第4章 插值法2

1、13.3.牛頓牛頓(Newton)(Newton)插值插值3.13.1差商及其性質(zhì)差商及其性質(zhì)一一. .差商（均差）定義差商（均差）定義 拉格朗日插值公式可看作直線方程兩點式的拉格朗日插值公式可看作直線方程兩點式的推廣，若從直線方程點斜式推廣，若從直線方程點斜式出發(fā)，將它推廣到具有出發(fā)，將它推廣到具有n+1n+1個插值點的情況，可個插值點的情況，可把插值多項式表示為把插值多項式表示為1010010( )()( )iiiffP xfxxxfxf xy01020101( )()()() ()()nnnP xaa xxa xxxxaxxxx2其中其中 為待定系數(shù)，可由插值條件為待定系數(shù)，可由插值條件

2、 確定。確定。當(dāng)當(dāng) 01,na aa()(0,1, )njjP xfjn00010110120120220212()()()()()()()nnnP xafP xaa xxfP xaa xxaxxxxf001011020102010221afffaxxffffxxxxaxx 01020101( )()()() ()()nnnP xaa xxa xxxxaxxxx3 依次可得到依次可得到 。為寫出系數(shù)。為寫出系數(shù)的一般表達(dá)式，現(xiàn)引入差商（均差）定義。的一般表達(dá)式，現(xiàn)引入差商（均差）定義。定義：稱定義：稱 為函數(shù)為函數(shù) 關(guān)于節(jié)點關(guān)于節(jié)點 的一階差商，記為的一階差商，記為 。 一階差商一階差商 的差

3、商的差商 34,na aa000()(),kkkf xf xf x xxx( )f x0,kx x0,kf x x010,kf x xf x x、001011,kkkf x xf x xf x x xxx4稱為稱為 關(guān)于節(jié)點關(guān)于節(jié)點 的二階差商，記的二階差商，記為為 。 遞歸地用遞歸地用k-1k-1階差商來定義階差商來定義k k階差商，階差商，稱為稱為 關(guān)于關(guān)于k+1k+1個節(jié)點個節(jié)點 的的k k階階差商。差商。 ( )f x01,kx x x01,kf x x x02011011,kkkkkkf xxxf x xxf x xxxx( )f x01,kx xx5 性質(zhì)1:k階差商可以表示成k+

4、1個函數(shù)值 的線性組合,即 可用歸納法證明。例: 二二. . 差商（均差）的性質(zhì)差商（均差）的性質(zhì)01(),(),()kf xf xf x010011(),()()()()kjkjjjjjjjnf xf x xxxxxxxxxx100101100110( )(),f xf xfff x xxxxxxx020101221,f x xf x xf x x xxx012010210122021()() ()() ()()fffxx xxxx xxxx xx6這個性質(zhì)也表明差商與節(jié)點的排列順序無關(guān)(差商的對稱性)。即 性質(zhì)2：k階差商定義: 依對稱性，對調(diào)定義公式左端k階差商中 與的位置，再將各差商中

5、的節(jié)點按原來次序排列。 01102120, , , ,kkkf x xxf x x xxf x xx x101010 ,kkkkf xxf xxf x xxxx02011011 , , , , ,kkkkkkf xxxf x xxf x xxxx0 x1kx112112011200, , , , ,kkkkkkkkkf xxxxf xxxxf xxxx xxx7 性質(zhì)3: :若 是 的n次多項式,則一階差商 是 的n-1次多項式,二階差商是 的n-2次多項式; 一般地,函數(shù) 的k階差商 是 的n-k次多項式 ,而 時,k階差商為零。( )f xx0,f x xx01,f x x xx( )f

6、x01 ,kf x xxx()knkn8若若 是是 的的n n次多項式，則次多項式，則 也是也是n n次多項式，且次多項式，且 。于是。于是 可分可分解為解為其中其中 為為n-1n-1次多項式。所以次多項式。所以為為n-1n-1次多項式次多項式( )f xx( )( )( )iP xf xf x( )0iP x( )P x1( )()( )inP xxx Px1( )nPx11( )( )()( ) ,( )iininiif xf xxx Pxf x xPxxxxx9三三. .利用差商表計算差商利用差商表計算差商利用差商的遞推定義利用差商的遞推定義, ,可以用遞推來計算差商。如下表：可以用遞推

7、來計算差商。如下表： 如要計算四階差商如要計算四階差商, ,再增加一個節(jié)點再增加一個節(jié)點, ,表中表中還要增加一行。還要增加一行。 ix( )if x0 x0( )f x1x1( )f x01,f x x2x2( )f x12,f x x012, ,f x x x3x3( )f x23,f x x123,f x x x0123, , ,f x x x x一階差商一階差商二階差商二階差商三階差商三階差商 10 例例: :已知如下已知如下, ,計算三階差商計算三階差商 。解：列表計算解：列表計算ix( )if x1 13 34 47 70 02 2151512121,3,4,7fix( )if x

8、一階差商一階差商二階差商二階差商三階差商三階差商1 10 0 3 32 21 1 4 4151513134 4 7 71212-1-1-3.5-3.5-1.25-1.25113.2 3.2 牛頓插值公式牛頓插值公式 根據(jù)差商定義，把根據(jù)差商定義，把 看成看成 上的一點，可得上的一點，可得 只要把后一式代入前一式，得只要把后一式代入前一式，得: :x , a b000( )() ,(), f xf xf x xxx001011 , ,() f x xf x xf x x xxx，010120122 , , , , ,() f x x xf x x xf x x x xxx，01010 , ,()

9、nnnnf x xxf x xxf x xxxx12最后一項中最后一項中, , 差商部分含有差商部分含有 , ,為余項部分為余項部分, ,記作記作 而前面而前面n+1n+1項中項中, , 差商部分都不含有差商部分都不含有 , ,因而前面因而前面n+1n+1項項是關(guān)于是關(guān)于 的的n n次多項式次多項式, ,記作記作001001201010110101( )(),(),()() ,()()() ,()()()nnnnf xf xf x xxxf x x xxxxxf x xxxxxxxxf x x xxxxxxxxx0101( ) ,()()()nnnR xf x x xxxxxxxxxx0010

10、0120101011( )(),() ,()() ,()()()nnnNxf xf x xxxf x x xxxxxf x xxxxxxxx13這就是牛頓插值公式。于是這就是牛頓插值公式。于是, ,上式記為上式記為由牛頓插值公式與由牛頓插值公式與 比較知：比較知： ( )( )( )nnf xNxRx010201( )()()()nP xaa xxaxxxx01()()nna xxxx01,(0,1, ).kkaf xxxkn14 例如例如: :當(dāng)當(dāng)n=1n=1時，時，其中其中, , 這就是牛頓一次插值多項式，也就是點斜這就是牛頓一次插值多項式，也就是點斜式直線方程。式直線方程。 001001

11、01( )(),() ,()()f xf xf x xxxf x x xxxxx01100100001( )(),()()ffN xf xf x xxxfxxxx15 當(dāng)當(dāng)n=2n=2時時, ,這就是牛頓二次插值多項式。這就是牛頓二次插值多項式。 顯然顯然, , 001001201012012( )(),() ,()() ,()()()f xf xf x xxxf x x xxxxxf x x x xxxxxxx2001001201( )(),(), ,()()N xf xf x xxxf x x xxxxx200()()Nxf x16即即 滿足二次插值條件。滿足二次插值條件。01210101

12、01()( )( )()()( )f xf xNxf xxxf xxx012202001()()()()()f xf xNxf xxxxx011220210201121()( )( )()()()f xf xf xf xxxxxxxxxxx2()f x2( )Nx2001001201( )(),(),()()N xf xf x xxxf x x xxxxx17 若 是 上n次連續(xù)可微函數(shù)， 并且 是 中不同的點，則在 中存在一點 ，使得 設(shè) 是函數(shù) 在節(jié)點 上次數(shù)至多為n-1次的插值多項式，則 ( )f x , a b01,nx xx , a b( , )a b( )011,( )!nnf x

13、 xxfnpf011,nx xx( )0101011()()( )()()!()(),()()nnnnnnnnnnnnf xp xfxxxxnf xp xf x xxxxxx18 例例: :已知已知求滿足以上插值條件的牛頓型插值多項式。求滿足以上插值條件的牛頓型插值多項式。 解解: :在上例中在上例中, ,我們已計算出我們已計算出則牛頓三次插值多項式為則牛頓三次插值多項式為1 13 34 47 70 02 215151212( )if xix001012()0, ,1, ,4,f xf xxf xx x0123,1.25;f xx x x 3( )0(1)4(1)(3)N xxxx1.25(1

14、)(3)(4)xxx19 例例3:3:已知已知 在六個點的函數(shù)值如下表，運在六個點的函數(shù)值如下表，運用牛頓型插值多項式求用牛頓型插值多項式求 的近似值。的近似值。( )f x( .)f 0 596kxx0.1960.550.578151.11600.0460.650.696751.18600.2800一階一階二階二階三階三階四階四階五階五階 kx()kf x0.400.410750.0540.800.901.050.888111.026521.253861.27571.38411.51560.35880.43360.52600.19700.21370.23100.03440.03460.000

15、30.2040.30420解：解： 欲求欲求 , ,只需在只需在 之后再加一項之后再加一項: :故故 。 截斷誤差：截斷誤差：2001001201( )(),(),()()Nxf xf x xxxf x x xxxxx2(0.596)0.410751.11600.1960.280.1960.0460.632010N320123012( )( ),()()()N xNxf x x x xxxxxxx3(0.596)0.6320100.19700.1960.046( 0.054)0.6319145N ( )4Nx( )3Nx012340123,()()()()f x x x x xxxxxxxxx

16、60.03440.1960.046( 0.054)( 0.204)3.4 10 4( )0.63191450.00000340.6319179N x 404590455( ) ,(0.596),(0.596)9.058 10R xf x xxf xx x211000nn 1n 1n 2n 2n 300,(0,1, )(0,1, )0,1,(,1, )(f (xx)f)(xx)f(xx)(xx )5( )iikkk ikkk ikknkjkjx x y infy kninfffkn nixxpffxxfpf x 算法：1.輸入數(shù)據(jù)2.置3. 計算各階差商。對4.輸出，停機(jī)。22012y ln x

17、1011121314ln2.30262.39792.48492.56492.6391ln11.5x11,x12,x13ln112.39791122.48490.087011132.56490.08000.0035(11)(12)iiixxxyxxxx例 已知函數(shù) =的函數(shù)表如下用牛頓插值公式計算解：取節(jié)點作拋物線插值。按下表計算一階差商二階差商2322( )2.39790.0870(11)0.0035(11)(12)ln11.5(11.5)2.39790.0870 0.50.0035 0.5 0.52.442275NxxxxN插值多項式為所以，24012341110121010,11,12,1

18、3,14lnln102.30261112.39790.095310122.48490.08700.00415()132.56490.08000.003500.00022()142.63910.07420.002900.00020iiikkxxxxxxxyxxxkxk若加節(jié)點。按下表計算的四次牛頓插值多項式一階二階三階四階13100.000005()kxk25 4ln11.5(11.5)2.30260.0953 1.50.00415 1.5 0.50.00022 1.5 0.50.50.000005 1.5 0.50.51.52.4423522N 所以，26拉格朗日插值與牛頓插值的比較拉格朗日插值與牛頓插值的比較(1) (1) 和和 均是均是n n次多項式次多項式, ,且均滿足插值條件且均滿足插值條件: : 由插值多項式的唯一性由插值多項式的唯一性, , ,因而兩個因而兩個公式的余項是相等的公式的余項是相等的, ,即即其中其中 ，故，故( )nL x( )nNx()()(), 0,1,nknkkLxNxf xkn( )( )nnP xNx(1)0111( ) ,( )( )(1)!nnnnff x