計(jì)算方法-數(shù)值積分b

1、5.3 復(fù)合求積復(fù)合求積 /* Composite Quadrature */高次插值有高次插值有Runge 現(xiàn)象現(xiàn)象，故采用分段低次插值，故采用分段低次插值 分段低次合成的分段低次合成的 Newton-Cotes 復(fù)合復(fù)合求積公式。求積公式。 復(fù)合梯形公式復(fù)合梯形公式在每個(gè)在每個(gè) 上用梯形公式：上用梯形公式：,1kkxx mkxfxfxxdxxfkkkxkxkk,., 1,)()(2)(11111)()(2)(2mkkbfxfafhbamkkkxfxfhdxxf11)()(2)(= Tm將將 a, b區(qū)間區(qū)間m等分，等分，步長(zhǎng)步長(zhǎng)h=(b-a)/m，分點(diǎn)分點(diǎn)xk=a+kh, k=0,1, m

2、。用。用低階低階牛頓牛頓柯特斯公式求柯特斯公式求子區(qū)間子區(qū)間xk, xk+1上的積分值，再累加得到積分的近似值。上的積分值，再累加得到積分的近似值。思思路路復(fù)合公式的余項(xiàng)復(fù)合公式的余項(xiàng)？5.3 Composite Quadrature 復(fù)化復(fù)化 Simpson 公式公式)()(4)(6)(1211 kkkxxxfxfxfhdxxfkkkx21 kx1 kx44444 )()(2)(4)(6)(1020121mkmkkkbabfxfxfafhdxxf= Sm327)(7)()(12)(32)(90)(14/32/14/11kkkkknxnxxfxfxfxfxfhxf 復(fù)化復(fù)化 Cotes 公式公

3、式327)()(32)(12)()(14904/32/111104/1bfxfxfxfxff(a)hkkmkmkkkCm 若若f(x)在積分區(qū)間在積分區(qū)間a, b上分別具有二階、四階和六上分別具有二階、四階和六階階連續(xù)導(dǎo)數(shù)連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則復(fù)化積分公式的，則復(fù)化積分公式的余項(xiàng)余項(xiàng)分別是分別是 定理定理)(fhabCdx)x(f)(fhabSdx)x(f)(fhabTdx)x(f)(mba)(mbamba 66442)2(9452)2(18012其中，其中，a,b，且當(dāng)，且當(dāng)h充分小時(shí)，又有充分小時(shí)，又有)2(9452)2(180112155642)a(f)b(fhCdx)x(f)a(f)b(fhSd

4、x)x(f)a(f)b(fhTdx)x(f)()(mbambamba 5.3 Composite Quadrature證證 這里考察這里考察復(fù)化梯形公式復(fù)化梯形公式的余項(xiàng)的余項(xiàng)公式，其余由同學(xué)們自己完成。公式，其余由同學(xué)們自己完成。因此因此 )()()(112)()()(121)(212213mmmbafffmhabfffhTdxxf )(12)(2fhabTdxxfmba )(122fhab 中值定理中值定理)()(121121 1211020afbfdx)x(fh)(flimhTdx)x(flimbamkkhmbah 另有另有)x(f 由于由于 在在a, b上連續(xù)，故每個(gè)上連續(xù)，故每個(gè)小區(qū)

5、間小區(qū)間上的積分使用梯形公上的積分使用梯形公式時(shí)，有誤差為式時(shí)，有誤差為 kkkkxxfh,),(12113 )()(121)(2afbfhTdxxfmba5.3 Composite Quadrature 收斂速度與誤差估計(jì)：收斂速度與誤差估計(jì)： 若一個(gè)積分公式的誤差滿足若一個(gè)積分公式的誤差滿足 且且C 0，則，則稱該公式是稱該公式是 p 階收斂階收斂的。的。 ChfRphlim0)(,)(,)(642hOChOShOTnnn例：例：計(jì)算計(jì)算dxx 10142 解：解： )1()(2)0(161718fxffTkk8kxk 其中其中= 3.138988494)1(24)0(2413102/14

6、fxfxffSkkkk)()(34kxk其中其中= 3.141592502運(yùn)算量基本運(yùn)算量基本相同相同定義定義5.3 Composite QuadratureQ: 給定精度給定精度 ，如何取，如何取 m ?例如：要求例如：要求 ，如何判斷，如何判斷 m = ？|mTI)()(122afbfhfR上例上例中若要求中若要求 ，則，則610|mTI622106| )0() 1 (|12| |hffhfRm00244949.0 h即：取即：取 m = 409通常采取將區(qū)間通常采取將區(qū)間不斷二分不斷二分的方法，即取的方法，即取 m = 2k2/)()(,0hbfafTabh,a,binput 01TT

7、2/)()()(, 2/111hbfxfafThhmkk10TT 1 Toutput需計(jì)算導(dǎo)數(shù)需計(jì)算導(dǎo)數(shù)不實(shí)用不實(shí)用重復(fù)計(jì)算函重復(fù)計(jì)算函數(shù)值不經(jīng)濟(jì)數(shù)值不經(jīng)濟(jì)5.3 Composite Quadrature5.4 龍貝格龍貝格積分積分 /* Romberg Integration */ 梯形法的遞推化梯形法的遞推化11101)()(22)()(2mkkmkkkmbfxff(a)hxfxfhT積分區(qū)間積分區(qū)間a, b m等分的復(fù)化梯形公式是等分的復(fù)化梯形公式是 如果把區(qū)間如果把區(qū)間2m等分，即在原來的小等分，即在原來的小區(qū)間區(qū)間xk, xk+1上增加分點(diǎn)上增加分點(diǎn)xk+1/2=(xk +xk+1)

8、/2，變?yōu)閮蓚€(gè)小區(qū)間。于是有，變?yōu)閮蓚€(gè)小區(qū)間。于是有 )()(2)(4)(12/11kkkkxkxxfxfxfhdxxf102/11011012/12)(2)()(4)()(2)(4mkkmkkkmkkkkmxfhxfxfhxfxfxfhTmabhxfhTTmkkmm ,102/12)(221把把(T(T2m2m- T- Tm m)/3)/3作為誤差的作為誤差的修正值修正值加到加到T T2m2m上去，得到上去，得到 龍貝格算法龍貝格算法5.4 Romberg Integration 322mmmTTTI )4(3132222mmmmmmTTTTTT 上式的精度上式的精度完全有可能完全有可能比比

9、T T2m2m好。好。412 mmTITI考察考察例：例：計(jì)算，檢驗(yàn)上述論斷。計(jì)算，檢驗(yàn)上述論斷。 dxx 10142 mhTmTmSm113.13.133333320.53.13117653.13333333.141568640.253.13898853.14156863.141592580.1253.14094163.1415925306253.14142993.14159265S Sm m T T2m2m)(mmTT2431= =?T2m2m1012/1)()(2)(4mkkkkxfxfxfh1011012/12)()(6)()(2)(3)4(31mkkkmkk

10、kkmmxfxfhxfxfxfhTT證明證明)4(312mmmTTS 1012/1)()(4)(6mkkkkxfxfxfh101)()(2mkkkxfxfhTm m= = Sm m同理，考察同理，考察1612 mmSISI1522mmmSSSI )6(mmmmmmSSSSSS2222115115= = Cm m因此還有因此還有)46(6312mmmCCR Romberg 公式公式)(6hOCm)(4hOSm6412mmCICI5.4 Romberg Integration mmmSTT1442mmmCSS144222mmmRCC144323 Romberg 算法：算法： R4 T1 T8 T4

11、 T2 S1 S2 C1 R1 C2 S4 mabh)x(fhTTmk/kmm ,2211021211 T16 14 R2 13 C4 12 S8 梯梯形形遞遞推推化化公公式式Romberg公式公式m2mRR 5.4 Romberg Integration 5.5 高斯型高斯型積分積分 /* Gaussian Quadrature */bankkkxfAdxxf0)()(用用n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)構(gòu)造具有個(gè)節(jié)點(diǎn)構(gòu)造具有2n+1次代數(shù)精度的求積公式次代數(shù)精度的求積公式將節(jié)點(diǎn)將節(jié)點(diǎn) x0 xn 以及系數(shù)以及系數(shù) A0 An 都作為待定系數(shù)。都作為待定系數(shù)。令令 f (x) = 1, x, x2, , x2n

12、+1 代入可求解，得到的公式代入可求解，得到的公式具有具有2n+1 次代數(shù)精度。這樣的節(jié)點(diǎn)稱為次代數(shù)精度。這樣的節(jié)點(diǎn)稱為Gauss 點(diǎn)點(diǎn)，公式稱為公式稱為Gauss 型求積公式型求積公式。例：例：求求 的的 2 點(diǎn)點(diǎn) 求積求積 公式公式11)(dxxf有有 次代數(shù)精度。次代數(shù)精度。)x(fA)x(fAdx)x(f110011 解：解：限定求積節(jié)點(diǎn)限定求積節(jié)點(diǎn)x0=-1, x1=1，得到，得到插值型求積公式插值型求積公式)(f)(fdx)x(f1111 1用解非線性方程用解非線性方程組求高斯點(diǎn)的方組求高斯點(diǎn)的方法很困難！法很困難！如果設(shè)如果設(shè) ，我們對(duì)式中的系數(shù)，我們對(duì)式中的系數(shù)A0, A1和節(jié)

13、點(diǎn)和節(jié)點(diǎn)x0, x1不事先加以限制，而是適當(dāng)?shù)剡x其值，可使所不事先加以限制，而是適當(dāng)?shù)剡x其值，可使所得的公式有得的公式有 3 次代數(shù)精度。次代數(shù)精度。 1-11100)()()(xfAxfAdxxf代入代入 f (x) = 1, x, x2, x3,要求準(zhǔn)確成立，得到要求準(zhǔn)確成立，得到 5.5 Gaussian Quadrature 03202311300211200110010 xAxA/xAxAxAxAAA31322020102021/)(xxAAxx從而有從而有)(f)(fdx)x(f333311 稱之為稱之為2點(diǎn)點(diǎn)Gauss公式公式，具有，具有3次代數(shù)精度。次代數(shù)精度。 bankkkx

14、fAdxxf0)()(構(gòu)造具有構(gòu)造具有2n+1次代數(shù)精度的次代數(shù)精度的n+1點(diǎn)點(diǎn)Gauss公式公式?133331010AAxx/如果式中如果式中x0 xn 為為 Gauss 點(diǎn)點(diǎn), 則公式則公式 至少有至少有 2n+1 次代數(shù)精度。次代數(shù)精度。bankkkxfAdxxf0)()(對(duì)任意次數(shù)對(duì)任意次數(shù)不大于不大于n 的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式 P(x)， P(x) w(x)的次數(shù)的次數(shù)不不大于大于2n+1，則代入公式應(yīng)則代入公式應(yīng)精確成立精確成立：nkkkkbaxwxPAdxxwxP0)()()()(0= 0 x0 xn 為為 Gauss 點(diǎn)的充要條件是點(diǎn)的充要條件是 與與任意次數(shù)不大于任意次數(shù)不大于n

15、的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式 P(x) 正交正交，即成立，即成立 nkkxxxw0)()(定理定理利用區(qū)間利用區(qū)間a, b上的上的n+1次正交多項(xiàng)式次正交多項(xiàng)式確定確定Gauss點(diǎn)點(diǎn)；然后；然后利用利用代數(shù)精度代數(shù)精度確定確定求積系數(shù)求積系數(shù)。作一個(gè)作一個(gè)n+1次的多項(xiàng)式次的多項(xiàng)式 )()()()(100nnkkxxxxxxxxxw0)()(badxxwxP求求 Gauss 點(diǎn)點(diǎn) 求求w(x)5.5 Gaussian Quadrature 高斯高斯勒讓德求積公式勒讓德求積公式/*Gauss-Legendre 公式公式Legendre 多項(xiàng)式族：多項(xiàng)式族： 定義在定義在 1, 1上上nnnnnxdxdnxP

16、)1(!21)(2)33035(81)()35(21)()13(21)()(1)(244232210 xxxPxxxPxxPxxPxP遞推公式遞推公式 )x(nP)x(xP)n()x(P)n(nnn11121 Legendre多項(xiàng)式多項(xiàng)式Pn(x)對(duì)于任意對(duì)于任意n-1次的多項(xiàng)式在次的多項(xiàng)式在-1, 1上上正交正交。 定理定理5.5 Gaussian QuadraturennnnnxdxdnxP)1(!21)(2 Legendre多項(xiàng)式多項(xiàng)式Pn(x)對(duì)于任意對(duì)于任意n-1次的多項(xiàng)式在次的多項(xiàng)式在-1, 1上上正交正交。 定理定理證明證明： 令令n)x()x(g12 有有110 01 n,.,

17、k,)x(gx)k(11)(11)()(!21)()(dxxgxQndxxQxPnnn11)1(11)1()()()()(!21dxxgxQxgxQnnnn11)1()()(!21dxxgxQnnn 11)2(11)2()()()()(!21dxxgxQxgxQnnnn11)()()(!2)1(dxxgxQnnnn00= 0k次勒讓德多項(xiàng)次勒讓德多項(xiàng)式式的的k個(gè)零點(diǎn)個(gè)零點(diǎn)就就是是k k個(gè)高斯點(diǎn)個(gè)高斯點(diǎn)，用來構(gòu)造用來構(gòu)造k k點(diǎn)高點(diǎn)高斯斯勒讓德求積勒讓德求積公式公式。 詳見教詳見教材材P.140P.140表表5.15.1若若Q(x)是次數(shù)小于是次數(shù)小于n的多的多項(xiàng)式，則恒有項(xiàng)式，則恒有Q(n)(

18、x)=05.5 Gaussian Quadrature高斯高斯勒讓德求積公勒讓德求積公式式nnkkkGxfAdxxf110)()(n=0: 一點(diǎn)公式一點(diǎn)公式011)0(2)(Gfdxxf中矩形公式中矩形公式badxxf)()(knkktababfAab2220?9460831. 02121sin21sin3010kkkkttAdxxx9460831. 0sin21sin21sin301110kkkkxxAdxxxdxxx解解：作變量替換：作變量替換 x=1/2+t/2本題可以不作變量替換本題可以不作變量替換: : 10dxxxsin例例 用用四點(diǎn)四點(diǎn)高斯高斯勒讓德公式計(jì)算勒讓德公式計(jì)算(I=0.9460831)n=1: 兩點(diǎn)公式兩點(diǎn)公式n=3: 四點(diǎn)公式四點(diǎn)公式)33998104. 0()33998104. 0(65214515. 0)86113631. 0()86113631. 0(34785485. 03ffffG )