高階線性方程解一般理論、基本解組

1、4.1高階線性方程一理論(GeneralTheoryofHigherorderLinearODE)教學(xué)內(nèi)容1.介紹高階線性微分方程一般形式；2.介紹高階線性微分方程初值問題解的存在唯一性定理；3.介紹線性微分方程解的疊加原理(SuperpositionTheory);4.介紹高階線性方程解線性相關(guān)和線性無關(guān)性概念和判定；5.介紹高階線性方程通解結(jié)構(gòu)定理；6.介紹劉維爾公式及其應(yīng)用.教學(xué)重難點重點是知道并會運用線性方程的疊加原理、高階線性方程的通解結(jié)構(gòu)；難點是如何判定線性方程解線性無關(guān)性教學(xué)方法預(yù)習(xí)1、2;講授3考核目標(biāo)認識高階線性微分方程一般形式；2.知道線性方程解線性無關(guān)的概念；3.會判定函

2、數(shù)和線性方程解的線性無關(guān)性；4.知道齊次線性方程通解結(jié)構(gòu)和非齊次線性方程通解結(jié)構(gòu).5.知道劉維爾公式及其應(yīng)用.1.認識n階齊次線性微分方程和非齊次線性微分方程.一dnx,、dnx,、dx稱r+ai(t)+x+an(t)+an(t)x=0為n階齊次線性微分方程；dtndtdt一dnxdndxdx稱-+a1(t)Fj+an(t)+an(t)x=f(t)為n階非齊次線性微分萬程，其中f(t)dtndtndt為非零函數(shù).線性方程柯西問題解的存在唯一性定理：考察上述n階非齊次線性微分方程，若ai(t),f(t),i=1,2,，n都是a,b上連續(xù)函數(shù)，則對和任意n個實數(shù)(i)dix_X0,Xi，xn，萬程

3、(*)存在滿足初始條件x(t0)=x0,x()=i-t£=xi的唯一斛dtx=(t),ta,b.聲明：以下總假設(shè)方程(*)和(*)滿足柯西問題解的存在唯一性定理條件.2 .齊次線性方程(*)解的疊加原理、函數(shù)的線性無關(guān)性、Wronsky行列式、方程(*)的通解結(jié)構(gòu)(證明細節(jié)參見教材)(1)疊加原理：設(shè)x1(t),x2(t)為齊次線性微分方程(*)的解函數(shù)，則a為，0&(t),X1(t)+X2(t),a為+0及(t)都是齊次線性微分方程(*)的解.(2)設(shè)x1(t),X2(t)，Xk(t)都是定義在a,b上函數(shù),若存在不全為零的常數(shù)59，Ck使得9X1(。+CzX2(t)CkX

4、k(t)=0,twa,b,則稱x(t),X2(t),，Xk(t)在區(qū)間a,b上線性相關(guān)，否則則稱x1(t),X2(t),，Xk(t)在區(qū)間a,b上線性無關(guān).(3)設(shè)Xi(t),X2(t),，Xn都是定義在a,b上具有k-1階連續(xù)導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)，則稱如下行Xi(t)X2(t)Xn(t)X1'(t)X2'(t)Xn'(t)列式w()WX(t)X2(t);%仕丹1)，2?7為這些函數(shù)(n)(n)(n/)Xi(t)X2(t)Xn(t)Wronsky行列式.(4)函數(shù)組線性相關(guān)的必要條件：設(shè)X1(t),x2，Xn(t)都是定義在a,b上具有k-1階連續(xù)導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)，若它們線性相關(guān)，

5、則它們的Wronsky行列式恒為零.(5)方程(*)解函數(shù)線性無關(guān)充要條件：設(shè)X1,X2(t),，xn都是定義在a,b上方程(*)的解函數(shù)，則它們線性無關(guān)u它們的Wronsky行列式在a,b上處處不為零.(6)若n個函數(shù)Xi(t),X2(t),，Xn(t)都是方程(*)的解函數(shù)且線性無關(guān)，則稱其構(gòu)成了方程(*)的一個基本解組.(7)齊次線性方程(*)的通解結(jié)構(gòu)定理：設(shè)X1(t),X2(t),，Xn(t)構(gòu)成了方程(*)的一個n基本解組，則方程(*)的任一解中可表為呼(t)=£GXi(t),其中常數(shù)G由初始條件確定，i=1,2,n.(8)由齊次線性方程的疊加原理和通解結(jié)構(gòu)定理知，方程(

6、*)的所有解函數(shù)構(gòu)成了一個n維的線性空間.3 .非齊次線性方程的通解結(jié)構(gòu)定理考察非齊次線性方程(*),設(shè)中(t)為方程(*)的一個特解，X1(t),X2(t),，Xn(t)為方程n(*)的一個基本解組，則方程(*)的任一解X(t)可表為x(t)=£cixi+中(t),其中cii=i由初始條件確定.2t2, t0c , c，X2(t) =30, t <04 .例題講解例40.證明函數(shù)組X1(t) = «0,t之02,在實直線R上線性無關(guān)，但它們的,t<0Wronsky行列式恒等于0,這是否和教材P124定理4矛盾？如果不矛盾，它該例說明了什么？解：當(dāng) t 之0時,

7、Wx1(t),x2(t)=Xi(t)X2(t)Xi'(t)X2'(t)t2 02t 0當(dāng)t <0時,Xi(t)WXi(t),X2(t) =Xi (t)X2(t) _ 0t2X2(t)0 2t這說明Wronsky行列式恒等于0.考察方程c1x1(t)+c2x2(t)=0,teR.當(dāng)t之0時，上述方程為c1t2=0,得到c1=0；當(dāng)t<0時，上述方程為c2t2=0,得到c2=0.這說明函數(shù)組x1(t),x2(t)在R上線性無關(guān).這是否和教材P124定理4并不矛盾！原因是定理4中函數(shù)組為齊次線性方程的解函數(shù)例41.驗證xi=e：x2=e，為方程x''-x=

8、0的基本解組，并求出滿足初始條件d2xx(0)=1,x'(0)=1的特解，其中x-=.dt2解：直接代入驗證知，et-et=0,e-t-e-t=0,因此，xi=e：x2=e,為方程的兩個解t_tee函數(shù).下面驗證它們是線性無關(guān)的.Wx1,x2=t=-2#0,因此，由解函數(shù)線性e-e無關(guān)判定定理知，xi=et,x2=e，是線性無關(guān)的.因此，證xi=et,x2=e，為方程x”x=0的基本解組.方程的通解為x=c1et+c2e,，ci,c2為任意常數(shù).由初始條件知，x(0)=c1e0+c2e0=c1+c2=1,乂(0)=c1e0-c2e0=c1-c2=1,解得c1=1,c2=0,因此所求特解

9、為x=e；例42.(1)考察微分方程x''+q(t)x=0.若邛(t),W為方程的任意兩個解，則它們Wronsky行列式W邛(t),W(t)mC(常數(shù)).d2x(2)Liouville公式：考察二階齊次線性方程乂'+“(t)x'+a2(t)x=0,其中乂'=,dtai(t)亡Ca,b,i=1,2.假設(shè)x1為方程的一個非零解，則(a)函數(shù)x2(t)為方程的解充要條件是W'+a1(t)W=0，其中W=Wi(xtx2(,t)(b)方程的通解為i-ai dsx = cixi(t) +c2xi(t) f2edt,其中 c1，c2 為任意常數(shù).xi (t)(

10、3)已知x _目是微分方程x''+q(t)x =0一個特解, x _ e試求該方程的通解，并確定函數(shù)q(t) ?證明：(i)記 川=W(t), W(t),下證吧 =0 dt由行列式定義的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式(參見數(shù)學(xué)分析下P124習(xí)題8),我們得到dW"dT:'''如/ q(t)中巾-q(t)二-q(t)=0 .得證.(2)仿照(1)可證a)dWdtxixix2x2xix2xi x2xix2ai (t)x i 'a2 (t)x i ai (t)x 2'a2(t)x 2=_ aixixi'x2X2結(jié)論成立.(b)求解方程 W &

11、#39;+a1(t) W=0得到，滿足W(t o) = i的解W=et-ai (s)ds因為它們Wronsky行列式不為零.I .ai(s)ds改寫 W=e" 為 xz'x/x2 =eai (s)ds,由xi(t) #0再次改寫上述方程為tx '.xix .le-t0ai(s)ds入2 x 2 e ,xixi這是一個一階線性方程.由常數(shù)變易公式得到,dtx2 二 e ( eie xit-ai (s)dst0 dt C)1- ai (s)ds= xi(f e t0+C)，特別地，取 C=0xi得到解函數(shù)x2(t) -xi1- ai(s)ds-e 0xi.因止匕,由齊次線

12、性方程通解結(jié)構(gòu)定理知，結(jié)論成立(3)記xi(t) =e：由上述公式得到,X2。)tqt 一 . t=e f e dt = e .因此，原萬程一個基本解組為8, e4,于是所求通解為x(t)= ciet '.tc?e，ci, i =i,2為任意常數(shù).將xi(t) = et代入原方程得到，et + p(t)e , = 0 ,得到 p(t) = -1.作業(yè)41.證明非齊次線性微分方程的疊加原理：設(shè)x1(t), X2(t)分別為非齊次線性微分方程此時相應(yīng)的x2(t)和x1(t)是線性無關(guān)的，它們構(gòu)成了原齊次線性方程的基本解組,d n'x'1m+anx=f2的解.nn4n/+ai

13、(t)#+an(t)x=fi(t)和羽+dt出dtdnxdn'x證明：xi+x2為萬程一-+a1(t)仃+an(t)x=fi(t)+f2(t)的解.dt出作業(yè)42.(1)驗證x1=cos(2t),x2=sin(2t)為方程x''+4x=0的基本解組.(2)驗證x1=t2cos(2lnt),x2=t2sin(2lnt)為方程t2x''-3tx'-8x=0的基本解組.t.1作業(yè)43.已知xi=t為方程x''+x'-x=0的一個非零解，運用Liouville公式求出1-t1-t方程一個基本解組，并求出滿足初值條件x(2)=1,x'(2)=2的特解.思考44.(1)考察二階齊次線性方程乂 '+a1(t)x' +a2(t) x = 0 ,d2xdt2ai(t)C(a,b),i=1,2.設(shè)x=/(t)是方程在區(qū)間(a,b)上一個非零解(即x=平(t)在區(qū)間(a,b)上不恒等于0),試證解函數(shù)中(t)在區(qū)間(a,b)上只有簡單零點(稱滿足t°w(a,b)且中(t0)=0,Q(