高階微分方程

1、第五章高階微分方程1幾個(gè)例子一、【內(nèi)容簡(jiǎn)介】本節(jié)結(jié)合幾個(gè)具體的實(shí)例，介紹了與高階微分方程有關(guān)的定解條件、定解問(wèn)題和高階微分方程的降階技巧。二、【關(guān)鍵詞】自治微分方程三、【目的與要求】掌握高階微分方程的降階技巧，能熟練地運(yùn)用降階法解二階方程，會(huì)用已有知識(shí)建立高階微分方程及其相應(yīng)的條件解決簡(jiǎn)單的幾何、物理問(wèn)題。四、【教學(xué)過(guò)程】§2n維線(xiàn)性空間中的微分方程一、【內(nèi)容簡(jiǎn)介】在這一節(jié)里，主要介紹如何把n階微分方程式化為標(biāo)準(zhǔn)微分方程組并采用向量的記號(hào)，將標(biāo)準(zhǔn)微分方程組寫(xiě)成向量的形式，從而可以從理論上把n維向量形式的微分方程的研究與一階微分非常的研究統(tǒng)一起來(lái)。二、【關(guān)鍵詞】模；線(xiàn)性微分方程組三、【

2、目的與要求】掌握將高階微分方程化成等價(jià)的n階標(biāo)準(zhǔn)微分方程組的方法；會(huì)敘述n維向量形式的微分方程和n階線(xiàn)性微分方程組相應(yīng)的畢卡存在和唯一性定理；掌握n階線(xiàn)性微分方程組初值問(wèn)題解的存在唯一性定理。四、【教學(xué)過(guò)程】§3解對(duì)初值和參數(shù)的連續(xù)依賴(lài)性一、【內(nèi)容簡(jiǎn)介】在這一節(jié)里，主要討論解對(duì)初值和參數(shù)的連續(xù)依賴(lài)性，由于解對(duì)初值和參數(shù)的連續(xù)依賴(lài)性問(wèn)題可歸結(jié)為解對(duì)參數(shù)的同一問(wèn)題。因此我們只討論方程的解對(duì)參數(shù)的連續(xù)依賴(lài)性。二、【關(guān)鍵詞】參數(shù)；連續(xù)依賴(lài)性三、【目的與要求】解對(duì)初值和參數(shù)的連續(xù)依賴(lài)性定理揭示了微分方程的解的重要性質(zhì)，要求弄清它的含義并正確地理解便于今后的應(yīng)用。四、【教學(xué)過(guò)程】§4解

3、對(duì)初值和參數(shù)的連續(xù)可微性一、【內(nèi)容簡(jiǎn)介】本節(jié)主要討論解對(duì)初值和參數(shù)的連續(xù)可微性。如上一節(jié)一樣，只考慮方程的解對(duì)參數(shù)的連續(xù)可微性。二、【關(guān)鍵詞】連續(xù)可微性；變分方程三、【目的與要求】與上一節(jié)一樣，解對(duì)初值和參數(shù)的連續(xù)可微性揭示了微分方程的重要性質(zhì)，要求弄清它的含義并正確地理解便于今后的應(yīng)用。四、【教學(xué)過(guò)程】教學(xué)過(guò)程前面我們主要討論的是關(guān)于一階方程的幾個(gè)初等解法，在實(shí)際應(yīng)用中，大多數(shù)微分方程是高階的。二階以及二階以上的微分方程稱(chēng)為高階微分方程。對(duì)于高階微分方程沒(méi)有較為普遍的解法，下面我們通過(guò)例題介紹幾種高階微分方程的解法。這些解法的基本思想就是把高階微分方程通過(guò)某些變換降為低階的微分方程。

4、7;1幾個(gè)例子若方程不明顯包含字變量，即：F（y,y'）這類(lèi)方程叫作自治（或駐定）微分方程。若方程明顯包含字變量，即：F （X, y,(n)y)=0(2)這類(lèi)方程叫作非自治（或非駐定）微分方程。對(duì)于（1）可考慮降階。令Z ¥,則.32d y _ dz _ dz dy_ dx2 dx dy dxz乎dyd y_1_3z2dx (zdy) =2dy (dz)料畤2dzd?)dxn(z,dy，dy7代入(1),則得一個(gè)n-1階的微分方程廠(chǎng)z“dzd"zxnF1(y,Z,dy,薩。乎(x)dt2這是一個(gè)二階的自治方程。令V =dt,則d ,x _ dv dt2 dtdv d

5、x _ V dx V 石-dx代入(3)則得一階方程9分離變量積分得IV=Jf(x)dx-2c 廠(chǎng) F(X)Tei(4)其中Ci是常數(shù)，F(xiàn) (x)是f (X)的一個(gè)原函數(shù)。對(duì)于固定的Cl, (4)是一個(gè)一階微分方程W=± J2F(x) -Ci分離變量，積分得G (x, q)t 十 C2,v2=2F(X)-qdx其中C2是第二個(gè)常數(shù)，而G(X,Ci)工+c稱(chēng)(5)為微分方程(3)的通積分。例1、單擺方程取一根長(zhǎng)度為I的細(xì)線(xiàn)0M,把端點(diǎn)0固定在一頂板上，而另一端點(diǎn)M掛上一個(gè)質(zhì)量為m的小球，將小球拉離平衡位置，然后松開(kāi)，讓它在一垂直平面內(nèi)自由擺動(dòng)，這樣就構(gòu)成一個(gè)單擺。(設(shè)單擺除重力外不受其

6、他力的作用)。設(shè)直線(xiàn)0M與垂線(xiàn)0P的有向夾角為X,并設(shè)逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?，貝U單擺的振動(dòng)可以用弧度X=x(t)來(lái)描述，單擺振動(dòng)時(shí)，M端只能在圓周上運(yùn)動(dòng)，且它的角速度為dx,切線(xiàn)速度為駕切向加速度為-dlx。dt比1dt2現(xiàn)將重力mg分解到切線(xiàn)T及向徑N上，在T上的分力為T(mén) =mfSinX其中負(fù)號(hào)的力學(xué)意義：T與A的方向總是相反的（X兀），即T與sinx異號(hào)。由牛頓第二定律，即可得單擺的運(yùn)動(dòng)方程為:mNd2X二一musin或?qū)懗蒬lx+a?sindt2(6)其中常數(shù)a方程（6）為自治方程,可以用上述方法降階,dxd"x_Vdvdtdx'則得dt，V乎甲2sinX=dx一個(gè)V為函頷寫(xiě)

7、成ldv2a2sinxdx數(shù)A為自變量的一階微分方程，積分得普產(chǎn)2cosx-(7)iC，上式可改寫(xiě)為器J2a2cosX分離變量積分得J2dX=t+C2士i2acosX-ci上式出現(xiàn)了橢圓積分，為了克服這一困難，我們可以利用Sin的泰勒級(jí)數(shù)sinX二X-3?+IX5-古X，+線(xiàn)性化。即當(dāng)I很小時(shí)，sinx止X,可用線(xiàn)性方程5!7!a2x8）來(lái)代替方程（6）。對(duì)于方程（8）,以對(duì)它可以直接積分,dx37乘以方程dtdxd2x2dx/a)YT/x?2dt2于是有齊土后衛(wèi))+aX=分離變量積分得通積分1-arcsiaxn(Ci由此求得通解X=Asin(at+D)其中A='DOD=ac2是兩個(gè)任

8、意常數(shù)。A由通解（9）可見(jiàn)，當(dāng)A二。時(shí)，得到單擺的靜止?fàn)顟B(tài)：X=0主=0v=dt當(dāng)A>0時(shí)，單擺將以A為振幅，a為頻率作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。由（9）可知，單擺將作周期振動(dòng)，而且周期T二二2兀匚aVg由此說(shuō)明，單擺的振動(dòng)周期只與單擺的長(zhǎng)度I和重力加速度g有關(guān)，而與初始條件無(wú)關(guān)。這就是所謂單擺振動(dòng)的等時(shí)性。例2懸鏈線(xiàn)方程設(shè)一理想的柔軟而不能伸縮的細(xì)線(xiàn),的作用，自然彎曲，試求懸鏈線(xiàn)的形狀老煉的端攫融就是利用瓜這種苗等則fc為oy=y（x）。這個(gè)問(wèn)題是歷史上的名題，最初1690年由詹姆斯貝努里提出來(lái)，伽里略曾猜想這條曲線(xiàn)是拋物線(xiàn)，但是后來(lái)發(fā)現(xiàn)不對(duì)，最后由約翰貝努里解決了，萊布尼茲把它命名為懸鏈線(xiàn)。下面就來(lái)

9、解決這一問(wèn)題。設(shè)在xy平面上，懸鏈線(xiàn)的最低點(diǎn)為M,過(guò)M作垂直線(xiàn)為y軸，在上取一點(diǎn)0,0M的長(zhǎng)度后面再確定，過(guò)0點(diǎn)，取與y軸垂直的直線(xiàn)為X軸（如圖）對(duì)于曲線(xiàn)AB是任意一點(diǎn)P,在MP弧段上T,H為張力，W為重力。由于MP處于平衡狀態(tài)，則有Teos日二H,Tsin日=W=P。為單位長(zhǎng)度的重量，S為MP弧長(zhǎng)。_as則有尋二dxd2 y dss為了消去，將上式求導(dǎo)得八二T代入得1應(yīng)(10)此方程是一個(gè)二階的自治系統(tǒng)，令z=y，則方程(10)降為一階方程d-ajl+z%分離變量積分,得In|z+J1+Z2|=ax+0,dx因?yàn)楫?dāng)x=0時(shí)，z=y=0,代入得Cj=0(11)從而得InIz+JI+z°

10、;1=ax即Z+Z2(2)由此又可得Z-Jl+Z2=-ex1Zax_ax(11)+(12)得z=2(e-e)即二1儂7工)dx2/ax_ax,積分，得y(e+ep%22a2C2= 01若把x軸取在合適的位置，使當(dāng)X=0時(shí)y二一代入得11于是所求懸鏈線(xiàn)方程為y=2a(eax+eVMchax例3二體問(wèn)題天體運(yùn)動(dòng)中的二體問(wèn)題是歷史上一個(gè)著名的問(wèn)題，時(shí)，就牛頓早在發(fā)明微積分的同研究了二體問(wèn)題。假設(shè)太陽(yáng)是靜止的，它的質(zhì)量為His,地球的質(zhì)量為EE,由于太陽(yáng)系中除太陽(yáng)外所有行星的總質(zhì)量遠(yuǎn)小于ms，因此我們可以忽略別的行星的作用?，F(xiàn)把坐標(biāo)系的原點(diǎn)取在太陽(yáng)S上，這就構(gòu)成了一慣性坐標(biāo)系，地球E的坐標(biāo)向量為r(t

11、)=(x(t),y(t),z(t),則E的速度和加速度分別為由牛頓第二定律F=ma則地球的慣性力為rniEp)=mE(X(t),y(t),Z(t)(t)(13)(14)-GmEmsr再根據(jù)萬(wàn)有引力定律，可建立地球的運(yùn)動(dòng)方程為一而F而n,、=GmsMt)即r(t)1r(t)|將(13)寫(xiě)成分量形式，即得如下的非線(xiàn)性方程組Gmsx(Jx2+y2+z2)3Gmv(Jx2+y2+z2)3G*_i這是一個(gè)自治的微分方程組。求解這種高階非線(xiàn)性方程組常用首次積分，由(14)可以得到.2.2dydzc0口zy=0即dt2dt2其中Ci是任意常數(shù)，同理dz'y蟲(chóng))=0由此可得一個(gè)首次積分zyyz=Ci(

12、15)可得：XZ-ZX=C2(16)yx-xy=C3(17)這里C2,C3都是任意常數(shù)。用x乘以(15),y乘以(16),Z乘以(17),然后相加得，Gx+C2y+C3Z=0這就是地球運(yùn)行軌道所在平面的方程，這就證明了地球運(yùn)行的軌道永遠(yuǎn)在一平面上。即二體問(wèn)題是一個(gè)平面問(wèn)題。下面設(shè)這個(gè)平面為X,y,坐標(biāo)平面。即地球的軌道永遠(yuǎn)在平面z=0上，那么描述地球位置的坐標(biāo)只要兩個(gè)，即x和y,而運(yùn)動(dòng)的方程為一個(gè)4階方程:ux(X2+y2)ouy(18)3(X2+y2)U其中Gms用y乘以(18)的第一式，用x乘以(18)的第二式，相減得：d(yx-xy)=0dt由此可得一個(gè)首次積分yx-xy=C4(19)(22)用ZX乘以(18)的第一式，用zy乘以(18)的第二式，相加得:ziHxx+yy；zxx中zyy=-nn_L力一丁_，y-2222rh"徂不II一小音而壬口八YaV911(V為討論方便，引進(jìn)極坐標(biāo)x=rcoS,y=rsin日，那么(21)rsin£)空代入(19)得-1即有一r(24)注意在dt時(shí)間內(nèi)向量F掃過(guò)的扇形面積為1巴。，故向量F在單位時(shí)間掃過(guò)的面積為一ro這樣就得到了開(kāi)普勒第二定律：從太陽(yáng)到行星的向量在單2dt位時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積是常數(shù)。將(21)代入(20),得:dr(-