1992考研數(shù)二真題及解析

1、 Born to win1992年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上.)(1) 設(shè)其中可導(dǎo),且,則.(2) 函數(shù)在上的最大值為.(3) .(4) .(5) 由曲線與直線所圍成的圖形的面積.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的,把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi).)(1) 當(dāng)時,是的 ( )(A) 低階無窮小 (B) 高階無窮小(C) 等價無窮小 (D) 同階但非等價的無窮小(2) 設(shè),則 ( )(A) (B) (C) (D) (3) 當(dāng)時,函數(shù)的極限 ( )(A

2、) 等于2 (B) 等于0(C) 為 (D) 不存在但不為(4) 設(shè)連續(xù),則等于 ( )(A) (B) (C) (D) (5) 若的導(dǎo)函數(shù)是,則有一個原函數(shù)為 ( )(A) (B) (C) (D) 三、(本題共5小題,每小題5分,滿分25分.)(1) 求.(2) 設(shè)函數(shù)由方程所確定,求的值.(3) 求.(4) 求.(5) 求微分方程的通解.四、(本題滿分9分)設(shè),求.五、(本題滿分9分)求微分方程的通解.六、(本題滿分9分)計算曲線上相應(yīng)于的一段弧的長度.七、(本題滿分9分)求曲線的一條切線,使該曲線與切線及直線所圍成的平面圖形面積最小.八、(本題滿分9分)已知,試證：對任意的二正數(shù)和,恒有成

3、立.1992年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題解析一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.)(1)【答案】【解析】由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可得 ,于是.【相關(guān)知識點】復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則:如果在點可導(dǎo),而在點可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)在點可導(dǎo),且其導(dǎo)數(shù)為 或 .(2)【答案】【解析】令,得內(nèi)駐點.因為只有一個駐點,所以此駐點必為極大值點,與端點值進(jìn)行比較,求出最大值.又 ,可見最大值為.(3)【答案】【解析】由等價無窮小,有時,故,上式為“”型的極限未定式,又分子分母在點處導(dǎo)數(shù)都存在,由洛必達(dá)法則,有原式.(4)【答案】【解析】令,原式(分項法) (湊微分法).(5)【答案】【解析】聯(lián)立曲線和直線的

4、方程,解得兩曲線的交點為,則所圍圖形面積為,再利用分部積分法求解,得.注：分部積分法的關(guān)鍵是要選好誰先進(jìn)入積分號的問題,如果選擇不當(dāng)可能引起更繁雜的計算,最后甚至算不出結(jié)果來.在做題的時候應(yīng)該好好總結(jié),積累經(jīng)驗.【相關(guān)知識點】分部積分公式：假定與均具有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù),則 或者 二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.) (1)【答案】(B)【解析】為“”型的極限未定式,又分子分母在點處導(dǎo)數(shù)都存在,連續(xù)運用兩次洛必達(dá)法則,有 ,故選(B).【相關(guān)知識點】無窮小的比較：設(shè)在同一個極限過程中,為無窮小且存在極限 ,(1) 若稱在該極限過程中為同階無窮??；(2) 若稱在該極限過程中為等價無窮小

5、,記為；(3) 若稱在該極限過程中是的高階無窮小,記為.若不存在(不為),稱不可比較.(2)【答案】(D)【解析】直接按復(fù)合函數(shù)的定義計算.所以應(yīng)選(D).(3)【答案】(D)【解析】對于函數(shù)在給定點的極限是否存在,需要判定左極限和右極限是否存在且相等,若相等,則函數(shù)在點的極限是存在的.,.,故當(dāng)時函數(shù)沒有極限,也不是.故應(yīng)選(D).(4)【答案】(C)【解析】 ,故選(C).【相關(guān)知識點】對積分上限的函數(shù)的求導(dǎo)公式：若,均一階可導(dǎo),則.(5)【答案】(B)【解析】由的導(dǎo)函數(shù)是,即,得, 其中為任意常數(shù).所以的原函數(shù),其中為任意常數(shù).令,得.故選(B).三、(本題共5小題,每小題5分,滿分25

6、分.)(1)【答案】【解析】此題考查重要極限：將函數(shù)式變形,有.(2)【答案】【解析】函數(shù)是一個隱函數(shù),即它是由一個方程確定,寫不出具體的解析式.方法1：在方程兩邊對求導(dǎo),將看做的函數(shù),得,即 ,把代入可得.兩邊再次求導(dǎo),得,把,代入得.方法2：方程兩邊對求導(dǎo),得；再次求導(dǎo)可得,把代入上面兩式,解得,.【相關(guān)知識點】1.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則:如果在點可導(dǎo),而在點可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)在點可導(dǎo),且其導(dǎo)數(shù)為 或 ,2.兩函數(shù)乘積的求導(dǎo)公式：.3.分式求導(dǎo)公式： .(3)【答案】 其中為任意常數(shù).【解析】方法1：積分的湊分法結(jié)合分項法,有 其中為任意常數(shù).方法2：令,則,其中為任意常數(shù).方法3：令,則, 此后

7、方法同方法1,積分的湊分法結(jié)合分項法,其中為任意常數(shù).(4)【答案】【解析】注意不要輕易丟掉絕對值符號；絕對值函數(shù)的積分實際上是分段函數(shù)的積分.由二倍角公式 ,則有.所以 .(5)【答案】,其中為任意常數(shù)【解析】所給方程為一階線性非齊次方程,其標(biāo)準(zhǔn)形式為 .由一階線性微分方程的通解公式,得 其中為任意常數(shù).【相關(guān)知識點】一階線性非齊次方程的通解為,其中為任意常數(shù).四、(本題滿分9分)【解析】分段函數(shù)的積分應(yīng)根據(jù)積分可加性分段分別求積分.另外,被積函數(shù)的中間變量非積分變量,若先作變量代換,往往會簡化計算.令,則當(dāng)時,；當(dāng)時,于是五、(本題滿分9分)【解析】所給方程為常系數(shù)的二階線性非齊次方程,對

8、應(yīng)的齊次方程的特征方程有兩個根為,而非齊次項為單特征根,因而非齊次方程有如下形式的特解,代入方程可得,所求解為,其中為任意常數(shù).【相關(guān)知識點】1.二階線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu)：設(shè)是二階線性非齊次方程的一個特解.是與之對應(yīng)的齊次方程的通解,則是非齊次方程的通解.2. 二階常系數(shù)線性齊次方程通解的求解方法：對于求解二階常系數(shù)線性齊次方程的通解,可用特征方程法求解：即中的、均是常數(shù),方程變?yōu)?其特征方程寫為,在復(fù)數(shù)域內(nèi)解出兩個特征根；分三種情況：(1) 兩個不相等的實數(shù)根,則通解為(2) 兩個相等的實數(shù)根,則通解為(3) 一對共軛復(fù)根,則通解為其中為常數(shù).3.對于求解二階線性非齊次方程的一個特解,可用

9、待定系數(shù)法,有結(jié)論如下：如果則二階常系數(shù)線性非齊次方程具有形如的特解,其中是與相同次數(shù)的多項式,而按不是特征方程的根、是特征方程的單根或是特征方程的重根依次取0、1或2.如果,則二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解可設(shè)為,其中與是次多項式,而按(或)不是特征方程的根、或是特征方程的單根依次取為或.六、(本題滿分9分)【解析】由于,所以 .【相關(guān)知識點】平面曲線弧長計算：已知平面曲線的顯式表示為,則弧微分為 ,弧長,其中在有連續(xù)的導(dǎo)數(shù).七、(本題滿分9分)【解析】過曲線上已知點的切線方程為,其中當(dāng)存在時,.O2如圖所示,設(shè)曲線上一點處的切線方程為,化簡即得 .面積 ,其一階導(dǎo)數(shù) .令解得唯一駐點,而且在此由負(fù)變正,即在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,在此過程中在時取極小值也是最小值,所以將代入先前所設(shè)的切線方程中,得所求切線方程為.八、(本題滿分9分)【解析】證法一：用拉格朗日中值定理證明.