壓縮映射原理的性質(zhì)和應(yīng)用

1、 壓縮映射原理的性質(zhì)和應(yīng)用 摘 要本文較有系統(tǒng)的研究了壓縮映射原理及其一些應(yīng)用，由于壓縮映射原理是屬于不動(dòng)點(diǎn)理論中的一類原理，所以有許多不同的形式，本文主要利用在常規(guī)度量空間中討論壓縮映射原理的方法，在概率度量空間中討論壓縮映射原理。主要內(nèi)容如下： 第一章，是緒論部分，首先講了我之所以寫這篇文章的原因，然后是本文所研究問題的歷史背景和發(fā)展情況。 第二章，介紹壓縮映射原理的最基本的形式，即壓縮映射原理，通過對(duì)其定理內(nèi)容和證明方法的分析，深刻認(rèn)識(shí)了迭代方法在證明中起到的重要作用，總結(jié)出了一套通用的方法證明這類定理，還找了一個(gè)例子，用總結(jié)出的方法進(jìn)行了證明。 第三章，用第一章總結(jié)出的方法研究了壓縮映

2、射原理更復(fù)雜的形式，隨著研究問題的復(fù)雜，也使第一章總結(jié)出的方法變得更加完善。第四章，把前幾章得到的結(jié)論和方法應(yīng)用到了微分方程和微分方程組的解的存在唯一性上。雖然只有兩個(gè)例子，但是獲得方法和思想可以用到許多其他的例子上。第五章，引入概率度量空間的概念，和其中一系列與壓縮映射原理有關(guān)的概念，結(jié)合概率度量空間的一些特殊性質(zhì)，用前幾章的討論方法，在概率度量空間上討論壓縮映射原理，依次討論了含隨機(jī)數(shù)的壓縮映射原理，在概率度量空間上添加一些條件后的基本壓縮映射原理，非線性的壓縮映射原理及應(yīng)用等。關(guān)鍵詞：壓縮映射；不動(dòng)點(diǎn)；概率度量空間；非線性微分方程ABSTRACTIn this paper, a syst

3、ematic study of the compression mapping principle and some applications, because of the contraction mapping theory is one of the principle in belong to the theory of fixed point, so there are many different forms, this paper mainly discussed used in conventional metric space compression mapping prin

4、ciple, the method of contractive mapping principle in probabilistic metric space. The main contents are as follows: The first chapter is the introduction part, first of all tell the reason why I write this article, and then this paper studies the historical background and development of the problem.

5、 The second chapter, this paper introduces the basic form of compression mapping principle, namely the contraction mapping theory, through the analysis of its proof content and methods, understanding the iteration method plays an important role in proof, summarizes a set of generic methods to prove

6、this theorem, still looking for an example, summarizes the way has carried on the proof. The third chapter, in the first chapter summarizes the method of compression mapping principle is studied in the form of more complex, as the research problem of complex, also made the first chapter summarizes t

7、he methods become more perfect. The fourth chapter, in the previous chapter conclusion and method is applied to the existence and uniqueness of solution of differential equation and differential equations. Although only two examples, methods and thoughts can be used on many other examples. The fifth

8、 chapter, the introduction of the concept of probabilistic metric Spaces, and a series of concepts related to the contraction mapping theory, combined with some special properties of the probabilistic metric Spaces, the use of the previous chapters discuss method, compression mappings in probabilist

9、ic metric space principle, in order to discuss the compression mapping principle, containing the random number after adding some conditions in probabilistic metric space basic compression mapping principle, the principle and application of the compression of nonlinear mapping, etc.Key words: compres

10、sion mapping; The fixed point. Probabilistic metric space; The nonlinear differential equation目錄摘要IABSTRACTII第一章緒論11.1寫作動(dòng)機(jī)11.2不動(dòng)點(diǎn)理論背景知識(shí)，歷史淵源21.3壓縮映射原理的簡(jiǎn)介3第二章壓縮映射定理的證明思路探究52.1定理內(nèi)容和證明62.2一個(gè)例子62.3本章總結(jié)8第三章壓縮映射原理的推廣103.1推廣的背景：103.2壓縮映射原理的一種推廣形式及其證明10本章總結(jié)12第四章壓縮映射原理的應(yīng)用舉例134.1一類簡(jiǎn)單積分方程的解的存在與唯一性的證明134.2積分方程組

11、的解的存在與唯一性證明144.3本章總結(jié)16第五章概率度量空間中的壓縮映射原理175.1基本概念的構(gòu)造175.2隨機(jī)壓縮映射原理的構(gòu)造175.3概率度量空間的背景知識(shí)195.4概率度量空間中的基本概念195.5：范數(shù)的概念及其性質(zhì)215.6概率度量空間上的壓縮映射原理215.7概率度量空間上非線性的壓縮映射原理245.8概率度量空間上的壓縮映射原理的應(yīng)用265.9本章總結(jié)26結(jié)論28參考文獻(xiàn)2932 / 36第一章 緒 論1.1寫作動(dòng)機(jī)我第一次接觸壓縮映射原理是在張慶恭和林渠源老師所編寫的泛函分析的書上，當(dāng)時(shí)書中應(yīng)用壓縮映射原理瞬間證明出了常微分方程中當(dāng)時(shí)分五步證明的解的存在唯一性定理和數(shù)學(xué)分

12、析中的隱函數(shù)存在定理，這使當(dāng)時(shí)的我感到非常吃驚，在常微分方程和數(shù)學(xué)分析書中對(duì)這兩個(gè)定理的證明中似乎看不到這兩個(gè)定理有什么了解，但是一旦應(yīng)用上了壓縮映射原理，就找到了它們的共同點(diǎn)。另外我在考研究生參加復(fù)試的時(shí)候，當(dāng)時(shí)一位老師問我一個(gè)問題，問題是這樣的：在旅游景點(diǎn)甚至在學(xué)校內(nèi)的大門口經(jīng)常會(huì)見到有平面的小地圖，由此請(qǐng)問說明在小地圖上的一點(diǎn)適合大地圖上的一點(diǎn)是重合的。由此我覺得我和壓縮映射原理十分有緣，也對(duì)這個(gè)定理產(chǎn)生了濃厚的興趣。要討論這個(gè)定理首先要從它的證明說起，第一次見到壓縮映射原理的證明也是在泛函分析的書上，但是書上并沒有嚴(yán)格的證明，至少我是接受不了，其中有一個(gè)關(guān)鍵步驟是極限要和映射交換順序，

13、在數(shù)學(xué)分析中，極限和函數(shù)交換順序是要有條件限制的，比如函數(shù)是連續(xù)的，當(dāng)然現(xiàn)在我已經(jīng)用其他的方法證明出極限與壓縮映射是可以交換的了，由此得到了一個(gè)完善的證明壓縮映射原理的方法。事實(shí)上，這個(gè)證明方法中涉及到的迭代法在數(shù)值分析課程中也有提到，可以構(gòu)造一系列迭代關(guān)系，從而去求得方程的近似解等數(shù)值分析的問題，這也算是由壓縮映射原理得到的一個(gè)非常重要的應(yīng)用吧。證明了壓縮映射原理后，下面的問題自然是推廣壓縮映射原理，也可以說是壓縮映射原理推論吧，就像數(shù)學(xué)分析中將洛爾定理推廣到拉格朗日定理，再將拉格朗日定理推廣到柯西定理那樣，在證明推廣的定理時(shí)，證明的方法和最開始的壓縮映射原理非常相似，至少在大的方向上是一樣

14、的，根據(jù)具體的條件會(huì)有所差異。后來進(jìn)行深入的了解我發(fā)現(xiàn)之前的壓縮映射原理另一個(gè)名稱是不動(dòng)點(diǎn)原理，也就是說不動(dòng)點(diǎn)定理有很多很多，應(yīng)用也更是千變?nèi)f化，壓縮映射原理只是其中的一種類型，也就是壓縮型的不動(dòng)點(diǎn)原理，即使是壓縮型的不動(dòng)點(diǎn)原理也有很多很多中，形式由線性的可以推廣到非線性的，然后再到抽象型的，但基本都是在最初的壓縮映射原理的基礎(chǔ)上，將一些定義在新的形式下重新定義，同樣的大思路進(jìn)行新的壓縮映射原理的證明。根據(jù)我的深入了解壓縮映射原理在概率方向也有著非常大的應(yīng)用，例如利用概率的知識(shí)模仿度量空間定義概率度量空間，定義概率中的范數(shù)范數(shù)，由此得到概率空間上的不動(dòng)點(diǎn)原理。另一個(gè)比較有用的應(yīng)用是在隨機(jī)泛函分

15、析中，結(jié)合隨機(jī)變量的相關(guān)性質(zhì)給出隨機(jī)算子，隨機(jī)不動(dòng)點(diǎn)的定義，從而建立隨機(jī)壓縮映射原理。傳統(tǒng)的研究方向是將壓縮映射原理應(yīng)用在求數(shù)列極限，微分方程，積分方程，或者方程組解的存在唯一性等問題上，數(shù)列，微分方程，積分方程也是千變?nèi)f化，但只要可以根據(jù)具體條件構(gòu)造出壓縮映射，就可以應(yīng)用壓縮映射原理說明問題。我的論文這次就是要寫這些問題，首先將壓縮映射原理完整的證明一下，之后利用這個(gè)證明方法去推廣壓縮映射定理，從而可以得到一些其他條件下的壓縮映射原理，接下來如常微分方程中所要做的一樣，將方程推廣到方程組，從而可以解決更多的實(shí)際問題，再之后，我將用我所學(xué)到的實(shí)變函數(shù)與概率論知識(shí)，在概率空間中討論壓縮映射原理及

16、其應(yīng)用，由于時(shí)間緊迫，加上我本人現(xiàn)階段知識(shí)也是十分貧乏，暫時(shí)決定就先做出這些方面的研究，隨著不斷的學(xué)習(xí)我相信今后我會(huì)得出更多的成果。1.2不動(dòng)點(diǎn)理論背景知識(shí)，歷史淵源隨著對(duì)壓縮映射原理的深入了解，我知道了泛函書中的壓縮映射原理只是在年提出的第一個(gè)代數(shù)型的壓縮映射原理，壓縮映射原理還有其他各種各樣條件下的各種各樣的形式。法國(guó)數(shù)學(xué)家在年至年，在“龐加萊的最后定理”中，把限制性三體問題的周期解的存在問題，歸結(jié)為滿足某種條件的平面連續(xù)變換不動(dòng)點(diǎn)的存在問題，首先使用了不動(dòng)點(diǎn)的概念。1910年，證明了有限維空間中多面體上的連續(xù)映射至少有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，從而開啟了不動(dòng)點(diǎn)理論研究的先河。特別是波蘭數(shù)學(xué)家在年使用迭

17、代方法證實(shí)了壓縮映射原理之后，由于其結(jié)果的優(yōu)美性和成功的解決了像隱函數(shù)存在定理，微分方程解的存在唯一性等一系列重大的應(yīng)用問題，使得不動(dòng)點(diǎn)理論成為數(shù)學(xué)寶庫(kù)中的一朵奇葩，促使數(shù)學(xué)家們對(duì)其進(jìn)行了深入和廣泛的研究。特別是近幾十年來，隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展，人們使用各種各樣的迭代方法去逼近非線性映射的不動(dòng)點(diǎn)并應(yīng)用其解決了某些是問題。不動(dòng)點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個(gè)非常重要的不動(dòng)點(diǎn)定理，因?yàn)樗梢詰?yīng)用到有限維拓?fù)淇臻g，所以成為一般不動(dòng)點(diǎn)定理的基石。不動(dòng)點(diǎn)定理說明：在一個(gè)拓?fù)淇臻g中，滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)，存在一個(gè)點(diǎn)，使得，不動(dòng)點(diǎn)定理的一個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)形式是對(duì)一個(gè)從某個(gè)圓盤映射到它自身的函數(shù)。推廣的定理則對(duì)任意從某個(gè)空間的

18、凸緊子集映射到它自身的函數(shù)都能成立。建立不動(dòng)點(diǎn)定理是一項(xiàng)突出的貢獻(xiàn)這個(gè)定理表明：在二維球面上，任意一個(gè)映到自身的一一連續(xù)映射，存在至少有一個(gè)點(diǎn)是固定不變的。這一結(jié)果推廣到高維球面就是在維球內(nèi)任意映到自身的連續(xù)映射至少存在一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。在這個(gè)定理的證明中，引進(jìn)了從一個(gè)復(fù)形到另一個(gè)復(fù)形的映射類，以及一個(gè)映射的映射度等概念。有了這些概念，我們就可以解決一個(gè)流形上的向量場(chǎng)的奇點(diǎn)等問題。隨后，揭示了不同的與空間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。研究出了把單位線段連續(xù)映入正方形的方法這兩個(gè)成果不禁使人們猜想：在拓?fù)溆成渲?，維數(shù)可能是不變的。年，布勞威爾對(duì)于任意的證明了這個(gè)猜想：維數(shù)的拓?fù)洳蛔冃栽谧C明過程中，構(gòu)造了連續(xù)拓?fù)溆成?/p>

19、下的單純逼近的概念，主要是一系列線性映射的逼近的概念，他還構(gòu)造了映射的拓?fù)涠鹊母拍?，即一個(gè)取決于拓?fù)溆成溥B續(xù)變換的同倫類的數(shù)。這些概念在解決一些有關(guān)不變性的問題時(shí)變得非常有用。例如，就借助它界定了維區(qū)域，科學(xué)家則用它證明了數(shù)的不變性，而壓縮映射原理則是不動(dòng)點(diǎn)理論中非常重要的一類定理。1.3壓縮映射原理的簡(jiǎn)介根據(jù)參考文獻(xiàn)1，4，7中記載，按照壓縮條件的不同，壓縮映射原理可以進(jìn)行如下分類：設(shè)為度量空間，映射，稱為滿足下列第個(gè)條件的映射為第類壓縮映射，記為年，對(duì)于任意的有。年，存在單調(diào)函數(shù)使得。年，對(duì)于任意的，有<。年，。年，對(duì)于任意有。年，有。年，單調(diào)減少，有。年，對(duì)于任意，有，。年，對(duì)于任

20、意的，有。年，有。，存在，對(duì)于任意的有+。年，對(duì)于任意有。年，對(duì)于任意有。年，存在，其中單調(diào)減少，對(duì)于任意有。年，對(duì)于任意有。年，對(duì)于任意的，有<。在這些壓縮映射中，若改為存在某個(gè)自然數(shù)，使?jié)M足相應(yīng)條件，則又可得到個(gè)壓縮映射定理，如果改為存在某兩個(gè)自然數(shù)，使得滿足不等式條件，又可得到個(gè)壓縮映射定理，如果存在某個(gè)函數(shù)，使得滿足壓縮映射條件，又可得到個(gè)壓縮映射定理，若存在函數(shù)，使得滿足壓縮映射條件，又可得到個(gè)壓縮映射定理，現(xiàn)在已經(jīng)有種壓縮映射定理了，如果將映射改為映射對(duì)，又可得到個(gè)壓縮映射定理，若改為映射序列，又有無數(shù)個(gè)壓縮映射定理了，度量空間滿足什么性質(zhì)，映射滿足什么條件，這些壓縮映射定理

21、會(huì)成立呢？它們又會(huì)有哪些應(yīng)用呢？這些都是在論文中我要討論的問題。第二章壓縮映射定理的證明思路探究2.1定理內(nèi)容和證明參考文獻(xiàn)2中記載有壓縮映射定理:設(shè)為完備的度量空間，且滿足，則在內(nèi)有唯一的不動(dòng)點(diǎn)。證明定義為中任意取定的一點(diǎn)，則根據(jù)壓縮映射條件得，所以得,，所以為列。因?yàn)闉橥陚涞亩攘靠臻g，所以存在滿足，所以。唯一性，略。注釋:之所以把這個(gè)定理證明一遍是因?yàn)槎ɡ淼淖C明方法同樣適用于其他類型的壓縮映射原理下面的例子就要說明這個(gè)問題。2.2一個(gè)例子設(shè)，其中，定義域內(nèi)是單調(diào)遞減的，對(duì)于，有+，則在內(nèi)存在唯一不動(dòng)點(diǎn)。分析：根據(jù)壓縮映射原理的證明可以得到如下證明思路:（1） 令為中任意取定的一點(diǎn);（2）

22、通過證明，進(jìn)一步證明為列;（3） 證明的極限點(diǎn)是不動(dòng)點(diǎn);（4） 證明唯一性.下面就根據(jù)上述分析證明這個(gè)例題.證明定義為中任意取定的一點(diǎn),接下來該證明，根據(jù)壓縮映射條件得,+，其中記，記。交換與的位置可得另一不等式為,，兩個(gè)不等式相加得,，整理得,，即單調(diào)遞減。下面利用反證法證明,先假設(shè)，下面證明。定義，所以，所以，這與矛盾，所以。下證為列. 因?yàn)?。整理得，。所以，即為列。設(shè)滿足，下證。根據(jù)極限的唯一性，也即證，因?yàn)?，整理得，由此可得，即?.3本章總結(jié)通過上面的討論，總結(jié)出了一套證明壓縮映射原理的方法，從證明的例子中也可以看出：只要涉及到遞推問題的壓縮映射原理，都可以按照上述步驟，用類似方法進(jìn)

23、行證明，雖然許多細(xì)節(jié)處不盡相同，但主要的套路是不變的。通過對(duì)證明方法的分析，也使我對(duì)壓縮映射原理理解的更為深刻。理解了證明，在此基礎(chǔ)上構(gòu)造出新的壓縮映射原理也會(huì)變得容易。第三章壓縮映射原理的推廣3.1推廣的背景：在第一章中列舉有代數(shù)型壓縮映射原理共計(jì)類，根據(jù)參考文獻(xiàn)3，年，數(shù)學(xué)家提出了六個(gè)公開問題：(1) 若為第16類壓縮映像，在中連續(xù)而且若存在, 而且有聚點(diǎn)，那么是否有不動(dòng)點(diǎn)？(2) 若（1）是錯(cuò)誤的猜想，那么修改成為什么條件可以保證有不動(dòng)點(diǎn)？(3) 當(dāng)是第（61）至（64）類的壓縮映像之時(shí)，會(huì)有怎樣的結(jié)論？(4) 當(dāng)是第（68）至（80）類的壓縮映像之時(shí)，會(huì)有怎樣的結(jié)論？(5) 局部壓縮能

24、否推廣到（10）（26）（42）（58）（74）？(6) 上面的5個(gè)問題對(duì)于映像對(duì)，序列時(shí)的情況又有什么樣的結(jié)論？對(duì)于上述問題，科學(xué)家的出了很多成果，本文主要是對(duì)證明方法的應(yīng)用，所以下面在種類繁多的壓縮映射原理中任選一個(gè)進(jìn)行證明。3.2壓縮映射原理的一種推廣形式及其證明下面根據(jù)之前總結(jié)的方法，證明參考文獻(xiàn)5中的一個(gè)定理。定理：若為第九類壓縮映射時(shí)，即滿足連續(xù)，若存在是的聚點(diǎn)，則是的唯一不動(dòng)點(diǎn)，且。證明因?yàn)槭堑木埸c(diǎn)，所以可以設(shè)，下面分三步證明，第一步，如果存在使得，因?yàn)?，所以。第二步：與第一步中條件互補(bǔ)，即如果對(duì)于，令,那么滿足非負(fù)連續(xù)，因?yàn)闉榈诰蓬悏嚎s映射，所以對(duì)于，因?yàn)?，所以?duì)于。因?yàn)?，所?/p>

25、，使得。因?yàn)閱握{(diào)遞減，非負(fù)，所以。因?yàn)檫B續(xù)，所以。因?yàn)檫B續(xù)，所以，所以，(極限的唯一性)，所以，(否則，)。第三步：下面證明。情況一，如果，那么當(dāng)，所以情況二，否則對(duì)于有因?yàn)椋裕詫?duì)于時(shí)，有。所以當(dāng)時(shí)，有。所以。3.3本章總結(jié)本章內(nèi)容是對(duì)第二章內(nèi)容的更深層次的推廣，但用到證明的核心思想和上一章是一樣的，通過對(duì)類似問題的研究使我明白看問題不能只看表面，不能被問題的外表嚇住，由此讓我對(duì)遞推法有了更加深刻地理解，能夠熟練應(yīng)用遞推法的話確實(shí)可以解決許多看似十分困難的問題，而且不僅是在數(shù)學(xué)上，在應(yīng)用計(jì)算機(jī)解決實(shí)際問題時(shí)，如果可以熟練應(yīng)用遞推法的話，也能夠盡可能化簡(jiǎn)復(fù)雜的算法。第四章壓縮映射原理的應(yīng)

26、用舉例4.1一類簡(jiǎn)單積分方程的解的存在與唯一性的證明下面來證明非線性的積分方程的解的存在與唯一性定理，定理內(nèi)容取自參考文獻(xiàn)6。設(shè)函數(shù)上面連續(xù)，且滿足條件，那么對(duì)于，在中有唯一的解，并且對(duì)于，有在上一致收斂于那個(gè)存在的唯一解。構(gòu)造一：令則有，若，則原方程存在唯一解，即在中存在唯一解，其中。構(gòu)造二：令，因?yàn)椋耘c等價(jià)，所以。由于，所以也滿足壓縮映射原理。注釋：當(dāng)連續(xù)，而且函數(shù)關(guān)于滿足條件，那么滿足初值條件在上存在唯一解。通過上面的證明自然會(huì)想到對(duì)于方程組的情況需要什么樣的條件，怎樣的證明？4.2積分方程組的解的存在與唯一性證明先研究?jī)蓚€(gè)微分方程的情況，即在什么條件下存在唯一解。這樣就引入了非線性

27、壓縮映射原理的相關(guān)理論，在非線性壓縮映射原理中有這樣的一個(gè)定理：設(shè)是完備的度量空間，是連續(xù)的映射，并且使得，那么在上存在唯一不動(dòng)點(diǎn)。根據(jù)這個(gè)定理可以構(gòu)造如下條件：且為連續(xù)映射，且。使得且對(duì)于滿足。其中為空間，定義為,定義為為上確界范數(shù)在上述條件下就可以證明上面的方程組存在唯一解證明與單個(gè)微分方程證明類似，利用等價(jià)范數(shù)則。然后根據(jù)上面提到的非線性壓縮映射原理，得證微分方程組解的存在唯一性原理。注釋：當(dāng)時(shí)，有許多科學(xué)家做過研究，由于微分方程組的形式多樣，因此也得到了許多形式的壓縮映射原理，這些神奇的理論我都收集在了參考文獻(xiàn)中，由于時(shí)間問題我很難在現(xiàn)有基礎(chǔ)上進(jìn)行創(chuàng)新，所以就不把那些別人的結(jié)果寫在正文

28、里了。4.3本章總結(jié)本章使舉例來說明壓縮映射原理在解微分方程上的應(yīng)用，將壓縮映射原理應(yīng)用到了微分方程這一外表下，由于微分方程形式是多樣的，對(duì)于不同的形式要自己構(gòu)造映射，然后自己證明是壓縮映射，之前的章節(jié)一直都是在證明別人構(gòu)造的映射，所以難度有所增加，對(duì)于不同的形式，構(gòu)造也不一樣，選取的范數(shù)也不一樣，因此不是那么容易了，現(xiàn)在好多科學(xué)家也在研究這一方面的各種形式下的問題，我現(xiàn)在的水平連初窺門徑也還不夠。第五章概率度量空間中的壓縮映射原理5.1基本概念的構(gòu)造在概率度量空間上也有著壓縮映射原理的應(yīng)用，下面先解釋幾個(gè)后文中要用到的基本概念，完備可分的度量空間稱為空間。稱為隨機(jī)元，如果。算子稱為隨機(jī)算子，

29、若為隨機(jī)元。稱為隨機(jī)算子的隨機(jī)不動(dòng)點(diǎn)，如果是隨機(jī)元，而且。稱為隨機(jī)壓縮算子，如果存在非負(fù)實(shí)值隨機(jī)變量，使得，。以上概念皆選自參考文獻(xiàn)8中。5.2隨機(jī)壓縮映射原理的構(gòu)造在中這些概念下可以構(gòu)造出隨機(jī)壓縮映射原理：幾乎處處的連續(xù)的隨機(jī)壓縮算子存在唯一的隨機(jī)不動(dòng)點(diǎn)。首先證明一個(gè)引理：設(shè)為完全測(cè)度空間，為空間，隨機(jī)算子滿足在上幾乎處處為隨機(jī)壓縮算子，則存在唯一的隨機(jī)不動(dòng)點(diǎn)。證明設(shè)是上的隨機(jī)壓縮算子，所以對(duì)于使，即對(duì)于存在唯一的,使。令，其中是其中的一個(gè)固定值，下面證明為隨機(jī)元，對(duì)于，令，則為隨機(jī)元列，而且有，所以為隨機(jī)元，所以在上存在唯一的隨機(jī)的不動(dòng)點(diǎn)。由此引理下面就可以證明隨機(jī)壓縮映射原理了。由于在不

30、斷的變化，所以，也可能會(huì)隨之發(fā)生變化，這也是該定理與引理的區(qū)別所在，所以證明的思路就是構(gòu)造出和引理類似的，則此定理就證明出來了。證明令，則令，則，因?yàn)槭强煞值?，設(shè)是的可數(shù)稠密子集，則令,，下面證明，顯然；反之，對(duì)于，而且，所以因?yàn)樵谏线B續(xù)，所以在不等式中令得所以，即，再令，則即為滿足引理要求的。5.3概率度量空間的背景知識(shí)概率度量空間（簡(jiǎn)記為空間）,是度量空間把兩點(diǎn)間距離用一個(gè)統(tǒng)計(jì)量來進(jìn)行，描述的一種空間。自從年，首次提出空間以來，首創(chuàng)序貫分析的世界著名科學(xué)家，前蘇聯(lián)著名科學(xué)家以及布拉格學(xué)派的杰出科學(xué)家，在這一領(lǐng)域做了大量的奠基性工作，科學(xué)家們對(duì)其進(jìn)行的研究進(jìn)展一直很慢，直到世紀(jì)年代的時(shí)候，美

31、國(guó)科學(xué)家，等研究了空間的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，才是這一理論得到了擴(kuò)充以及較大的發(fā)展。在國(guó)內(nèi)，西安交通大學(xué)已故的著名科學(xué)家游兆永教授首先開始研究這一領(lǐng)域，游教授在年發(fā)表了國(guó)內(nèi)第一篇研究空間的學(xué)術(shù)論文，在這之后國(guó)內(nèi)的龔懷云，張石生，丁協(xié)平等教授也開始從事這個(gè)領(lǐng)域的研究，但是直到現(xiàn)在，這一理論下還是有很多問題有待研究。最近幾年，等科學(xué)家嘗試著修改最基本的定義，這項(xiàng)工作在火熱的進(jìn)行中。還是要先介紹幾個(gè)非?；A(chǔ)的概念，這些基本概念取自參考文獻(xiàn)9中。5.4概率度量空間中的基本概念記用來表示所有左連續(xù)的分布函數(shù)構(gòu)成的集合，為的子集合，記，是一種特殊的分布函數(shù)，下面會(huì)起到很大作用。我們把有序?qū)ΨQ為空間，其中(記)而且對(duì)于

32、滿足以下條件：對(duì)于當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立。如果，那么。注釋1：具體一點(diǎn)的說可以近似的理解為之間的距離小于的概率，這樣的顯然滿足中要求。注釋2：如果空間還構(gòu)成了一個(gè)記為的度量空間，那么一般情況下定義，在這樣定義下的下面驗(yàn)證也是滿足中要求。證明，的證明都十分顯然，下面證明條件，已知條件，所以注釋3：條件可以推出。證明，已知，令，則，因?yàn)閷?duì)于，有，所以對(duì)于，又因?yàn)?，所以?.5：范數(shù)的概念及其性質(zhì)稱為范數(shù)，如果對(duì)于滿足。，其中。注釋：在解決實(shí)際問題時(shí)要利用一些具體形式的范數(shù)，下面舉幾個(gè)常用的例子。5.6概率度量空間上的壓縮映射原理下面將研究概率度量空間上的壓縮映射原理，一般的度量空間，只要具有完備性，就可以

33、找到對(duì)應(yīng)的壓縮映射原理，但是根據(jù)參考文獻(xiàn)8，我了解到在年科學(xué)家舉出了反例，所以在空間中探討壓縮映射原理時(shí)，需要加入更強(qiáng)的條件，按照泛函分析中的方法和技巧，首先要在概率度量空間上定義收斂，壓縮映像，不動(dòng)點(diǎn)的概念，然后尋找適當(dāng)?shù)臈l件，構(gòu)造出概率度量空間下的壓縮映射原理，經(jīng)過本人對(duì)參考文獻(xiàn)的研究這些概念在概率度量空間下和之前探討的相同概念在形式上有很大的不同，但在本質(zhì)上還有方法上還是很相似的。幾個(gè)重要的概念如下所示：被稱為壓縮映像，如果滿足對(duì)于，。被稱為的不動(dòng)點(diǎn)，如果，對(duì)于成立。設(shè)稱收斂到，如果對(duì)于成立。注釋：如果按照正常的對(duì)極限的理解，會(huì)有如下定義：如果對(duì)于對(duì)于,，成立，那么稱收斂到。實(shí)際上可以證

34、明這兩個(gè)概念是等價(jià)的。證明，已知即有成立，即成立。已知有成立，即，亦即，對(duì)于成立。另一方面當(dāng)，所以對(duì)于成立基本概念大致就這些，下面就可以開始研究壓縮映射下的不動(dòng)點(diǎn)問題了。在一般的度量空間里不動(dòng)點(diǎn)可以有好多個(gè)，比如對(duì)于函數(shù)，它定義域內(nèi)的所有的點(diǎn)都是不動(dòng)點(diǎn)，而由于在概率度量空間上受到現(xiàn)實(shí)問題的約束，因此概率度量空間下的壓縮映射不動(dòng)點(diǎn)就會(huì)有一些規(guī)律。例如對(duì)于概率度量空間中任意壓縮映像，它的不動(dòng)點(diǎn)至多只有一個(gè)。證明從結(jié)論上看證明比較適合用反證法，因此設(shè)為壓縮映射的兩個(gè)不一樣的不動(dòng)點(diǎn)，則，所以，所以，所以。在這里要講述一個(gè)非常有用的定理，它的證明方法也在后面會(huì)很有用，這個(gè)定理的內(nèi)容和證明都出自于參考文獻(xiàn)

35、10。任取，記，設(shè)是一個(gè)完備的概率度量空間，其中滿足對(duì)于，為壓縮映射，那么下面兩個(gè)結(jié)論必定會(huì)成立其中一個(gè)：存在唯一的不動(dòng)點(diǎn)。對(duì)于成立。對(duì)這種問題的證明思路就是否定其中一個(gè)然后去證明另一個(gè)。證明，設(shè)，所以，所以，對(duì)于，關(guān)于一致成立，所以存在。下面證明為的不動(dòng)點(diǎn)，因?yàn)?，所以。因?yàn)檫B續(xù)，所以，即。在之前的內(nèi)容里，列舉了好多個(gè)范數(shù)的例子，從中任取一個(gè)來構(gòu)造一個(gè)壓縮映射原理，例如當(dāng)時(shí)，存在唯一的不動(dòng)點(diǎn)。證明，已知，所以，因?yàn)槭沟茫?，所以根?jù)上面所述參考文獻(xiàn)中的定理知，存在唯一的不動(dòng)點(diǎn)。5.7概率度量空間上非線性的壓縮映射原理與一般度量空間中的討論一樣，研究了基本的壓縮映射原理之后，就要繼續(xù)研究應(yīng)用更

36、加廣泛的非線性的情況，在不同的條件下會(huì)得到不同的壓縮映射原理，從之前探究的證明方法入手，證明下面這個(gè)非線性的壓縮映射原理，該定理取自參考文獻(xiàn)11。定理：設(shè)是一個(gè)完備的概率度量空間，是型的范數(shù)，并且在處連續(xù)，函數(shù)滿足這三個(gè)條件，其中。映射滿足的壓縮條件為對(duì)于，有，則壓縮映射存在唯一不動(dòng)點(diǎn)。證明記，則對(duì)于，都成立。任取，記，則，所以。下面用反證法證明對(duì)于成立，此時(shí)，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，但這與矛盾，所以成立，所以，所以，因?yàn)轱@然成立，所以下面用數(shù)學(xué)歸納法證明成立，假設(shè)時(shí)成立，下面證明時(shí)成立，因?yàn)椋?，即時(shí)也是成立的。下面該證明是列，因?yàn)?，所以，所以是列，所以，使得，所以，所以，所以，所以，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，所以，即是的不?dòng)點(diǎn)。最后要證明唯一性，設(shè)使得，因?yàn)?，所以，即?.8概率度量空間上的壓縮映射原理的應(yīng)用按之前討論其他的空間的方法，接下來該是壓縮映射原理的應(yīng)用階段，在參考文獻(xiàn)中，有許多這方面的應(yīng)用，由于本人水平有限，暫時(shí)無法寫出不重復(fù)的應(yīng)用，主要是對(duì)這個(gè)方面的問題掌握還不熟，很多理論知識(shí)還未學(xué)透，但是概率度量空間上的壓縮映射原理的確是一個(gè)很有發(fā)展空間的領(lǐng)域。5.9本章總結(jié)本章是我寫的這篇論文的核心部分，將壓縮映射原理建立在概率度量空間的一系列概念上，無