數(shù)學分析 一致收斂性PPT精選文檔

1、1 一致收斂性 三、函數(shù)項級數(shù)的一致收斂判別法 對于一般項是函數(shù)的無窮級數(shù)，其收斂性要比數(shù)項級數(shù)復雜得多，特別是有關一致收斂的內(nèi)容就更為豐富，它在理論和應用上有著重要的地位.一、函數(shù)列及其一致收斂性 二、函數(shù)項級數(shù)及其一致收斂性一、函數(shù)列及其一致收斂性 設設12,(1)nfff是一列定義在同一數(shù)集是一列定義在同一數(shù)集 E 上的函數(shù)上的函數(shù), ,稱為定義在稱為定義在E 上的函數(shù)列上的函數(shù)列. . (1) 也可記為也可記為 ,1,2,.nnffn或或以以0 xE 代入代入 (1), 可得數(shù)列可得數(shù)列 10200(),(),(),.(2)nfxfxfx0 x0 x如果數(shù)列如果數(shù)列(2)收斂收斂, 則

2、稱函數(shù)列則稱函數(shù)列(1)在點在點收斂收斂, 稱稱 為函數(shù)列為函數(shù)列(1)的收斂點的收斂點. 如果數(shù)列如果數(shù)列(2)發(fā)散發(fā)散, 則稱函數(shù)則稱函數(shù) 列列(1)在點在點0 x發(fā)散發(fā)散. 當函數(shù)列當函數(shù)列(1)在數(shù)集在數(shù)集 上每一上每一 DE 點都收斂時點都收斂時, 就稱就稱(1)在數(shù)集在數(shù)集 D 上收斂上收斂. 這時這時 D 上每上每 x( )nfx一點一點都有數(shù)列都有數(shù)列的一個極限值與之相對應的一個極限值與之相對應 , 根據(jù)這個對應法則所確定的根據(jù)這個對應法則所確定的 D 上的函數(shù)上的函數(shù), 稱為函數(shù)稱為函數(shù) 列列(1)的極限函數(shù)的極限函數(shù). 若將此極限函數(shù)記作若將此極限函數(shù)記作f, 則有則有l(wèi)i

3、m( )( ) ,nnfxf xxD或或( )( )() ,.nfxf xnxD N xD 函數(shù)列極限的函數(shù)列極限的定義定義: 對每一固定的對每一固定的, 任任 , 總存在正數(shù)總存在正數(shù)N(注意注意: 一般說來一般說來N值與值與 給正數(shù)給正數(shù)和和 , x)表示三者之間表示三者之間 的值都有關的值都有關, 所以有時也用所以有時也用N(x 的依賴關系的依賴關系), 使當使當nN 時時, 總有總有 |( )( )|.nfxf x 使函數(shù)列使函數(shù)列nf收斂的全體收斂點集合收斂的全體收斂點集合, 稱為函數(shù)列稱為函數(shù)列 nf的的收斂域收斂域. 例例1 ( ),1,2,nnfxxn 設設為為定定義義在在(

4、(- -) )上的上的 函數(shù)列函數(shù)列, 證明它的收斂域是證明它的收斂域是( 1,1 , 且有極限函數(shù)且有極限函數(shù) 0,| 1,( )1,1.xf xx 證證 0(1),0| 1,x 任任給給不不妨妨設設當當時時 由由于于|( )( )| |,nnfxf xxln( ,),( ,)ln|NxnNxx 只要取當時,就有只要取當時,就有|( )( )| |.nNnfxf xxx 01,xxn當當和和時時 則則對對任任何何正正整整數(shù)數(shù)都都有有|(0)(0)| 0nff ，|(1)(1)| 0.nff 式所表示的函數(shù)式所表示的函數(shù). | 1|(),nxxn當當時時, , 有有 1,x當當時時 又又1,1

5、,1,1,對對應應的的數(shù)數(shù)列列為為 顯然是發(fā)散的顯然是發(fā)散的. 所以所以 nx( 1,1 函數(shù)列函數(shù)列在區(qū)間在區(qū)間 外都是發(fā)散的外都是發(fā)散的. 故所討論故所討論的函數(shù)列的收斂域是的函數(shù)列的收斂域是 ( 1,1. 這就證明了這就證明了 在在( , 1 上收斂上收斂, 且極限就是且極限就是(3)nf1例例2 sin(,)( ),nnxfxn 定定義義在在上上的的函函數(shù)數(shù)列列1,2,.n sin1,nxnn10,nN 故故對對任任給給的的只只要要就就有有sin0.nxn ,x由于對任何實數(shù)都有由于對任何實數(shù)都有所以函數(shù)列所以函數(shù)列sin(,),nx n 的的收收斂斂域域為為極極限限( )0.f x

6、函函數(shù)數(shù)為為注注 對于函數(shù)列對于函數(shù)列, 僅停留在討論在哪些點上收斂是遠僅停留在討論在哪些點上收斂是遠 遠不夠的，重要的是要研究極限函數(shù)與函數(shù)列所具遠不夠的，重要的是要研究極限函數(shù)與函數(shù)列所具 有的解析性質(zhì)的關系有的解析性質(zhì)的關系. 例如例如, 能否由函數(shù)列每項的能否由函數(shù)列每項的 連續(xù)性、可導性來判斷出極限函數(shù)的連續(xù)性和可導連續(xù)性、可導性來判斷出極限函數(shù)的連續(xù)性和可導 性性; 或極限函數(shù)的導數(shù)或積分或極限函數(shù)的導數(shù)或積分, 是否分別是函數(shù)列是否分別是函數(shù)列 每項導數(shù)或積分的極限每項導數(shù)或積分的極限. 對這些更深刻問題的討論對這些更深刻問題的討論, 必須對它在必須對它在 D上的收斂性提出更高的

7、要求才行上的收斂性提出更高的要求才行. 設函數(shù)列設函數(shù)列nff與與函函數(shù)數(shù)定定義義在在同同一一D定義定義1 數(shù)集數(shù)集上，上，,N 若若對對任任給給的的正正數(shù)數(shù)總總存存在在某某一一正正整整數(shù)數(shù)使當使當 nN,xD對一切都有對一切都有時，時，|( )( )|nfxf x ，nfDf則則稱稱函函數(shù)數(shù)列列在在上上一一致致收收斂斂于于, ,記記作作( )( )(),.nfxf x nxD由定義看到由定義看到, 一致收斂就是對一致收斂就是對 D 上任何一點上任何一點, 函數(shù)列函數(shù)列 趨于極限函數(shù)的速度是趨于極限函數(shù)的速度是 “一致一致” 的的. 這種一致性體現(xiàn)這種一致性體現(xiàn) ( ).N 顯然顯然, 若函數(shù)

8、列若函數(shù)列 nf在在 D 上一致收斂上一致收斂, 則必在則必在 D 上上每一點都收斂每一點都收斂. 反之反之, 在在 D 上每一點都收斂的函數(shù)列上每一點都收斂的函數(shù)列, 它在它在 D 上不一定一致收斂上不一定一致收斂. 為為: 與與 相對應的相對應的 N 僅與僅與 有關有關, 而與而與 x 在在 D 上的上的 取值無關取值無關, 因而把這個對所有因而把這個對所有 x 都適用的都適用的 N 寫作寫作 例例2 中的函數(shù)列中的函數(shù)列 sinnxn 是一致收斂的是一致收斂的, 因為對任意因為對任意 ,x 正正數(shù)數(shù)不不論論(- ,+ )(- ,+ )給定的給定的取取上什么值上什么值, 都有都有 N 1

9、1,nN當時 恒有當時 恒有sinnxn , , 所以函數(shù)列所以函數(shù)列 sin( )0nxf xn在在( (- - , ,+ + ) )上上一一致致收收斂斂于于. .在在 D 上不一致收斂于上不一致收斂于 f 的正面陳述是的正面陳述是: nf函函數(shù)數(shù)列列存在某正數(shù)存在某正數(shù)0, 對任何正數(shù)對任何正數(shù) N, 都有某一點都有某一點0 xD和和00 xn與與的取值與的取值與 N 有關有關 ) ), ( ( 注意注意: 0nN某某一一正正整整數(shù)數(shù)使得使得0000()().nfxf x (0,1)0.nx在在上上不不可可能能一一致致收收斂斂于于由例由例1 中知道中知道, 下面來證明這個結(jié)論下面來證明這個

10、結(jié)論. 事實上事實上, 若取若取01,2,2N 對對任任何何正正整整數(shù)數(shù)取取正正整整10011(0, 1),NnNxN數(shù)數(shù)及及就有就有 001101.2nxNnff函函數(shù)數(shù)列列一一致致收收斂斂于于的的幾幾何何意意義義: :如如圖圖所所示示, ,號大于號大于N 的的所所有有曲曲線線( )yf x 都都落落在在曲曲線線與與( )yf x 所所夾夾的的帶帶狀區(qū)域之內(nèi)狀區(qū)域之內(nèi).( ) (),nyfxnN00,N , ,對對于于序序Oyx( )yf x ( )nyfx ba( )yf x ( )yf x 圖圖 13-1 (0,1)nx函函數(shù)數(shù)列列在在區(qū)區(qū)間間上上,不不一一致致收收斂斂從幾何意義上從幾何

11、意義上 看看, 就是存在某個預先給定就是存在某個預先給定 的的 (0, 存在正數(shù)存在正數(shù)N, 使得當使得當 nN時時, 對一切對一切 ,xD 都有都有 |( )( )|.(5)2nfxf x ,n mN于于是是當當, ,由由( (5 5) )得得|( )( )| |( )( )|( )( )|nmnmfxfxfxf xf xfx.22 充分性充分性 若條件若條件 (4) 成立成立, 由數(shù)列收斂的柯西準則由數(shù)列收斂的柯西準則, ( ),f x在在D上任一點都收斂上任一點都收斂, 記其極限函數(shù)為記其極限函數(shù)為nf .(4),x DnmnN現(xiàn)現(xiàn)固固定定式式中中的的讓讓于于是是當當時時x D對對一一切

12、切都都有有|( )( )|.nfxf x 由定義由定義1知知, 根據(jù)一致收斂定義可推出下述定理根據(jù)一致收斂定義可推出下述定理:定理定理13.2（余項準則）（余項準則） nfD函函數(shù)數(shù)列列在在區(qū)區(qū)間間上一致上一致 收斂于收斂于f的充分必要條件是的充分必要條件是: limsup |( )( )| 0.(6)nnx Dfxf x, 當當 , 存在不依賴于存在不依賴于 xN任給的正數(shù)任給的正數(shù)的正整數(shù)的正整數(shù)( )( )(),.nfxf xnxD 證證 必要性必要性 ( )( )(),.nfxf xnxD若若則對則對 由上確界的定義由上確界的定義, 對所有對所有nN, 也有也有sup|( )( )|.

13、nx Dfxf x 這就得到了這就得到了(6)式式.充分性充分性 由假設由假設, 對任給對任給 0, 存在正整數(shù)存在正整數(shù)N, 使得使得 nN當當時時, ,有有sup|( )( )|.(7)nx Dfxf x ,xD因因為為對對一一切切總總有有有有 |( )( )|,.nfxf xxD nN 時,時,|( )( )| sup|( )( )|.nnx Dfxf xfxf x.f一一致致收收斂斂于于注注 柯西準則的特點是不需要知道極限函數(shù)是什么柯西準則的特點是不需要知道極限函數(shù)是什么, 只是根據(jù)函數(shù)列本身的特性來判斷函數(shù)列是否一致只是根據(jù)函數(shù)列本身的特性來判斷函數(shù)列是否一致 收斂收斂, 而使用余項

14、準則需要知道極限函數(shù)而使用余項準則需要知道極限函數(shù), 但使用但使用 較為方便較為方便. 如例如例2, 由于由于 (,)sin1limsup0lim0,nnxnxnn sin(,),0().nxnn所所以以在在上上故由故由 (7) 式得式得( )( ),nnfxf xfD 于于是是在在上上例例3 定義在定義在0,1上的函數(shù)列上的函數(shù)列2212,0,211( )22,1,2,(8)210,1,nn xxnfxnn xxnnnxn(0)0,nf由于由于(0)f故故lim(0)0.nnf01,x當當時時1,nx只只要要就就有有( )0,nfx (0,1故故在在上上有有( )lim( )0.nnf xf

15、x1, 2, 3n 其其中中的圖的圖像如圖像如圖13-3 所示所示. (8)0,1于于是是在在上上的的極極限限函函數(shù)數(shù)( )0.f x 為為又又由由于于0,11sup( )( )(),2nnxfxf xfnnn 所以函數(shù)列所以函數(shù)列 (8) 在在0,1上不一致收斂上不一致收斂.133 圖圖()f x11f2f3f12131614213xyO例例4 討論函數(shù)例討論函數(shù)例222( )e,0,1n xnfxn xx 的一致的一致 收斂性收斂性. 解解 為了使用余項準則為了使用余項準則, 首先求出函數(shù)列的極限函數(shù)首先求出函數(shù)列的極限函數(shù). 易見易見222( )lim( )lime0,0,1,n xnn

16、nf xfxn xx 于是于是 222|( )(0)|e.n xnfxfn x 222en xn x 0,1容易驗證容易驗證 在在 上只有惟一的極大值點上只有惟一的極大值點 012xn , 因此為最大值點因此為最大值點. 于是于是 12sup|( )( )|e2nnfxf x 根據(jù)余項準則知該函數(shù)列在根據(jù)余項準則知該函數(shù)列在0,1上不一致收斂上不一致收斂.注注 222( )en xnfxn x 不一致收斂是因為函數(shù)列余不一致收斂是因為函數(shù)列余 的增大一致趨于零的增大一致趨于零 0 x n項的數(shù)值在項的數(shù)值在 附近不能隨附近不能隨(見圖見圖13-4), 因此對任何不含原點的區(qū)間因此對任何不含原點

17、的區(qū)間 ,1(0aa 222( )en xnfxn x 在該區(qū)間上一致收斂于零在該區(qū)間上一致收斂于零. 1), 00.10.20.30.40.50.60.70.80.9100.511.522.5n = 1n = 2n = 3n = 4n = 5圖圖13 4 二、函數(shù)項級數(shù)及其一致收斂性( )nuxE設設是是定定義義在在數(shù)數(shù)集集上上的的一一個個函函數(shù)數(shù)列列, ,表表達達式式12( )( )( ),(9)nu xuxuxxE稱為定義在稱為定義在E上的函數(shù)項級數(shù)上的函數(shù)項級數(shù), 1( )nnux簡記為或簡記為或( ).nux稱稱1( )( ),1,2,(10)nnkkSxuxxE n為函數(shù)項級數(shù)為函

18、數(shù)項級數(shù)(9)的部分和函數(shù)列的部分和函數(shù)列.0,xE若數(shù)項級數(shù)若數(shù)項級數(shù)10200()()()(11)nu xuxux001()()nnkkSxuxn 收斂收斂, 即部分和即部分和當當時極限時極限 0 x0 x存在存在, 則稱級數(shù)則稱級數(shù)(9)在點在點收斂收斂, 稱為級數(shù)稱為級數(shù)(9)的收的收 斂點斂點. 若級數(shù)若級數(shù)(11)發(fā)散發(fā)散, 則稱級數(shù)則稱級數(shù)(9)在點在點0 x發(fā)散發(fā)散. 若若 級數(shù)級數(shù)(9)在在 E 的某個子集的某個子集 D 上每點都收斂上每點都收斂, 則稱級數(shù)則稱級數(shù) (9)在在 D 上收斂上收斂. 若若 D 為級數(shù)為級數(shù)(9)全體收斂點的集合全體收斂點的集合, 這時就稱這時就

19、稱 D為級數(shù)為級數(shù)(9)的收斂域的收斂域. 級數(shù)級數(shù)(9)在在 D上每一上每一 點點 x 與其所對應的數(shù)項級數(shù)與其所對應的數(shù)項級數(shù)(11)的和的和( )S x構(gòu)成一個構(gòu)成一個 定義在定義在 D 上的函數(shù)上的函數(shù), 稱為級數(shù)稱為級數(shù)(9)的和函數(shù)的和函數(shù), 并記作并記作 12( )( )( )( ),nu xuxuxS xxD即即lim( )( ),.nnSxS xxD也就是說也就是說, 函數(shù)項級數(shù)函數(shù)項級數(shù)(9)的收斂性就是指它的部分的收斂性就是指它的部分 和函數(shù)列和函數(shù)列(10)的收斂性的收斂性. 例例5 (,) 定定義義在在上上的的函函數(shù)數(shù)項項級級數(shù)數(shù)( (幾幾何何級級數(shù)數(shù)) )21,(1

20、2)nxxx1( ).| 11nnxSxxx的的部部分分和和函函數(shù)數(shù)為為當當時時, ,1( )lim( ).1nnS xSxx1(12)( 1,1)( );1S xx所所以以幾幾何何級級數(shù)數(shù)在在收收斂斂于于|1,.x 當當時時 幾幾何何級級數(shù)數(shù)是是發(fā)發(fā)散散的的定義定義2 ( )( )nnSxux設設是是函函數(shù)數(shù)項項級級數(shù)數(shù)的的部部分分和和.( )( ),nSxDS x函函數(shù)數(shù)列列 若若在在數(shù)數(shù)集集 上上一一致致收收斂斂于于 則稱則稱( )( ),nuxDS x函函數(shù)數(shù)項項級級數(shù)數(shù)在在上上一一致致收收斂斂于于函函數(shù)數(shù)( ).nuxD或或稱稱在在上上一一致致收收斂斂由于函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性是由它

21、的部分和函數(shù)由于函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性是由它的部分和函數(shù) 列來確定列來確定, 所以得到的有關函數(shù)項級數(shù)的定理所以得到的有關函數(shù)項級數(shù)的定理. 定理定理 13.3 ( 一致收斂的柯西準則一致收斂的柯西準則 ) 函數(shù)項級數(shù)函數(shù)項級數(shù) ( )nux在數(shù)集在數(shù)集 D 上一致收斂的充要條件為上一致收斂的充要條件為: 對任對任 , 存在正整數(shù)存在正整數(shù) N,nN 時時給的正數(shù)給的正數(shù)，使當，使當 對一切對一切 xD, p一切正整數(shù)都有一切正整數(shù)都有和和|( )( )|,n pnSxSx 或或12|( )( )( )|.nnn puxuxux 此定理中當此定理中當 p=1 時時, 得到函數(shù)項級數(shù)一致收斂的一

22、得到函數(shù)項級數(shù)一致收斂的一 個必要條件個必要條件.推論推論 (函數(shù)項級數(shù)一致收斂的必要條件函數(shù)項級數(shù)一致收斂的必要條件) 函數(shù)項級函數(shù)項級 數(shù)數(shù)( )nuxD在在數(shù)數(shù)集集上上一一致致收收斂斂的的必必要條件是函數(shù)要條件是函數(shù) ( )nuxD列列 在在上一致收斂于零上一致收斂于零. ( )( ),nuxDS x設設函函數(shù)數(shù)項項級級數(shù)數(shù)在在上上的的和和函函數(shù)數(shù)為為稱稱( )( )( )nnRxS xSx( ).nux為函數(shù)項級數(shù)的余項為函數(shù)項級數(shù)的余項定理定理13.4 (余項法則余項法則) 函數(shù)項級數(shù)函數(shù)項級數(shù)( )nux在數(shù)集在數(shù)集 D 一致收一致收( )S x斂斂于于的的充充要要條條件件是是li

23、msup|( )| limsup|( )( )| 0.nnnnx Dx DRxS xSx0, (1)nnxa a a我們再來看例4中的級數(shù)若僅在我們再來看例4中的級數(shù)若僅在上討論上討論, 則由則由 ,sup |( )( )|sup1nnxa axa axSxS xx 0()1nana0, ( 1,1)nnxa a可可得得級級數(shù)數(shù)在在上上一一致致收收斂斂. .若若在在上討論這個級數(shù)上討論這個級數(shù), 則由則由 ( 1,1)( 1,1)sup |( )( )|sup1111nnnxxxnnSxS xnnx 1()1nnnnn 0( 1,1)nnx知知道道級級數(shù)數(shù)在在內(nèi)內(nèi)不不一一致致收收斂斂. .20

24、(1)nnxx 0,1例例6 討論函數(shù)項級數(shù)討論函數(shù)項級數(shù)在在上一致上一致 收斂性收斂性. 210( )(1)(1)(1)nknnkSxxxxx 所以所以 ( )lim( )(1)0,1.nnS xSxxx ，于是于是|( )( )|(1),0,1,nnS xSxxxx 由由1(1)(1)0nnnxxnxnx 解得最大值點解得最大值點 01nxn , 故故 0 x (1)0nS 01x 解解 當當時時,; 當當時時0,1sup |( )( )|nxS xSx 因此因此20(1)nnxx 在在0,1上一致收斂上一致收斂.注注 當和函數(shù)容易求出時當和函數(shù)容易求出時, 余項準則是比較好用的一種判別方

25、法余項準則是比較好用的一種判別方法. 1011nnnn0n 1n 2n ( )1S xx ( )()()111nnS xxx xy0.510.20.40.60.81O圖圖 13 - 5三、函數(shù)項級數(shù)的一致收斂判別法判別函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性除了根據(jù)定義、柯西判別函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性除了根據(jù)定義、柯西 準則或余項準則外準則或余項準則外, 有些級數(shù)還可以根據(jù)級數(shù)一般有些級數(shù)還可以根據(jù)級數(shù)一般 項的某些特性來判別項的某些特性來判別. 定理定理13.5 (魏爾斯特拉斯判別法，或優(yōu)級數(shù)判別法魏爾斯特拉斯判別法，或優(yōu)級數(shù)判別法) ( ),nuxD定義在數(shù)集上定義在數(shù)集上nM設函數(shù)項級數(shù)設函數(shù)項級數(shù)為收為

26、收 斂的正項級數(shù)，斂的正項級數(shù)，,xD若若對對一一切切有有|( )|,1,2,(13)nnuxMn( )nuxD則則函函數(shù)數(shù)項項級級數(shù)數(shù)在在上上一一致致收收斂斂. .證證 ,nM由由假假設設正正項項級級數(shù)數(shù)收收斂斂 根根據(jù)據(jù)數(shù)數(shù)項項級級數(shù)數(shù)的的柯柯, 存在某正整數(shù)存在某正整數(shù)N, 使得當使得當 n N 西準則西準則, 任給正數(shù)任給正數(shù) 及任何正整數(shù)及任何正整數(shù) p, 有有 11|.nn pnn pMMMM (13)xD又又由由式式對對一一切切有有11|( )( )| |( )|( )|nn pnn puxuxuxux根據(jù)函數(shù)項級數(shù)一致收斂的柯西準則根據(jù)函數(shù)項級數(shù)一致收斂的柯西準則, 級數(shù)級數(shù)(

27、 )nux在在 D 上一致收斂上一致收斂. 1.nn pMM 例例7 函數(shù)項級數(shù)函數(shù)項級數(shù)22sincos,nxnxnn(,)(,)x在在上上一一致致收收斂斂. .因因為為對對一一切切有有 2222sin1cos1,nxnxnnnn21.n而正項級數(shù)是收斂的而正項級數(shù)是收斂的當級數(shù)當級數(shù)( ) , nnuxMa b與級數(shù)在區(qū)間與級數(shù)在區(qū)間上成立關上成立關 nM , a b系式系式(13)時時, 則稱級數(shù)則稱級數(shù)在區(qū)間在區(qū)間上優(yōu)于級上優(yōu)于級 ( )nux( )nnMux為為數(shù)數(shù), 或稱或稱的的優(yōu)級數(shù)優(yōu)級數(shù). 優(yōu)級優(yōu)級 數(shù)判別法也稱為數(shù)判別法也稱為M 判別法判別法. 利用阿貝爾分部求和公式利用阿貝

28、爾分部求和公式(第十二章第十二章3的引理的引理), 可可 以得到與數(shù)項級數(shù)相似的判別函數(shù)項級數(shù)一致收斂以得到與數(shù)項級數(shù)相似的判別函數(shù)項級數(shù)一致收斂 的阿貝爾判別法和狄利克雷判別法的阿貝爾判別法和狄利克雷判別法. 設有定義在區(qū)間設有定義在區(qū)間I上形如上形如1122( )( )( ) ( )( )( )nnux vxu x vxux vx的函數(shù)項級數(shù)的函數(shù)項級數(shù). 對級數(shù)對級數(shù)(14)有有:( )( )(14)nnux vx定理定理13.6( (阿貝耳判別法阿貝耳判別法) )設設 (i)( );nuxI在在區(qū)區(qū)間間上上一一致致收收斂斂(ii),( );nxIvx對對于于每每一一個個是是單單調(diào)調(diào)的的

29、(iii)( ),nvxIxI在在上上一一致致有有界界 即即對對一一切切和正整和正整數(shù)數(shù) , 存在正數(shù)存在正數(shù)M, 使得使得 n|( )|,nvxM則級數(shù)則級數(shù)(14)在在 I 上一致收斂上一致收斂.12|( )( )( )|nnn puxuxux 又由又由(ii),(iii)及阿貝耳引理及阿貝耳引理(第十二章第十二章3的引理的推的引理的推 論論)得到得到 11|( )( )( )( )|nnn pn pux vxux vx由函數(shù)項級數(shù)一致收斂性的柯西準則由函數(shù)項級數(shù)一致收斂性的柯西準則, 得級數(shù)得級數(shù)(14) 在在 I 上一致收斂上一致收斂. 1(|( )| 2|( )|)3.nn pvxv

30、xM證證 (i),0,NnN 由由任任給給存存在在某某正正數(shù)數(shù)使使得得當當及及,pxI任任何何正正整整數(shù)數(shù)對對一一切切有有定理定理13.7 (狄利克雷判別法狄利克雷判別法) 設設(i)( )nux 的部分和數(shù)列的部分和數(shù)列1( )( )(1,2,)nnkkUxuxn在在 I 上一致有界上一致有界;(ii),( );nxIvx對對于于每每一一個個是是單單調(diào)調(diào)的的 (iii)( )0(),nIvxn在在上上則級數(shù)則級數(shù)(14)在在I上一致收斂上一致收斂.|( )|.nUxM證證 由由(i), 存在正數(shù)存在正數(shù) M, 對一切對一切x I, 有有 因此當因此當 n, p 為任何正整數(shù)時為任何正整數(shù)時,

31、 12|( )( )( )| |( )( )| 2.nnnpnpnuxuxuxUxUxM對任何一個對任何一個x I, 再由再由(ii)及阿貝耳引理得到及阿貝耳引理得到 11|( )( )( )( )|nnn pn pux vxux vx 0, 存在正數(shù)存在正數(shù)N, 當當nN 時時, 對對 再由再由(iii), 對任給的對任給的 一切一切x I, 有有 |( )|,nvx 所以所以12(|( )| 2|( )|).nn pMvxvx11|( )( )( )( )|nnn pn pux vxux vx2(2 )6.MM 于是由一致收斂性的柯西準則于是由一致收斂性的柯西準則, 級數(shù)級數(shù)(14)在在I上一致上一致 收斂收斂. 例例8 函數(shù)項級數(shù)函數(shù)項級數(shù)11( 1) ()nnnnxnn在在0, 1上一致收斂上一致收斂.( 1)( ),( )1nnnnxuxvxnn記記nu