成本最小化(范里安微觀經(jīng)濟)

1、19、成本最小化Cost Minimization19.1 成本最小化（Cost Minimization）min,x xw xw x1201 12 2 f xxy(,).12 s.t.求解可得：),(),(21*2*221*1*1ywwxxywwxx，被稱為有條件的要素需求函數(shù)有條件的要素需求函數(shù)或派生的要素需求派生的要素需求（conditional demands for inputs 1 and 2）。注意：注意：在計算成本時，應(yīng)確保所有生產(chǎn)成本都已包括在內(nèi)，并且確保被計量的一切數(shù)據(jù)在時間標(biāo)度上是可比較的。),(),(21*2*221*1*1ywwxxywwxxc wwyw xwwyw

2、xwwy(, )(, )(, ).*121 1122 212 成本函數(shù)成本函數(shù)成本函數(shù)c(w1,w2,y)就是指當(dāng)要素價格為（w1,w2 ）時，生產(chǎn)y單位產(chǎn)量的最小成本。等成本線（Iso-cost Lines）n所有成本相等的要素投入組合點的軌跡。w xw xc1 12 2 xwwxcw21212 .經(jīng)整理可得：斜 率： -w1/w2縱截距：c/ w2c w1x1+w2x2c” w1x1+w2x2c c”x1x2Slopes = -w1/w2.n成本最小化問題可重新表述重新表述為：求出等產(chǎn)量線上的某一點使之與盡最低的等成本線相聯(lián)系。x1x2f(x1,x2) yx1*x2*最優(yōu)選擇等成本線斜率w

3、1/w2等產(chǎn)量曲線最優(yōu)條件：*12 11*2122(,)(,)MP xxwTRSMP xxw 柯布道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)yf xxxx (,)./1211 322 3求使其成本最小化的要素投入組合。已知 (x1*,x2*) 滿足以下兩個條件：滿足以下兩個條件：yxx ()()*/*/11 322 3（a） wwyxyxxxxxxx121212 322 311 321 3211 32 32 /( / )()()(/ )()().*/*/*/*/*（b）yxx ()()*/*/11 322 3wwxx12212 *.(a)(b)由由 (b)可知可知,xwwx21212*. yxx ()()*/*/11

4、322 3wwxx12212 *.(a)(b)由由 (b)可知可知,xwwx21212*. 將其代入（將其代入（a）可得：可得：yxwwxwwx ().*/*/*11 31212 3122 3122yxx ()()*/*/11 322 3wwxx12212 *.(a)(b)由由 (b)可知可知,xwwx21212*. 將其代入（將其代入（a）可得：可得：yxwwxwwx ().*/*/*11 31212 3122 3122xwwy1212 32*/ xwwx21212* xwwy1212 32*/ 這是企業(yè)對要素2的條件需求。由由xwwwwywwy212212 3121 3222*/ 是企業(yè)對

5、要素1的條件需求。可知 xwwyxwwywwywwy112212212 3121 322*/(, ),(, ),. 要素的條件需求曲線x1x2yyyxy1*() *1()x yxy1*() 產(chǎn)量擴展曲線產(chǎn)量擴展曲線x1*yyyyxy1*() xy1*() *1()x y幾個例子完全替代完全互補柯布道格拉斯技術(shù)完全互補技術(shù)*12xxy1212(, )c w w ywyw y最小成本將是：21,minxxy x1x2min4x1,x2 y4x1 = x2x1x24x1 = x2min4x1,x2 yx1x2 x1*= y/4x2* = y4x1 = x2min4x1,x2 yc wwyw xwwy

6、w xwwywyw ywwy(, )(, )(, ).*121 1122 212121244 完全替代技術(shù)1212( ,)y x xxxx1x212ww若，廠商只用要素2122( , )c w w ywyx1x212ww若，廠商只用要素1121( , )c w w ywy1212(,)min,c w wyw y w y12min,w wy柯布道格拉斯技術(shù)1212( ,)abf x xAx x11212(, )aba ba ba bc w wykwwy其成本函數(shù)為：19.2 顯示的成本最小化n假設(shè)有兩組要素價格和，12(,)ttw w12(,)ssw w12(,)ttx x12(,)ssxx假定

7、上述兩種選擇都生產(chǎn)同樣的產(chǎn)量y,如果每種選擇都屬于成本最小化的選擇，則有：與此相關(guān)的廠商的選擇為和1 1221 122tttttstsw xw xw xw x11221122ssssststw xw xw xw x（1）（2）如果廠商總是選擇成本最小的方法生產(chǎn)y單位的產(chǎn)量，那么式（1）和（2）必定滿足。這被稱為成本最小化成本最小化弱公理（弱公理（WACM）。n將式（2）左右兩邊乘以1，加到式（1）上，整理可得：111222()()tsttstwwxwwx111222()()tsstsswwxwwx11220wxwx（3）若20w，式（3）就變成：110wx這表明要素1的有條件的要素需求曲線向下

8、傾斜。19.3 規(guī)模報酬和成本函數(shù)n廠商技術(shù)的規(guī)模報酬特性決定了平均成本函數(shù)。n假設(shè)一個追求成本最小化的廠商初始產(chǎn)量為y。n問題：如果產(chǎn)量增加為2y ，廠商的平均成本如何變化？不變的規(guī)模報酬和平均成本n在不變的規(guī)模報酬技術(shù)下，產(chǎn)量加倍，要求所有的要素投入量也加倍。n總成本加倍。nAC（TC/y）保持不變。規(guī)模報酬遞減和平均成本n在遞減的規(guī)模報酬技術(shù)下，產(chǎn)量加倍，要求所有的要素投入量增加大于2倍。n總成本的增加超過2倍。nAC（TC/y）遞增。規(guī)模報酬遞增和平均成本n在遞增的規(guī)模報酬技術(shù)下，產(chǎn)量加倍，要求所有的要素投入量小于2倍。n總成本的增加小于2倍。nAC（TC/y）遞減。y規(guī)模報酬遞減規(guī)模

9、報酬遞減AC(y)規(guī)模報酬不變規(guī)模報酬不變規(guī)模報酬遞增規(guī)模報酬遞增遞減的規(guī)模報酬和總成本y$y2yc(y)c(2y)斜率斜率 = c(2y)/2y = AC(2y).斜率斜率 = c(y)/y = AC(y).y$y2yc(y)c(2y)c(y)y$y2yc(y)c(2y) 斜率斜率 = c(2y)/2y = AC(2y). 斜率斜率 = c(y)/y = AC(y).遞增的規(guī)模報酬和總成本y$y2yc(y)c(2y)c(y)y$c(y)y2yc(y) c(2y)=2c(y) 斜率斜率 = c(2y)/2y = 2c(y)/2y = c(y)/yAC(y) = AC(2y).不變的規(guī)模報酬和總

10、成本19.4 長期成本和短期成本Long-Run & Short-Run Total Costsn短期成本函數(shù)短期成本函數(shù)指在只有可變生產(chǎn)要素可以調(diào)整的情況下，生產(chǎn)既定水平的產(chǎn)量的最小成本；n長期成本函數(shù)長期成本函數(shù)表示在一切生產(chǎn)要素都可調(diào)整的情況下，生產(chǎn)既定產(chǎn)量的最小成本。n長期成本最小化問題：n短期成本最小化問題：min,x xw xw x1201 12 2 f xxy(,).12 minxw xw x101 12 2 f xxy(,).12 長期成本函數(shù)S.t .S.t .n要素1的短期要素需要函數(shù)為：2222111),(xxyxwwxxs這表明按任何既定的要素價格和產(chǎn)量選擇廠商

11、所能雇傭的工人數(shù)量通常取決于工廠的規(guī)模。22221112),(),(xwyxwwxwxycsn長期要素需要函數(shù)為：),(),(21*2*221*1*1ywwxxywwxx長期成本函數(shù)為：),(),()(21222111ywwxwywwxwycsn短期成本最小問題實際上是在短期成本最小問題實際上是在x2 = x2的約的約束條件下求長期成本最小。束條件下求長期成本最小。n長期成本函數(shù)可以寫成：長期成本函數(shù)可以寫成：表示當(dāng)所有要素都可變動時的最小成本，恰表示當(dāng)所有要素都可變動時的最小成本，恰好就是要素好就是要素2固定在使長期成本最小化的水固定在使長期成本最小化的水平上時的最小成本平上時的最小成本。短

12、期成本函數(shù)與長期成本函數(shù)的關(guān)系)(,()(2yxycycsn如果廠商對要素2的長期選擇恰好是x2 ，則生產(chǎn)產(chǎn)量y所需的長期總成本和短期總成本相同。n如果廠商對要素2的長期選擇不是x2，則在短期約束條件x2 = x2將阻礙廠商達(dá)到長期生產(chǎn)成本，從而導(dǎo)致生產(chǎn)相同的產(chǎn)量y,廠商的短期生產(chǎn)成本大于長期生產(chǎn)成本。x1x2yyy長期產(chǎn)量擴展曲線長期產(chǎn)量擴展曲線 x1 x1 x1 x2 x2 x2長期成本x1x2yyy長期產(chǎn)量擴展曲線長期產(chǎn)量擴展曲線c yw xw xc yw xw xc yw xw x()()() 1 12 21 12 21 12 2 x1 x1 x1 x2 x2 x2x1x2yyy短期產(chǎn)量擴展曲線短期產(chǎn)量擴展曲線 x1 x1 x1 x2 x2 x2短期成本x1x2yyy短期產(chǎn)量擴展曲線短期產(chǎn)量擴展曲線 x1 x1 x1 x2 x2 x2短期成本c yw xw xc yw xw xc yw xw x()()() 1 12