插值法與Lagrange插值課件

1、iiijjijiilxlbx11nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211bAx ni, 3 ,2第3章 插值法iiijjijiilxlbx11nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211bAx 第3章 插值法 3.1 插值法插值法 Lagrange插值插值 3.4 分段插值法分段插值法 3.2 Newton插值插值 3.3 Hermite插值插值 3.5 三次樣條插值三次樣條插值本章要點(diǎn)用簡單的函數(shù)(如多項(xiàng)式函數(shù))作為一個(gè)復(fù)雜函數(shù)的近似,最簡單實(shí)用的方法就是插值,而數(shù)據(jù)擬合則是另外一類的函數(shù)近似問題.本章主要介紹有關(guān)插值法的一些基本概念,及多項(xiàng)式插值的基礎(chǔ)理論和幾個(gè)

2、常用的插值方法:Lagrange插值、分段線性插值、Newton插值、Hermite插值、三次樣條插值 3.1 插值法插值法( ),f x對函數(shù)其函數(shù)形式可能很復(fù)雜 且不利于在計(jì)算機(jī),( ) , 1f xa bn上運(yùn)算 假如可以通過實(shí)驗(yàn)或測量 可以獲得在區(qū)間上的一組個(gè)不同的點(diǎn)bxxxxan210nixfyii,2 , 1 , 0),(上的函數(shù)值能否存在一個(gè)性能優(yōu)良、便于計(jì)算的函數(shù)( )P x比如多項(xiàng)式函數(shù)使一、插值問題niyxPii,2 , 1 ,0)()()(xfxP近似代替并且用-(1)這就是插值問題, (1)式為插值條件,的插值函數(shù)為函數(shù)稱函數(shù))()(xfxP則稱之為插值多項(xiàng)式為多項(xiàng)式函

3、數(shù)如果,)(xP為插值節(jié)點(diǎn)稱點(diǎn)nixi,2 , 1 , 0,為插值區(qū)間稱區(qū)間,ba二、代數(shù)插值多項(xiàng)式的存在唯一性為了使插值函數(shù)更方便在計(jì)算機(jī)上運(yùn)算,一般插值函數(shù)都使用代數(shù)多項(xiàng)式和有理函數(shù)本章討論的就是代數(shù)插值多項(xiàng)式上的代數(shù)插值多項(xiàng)式為在區(qū)間設(shè)函數(shù),)(baxfy nnnxaxaxaaxP2210)(且滿足niyxPiin,2 , 1 ,0)(-(2)-(3)滿足線性方程組的系數(shù)即多項(xiàng)式nnaaaaxP,)(21000202010yxaxaxaann11212110yxaxaxaannnnnnnnyxaxaxaa2210-(4)上述方程組的系數(shù)行列式為n+1階Vandermond行列式nnnnn

4、nxxxxxxxxxV212110200111101)(ninijijxxjixx 0定理1. 由Cramer法則,線性方程組(4)有唯一解nnnxaxaxaaxP2210)(niyxPiin,2 , 1 ,0)(-(2)-(3),(jixxji若插值節(jié)點(diǎn)則滿足插值條件的插值多項(xiàng)式存在且唯一.雖然線性方程組(4)推出的插值多項(xiàng)式存在且唯一但通過解線性方程組求插值多項(xiàng)式卻不是好方法維的間是的多項(xiàng)式構(gòu)成的線性空所有次數(shù)不超過n1n根據(jù)線性空間的理論個(gè)多項(xiàng)式組成維線性空間的基底也由這個(gè)11nn并且形式不是唯一的表示次多項(xiàng)式可由基底線性而任意一個(gè)n且在不同的基底下有不同的形式維線性空間的一個(gè)基底為上述

5、設(shè)1)(,),(),(10nxxxn三、Lagrange插值多項(xiàng)式線性表示可由次多項(xiàng)式且任意)(,),(),()(10 xxxxPnnn線性無關(guān)顯然)(,),(),(10 xxxn)()()()(1100 xaxaxaxPnnn的插值函數(shù)為某個(gè)函數(shù)如果)()(xfxPn為插值基函數(shù)則稱)(,),(),(10 xxxn-(5)niyxPiin,2 , 1 ,0)(-(6)且滿足為插值節(jié)點(diǎn)其中nixi,2 , 1 , 0,nixfyii,2 , 1 ,0)(012 , naxxxxba b如果為區(qū)間上的一組節(jié)點(diǎn)njxlnj,2 , 1 , 0),(次多項(xiàng)式我們作一組)()()()()()()(11

6、101110njjjjjjjnjjjxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxlnjiiijixxxx0)()(nj,2 , 1 ,0-(7)()(10nxxxxxx)(1xn令)(1jnx則)()()(1110njjjjjjjxxxxxxxxxxn+1次多項(xiàng)式)()()()()()()(11101110njjjjjjjnjjjxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxlnj,2 , 1 ,0-(7)且)(ijxljiji01nji,2 , 1 ,0,-(8)線性無關(guān)顯然)(,),(),(),(210 xlxlxlxln(請同學(xué)們思考)()(11jjnnxxxx從而的插值基函數(shù)作如果用)()(

7、,),(),(),(210 xfyxlxlxlxln則的插值多項(xiàng)式為而,)()(xfxPn)()()()(1100 xlaxlaxlaxPnnn為待定參數(shù)、其中naaa10)(inxPniyxfii,2 , 1 , 0)(令即njijjxla0)(niyi,2 , 1 ,0由(8)式,可得niyaii,2 , 1 ,0-(9)-(10),( )(0,1, ),( )(0,1, )( )ijnyf xxinlx inL x于是在節(jié)點(diǎn)上 以為插值基函數(shù)的插值多項(xiàng)式 記為為)()()()(1100 xlyxlyxlyxLnnn)(xljnjiiijixxxx0)()(其中-(7,7)-(11)插值多

8、項(xiàng)式的為式稱LagrangexfyxLn)()()11(插值基函數(shù)次為稱Lagrangennixlj), 1 , 0()()()(11jjnnxxxx例1:15)225(,13)169(,12)144()(fffxf滿足已知.)175(,)(的近似值并求插值多項(xiàng)式的二次作fLagrangexf解:225,169,144210 xxx設(shè))(0 xl插值基函數(shù)為的二次則Lagrangexf)()()(201021xxxxxxxx2025)225)(169(xx)(1xl)()(210120 xxxxxxxx1400)225)(144(xx)(2xl)()(120210 xxxxxxxx4536)1

9、69)(144(xx15,13,12210yyy插值多項(xiàng)式為的二次因此Lagrangexf)()()()()(2211002xlyxlyxlyxL且)175(f)175(2L)175(15)175(13)175(12210lll73158230.13在例1中,如果只給出兩個(gè)節(jié)點(diǎn)169和225,也可以作插值多項(xiàng)式,即1次Lagrange插值多項(xiàng)式,有兩個(gè)插值基函數(shù),這種插值方法稱為Lagrange線性插值,也可以在n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)中取相鄰的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)作線性插值11,kkkkyyxx函數(shù)值節(jié)點(diǎn)Lagrange線性插值基函數(shù)為)(xlk11kkkxxxx)(1xlkkkkxxxx1Lagrange線性插值

10、多項(xiàng)式為)()()(111xlyxlyxLkkkk11kkkkxxxxykkkkxxxxy11例2.).175(1fLagrange中的線性插值多項(xiàng)式求例用之間與在由于插值點(diǎn)22516917521xxx解:為插值節(jié)點(diǎn)與因此取22516921xx)(1xl212xxxx56225x)(2xl121xxxx56169xLagrange插值基函數(shù)為Lagrange線性插值多項(xiàng)式為)()()(22111xlyxlyxL5622513x5616915x)175(f5622517513561691751571285214.13所以( )yf xLagrange的插值njjjnxlyxL0)()(滿足nix

11、fxLiin, 1 , 0)()(,bax但)()(xfxLn不會(huì)完全成立因此,插值多項(xiàng)式存在著截?cái)嗾`差,那么我們怎樣估計(jì)這個(gè)截?cái)嗾`差呢？2 插值余項(xiàng)與誤差估計(jì)插值余項(xiàng)與誤差估計(jì))()(,xPxfban的插值多項(xiàng)式為上假設(shè)在區(qū)間)()()(xPxfxRnn令上顯然在插值節(jié)點(diǎn)為), 1 , 0(nixi)()()(iniinxPxfxRni, 1 , 0,0個(gè)零點(diǎn)上至少有在因此1,)(nbaxRn)()()(1xxKxRnn設(shè))()()(101nnxxxxxxx為待定函數(shù))(xK其中)()()()()(1xxKxPxfxRnnn)()()()(1xxKxPxfnn0 1( )( )( )( )(

12、 )nntf tP tK xt若引入輔助函數(shù) )(x則有0的區(qū)分與注意xt)(ix且)()()(1ininxxKxR0, ( ) , 2,ixxta bn因此 若令在區(qū)間上至少有個(gè)零點(diǎn) 即,0)(xni, 1 , 0nixi, 2 , 1 , 0,0)(1( )( ),( ),( )nnP xxf xt由于和為多項(xiàng)式 因此若可微則也可微)()()()(1xxKxPxfnn)()()()(1ininixxKxPxf根據(jù)Rolle定理,個(gè)零點(diǎn)上有至少在區(qū)間1),()(nbat再由Rolle定理,個(gè)零點(diǎn)上有至少在區(qū)間nbat),()( 依此類推( , ),( )1a btn在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)點(diǎn)使得的

13、階導(dǎo)數(shù)為零0)()1(n)()1(tn)()()()()(1txKtPtftnn)()()()()1(1)1()1(txKtPtfnnnnn由于)()()()()()1(1)1()1()1(nnnnnnxKPf因此)!1()()()1(nxKfn0)!1()()()1(nfxKn)()()(1xxKxRnn)()!1()(1)1(xnfnn所以)()()(截?cái)嗾`差的余項(xiàng)為插值多項(xiàng)式稱xPxRnn定理1.0( ) , 1,( )( ) , , , , , ,nniif xa bnP xf xa bnxa bxa b 設(shè)在區(qū)間上階可微為在上的 次插值多項(xiàng)式 插值節(jié)點(diǎn)為則有)(xRn)()!1()(1)1(xnfnn,)()(01niinxxx其中.,),(xba且依賴于Lagrange型余項(xiàng)|)(|max)1(1xfMnbxan|)(|)(|011niinnxxxN設(shè)|)(|xRn則)()!1()(1)1(xnfnn11)!1(1nnNMn例1:225,169,144,)(,. 1三個(gè)節(jié)點(diǎn)為若中在上節(jié)例xxf線性插值的余項(xiàng)為設(shè)LagrangexR)(1插值的余項(xiàng)為二次LagrangexR)(2解:.)175(截?cái)嗾`差近似值的線性和二次插值做試估計(jì)用fLagrangexxf21)(2341)( xxf2583)( xxf|)(|max2251692xfMx |)169(| f 41