幾何的五大模型

1、幾何的五大模型一、等積變換模型(1)等底等高的兩個三角形面積相等(2)兩個三角形高相等，面積比等于它們的底之比(3)兩個三角形底相等，面積比等于它們的高之比如左圖S1：S2=a:b(4)夾在一組平行線之間的等積變形，如右上圖，SABC= SBAD反之，如果SABC= SBCD，則可知直線AB平行于CD （ABCD）二、鳥頭定理(共角定理)模型(1)兩個三角形中有一個角相等或互補，這兩個三角形叫做共角三角形。(2)共角三角形的面積比等于對應(yīng)角(相等角或互補角)兩夾邊的乘積之比。 如圖在ABC中，D，E分別是AB，AC上的點如圖.(或D在BA的延長線上，E在AC上)，則SABC：SADE=(AB&

2、#215;AC):(AD×AE)推理過程連接BE，再利用等積變換模型即可。證明：圖（1）中設(shè)：過頂點D做底邊AE的高為H1；過頂點B做底邊AC的高為H2 ABE中SADE：SABE=AD：AB 同理SADE：SABE=H1：H2 AD：AB= H1：H2又因SADE=AE*H1*1/2 SABC=AC*H2*1/2 得出SADE：SABC=AE*H1：AC*H2 所以SADE：SABC=(AB×AC):(AD×AE)圖（2）中設(shè)過頂點D作底邊AE的高為H1，過頂點B做底邊AC的高為H2 DBE中，SADE：SABE=AD：AB SADE：SABE= H1：H2 A

3、D：AB= H1：H2又因SADE=AE*H1*1/2 SABC=AC*H2*1/2 得出SADE：SABC=AE*H1：AC*H2所以SADE：SABC=(AB×AC):(AD×AE) 三、蝴蝶定理模型任意四邊形中的比例關(guān)系(“蝴蝶定理”) S1:S2=S4:S3 或者 S1×S3=S2×S4 AO:OC=(S1+S2):(S4+S3)證明（1）：在ABD中，S1：S2=DO:OB在DCB中，S4：S3=DO：OB 得到S1:S2=S4:S3或者 S1×S3=S2×S4(十字相乘法)證明（2）：設(shè)過D點作底邊AC的高為H1，過B點作

4、底邊AC的高為H2 (S1+S2):(S4+S3)=（AO*H1*1/2+AO*H2*1/2）：（OC*H1*1/2+ OC*H2*1/2）約分得到：(S1+S2):(S4+S3)=AO：OC蝴蝶定理為我們提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問題的一個途徑。通過構(gòu)造模型，一方面可以使不規(guī)則四邊形的面積關(guān)系與四邊形內(nèi)的三角形相聯(lián)系；另一方面，也可以得到與面積對應(yīng)的對角線的比例關(guān)系。 梯形中比例關(guān)系 （“梯形蝴蝶定理”） S1：S3=：證明：由AO：OC=DO：OC=a:b而S1：S2=DO：OC S1：S2= a:b ，得到S1= a/b*S2 而S2：S3=AO：OC S2：S3= a:b，得到S3=

5、S2*b/a S1：S3=： S1：S3：S2：S4=：ab:ab證明：由上面公式轉(zhuǎn)換推得梯形S的對應(yīng)份數(shù)為(a+b)證明：由上面公式轉(zhuǎn)換推得四、相似模型相似三角形性質(zhì)：(1)(2)SADE：SABC=AF: AG證明：SADE：SABC=DE*AF*1/2：BC*AG*1/2 SADE：SABC=AF: AG所謂相似三角形，就是形狀相同，大小不同的三角形(只要其形狀不改變，不論大小怎樣改變，它們都相似)，與相似三角形相關(guān)的常用的性質(zhì)及定理如下：A. 相似三角形的一切對應(yīng)線段的長度成比例，并且這個比例等于它們的相似比；B. 相似三角形的面積比等于它們相似比的平方；五、燕尾定理模型(1)SABG：SACG = SB