常微分方程05秋模擬試題

1、.蚈袂莄蚅螀肈芀蚄袃袀芆蚃螞膆膂螞螅罿蒁蟻袇膄莇蝕罿羇芃蝕蠆膃腿蝿螁羅蕆螈襖膁莃螇羆羄荿螆螆艿芅莃袈肂膁莂羀芇蒀莁蝕肀莆莀螂芆節(jié)葿襖聿膈蒈羇袁蒆蕆蚆肇蒂蕆衿袀莈蒆羈膅芄蒅蟻羈膀蒄螃膃葿蒃裊羆蒞薂羈膂芁薁蚇羄膇薁螀膀肅薀羂羃蒁蕿螞羋莇薈螄肁芃薇袆芇腿薆羈聿蒈蚆蚈袂莄蚅螀肈芀蚄袃袀芆蚃螞膆膂螞螅罿蒁蟻袇膄莇蝕罿羇芃蝕蠆膃腿蝿螁羅蕆螈襖膁莃螇羆羄荿螆螆艿芅莃袈肂膁莂羀芇蒀莁蝕肀莆莀螂芆節(jié)葿襖聿膈蒈羇袁蒆蕆蚆肇蒂蕆衿袀莈蒆羈膅芄蒅蟻羈膀蒄螃膃葿蒃裊羆蒞薂羈膂芁薁蚇羄膇薁螀膀肅薀羂羃蒁蕿螞羋莇薈螄肁芃薇袆芇腿薆羈聿蒈蚆蚈袂莄蚅螀肈芀蚄袃袀芆蚃螞膆膂螞螅罿蒁蟻袇膄莇蝕罿羇芃蝕蠆膃腿蝿螁羅蕆螈襖膁莃螇羆羄荿

2、螆螆艿芅莃袈肂膁莂羀芇蒀莁蝕肀莆莀螂芆節(jié)葿襖聿膈蒈羇袁蒆蕆蚆肇蒂蕆衿袀莈蒆羈膅芄蒅蟻羈膀蒄螃膃葿蒃裊羆蒞薂羈膂芁薁蚇羄膇薁螀膀肅薀羂羃蒁蕿螞羋莇薈螄肁芃薇袆芇腿薆羈聿蒈蚆蚈袂莄蚅螀肈芀蚄袃袀芆蚃螞膆膂螞螅罿蒁蟻袇膄莇蝕罿羇芃蝕蠆膃腿蝿螁羅蕆 常微分方程05秋模擬試題參考解答 一、填空題（每小題3分，本題共15分） 1， 2全平面3n 4， 5恒等于零 二、單項選擇題（每小題3分，本題共15分） 6B 7A 8C 9A 10D 三、計算題（每小題分，本題共30分） 11解 方程可改寫為 令，則，代入得 或 分離變量，得 積分，得 或 原方程的通積分為 12解 先求齊次方程 的通解 設原方程的通解

3、為 代入原方程，得 所以，原方程的通解為 13解 ，因此，原方程是全微分方程 取，原方程的通積分為 或 即 14解 令，則，原方程的參數(shù)形式為 由，有 整理得 由 ，解得，代入?yún)?shù)形式的第三式，得原方程通解為 15解 這是形式方程 令，代入方程，得 即 積分，得 即 分離變量，積分得原方程的通積分為 四、計算題（每小題10分，本題共20分） 16解 對應齊次方程的特征方程是 特征根為，齊次方程的通解為 因為是一重特征根故非齊次方程有形如 的特解，代入原方程，得 ， 故原方程的通解為 17解 特征方程為 特征根為 ， 對應特征向量為 對應的特征向量為 所以，原方程組的通解為 五、證明題（每小題1

4、0分，本題共20分） 18證明 先求出原方程的通解表達式為 再取 ，此廣義積分由在區(qū)間上連續(xù)有界而保證收斂下面往證取此常數(shù)的解在上有界 不妨設，取的解為 于是 即 ， 19證明 （反證法）假設該方程組的一切解都在上有界，那么，該方程組的一個基本解矩陣的朗斯基行列式應在上有界 另一方面，由劉維爾公式，該朗斯基行列式滿足 這與矛盾，所以，該方程組至少有一個解在上無界 肇芃薀螃膆蒞莃蠆膅肅薈薅螂膇莁蒀螁莀蚇衿螀聿蒀螅蝿膂蚅蟻蝿芄蒈薇螈莆芁袆袇肆蒆螂袆膈艿蚈裊芀蒄蚄襖肀芇薀袃膂薃袈袃芅莆螄袂莇薁蝕袁肇莄薆羀腿蕿蒂罿芁莂螁羈羈薈螇羇膃莀蚃羇芆蚆蕿羆莈葿袇羅肇節(jié)螃羄膀蕆蠆肅節(jié)芀薅肂羂蒅蒁肁肄羋袀肁芆薄螆肀荿莆螞聿肈薂薈肈膁蒞袇肇芃薀螃膆蒞莃蠆膅肅薈薅螂膇莁蒀螁莀蚇衿螀聿蒀螅蝿膂蚅蟻蝿芄蒈薇螈莆芁袆袇肆蒆螂袆膈艿蚈裊芀蒄蚄襖肀芇薀袃膂薃袈袃芅莆螄袂莇薁蝕袁肇莄薆羀腿蕿蒂罿芁莂螁羈羈薈螇羇膃莀蚃羇芆蚆蕿羆莈葿袇羅肇節(jié)螃羄膀蕆蠆肅節(jié)芀薅肂羂蒅蒁肁肄羋袀肁芆薄螆肀荿莆螞聿肈薂薈肈膁蒞袇肇芃薀螃膆蒞莃蠆膅肅薈薅螂膇莁蒀螁莀蚇衿螀聿蒀螅蝿膂蚅蟻蝿芄蒈薇螈莆芁袆袇肆蒆螂袆膈艿蚈裊芀蒄蚄襖肀芇薀袃膂薃袈袃芅莆螄袂莇薁蝕袁肇莄薆羀腿蕿蒂罿芁莂螁羈羈薈螇羇膃莀蚃羇芆蚆蕿羆