第一章 離散時(shí)間信號與系統(tǒng)-1

1、第一章第一章 離散時(shí)間信號與系統(tǒng)離散時(shí)間信號與系統(tǒng)學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo) 掌握序列的概念及其幾種典型序列的定義掌握序列的概念及其幾種典型序列的定義, ,掌握序掌握序列的基本運(yùn)算，并會判斷序列的周期性。列的基本運(yùn)算，并會判斷序列的周期性。 掌握線性掌握線性/ /移不變移不變/ /因果因果/ /穩(wěn)定的離散時(shí)間系統(tǒng)的概穩(wěn)定的離散時(shí)間系統(tǒng)的概念并會判斷，掌握線性移不變系統(tǒng)及其因果性念并會判斷，掌握線性移不變系統(tǒng)及其因果性/ /穩(wěn)穩(wěn)定性判斷的充要條件。定性判斷的充要條件。 理解常系數(shù)線性差分方程及其用迭代法求解單位理解常系數(shù)線性差分方程及其用迭代法求解單位抽樣響應(yīng)。抽樣響應(yīng)。 了解對連續(xù)時(shí)間信號的時(shí)域抽樣，掌

2、握奈奎斯特了解對連續(xù)時(shí)間信號的時(shí)域抽樣，掌握奈奎斯特抽樣定理，了解抽樣的恢復(fù)過程。抽樣定理，了解抽樣的恢復(fù)過程。1.1 1.1 離散時(shí)間信號離散時(shí)間信號序列序列 信號是傳遞信息的函數(shù)。針對信號的自變量和函數(shù)值的信號是傳遞信息的函數(shù)。針對信號的自變量和函數(shù)值的取值，可分為三種信號：取值，可分為三種信號：（1 1）連續(xù)時(shí)間信號）連續(xù)時(shí)間信號-自變量取連續(xù)值，而函數(shù)值可連續(xù)可離散。當(dāng)函自變量取連續(xù)值，而函數(shù)值可連續(xù)可離散。當(dāng)函數(shù)值是連續(xù)的，又常稱模擬信號，如語音信號、電視信號等。數(shù)值是連續(xù)的，又常稱模擬信號，如語音信號、電視信號等。（2 2）離散時(shí)間信號）離散時(shí)間信號-自變量取離散值，而函數(shù)值連續(xù)。

3、自變量取離散值，而函數(shù)值連續(xù)。（3 3）數(shù)字信號）數(shù)字信號-自變量和函數(shù)值均取離散值。它是信號幅度離散自變量和函數(shù)值均取離散值。它是信號幅度離散化了的離散時(shí)間信號?；说碾x散時(shí)間信號。離散時(shí)間信號是對模擬信號離散時(shí)間信號是對模擬信號 xa(t) 進(jìn)行等間隔進(jìn)行等間隔采樣獲得的，采樣間隔為采樣獲得的，采樣間隔為T T，得到：得到：nnTxtxanTta ),()(一、離散時(shí)間信號一、離散時(shí)間信號序列的概念序列的概念0txa(t)0 xa(nT)tT2T這里這里 n n 取整數(shù)。對于不同的取整數(shù)。對于不同的 n n 值，值，xa(nT) 是是一個有序的數(shù)字序列，該數(shù)字序列就是離散時(shí)間信一個有序的數(shù)

4、字序列，該數(shù)字序列就是離散時(shí)間信號。號。注意，這里的注意，這里的n n取整數(shù)，非整數(shù)時(shí)無定義取整數(shù)，非整數(shù)時(shí)無定義，另，另外，在數(shù)值上它等于信號的采樣值，即外，在數(shù)值上它等于信號的采樣值，即nnTxnxa ),()(,.9 , 8 ,7 , 3 , 2, 1.)(nx 離散時(shí)間信號的表示方法：公式表示法、圖形離散時(shí)間信號的表示方法：公式表示法、圖形表示法、集合符號表示法，如表示法、集合符號表示法，如二、常用序列二、常用序列1. 1. 單位抽樣序列單位抽樣序列 ( (n)n)0, 00, 1)(nnn0 0 1/1/ t t ( (t)t)0 0(1)(1)t t ( (t)t)1 1n n0

5、0 ( (n)n)2. 2. 單位階躍序列單位階躍序列u(n)u(n)0, 00, 1)(nnnut0u(t)10nu(n) ( (n)n)與與u(n)u(n)之間的關(guān)系之間的關(guān)系) 1()()(nunun0)()(kknnu令令n-k=m，有有nmmnu)()(3. 3. 矩形序列矩形序列R RN N(n)(n)nNnnRN其它, 010, 1)(N為矩形序列的長度0nR4(n)123)()()(NnununRN10)()(NmNmnnR4. 4. 實(shí)指數(shù)序列實(shí)指數(shù)序列)()(nuanxn，a為實(shí)數(shù)為實(shí)數(shù)0n0a1a-1或或-1a0,序列的幅值擺動序列的幅值擺動0n-1a00na0 時(shí)，序列

6、右移時(shí)，序列右移延遲延遲當(dāng)當(dāng) n00 時(shí)，序列左移時(shí)，序列左移超前超前x(n)n0n0 x(n-2)4. 序列的序列的翻轉(zhuǎn)翻轉(zhuǎn)n0 x(-n)v x(-n)是是x(n)的翻轉(zhuǎn)序列。的翻轉(zhuǎn)序列。x(-n)是以縱是以縱軸（軸（n=0）為對稱軸將序列為對稱軸將序列x(n)加以翻轉(zhuǎn)。加以翻轉(zhuǎn)。x(n)n05. 尺度尺度變換變換x(n)n0n0 x(2n)(mnx)(nx是是序列每隔序列每隔m m點(diǎn)取一點(diǎn)形成的，相當(dāng)于點(diǎn)取一點(diǎn)形成的，相當(dāng)于時(shí)間軸時(shí)間軸n n壓縮了壓縮了m m倍。倍。抽取序列抽取序列mnx)(nx是是序列相鄰抽樣序列相鄰抽樣點(diǎn)間補(bǔ)（點(diǎn)間補(bǔ)（m m1)1)個零值點(diǎn)，表示零值插值。個零值點(diǎn)，

7、表示零值插值。插值序列插值序列6. 6. 累加累加（等效積分）（等效積分）nkkxny)()(7. 7. 差分差分運(yùn)算運(yùn)算 前向差分前向差分 后向差分后向差分) 1()()()() 1()(nxnxnxnxnxnx8. 8. 卷積和卷積和mmnhmxnhnxny)()()()()(等效為翻褶、移位、相乘和相加四個步驟。等效為翻褶、移位、相乘和相加四個步驟。1.2 線性移不變系統(tǒng)線性移不變系統(tǒng)離散時(shí)間系統(tǒng)Tx(n)y(n)()(nxTny在時(shí)域離散系統(tǒng)中，最重要、最常用的是線性時(shí)不變系統(tǒng)。在時(shí)域離散系統(tǒng)中，最重要、最常用的是線性時(shí)不變系統(tǒng)。系統(tǒng)系統(tǒng)可定義為將輸入序列可定義為將輸入序列x(n)映射

8、成輸出序列映射成輸出序列y(n)的的唯一變換或運(yùn)算，并用唯一變換或運(yùn)算，并用T表示，即表示，即1.2.1 線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)若系統(tǒng)滿足若系統(tǒng)滿足可加性可加性與與比例性比例性, ,則稱此系統(tǒng)為則稱此系統(tǒng)為離散時(shí)間線性系統(tǒng)離散時(shí)間線性系統(tǒng)。),()(11nxTny)()(22nxTny)()()()()()(212121nbynaynxbTnxaTnbxnaxT其中其中a a、b b為任意常數(shù)。為任意常數(shù)。設(shè)設(shè)例是線性系統(tǒng)。是線性系統(tǒng)。)792sin()()(nnxny證：證：)792sin()()(11nnxny)792sin()()(22nnxny)792sin()()()()(22112211

9、nnxanxanyanya)792sin()()()()(22112211nnxanxanxanxaT)()()()(22112211nyanyanxanxaT所以，此系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。所以，此系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。例4)(3)(nxny所代表的系統(tǒng)不是線性系統(tǒng)。所代表的系統(tǒng)不是線性系統(tǒng)。證：證：4)(3)()(111nxnxTny4)(3)()(222nxnxTny)( 4)(3)(3)()(2122112211aanxanxanyanya但是但是4)()( 3)()(22112211nxanxanxanxaT)()()()(22112211nyanyanxanxaT所以，此系統(tǒng)不是線性系統(tǒng)。所以，

10、此系統(tǒng)不是線性系統(tǒng)。增量線性系統(tǒng)增量線性系統(tǒng)對增量線性系統(tǒng)，任意兩個輸入的差是兩個輸對增量線性系統(tǒng)，任意兩個輸入的差是兩個輸入差的線性函數(shù)入差的線性函數(shù)1.2.2 時(shí)不變系統(tǒng)（移不變系統(tǒng)）時(shí)不變系統(tǒng)（移不變系統(tǒng)）時(shí)不變系統(tǒng)Tx(n)y(n)()(nxTny若若則則)()(00nnxTnnyn n0 0為任意整數(shù)。為任意整數(shù)。輸入移動任意位（如輸入移動任意位（如n n0 0位），其輸出也移動這么多位），其輸出也移動這么多位，而幅值卻保持不變。位，而幅值卻保持不變。例bnaxny)()(證：證：bnnaxnnxT)()(00bnnaxnny)()(00)()(00nnxTnny所以，此系統(tǒng)是時(shí)不變

11、系統(tǒng)。所以，此系統(tǒng)是時(shí)不變系統(tǒng)。例)()(nnxny證：證：)()(00nnnxnnxT)()()(000nnxnnnny)()(00nnxTnny所以，此系統(tǒng)不是時(shí)不變系統(tǒng)。所以，此系統(tǒng)不是時(shí)不變系統(tǒng)。同理，可證明同理，可證明 所代表的所代表的系統(tǒng)不是時(shí)不變系統(tǒng)。系統(tǒng)不是時(shí)不變系統(tǒng)。)4sin()()(0nnxny1.2.3 線性時(shí)不變系統(tǒng)輸入與輸出線性時(shí)不變系統(tǒng)輸入與輸出之間的關(guān)系之間的關(guān)系T(n)h(n)一個既滿足疊加原理，又滿足時(shí)不變條件的系統(tǒng)，一個既滿足疊加原理，又滿足時(shí)不變條件的系統(tǒng)，被稱為被稱為線性時(shí)不變系統(tǒng)線性時(shí)不變系統(tǒng)(linear shift invariant,LTI)。

12、線性時(shí)不變系統(tǒng)可用它的單位抽樣響應(yīng)來表征。線性時(shí)不變系統(tǒng)可用它的單位抽樣響應(yīng)來表征。 單位取樣響應(yīng)，也稱單位沖激響應(yīng)單位取樣響應(yīng)，也稱單位沖激響應(yīng)，是指輸入為是指輸入為單位沖激序列時(shí)系統(tǒng)的輸出，一般用單位沖激序列時(shí)系統(tǒng)的輸出，一般用h(n)h(n)來表示：來表示：)()()(nhnTny根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加性質(zhì)根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加性質(zhì) )()()(mmnTmxnymmnhmxny)()()(又根據(jù)時(shí)不變性質(zhì)又根據(jù)時(shí)不變性質(zhì)設(shè)系統(tǒng)的輸入用設(shè)系統(tǒng)的輸入用x(n)x(n)表示，而表示，而mmnmxnx)()()(因此，系統(tǒng)輸出為因此，系統(tǒng)輸出為 )()()()(mmnmxTnxTny通常把上式稱為通常把

13、上式稱為離散卷積或線性卷積離散卷積或線性卷積。這一關(guān)系常用。這一關(guān)系常用符號符號“* *”表示：表示：)()()()()(nhnxmnhmxnym線性時(shí)不變系統(tǒng)的一個重要特性是它的線性時(shí)不變系統(tǒng)的一個重要特性是它的輸入與輸出序列之間存在著線性卷積關(guān)系：輸入與輸出序列之間存在著線性卷積關(guān)系：v用單位取樣響應(yīng)用單位取樣響應(yīng)h(n)h(n)來描述系統(tǒng)來描述系統(tǒng)h(n)x(n)y(n)()()()()(nhnxmnhmxnym線性卷積的計(jì)算線性卷積的計(jì)算計(jì)算它們的卷積的步驟如下：計(jì)算它們的卷積的步驟如下： (1) (1)折疊：折疊：先在啞變量坐標(biāo)軸先在啞變量坐標(biāo)軸k k上畫出上畫出x(k)x(k)和和

14、h(k)h(k)，將將h(k)h(k)以縱坐標(biāo)為對稱軸折疊成以縱坐標(biāo)為對稱軸折疊成 h(-k)h(-k)。 (2) (2)移位：移位：將將h(-k)h(-k)移位移位n n，得得h(n-k)h(n-k)。當(dāng)當(dāng)n n為為正數(shù)時(shí)，右移正數(shù)時(shí)，右移n n；當(dāng)當(dāng)n n為負(fù)數(shù)時(shí)，左移為負(fù)數(shù)時(shí)，左移n n。 (3) (3)相乘：相乘：將將h(n-k)h(n-k)和和x(k)x(k)的對應(yīng)取樣值相乘。的對應(yīng)取樣值相乘。 (4) (4)相加：相加：把所有的乘積累加起來，即得把所有的乘積累加起來，即得y(n)y(n)。 )()()()()(nhnxmnhmxnym例例 已知已知x(n)和和h(n)分別為：分別為

15、：和和a為常數(shù)，且為常數(shù)，且1a，試求試求x(n)和和h(n)的線性卷積。的線性卷積。其它, 060,)(nanhn其它, 040, 1)(nnx 計(jì)算線性卷積時(shí)，一般要分幾個區(qū)間分別計(jì)算線性卷積時(shí)，一般要分幾個區(qū)間分別加以考慮，下面舉例說明。加以考慮，下面舉例說明。 解解 參看參看圖圖，分段考慮如下：，分段考慮如下：(1)對于對于n4，且且n-60，即即46，且且n-64，即即64，即即n10。0nx(n)40nh(n)6n-6mh(n-m) n圖解說明圖解說明0mx(m)40mh(m)6-6mh(0-m)06(1) n0n-6mh(n-m)n 0(2) 0n4n-6mh(n-m)n04(3

16、) 4n6n-6mh(n-m)n04 6n-6mh(n-m)n06(4) 610n-6mh(n-m)n04(2) 0n4n-6mh(n-m)n04圖解說明圖解說明0)(0mxm時(shí)，當(dāng)0)(04mnhmnm時(shí)，當(dāng)aaaaaaaamnhmxnynnnnmmnnmmnnm11111)()()(11)1(000(2)在在0n4區(qū)間上區(qū)間上n-6mh(n-m)n040mx(m)4(3)在在4n6區(qū)間上區(qū)間上n-6mh(n-m)n04 60mx(m)4aaaaaaaaamnhmxnynnnmmnmmnm1111)()()(141)41(404040(4)在在6n10區(qū)間上區(qū)間上n-6mh(n-m)n061

17、00mx(m)4aaaaaaaaaamnhmxnynnnnmmnnnmmnnnm111)()()(741)14()6(4666綜合以上結(jié)果，綜合以上結(jié)果，y(n)可歸納如下：可歸納如下：nnaaanaaanaannynnnn10, 0106,164,140,110, 0)(74141卷積結(jié)果卷積結(jié)果y(n)如圖所示如圖所示 6ny(n)1004例例設(shè)有一線性時(shí)不變系統(tǒng)，其單位取樣響應(yīng)為設(shè)有一線性時(shí)不變系統(tǒng)，其單位取樣響應(yīng)為000)()(nnnuanhn10 a)()()(Nnununxmmnhmxny)()()(解：解：分段考慮如下：分段考慮如下：(1)對于對于n0；(2)對于對于0n N1；

18、(3)對于對于n N。0) 1 (n0)(ny0)(0mxm時(shí)，當(dāng)0)(00mnhmnm時(shí)，當(dāng)(2)在在0 nN 區(qū)間上區(qū)間上aaaaamnhmxnynnmmnnmmnnm111)()()(1000(3)在在n N 區(qū)間上區(qū)間上aaaaaamnhmxnyNNnNmmnNmmnNm111)()()(1101010(1)(2)(3)y(n)例例設(shè)有一線性時(shí)不變系統(tǒng)，其設(shè)有一線性時(shí)不變系統(tǒng)，其5 , 1 , 2)(2 , 4 , 1 , 3)(nhnx3142x(m)m0 1 2 3 4215h(m)m102 3 4)()()(nhnxny求mmnhmxny)()()(解：解：m0-2-3-4-11

19、h(-m)623)0()0()0(hxy52113) 1 () 1 ()0()0() 1 (hxhxy24241153)2()2() 1 () 1 ()0()0()2(hxhxhxy10,22,13,24, 5, 6)(ny-3-11 20mh(1-m)-23-11 20mh(2-m)-2ny(n)-11 20-23 4 5 665241322103142x(m)m0 1 2 3 402413051248262413010221324561020515對有限長序列相卷，可用對有限長序列相卷，可用豎乘法豎乘法注：注：1. 1. 各點(diǎn)要分別乘、分別加且不跨點(diǎn)進(jìn)位；各點(diǎn)要分別乘、分別加且不跨點(diǎn)進(jìn)位；

20、 2. 2. 卷和結(jié)果的起始序號等于兩序列的其實(shí)序卷和結(jié)果的起始序號等于兩序列的其實(shí)序號之和。號之和。由上面幾個例子的討論可見，由上面幾個例子的討論可見，)()()()()(nhnxmnhmxnymh(n)x(n)y(n)設(shè)設(shè)x(n)和和h(n)兩序列的長度分別是兩序列的長度分別是N 和和M ，線性卷積后的序列長度為線性卷積后的序列長度為(N + M -1)。線性卷積滿足以下運(yùn)算規(guī)律：線性卷積滿足以下運(yùn)算規(guī)律：交換律交換律)()()()(nxnhnhnxh(n)x(n)y(n)x(n)h(n)y(n)結(jié)合律結(jié)合律分配律分配律)()()()()()(2121nhnhnxnhnhnxh1(n)x(

21、n)y(n)h2(n)h1(n) h2(n)x(n)y(n)h1(n)x(n)y(n)h2(n)+h1(n)+ h2(n)x(n)y(n)()()()()()()(2121nhnxnhnxnhnhnx)()()()()(nnxmnmxnxm)()()()()(000nnxmnnmxnnnxmv序列本身與單位取樣序列的線性卷積等于序列本身與單位取樣序列的線性卷積等于序列本身：序列本身：v如果序列與一個移位的單位取樣序列如果序列與一個移位的單位取樣序列 ( (n-nn-n0 0) )進(jìn)行線性卷積，就相當(dāng)于將序列本身移位進(jìn)行線性卷積，就相當(dāng)于將序列本身移位n n0 0：例h1(n)x(n)y(n)h

22、2(n)()(nunx)4()()(1nnnh)()(2nuanhn1a求系統(tǒng)的輸出求系統(tǒng)的輸出y(n)y(n)。m(n)解：設(shè)級聯(lián)的第一個系統(tǒng)輸出解：設(shè)級聯(lián)的第一個系統(tǒng)輸出 m(n)m(n)()4()()4()()()()()(4nRnununnnunhnxnm) 3()2() 1()() 3()2() 1()()()()()()()(32142nuanuanuanuannnnnuanuanRnhnmnynnnnnn1.2.4 系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性在系統(tǒng)中，若輸出在系統(tǒng)中，若輸出y(n)y(n)只取決于只取決于n n時(shí)刻，以及時(shí)刻，以及n n時(shí)刻時(shí)刻以前的輸入，即以前的輸

23、入，即),2(),1(),()(nxnxnxny稱該系統(tǒng)是稱該系統(tǒng)是因果系統(tǒng)因果系統(tǒng)。對于線性時(shí)不變系統(tǒng)，具有因果性的充要條件是對于線性時(shí)不變系統(tǒng)，具有因果性的充要條件是系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)滿足：系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)滿足：0, 0)(nnh如如0, 00,)()(nnanuanhnn因果系統(tǒng)是指輸出的變化不領(lǐng)因果系統(tǒng)是指輸出的變化不領(lǐng)先于輸入的變化的系統(tǒng)。先于輸入的變化的系統(tǒng)。穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)對一個線性時(shí)不變系統(tǒng)來說，系統(tǒng)穩(wěn)定的充要對一個線性時(shí)不變系統(tǒng)來說，系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是單位取樣響應(yīng)絕對可和，即條件是單位取樣響應(yīng)絕對可和，即nnh)(穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)是指對于每個有界輸入是指對于每個有界輸入x

24、(n)x(n)，都產(chǎn)生有都產(chǎn)生有界輸出界輸出y(n)y(n)的系統(tǒng)。即如果的系統(tǒng)。即如果| |x(n)|M(Mx(n)|M(M為正常數(shù)為正常數(shù)) )，有有| |y(n)|+y(n)|+，則該系統(tǒng)被稱為則該系統(tǒng)被稱為穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)。 例例 設(shè)某線性時(shí)不變系統(tǒng)，其單位取樣響應(yīng)為設(shè)某線性時(shí)不變系統(tǒng)，其單位取樣響應(yīng)為)()(nuanhn式中式中a a是實(shí)常數(shù)，試分析該系統(tǒng)的因果穩(wěn)定性。是實(shí)常數(shù)，試分析該系統(tǒng)的因果穩(wěn)定性。 解：解：1,1,1111limlim)(100aaaaaaanhNnNNnnNnn由于由于n0n0時(shí)，時(shí)，h(n)=0h(n)=0，故此系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。故此系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。所以所以

25、 時(shí)，此系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。時(shí)，此系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。1a 例例 設(shè)某線性時(shí)不變系統(tǒng)，其單位取樣響應(yīng)為設(shè)某線性時(shí)不變系統(tǒng)，其單位取樣響應(yīng)為) 1()(nuanhn式中式中a a是實(shí)常數(shù)，試分析該系統(tǒng)的因果穩(wěn)定性。是實(shí)常數(shù)，試分析該系統(tǒng)的因果穩(wěn)定性。 解：解：(1)(1)討論因果性討論因果性由于由于n0n0時(shí)，時(shí)，h(n)h(n) 0 0，故此系統(tǒng)是非因果系統(tǒng)。故此系統(tǒng)是非因果系統(tǒng)。1,1,111111)(111aaaaaaaanhnnnnnnn (2)(2)討論穩(wěn)定性討論穩(wěn)定性所以所以 時(shí)，此系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。時(shí)，此系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。1a1.3 線性常系數(shù)差分方程線性常系數(shù)差分方程一個一個N 階線性常系數(shù)

26、差分方程用下式表示：階線性常系數(shù)差分方程用下式表示：連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng) 線性常系數(shù)微分方程線性常系數(shù)微分方程離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng) 線性常系數(shù)差分方程線性常系數(shù)差分方程N(yùn)kkMmmknyamnxbny10)()()(求解差分方程的基本方法有三種：求解差分方程的基本方法有三種：經(jīng)典法經(jīng)典法求齊次解、特解、全解求齊次解、特解、全解遞推法遞推法求解時(shí)需用初始條件啟動計(jì)算求解時(shí)需用初始條件啟動計(jì)算變換域法變換域法將差分方程變換到將差分方程變換到Z Z域進(jìn)行求解域進(jìn)行求解 例例 設(shè)差分方程為設(shè)差分方程為) 1() 1()()(110nybnxanxany求

27、輸出序列求輸出序列設(shè)系統(tǒng)參數(shù)設(shè)系統(tǒng)參數(shù)21, 0, 5 . 1110baa) 1(21)(5 . 1)(nynxny設(shè)輸入為設(shè)輸入為)()(nnx初始條件為0, 0)(nny解：解：, 0n5 . 1) 1(21)0(5 . 1)0(yxy, 1n215 . 1)0(21) 1 (5 . 1) 1 (yxy, 2n依次類推依次類推2)21(5 . 1) 1 (21)2(5 . 1)2(yxy)(215 . 1)(nunyn初始條件為初始條件為0, 0)(nny) 1(215 . 1)(nunyn延時(shí)延時(shí)a0 x(n)x(n)a1x(n-1)-b1y(n-1)a0 x(n-1)a1-b1y(n)

28、 1() 1()()(110nybnxanxany差分方程表示法的另一優(yōu)點(diǎn)是可以直接得到系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)差分方程表示法的另一優(yōu)點(diǎn)是可以直接得到系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)1.4 連續(xù)時(shí)間信號的抽樣連續(xù)時(shí)間信號的抽樣連續(xù)時(shí)間連續(xù)時(shí)間信號信號離散時(shí)間離散時(shí)間信號信號采樣采樣內(nèi)插內(nèi)插1.1. 信號經(jīng)過采樣以后，將發(fā)生一些什么變化？例信號經(jīng)過采樣以后，將發(fā)生一些什么變化？例如，信號頻譜將發(fā)生怎樣變化；如，信號頻譜將發(fā)生怎樣變化；2.2. 經(jīng)過采樣后信號內(nèi)容會不會有丟失；經(jīng)過采樣后信號內(nèi)容會不會有丟失；3.3. 如果信號沒有被丟失，其反變換應(yīng)該怎樣進(jìn)行，如果信號沒有被丟失，其反變換應(yīng)該怎樣進(jìn)行，即由數(shù)字信號恢復(fù)成模擬信號應(yīng)該具

29、備那些條件等。即由數(shù)字信號恢復(fù)成模擬信號應(yīng)該具備那些條件等。 1.4.1 采樣采樣S)(txa)( txa)()()(tPtxtxaaT0tT2T)(txa0tP(t)T0txa(t)最高頻率為最高頻率為fc 0理想采樣理想采樣)()()(tPtxtxaannTttP)()(naanTtnTxtx)()()()(txa)( txa)(),(tPtP一、理想采樣一、理想采樣xa(t)P(t)0txa(t)0t0tT1T定義定義單位沖擊函數(shù)單位沖擊函數(shù)1)( dtt0, 0)(ttt0 (t)(1)單位沖擊函數(shù)有一個重要的性質(zhì)：單位沖擊函數(shù)有一個重要的性質(zhì)：采樣性采樣性若若f f( (t t) )

30、為連續(xù)函數(shù)，則有為連續(xù)函數(shù)，則有)0()()(fdtttf將上式推廣，可得將上式推廣，可得)()()(00tfdttttft0 (t-t0)二、頻譜的周期延拓二、頻譜的周期延拓即即即即)()()()(tPtxtxjXaaa)()()(,tPtxtxaa)()(jXtxaa)()(jXtxaa)()(21)(jPjXjXaadejXjXtxdtetxtxjXtjaaatjaaa)(21)()()()()(-1)()(tPjP)(tP由于由于 是周期函數(shù)是周期函數(shù)nnTttP)()(可用傅立葉級數(shù)表示，即可用傅立葉級數(shù)表示，即ktjkkSeatP)(TS2采樣角頻率采樣角頻率 2222)(1)(1

31、TTtjknTTtjkkdtenTtTdtetPTaSS系數(shù)系數(shù)22)(1TTtjkkdtetTaSktjkktjkkSSeTeatP1)(T1)()(tPjPktjkSeT1tjkSe 1kSkTjP)(2)()(21對稱性對稱性)(21StjkkeS移頻特性移頻特性kSSk)(1)(t根據(jù)根據(jù)0(S)S2S-S-2SS)( jP)()(21)(jPjXjXaakaSjXkT)()(221kSadkjXT)()(221采樣信號的傅氏變換為采樣信號的傅氏變換為 kSadkjXT)()(1kSajkjXT)(1kaTjkjXT)2(1即即kSaajkjXTjX)(1)(采樣信號的頻譜是原模擬信號頻譜采樣信號的頻譜是原模擬信號頻譜的周期延拓，其延拓周期為的周期延拓，其延拓周期為 s s 。CS2CS2討論：討論： S/2 C)(jXa S2 S3 S 0- - S(c)- C C S/2 0(a)( jXa最高截