平面向量復(fù)習(xí)應(yīng)注重的四個(gè)強(qiáng)化

1、y軸建則A（0，1），C（1,0），E(1,Fd2,0)PAPA-2,121,efEF（于、2EFEFPA丄EF例2.如圖，設(shè)G是厶OAB的重心，過1,PAEF2PA=EF1)(1)(2的直線與OA、OB分別交于P和Q,已知OPhOA,OQkOB,OAB和厶OPQ的面積分別為S和T。平面向量復(fù)習(xí)應(yīng)注重的四個(gè)強(qiáng)化平面向量是高中新課程教材中新增的內(nèi)容，在高考中如何考，在教學(xué)中如何把握，特別是該如何進(jìn)行系統(tǒng)的復(fù)習(xí)，作為廣大數(shù)學(xué)教師還不是十分清楚。通過對三年來江西與天津地區(qū)的數(shù)學(xué)試卷的分析，特別是2003年高考試題（江蘇卷）的研究，筆者認(rèn)為：在向量這一部分的教學(xué)（特別是高考復(fù)習(xí)教學(xué)）中，首先要注重基本

2、概念和基本運(yùn)算的教學(xué)，對概念要理解深刻到位，運(yùn)算要準(zhǔn)確，尤其是向量互相垂直、平行的充要條件和平面向量基本定理（包括坐標(biāo)運(yùn)算），應(yīng)當(dāng)達(dá)到運(yùn)用自如、熟練掌握的程度；其次教學(xué)中應(yīng)把向量與其他知識內(nèi)容進(jìn)行整合，將幾何問題、函數(shù)問題、解析幾何問題、三角問題等轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算，特別是坐標(biāo)形式的向量運(yùn)算問題，充分揭示數(shù)學(xué)中化歸思想的深刻含義，同時(shí)也顯示出向量的巨大威力。因而平面向量的復(fù)習(xí)教學(xué)應(yīng)注意以下四個(gè)方面的強(qiáng)化工作。一、強(qiáng)化用平面向量解決平面幾何問題的意識例1.如圖，P是正方形ABCD的對角線BD上一點(diǎn)，PECF是矩形,證明：PA=EFPALEF分析：如果用平面幾何的常規(guī)證法來處理這兩個(gè)結(jié)論，由于P點(diǎn)的不

3、確定性，顯然對大部分學(xué)生來講很困難，而如果抓住向量，那么可以把幾何關(guān)系快速轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，從而通過定量分析得出定性的結(jié)果證明：以DC所在直線為x軸，以DA所在直線為立如圖所示的直角坐標(biāo)系。設(shè)正方形邊長為1,DP則M為AB的中點(diǎn)，設(shè)OAa,OBb求證：11C4ss(1)3(2)Thk92證明：（1）連結(jié)OG并延長交AB于M11OM(OA2OB)2(a+b)OG2OM1OA1OB-(a+b)3333又0PhOAha,OQkOBkb二PQOQOP=kb-haPGOGOP1(a+b)ha=(1h)a+1b333P、G、Q三點(diǎn)共線，.存在實(shí)數(shù)P、G、Q三點(diǎn)共線，.存在實(shí)數(shù)使得PGPQ11即(h)a+b=

4、kb-33由平面向量基本定理知:由平面向量基本定理知:1h313h消去(o、/pnn-/aarTOPOQOPOQhkSOAOBOAOB由（1）知khh1田丁Uk1,03h101且01h1/.h13h12T4從而-h24(3h2)2oT4S93h199(3h1)S9十T1又-h21(h1)(2h1)0T1S23h123(3h1)S24T14ss綜上所述：即T-9S292說明：解本題的關(guān)鍵是理解向量的各種運(yùn)算的定義，并能熟練應(yīng)用運(yùn)算法則。利用向量解平面幾何問題有時(shí)特別方便，但要注意一點(diǎn)，不宜搞得過難過深，因?yàn)楦呖荚谶@方面要求不高，只是在數(shù)學(xué)競賽中有較高要求。、強(qiáng)化用平面向量解決解析幾何問題的意識在

5、高中數(shù)學(xué)里，解析幾何的運(yùn)算等問題是比較繁雜的，而有些問題如果應(yīng)用向量作形與數(shù)的轉(zhuǎn)化，則會大大簡化過程。而且向量的坐標(biāo)是代數(shù)與幾何聯(lián)系的紐帶，是平面向量的重點(diǎn)內(nèi)容，它與解析幾何聯(lián)系比較緊密，許多解析幾何問題（如長度、角度、點(diǎn)的坐標(biāo)、軌跡等）都可以用平面向量的知識來解決。例3.橢圓4x29y236的焦點(diǎn)為RE，點(diǎn)P為其上的動點(diǎn)，當(dāng)FPF?為鈍角時(shí),解：設(shè)點(diǎn)P（Xp,yp），則yp2F1PF2為鈍角，則cosF1PF2為鈍角，則cosF1PF20從而PFiPF2022Xpyp22Xpyp49xp53.553.55xP3.55.點(diǎn)p橫坐標(biāo)的取值范圍是（22例4已知橢圓C:仝1，直線41622例4已知橢

6、圓C:仝1，直線416x12R,又點(diǎn)Q在OP上，且滿足OP|OQ（95年全國高考題）解：設(shè)Q(x,y),P(xP,yP),R(xR,yR)則OQ(x,y),OP(Xp,yp),OROP|OPOQOQ,OQOP|ORP是L上的點(diǎn)，射線OP交C于點(diǎn)2(x81，OPOROQxPOR|OQOR代入L方程得ypyOQ|OR|OQ2(1x28)同理可得2x2OQ2(24242b)162x242y16x12土(xy0)即點(diǎn)Q的軌跡方程為x2242y16xy1280(xy0)說明：用向量作為工具解決解幾問題時(shí)，解法簡潔明快，而且易理解、易操作。三、強(qiáng)化用平面向量解決三角問題的意識教材中利用向量推導(dǎo)出了正弦定理

7、、余弦定理，其實(shí)用向量推導(dǎo)其它三角公式也很方便，同時(shí)說明向量與三角是有密切聯(lián)系的。如：cos()coscossinsin證明:如圖：在單位圓上任取兩點(diǎn)A、B,設(shè)OX為始邊,OA、OB為終邊的角分別為例5.A(cos,sin),B(cos-OAOBcoscoscos(,sinsin)OA(cos,sinsinOB又OAOB)coscoscos(sin)cos(sin),OB(cos,sin)ABC中，若c2bccosAcbacosBa試判斷此三角形的形狀。解：設(shè)CA=b,CB=a,ABCBCA=a-b=c與c的夾角為A,a與b的夾角為C,ba與c的夾角為BbccosA=-bc,cacosB=ca

8、,abcosC=ac2bccaa2b從而cc(ab)a即c2c2abaABC為直角三角形例6設(shè)(0,),(,2)，向量a=(1cos,sinb=(1cos,sin)c=(1,0),若a與c的夾角為1,b與c的夾角為23求sin廠的值解：cos1cos1cos0,cos20cos1cos2又01于是12同理可得:cos2sin因而cos2cos(-)222由于20,而02于是1.2(1cos)22,(1cos)2sin2cos2因而122(22)2"2222326四、強(qiáng)化用平面向量解決其他問題的意識例7.點(diǎn)P在平面上作勻速直線運(yùn)動，速度是每秒例7.點(diǎn)P在平面上作勻速直線運(yùn)動，速度是每秒

9、V(2,5)，當(dāng)t=0時(shí)，P在(一6,2)例8.已知x2y24,a2b21，試求axby的取值范圍。解：設(shè)有向量p=(a,b),q(x,y),p與q的交角為B處，貝Ut=5時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為略解：設(shè)所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y)則(x+6,y+2)=(10,25)/x=4,y=23/x=4,y=23點(diǎn)P的坐標(biāo)(4,23)22/p、q都不是零向量(若p=0，則a=b=0，與ab1矛盾。同理q豐0)p?q=axby又p?q=pqcos0=>；a2b'x2y2COS=2cos0axby=2cos0/-1<cosBW1-2<axby<2高考復(fù)習(xí)是教師與學(xué)生共同創(chuàng)造、共同進(jìn)步的一個(gè)系統(tǒng)工程。隨著高考命題的進(jìn)一步