數(shù)分II知識點分析

1、(2 -x)2求不定積分x2sin xdx二-x2d cosx二-x2cosx 2 xcosxdx222二-x cosx 2 xd sin x二-x cosx 2xsin x - 2 sin xdxx cosx 2x sinx 2cosx c求不定積分方法：(1) 兩類換元法；(2) 分部積分法( (重點) );排序：與 dxdx 湊的依次為指數(shù)和三角，多項式適用類型：被積函數(shù)含有兩種不同函數(shù)類型，或含有對數(shù)或或反三角函數(shù)求極限三種類型(I I)變上限積分函數(shù)類型求極限(IIII )定積分的定義(數(shù)項級數(shù)轉(zhuǎn)化為定積分求解)川)利用級數(shù)收斂性求極限(級數(shù)收斂則通項為0 0)X 222 X 2(t

2、ant2dt)22tan x2tant2dtlim -6lim塔x_oxx_o6xtanx2x21= lim2lim2= x 09xx 09x 9變上限積分函數(shù)極限的解題思路：0 0 比 0 0 型或無窮比無窮采用洛必達法則(一般是用兩次)；u (x)、亠(f(t)dt) = f(u(x)u(x)f(v(x)v(x)注意(1 1)v(x)(2 2)變上限積分函數(shù)不能用變量替換或等價量替換；其它正常函數(shù)可以采用等價量替換可減少計算量典型例題：p208p208 例 2 2p209ex2p209ex2 和課堂練習(xí)/ sinVIdt2p225p225 例 1 1 ex4ex4|叫.-廠2x2x 0 t

3、ant dt3x5X 2o tant dt3x3(2 -x)2求f (x)=1在 x = 0 處的幕級數(shù)展開式11 +x解題思路： 熟記求弧長的三個公式，小心計算; 記住若干函數(shù)的原函數(shù)； 記住求旋轉(zhuǎn)體的體積公式。1 1 1 12召:(護2n衛(wèi) 21十歹7*)n衛(wèi) 2CJn又級數(shù)n_ xn的收斂域為（-2, 2），故n12f (x)=1(2 -x)2oO=xn xnJX (-2,2)求函數(shù)在x = a處的幕級數(shù)展開式. .解題思路： 適當(dāng)變型，湊成含有（x-a）；常數(shù)歸一后用等比數(shù)列求和； 求出相應(yīng)的收斂域；1典型例題：求f（X）二 p在x =0（或x=4）處的幕級數(shù)展開式. .x 3x 2P

4、61P61 例 8 8 P63-63P63-63 ex2ex2 （ 2,62,6） ex3ex3（ 2 2）基本結(jié)論： 基本初等函數(shù)的ex,sin x,cosx,ln（1 x）,的幕級數(shù)展開式1+x求曲線x-xe e2從 x = 0 到 x=1 那一段的弧長exe f解：由于y=丁，則弧長典型例題:討論斂散性（包括絕對收斂、條件收斂、發(fā)散）1.1.:-xp1xpxp解：f f x=dxdx + + dxdx，山|川川川 1 1）111111111111111111111111（1 1 分）01 +x +x11+x1xp（I I ）對0dx，也1 +x1xp（1 1）當(dāng)p蘭0，L L 丄dx為定

5、積分 HHIIIIIIIIIHHIIIIIIIII 川 IIIHIIHIIIHIIH 川 IIIIII 川 I I 川1（1分）1 + x當(dāng)p : 0時，x = 0是瑕點，由于. . .（注:1xp1- dx和xpdx有相同的收斂性。）01 x01xp（2 2） 當(dāng)-10,即0p：1時，dx絕對收斂 mill!mill!川1（1分）01 +x1xp1xpI（3 3）當(dāng)p蘭1，即p1時，J Jdx = J dx發(fā)散川 IIIIII 川（1分）1+x0|1+x|beP（IIII ）對dx，L11 +x由于 lim 乂國十一 = lim =1，x*|1+x| 4 和 1+x11 +x:xp（4） 當(dāng)

6、p：0,即-p 1 1時，dx絕對收斂川川I川川川川illHIIHHHIIHH（1 1 分）基本結(jié)論:（5 5）當(dāng)p一0,即-p 1叮時，d：i xP dx發(fā)散川IIH川11111（1分）、11+x勺|1+x|八xp綜上，dx當(dāng)-1汕：0時絕對收斂，當(dāng)P1或p_0時發(fā)散川川（1分） 1+x解題思路：若積分區(qū)間為【0 0，】且只有 0 0 和：:是僅有的兩個瑕點，將積分分為瑕積分和無窮限反常積分分別討論：熟記幾個常見的 p p 積分；應(yīng)用等價量關(guān)系；對數(shù)函數(shù)與幕函數(shù)的關(guān)系（課堂結(jié)論）。典型例題 1 1:xpedx2 2二疤n：!n故二沁條件收斂.川川川III川11（1分）nmn解題思路：D-AD

7、-A 判別法解：由于sin n =11cos cos (n )222sin121 1sin2，即 a sinn 部分和有界，川川（2分）又丄單調(diào)遞減趨于n0 0，OQ .根據(jù) D-判別法，致收斂.HHiH 川川川1）（2分）n mn由于sin nn.2 sin nn 2n書.同理可證二C0s2n收斂,n =2n=1又1發(fā)散，則 a 豊門發(fā)散，I 川川 1 川 1（1 分）nZsinkxk=tn coskxk #11 11則limsup fn(x)-f(x)=0，故 fn(X)在D上一致收斂川Illi川I川HI! (3分)n - X3D(ii)(ii)D珂0,fn(x) - f(x)| A fn

8、() f( )=，ncos2nn1 cos2n(-1)(-1)-n 4nn 42nn 42nn 42n八3)n丄Jcos(2加n42nn生2n練習(xí)題:2、:(一 1)ncos (一1).2 - . 2nsin nnsin nx,(一 i 丿一nnmn四（ 1212分）敘述函數(shù)列 fn（X）在數(shù)集 D 上一致收斂的定義，討論函數(shù)列fn（x）二nxeX,n =1,2,在所示區(qū)間 D 的一致收斂性. .(i)(i)D二V：)(ii)(ii)D =0,證：函數(shù)列 fn（X）在數(shù)集 D 上一致收對任意 0，存在 N N N，當(dāng) n N 時，對任意 x D，有fn（Xf（X）川川川 I川川川川川川川|（4

9、分）(i)(i)D =1,：)nxf(xnmfn(xHm0，則supxDfn(X)-f (X)二supnxnxe二supnx(nx)22二supnx 0 (n)，n對任意x 0,-:fgjmfngjm匸=0.又supD則lim sup fn(x)-f(x),故 fn(x)在D上不一致收斂)川川川川川11(3分)n-.- x.D典型題目：p45p45 ex9ex9 和 ex1ex1五. .求出幕級數(shù)、n(n 1)xn的和函數(shù)，并指出其收斂域. .n z4解：由于limnn(n一1)=1，則收斂半徑 R = 1. .n_：:QQ當(dāng) x x= =：1 1 時，顯然vn(n 1)(_1)n發(fā)散，故收斂

10、域(-1,1).oO設(shè) s(x) =、n(n 1)xn，n=11 1則g(x)=(0g(t)dt，(石-x-1市-1,xf(x(0f(t)dt)g(x)珂.s( X ) = xf x )3HHHIHHillHH(份)(1-x3)彳21、2 nX X、n x3QOf(x)二n(n 1)xnd，則s( X)二x f( Mx由于,0f(t)dtx :x=(送n(n +1)tndt= ( n(n +1)tndt=送(n +1)xn=g(x)，又x:X0g(t)dt =o、(n 1)tndt，o(n 1)tndt 八n =1QOnXn =0COn出 xn呂n =11- X-1 L-X-1I 川川川川川(

11、4 分)1-xco典型題目、n：n:，“(n 1)2nW(1-X)3六. (1212 分)證明：函數(shù)S(x)八Tn(1 nx)n二即S(x)八ln(1彳叱在0,1上有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)n壬n注 上述題目分母中 3 3 次方，改為兩次方依然成立。典型例題：P43P43 例 3 3P45P45 ex5,ex5, ex6ex6 和 ex7ex7知識的重難點(級數(shù)部分)函數(shù)列、函數(shù)項級數(shù)(包括冪級數(shù))的解析性定理定理重點掌握,n3在0,1上連續(xù)，且有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù). .證：對任意 n ,任意x 0,1,ln(1 nx)3nnx$，又& 收斂,n nnn由 M-M-判別法，&ln(1嚴在0,1上

12、一致收斂)川川川 1|11|1 川1|(3分)nA又由二ln(13nx)各項在0,1上連續(xù),n =1n則S(x)八1n(1嚴在0,1上連續(xù)川川川|川|(2分)n n顯然Jln(13nx)各項在0,1上有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)且n n3(分,n1 nx1n3(1 nx)n2，川川I川III川(2分)對任意 n，任意x 0,1,(1 nx)n2,，n2由 M-M-判別法，12在0,1上一致收斂. .川川川川1川1)(3分)山(1+nx)n又由:;(1 nx)n21各項在0,1上連續(xù)，則S(x)QO.(1 nx)n21在0,1上連續(xù),川I川川川I川1(2分)即三個交換圖成立的條件及意義；明確極限符號與求和符號、積分符號、求導(dǎo)符號交換順利的條件（交換順序需要驗證的條件:連續(xù)和可積需要驗證兩個條件，可微分需要驗證三個條件 ），并靈活應(yīng)用（往年至少有兩大題）級數(shù)和反常積分得基本判別法：（I I） 一般判別分：D-AD-A 判別法；M-M-判別分， 萊布尼茨判別法（交錯級數(shù)）（IIII） 正項級數(shù)，非負函數(shù)的無窮限反常積分：比較判別法（一般式子，極限形式更方便） 比值判別法和比式判別法（級數(shù)）；注意：比較對象：p p 級數(shù)和 p p 積分；等比數(shù)列（記住基本結(jié)論）關(guān)于一致收斂:（IIIIII ）一致收斂判疋：M M 判別法（