第五章大數(shù)定律及中心極限定理

1、第五章第五章 大數(shù)定律與中心極限定理大數(shù)定律與中心極限定理一、大數(shù)定律一、大數(shù)定律定義定義 設(shè)隨機變量序列設(shè)隨機變量序列XXn n ，如果存在一個常數(shù)，如果存在一個常數(shù)a a，使得對任意的，使得對任意的 00，有，有 aXPnnlim=1則稱則稱依概率收斂于依概率收斂于a a, ,記作記作aXpn定義定義 設(shè)隨機變量序列設(shè)隨機變量序列XXn n ，記，記Y Yn n=1/n(X=1/n(X1 1+X+X2 2+ +X+Xn n) )，如果存在一，如果存在一個常數(shù)序列個常數(shù)序列a an n，使得對任意的，使得對任意的00，有，有 nnnaXPlim=1則稱隨機變量序列則稱隨機變量序列XXn n

2、服從大數(shù)定律服從大數(shù)定律第第5.2節(jié)節(jié) 大數(shù)定律大數(shù)定律二、切比紹夫不等式二、切比紹夫不等式 設(shè)隨機設(shè)隨機變量變量X的方差存在的方差存在(這時均值也存在這時均值也存在),則則 對任意對任意正數(shù)正數(shù)有下面不等式成立有下面不等式成立2)(|)(| XDXEXP 2)(1| )(| XDXEXP 例例5.2.1.設(shè)設(shè)X 000!)(xxenxxfxn用切貝紹夫不等式證明用切貝紹夫不等式證明1)1(20 nnnXP證明證明:EX=dxenxxxn !0=n+1 !0ndxexxn 注：注：EX2=dxenxxxn !02=(n+1)(n+2)所以所以,DX=EX2-(EX)2=n+11|)1(20 n

3、EXXPnXP2)1(11 nn1 nn這里這里,=n+11. 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量X的方差的方差D(X)=0.0001,則由切比紹夫不等式可知則由切比紹夫不等式可知 P|X-E(X)|30.01( ).2. 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量XE(1/n),用切比紹夫用切比紹夫不等式證明不等式證明 P-1X2n+1(2n+1)/(n+1)(n+1)3. 設(shè)設(shè)P|X-E(X)|不小于不小于0.9,D(X)=0.009.則用則用切比紹夫不等式估計切比紹夫不等式估計的的 最小值是最小值是( ).課堂練習(xí)課堂練習(xí)203. 00001. 01 0.34.(894) 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量X的數(shù)學(xué)期望為的數(shù)學(xué)期望為,

4、標(biāo)準(zhǔn)差為標(biāo)準(zhǔn)差為,則由切比紹夫不等式則由切比紹夫不等式 P|X-|3( ).5. 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量X的分布律為的分布律為 PX=0.3=0.2, PX=0.6=0.8, 用切比紹夫不等式估計用切比紹夫不等式估計 |X-E(X)|0 ，有，有111lim11 niiniinnXnP三、幾個常見的大數(shù)定律三、幾個常見的大數(shù)定律定理定理 （辛欽大數(shù)定律）（辛欽大數(shù)定律） 設(shè)隨機變量序列設(shè)隨機變量序列XXn n 相互獨立，服從相互獨立，服從同一分布，且有相同的期望同一分布，且有相同的期望E(XE(Xn n)=)= ，則對任意的，則對任意的0 0 ，有，有11lim1 niinXnP1lim pnn

5、PAn定理定理（貝努里利大數(shù)定律）（貝努里利大數(shù)定律） 設(shè)每次實驗中事件設(shè)每次實驗中事件A A發(fā)生的概率發(fā)生的概率 為為p p，n n次重復(fù)獨立實驗中事件次重復(fù)獨立實驗中事件A A發(fā)生的次數(shù)為發(fā)生的次數(shù)為n nA A，則對任，則對任 意的意的0 0 ，事件的頻率，事件的頻率 ，有，有nnA定理定理 設(shè)設(shè)XN(,2), XY則則YN(0,1).所以，若所以，若XN(,2), 則則 PXa= PaXb=)( a)(1 a)( b)( aXN(,2)定義定義：一般地：一般地,若在一次實驗中成功的概率為若在一次實驗中成功的概率為p(0p0, 0, 則當(dāng)則當(dāng)n n充分大時充分大時, ,),(21nnNX

6、nii近似服從所以所以 ) 1 , 0(1NnnXnii近近似似服服從從 注注意意)(lim1xxnnXniin(1)一般地一般地,只要只要n比較大比較大,就可應(yīng)用以上定理就可應(yīng)用以上定理;(2)應(yīng)用該定理時應(yīng)用該定理時,需要找出獨立同分布的隨機變量序列以及需要找出獨立同分布的隨機變量序列以及它們的期望和方差它們的期望和方差,再應(yīng)用正態(tài)分布的有關(guān)計算方法再應(yīng)用正態(tài)分布的有關(guān)計算方法.例例5.3.1.用機器包裝味精用機器包裝味精,每袋味精凈重為隨機變量每袋味精凈重為隨機變量,期望期望值為值為100克克,標(biāo)準(zhǔn)差為標(biāo)準(zhǔn)差為10克克,一箱內(nèi)裝一箱內(nèi)裝200袋味精袋味精,求一箱味精凈重大于求一箱味精凈重

7、大于20500克的概率克的概率?解解:設(shè)一箱味精凈重為設(shè)一箱味精凈重為X,箱中第箱中第i袋味精凈重為袋味精凈重為Xi,(i=1,2,200)則則 X1,X2,X200獨立同分布獨立同分布, EXi=100, DXi=102=100,且且 2001iiXX由獨立同分布的中心極限定理得由獨立同分布的中心極限定理得:X近似服從正態(tài)分布近似服從正態(tài)分布,且且EX=200EXi=20000, DX=200DXi=20000,所求為所求為P(X20500)= 1-P(X20500)200002000020500(1 )54. 3(1 =0.0002 故故 一箱味精凈重大于一箱味精凈重大于20500的概率為

8、的概率為0.0002.)()(limxxnpqnpxn 特別，若特別，若X X（n n，p p）, ,則當(dāng)則當(dāng)n n充分大時，充分大時，推論推論:即若隨機變量（即若隨機變量（n，p），則對任意實數(shù)），則對任意實數(shù)x有有（npnp，npqnpq）注意注意(1)以上定理稱為以上定理稱為棣莫佛棣莫佛-拉普拉斯中心極限定理拉普拉斯中心極限定理.它表示它表示 當(dāng)當(dāng)n重重 Bernoulli實驗次數(shù)很大時實驗次數(shù)很大時(n100,p接近于接近于0.5),二項分布可二項分布可 用正態(tài)分布近似逼近用正態(tài)分布近似逼近,期望為期望為np,方差為方差為npq . (2)PX=m=Pm-0.50.6, 應(yīng)用以下定理應(yīng)

9、用以下定理:定理定理 若若XB(n,p),且且Y=n-X,則則YB(n,q),其中其中q=1-p.(3) n100,p0.1, 應(yīng)用應(yīng)用Possion定理有定理有n), 0,1,2,(m em! (np)m)P(Xnpm 計算計算:(4) n100,p 接近于接近于0.5,XN(np,npq)例例5.3.2.設(shè)每顆炮彈命中目標(biāo)的概率為設(shè)每顆炮彈命中目標(biāo)的概率為0.01,求求500發(fā)炮彈中發(fā)炮彈中 命中命中 5發(fā)的概率。發(fā)的概率。解解: 設(shè)設(shè)X表示命中的炮彈數(shù)表示命中的炮彈數(shù), 則則 XB(500,0.01) 4955550099. 001. 05)1(CXP0.17635(2)np=5,應(yīng)用應(yīng)

10、用Possion逼近逼近:55! 555 eXP=0.17547(3)應(yīng)用正態(tài)逼近應(yīng)用正態(tài)逼近: XN(5,4.95)PX=5=P4.5X5.5)95. 455 . 4()95. 455 . 5( =0.1742顯然顯然,本例中本例中Possion 逼近較正態(tài)逼近更精確逼近較正態(tài)逼近更精確.例例5.3.3.某保險公司多年的統(tǒng)計資料表明某保險公司多年的統(tǒng)計資料表明,在索賠戶中被盜索賠在索賠戶中被盜索賠 戶占戶占20%,隨機抽查隨機抽查100戶戶,利用利用棣莫佛棣莫佛-拉普拉斯積分定理拉普拉斯積分定理 求被盜索賠戶不少于求被盜索賠戶不少于14戶且不多于戶且不多于30戶的近似值戶的近似值.解解:設(shè)設(shè)

11、X表示表示100戶中被盜索賠戶數(shù)戶中被盜索賠戶數(shù),則則XB(100,0.2)由由棣莫佛棣莫佛-拉普拉斯積分定理得拉普拉斯積分定理得 X近似服從正態(tài)分布近似服從正態(tài)分布, EX=np=20, DX=npq=16,所以所以 XN(20,16)所求所求 P14X30)43014()42030( )5 . 1()5 . 2( )5 . 1(1 )5 . 2( =0.927例例5.3.4.5.3.4. 某人一次射擊某人一次射擊, ,命中環(huán)數(shù)命中環(huán)數(shù)X X的分布列為的分布列為求求100100次射擊中命中環(huán)數(shù)在次射擊中命中環(huán)數(shù)在900900環(huán)到環(huán)到930930環(huán)之間的概率環(huán)之間的概率. .XP10 9 8 7 6 0.8 0.1 0.05 0.02 0.03解解:設(shè)設(shè)X表示表示100次中命中的總環(huán)數(shù)次中命中