìn)行精度評(píng)定。有效約束法n附不等式約束的平差模型在其最優(yōu)解處，必定出現(xiàn)兩種情況：n第一種情況下，約束條件對(duì)最優(yōu)解起了約束作用，稱(chēng)為有效約束，第二種情況下，約束對(duì)最優(yōu)解不發(fā)生作用，稱(chēng)為無(wú)效約束。 11

6、C XW22C XW有效約束法n如果我們事先通過(guò)某種方法能找到起作用的有效約束。那么我們可以將不等式約束模型轉(zhuǎn)換為等式約束模型 ：n該方法的關(guān)鍵是尋找有效約束11LVBXC XW有效約束法p有效約束法做為二次規(guī)劃常用算法，它是通過(guò)類(lèi)似窮舉法實(shí)現(xiàn)對(duì)有效果約束的尋找，因此當(dāng)不等式約束條件數(shù)量大時(shí)，該方法的計(jì)算量也隨之增大。p雖然許文緣教授對(duì)該算法進(jìn)行了改進(jìn)，但仍然很難滿(mǎn)足大規(guī)模運(yùn)算的需要。橢圓約束法n該方法的思路是將所有不等式約束合并、轉(zhuǎn)換成一個(gè)橢圓約束：n或n然后在最大最小準(zhǔn)則下，可以求得解為：n KTCXWXXT00()() KTCXWXXXXTPLBNXPLBTkPBBXXTTT101210

7、)(橢圓約束法p1、解是有偏的，并且不一定能滿(mǎn)足不等式.p2、它只適用于約束條件能形成閉區(qū)間的情形.p3、沒(méi)有一種有效的方法將不等式轉(zhuǎn)換成橢圓約束，因而實(shí)用性差.貝葉斯方法n基本思想：不等式約束代表的是對(duì)參數(shù)的一種先驗(yàn)知識(shí)，這種先驗(yàn)知識(shí)可以用某種概率分布來(lái)描述。n在觀(guān)測(cè)誤差服從正態(tài)分布的假設(shè)下，有：elseWGXSXfXWGX00/1)() , 0(, f(X)X ,20eQNeeBXL貝葉斯方法n按Bayes方法，可求得參數(shù)的驗(yàn)后分布：n基于后驗(yàn)分布的貝葉斯估計(jì)可以獲得四種不同的估計(jì)：基于均值基于中位數(shù)基于眾數(shù)損失函數(shù)最小點(diǎn)12011exp()() if 2(|)0 elseTVLBXQLB

8、XCXWsf X Lp基于眾數(shù)的貝葉斯估計(jì)可以表示為 pp圖(a)密度最大值位于最小二乘解，因此貝葉斯估值就是p圖(b)密度最大值位于，因此貝葉斯估值就是p圖(c)密度最大值位于，因此貝葉斯估值就是1w2w2-3-(a)x 1w2w2-3-(b)x x 1w2-3-(c)x XX1wX 1wX 2wX 2wX n基于均值的貝葉斯解為 ：n其方差為：WGXdxLXfXX)/(dXXXQXXCXXT)()(exp1dXLXfXXXXXDTWGX)/()()(dXXXQXXCXXXXXTTWGX)()(exp)(1p貝葉斯估計(jì)的優(yōu)點(diǎn)在于不僅能夠利用先驗(yàn)信息改善解的結(jié)果。從使得方差較小方面來(lái)說(shuō)，基于均

9、值的貝葉斯估計(jì)也優(yōu)于傳統(tǒng)的解法。p缺點(diǎn)是不能得到參數(shù)與觀(guān)測(cè)值的顯式表達(dá)，如果參數(shù)維數(shù)較高時(shí)，積分計(jì)算較復(fù)雜，還需進(jìn)一步改進(jìn)?；贙uhnTucker條件的不等式約束平差算法 n令由約束極值問(wèn)題中的KuhnTucker條件知,在最優(yōu)解處必有： ()0g XCXW1()()0()00kjjjf XgXCXWn在庫(kù)恩塔克條件約束的前提下 ，把不等式約束換成等式，根據(jù)求極值的方法可以得到：n聯(lián)合KuhnTucker條件，可按下式求拉格朗日乘子1()()TTC B PBCCXWn最后求得解為：1()()TTC B PBCCXW()00CXW1()TTXXB PBC 虛擬誤差方程法vLCXWXCWXCWX

10、CWXCWXCc122112211211vLCXvXXn根據(jù)最小二乘原理：21vvVCEnmnnBWXLXLcxPQP001*VBxLn組合間接方程為：iik v00 v0cPn這里的關(guān)鍵是虛擬觀(guān)測(cè)的權(quán)：n結(jié)果*11()TTxxcxxxQQQ CPCQ CCQ*1()TTTcccXXA PA C PCC P WCx經(jīng)典平差模型的擴(kuò)展與統(tǒng)一 n經(jīng)典平差統(tǒng)一模型可擴(kuò)展為n根據(jù)上述虛擬觀(guān)測(cè)方法，及一系列推算，統(tǒng)一模型平差的結(jié)果可表示為：cWXCLXBAV122()()TTIC L SL Sb bcccL SXXNCP CCPWC X經(jīng)典平差模型的擴(kuò)展與統(tǒng)一算法過(guò)程n1、迭代法：)( 2)(1)(2)

11、(LSckcTkcTbbLSkICLSCXWPCCPCNXXn2、轉(zhuǎn)換法：)( 212LSccTcTbbLSICLSCXWPCCPCNXXqCNXXTabcLSICLS12 wMqhWCXqCCNWXCcLSTabccICLS 21經(jīng)典平差模型的擴(kuò)展與統(tǒng)一算法0),(0qhqhTCPCNNcTbbabcLNBNXaaTbbLS112TabcCCNM1根據(jù)K-T條件，上式還滿(mǎn)足 其中：經(jīng)典平差模型的擴(kuò)展與統(tǒng)一算法過(guò)程0q0wwh w如果顯然此時(shí)即為無(wú)效約束。這樣，我們假設(shè)由幾個(gè)正數(shù)組成，是一個(gè)非負(fù)變量，這樣重新表示如下：wMqhWCXqCCNWXCcLSTabccICLS 21wdMqh附不等式

12、約束平差精度的模擬實(shí)驗(yàn)?zāi)M實(shí)驗(yàn) n圖示為一理想邊坡 n建立了三個(gè)約束條件n在不同約束條件下，（1）無(wú)約束條件（2）約束條件a，（3）約束條件b，(4)約束條件a和b，用蒙特卡羅模擬方法模擬2000次觀(guān)測(cè))(0)(02/35 . 0)(02/35 . 0cdbddaddxyxyxdbda （1）無(wú)約束條件n（2）約束條件an（3）約束條件bn(4)約束條件a和bnn實(shí)驗(yàn)的結(jié)論n假設(shè)隨機(jī)誤差服從正態(tài)分布，附不等式約束的平差的結(jié)果并不像我們常見(jiàn)的等式約束平差的結(jié)果那樣服從正態(tài)分布，它的參數(shù)的約束區(qū)間再也不是一個(gè)完整的空間，而是在約束條件所規(guī)定的區(qū)域內(nèi)，因此它的結(jié)果也就不再服從正態(tài)區(qū)域，其實(shí)這一點(diǎn)也可

13、以從bayes估計(jì)的角度來(lái)解釋。n從統(tǒng)計(jì)意義上來(lái)說(shuō)，附不等式約束平差的估計(jì)結(jié)果一般是有偏的。但這種有偏是誤差不對(duì)稱(chēng)造成，如果誤差對(duì)稱(chēng)那么估計(jì)就會(huì)無(wú)偏，或無(wú)誤差時(shí)，估計(jì)也是無(wú)偏的。n從幾何意義上可以認(rèn)為不滿(mǎn)足約束條件的局部最優(yōu)解通過(guò)映射的方式投影到相應(yīng)的約束邊界上，而這些約束邊界直線(xiàn)就是有效約束條件。n無(wú)約束平差的精度不等式平差的精度等式約束平差的精度應(yīng)用前景n在病態(tài)問(wèn)題中的應(yīng)用n在邊坡和建筑物監(jiān)測(cè)中的應(yīng)用n在粗差探測(cè)中的應(yīng)用在病態(tài)問(wèn)題中的應(yīng)用n病態(tài)問(wèn)題產(chǎn)生的原因是設(shè)計(jì)矩陣存在復(fù)共線(xiàn)關(guān)系，為了消除法方程奇異，我們必須附加先驗(yàn)信息 ，不等式約束條件就是其中的一種算例分析nn法方程系數(shù)陣的條件數(shù)為，

14、病態(tài)性嚴(yán)重。未知參數(shù)有5個(gè)，它們的真值為，觀(guān)測(cè)噪聲按，由軟件模擬產(chǎn)生。本文由軟件模擬產(chǎn)生的一組噪聲0000. 50000. 20000. 20000. 30000. 40000. 30100. 20000. 20000. 20000. 40000. 35000. 20000. 20000. 10000. 57000.125000. 10000. 30000. 70000. 34900. 04000. 00000. 30000. 10000. 14000. 85000. 00000. 42000. 30000. 10000. 75000. 00000. 45000. 20000. 14000.

15、20000. 10000. 10000. 10000. 25000. 80500. 10000. 10000. 40000. 25000. 90000. 10000. 10000. 50000. 2A5102892. 1), 0(20IN10小結(jié)p當(dāng)約束條件比較松時(shí)，橢球約束法的計(jì)算結(jié)果不及傳統(tǒng)的嶺跡法的結(jié)果，p但隨著約束條件的苛刻橢球約束法的結(jié)果將明顯由于傳統(tǒng)嶺估計(jì)的方法。p特別是約束條件越精確、越苛刻，用橢球約束法估計(jì)得到的結(jié)果的越小，即越接近真值，同時(shí)精度也越高。p約束條件的越苛刻表示先驗(yàn)信息越多和越可靠，因而解越準(zhǔn)確，這一規(guī)律符合實(shí)際。p使用橢球約束法的前提是約束條件可以定義到一個(gè)凸集的橢球約束區(qū)域里面。在邊坡和建筑物監(jiān)測(cè)中的應(yīng)用p目前對(duì)GPS大型建筑物變形監(jiān)測(cè)，在GPS單歷元模糊度解算中對(duì)許多先驗(yàn)信息沒(méi)有利用或只有