小學(xué)四年級(jí)奧數(shù)-容斥問(wèn)題

1、容斥問(wèn)題（一）容斥問(wèn)題涉及到一個(gè)重要的原理一一包含與排除原理，也稱為容斥原理，即當(dāng)兩個(gè)計(jì)數(shù)部分有重復(fù)包含時(shí)，為了不重復(fù)地計(jì)數(shù)，應(yīng)從它們的和中排除重復(fù)部分。這一講我們先介紹容斥原理1 對(duì) n 個(gè)事物，如果采用兩種不同的分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)：按性質(zhì) a 分類(lèi)與性質(zhì) b 分類(lèi)（如圖 1），那么，具有性質(zhì) a 或性質(zhì) b 的事物的個(gè)數(shù)=Na+Nb-Nad例 1一個(gè)班有 55 名學(xué)生，訂閱小學(xué)生數(shù)學(xué)報(bào)的有12 人，訂閱今日少年報(bào)的有 9 人，兩種報(bào)紙都訂閱的有 5 人。（1）訂閱報(bào)紙的總?cè)藬?shù)有多少？ （2）兩種報(bào)紙都沒(méi)訂閱的有多少人?例 2一個(gè)旅行社有 36 人，其中會(huì)英語(yǔ)的有 24 人，會(huì)俄語(yǔ)的有 18 人，兩樣

2、都不會(huì)的有 4 人，兩樣都會(huì)的有多 少人？ 例 3.在 1 到 100 的全部自然數(shù)中，既不是 6 的倍數(shù)也不是 5 的倍數(shù)的數(shù)有多少個(gè)?例 4藝術(shù)節(jié)那天，學(xué)校的畫(huà)廊里展了了每個(gè)年級(jí)學(xué)生的圖畫(huà)作品，其中有23 幅畫(huà)不是五年級(jí)的，有 21 幅畫(huà)不是六年級(jí)的，五、六年級(jí)參展的畫(huà)共有8 幅。其他年級(jí)參展的畫(huà)共有多少幅？練習(xí)與思考1將邊長(zhǎng)分別為 4 厘米和 5 厘米的正方形紙片部分重疊，蓋在桌面上（如圖 6）,已知重疊的部分為 9 平方厘米，兩塊正方形紙片蓋住桌面的總面積是多少平方厘米？2 . 二（ 2）班有 50 名學(xué)生，下課后每人都至少做完了一門(mén)作業(yè)，其中做完語(yǔ)文作業(yè)的有35 人，做完數(shù)學(xué)作業(yè)的有

3、 40 人，兩種作業(yè)都做完的有多少人？3.有 62 名學(xué)生，其中會(huì)彈鋼琴的有11 名，會(huì)吹豎笛的有 56 名，兩樣都不會(huì)的有 4 名，兩樣都會(huì)的有多少名？4 某校選出 50 名學(xué)生參加區(qū)作文比賽和數(shù)學(xué)比賽，作文比賽獲獎(jiǎng)的有14 人，數(shù)學(xué)比賽獲獎(jiǎng)的有12 人，有 3人兩項(xiàng)比賽都獲獎(jiǎng)的，兩項(xiàng)比賽都沒(méi)獲獎(jiǎng)的有多少人？5 四（1）班有 40 個(gè)學(xué)生，其中有 25 人參加數(shù)學(xué)小組，23 人參加航模水組，有 19 人兩個(gè)小組都參加了，那么， 有多少人兩個(gè)小組都沒(méi)有參加？6 在一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中，所有同學(xué)都答了第1、2 兩題，其中答對(duì)第 1 題的有 35 人，答對(duì)第 2 題的有 28 人，這兩題都答對(duì)的有 20

4、 人，沒(méi)有人兩題都答錯(cuò)。一共有多少人參加了這次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)？7 一個(gè)俱樂(lè)部里，會(huì)下中國(guó)象棋的有69 人，會(huì)下國(guó)際象棋的有 52 人，這兩種棋都不會(huì)下的有 12 人，都會(huì)下的有 30 人。這個(gè)俱樂(lè)部里有多少人？8 某班上體育課，全班排成 4 行（每行的人數(shù)相等），小芳排的位置是：從前面數(shù)第 6 個(gè)，從后面數(shù)第 7 個(gè)。這個(gè)班共有多少名學(xué)生?9.在 1 到 200 的全部自然數(shù)中，既不是 8 的倍數(shù)也不是 5 的倍數(shù)的數(shù)有多少個(gè)?10科技節(jié)那天，學(xué)校的科技室里展出了每個(gè)年級(jí)學(xué)生的科技作品，其中有114 件不是一年級(jí)的，有 96 件不是二年級(jí)的，一、二年級(jí)參展的作品共32 件。其他年級(jí)參展的作品共有多少

5、件？容斥問(wèn)題(二)這一講介紹容斥原理 2 n 個(gè)事物，如何采用三種不同的分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)：按性質(zhì)a 分類(lèi)、性質(zhì) b 分類(lèi)與性質(zhì) c 分類(lèi)(如圖 1)，那么，具有性質(zhì) a 或 b 或 c 的事物的個(gè)數(shù)=(Na+Nb=Nc)-(Nab=Nbc=Nca)+Nabc。例 1五(1)班的全體學(xué)生進(jìn)行了短跑、游泳、籃球三個(gè)項(xiàng)目的測(cè)試，有4 名 學(xué) 生 在 這 三 個(gè) 項(xiàng) 目 上 都 沒(méi) 有 達(dá) 到優(yōu)秀，其余每人至少有一個(gè)項(xiàng)目達(dá)到優(yōu)秀，這部分學(xué)生達(dá)到優(yōu)秀的項(xiàng)目和人數(shù)如下表：短跑游泳籃球短跑、游泳游泳、籃球籃球、短跑短跑、游泳、籃球17 人18 人15 人6 人6 人6 人2 人求全班人數(shù)。例 2某班有學(xué)生 50 人

6、，參加無(wú)線電小組，航模小組和生物小組的人數(shù)分別是20 人、20 人和 12 人，其中既參加無(wú)線電小組又參加航模小組的有4 人，既參加航模小組又參加生物小組的有5 人，既參加生物小組又參加無(wú)線電小組的有 3 人。已知全班每人都至少參加了以上三個(gè)小組中的某一個(gè)，那么，三個(gè)小組參加的學(xué)生有多少人？例 3.個(gè)體育鍛煉小組有 35 名男生，規(guī)定他們至少參加籃球、排球、足球三個(gè)球隊(duì)中的一個(gè)。結(jié)果參加籃球 隊(duì)的有 16 人，參加排球隊(duì)的有 11 人，參加足球隊(duì)的有 20 人，其中有 4 人既參加了排球隊(duì)又參加了籃球隊(duì)，有 3 人既參加了排球隊(duì)又參加了足球隊(duì)，沒(méi)有人三個(gè)球隊(duì)都參加。既參加籃球隊(duì)又參加足球隊(duì)的有

7、多少人？例 4.松山小學(xué) 45 名學(xué)生參加數(shù)學(xué)、作文、美術(shù)競(jìng)賽。有21 人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，15 人參加作文競(jìng)賽，其中 7 人既參加作文競(jìng)賽又參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，3 人既參加作文競(jìng)賽又參加美術(shù)競(jìng)賽，但沒(méi)有一人既參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽又參加美術(shù)競(jìng)賽。(1 )只參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的有多少人？(2 )只參加作文競(jìng)賽的有多少人？(3 )只參加美術(shù)競(jìng)賽的有多少人？練習(xí)與思考1有 30 名運(yùn)動(dòng)員、其中 18 人會(huì)三級(jí)跳遠(yuǎn)，16 人會(huì)撐桿跳高，10 人三級(jí)跳遠(yuǎn)、撐桿跳高都不會(huì)。既會(huì)三級(jí)跳遠(yuǎn) 又會(huì)撐桿跳高的運(yùn)動(dòng)員有多少名？2 操場(chǎng)上的學(xué)生排成 10 路縱隊(duì)做操，每路縱隊(duì)的人數(shù)同樣多，小明站在第4 路縱隊(duì)，從排頭數(shù)他是第13 人,從后往

8、前數(shù)他是第 8 人。操場(chǎng)上有多少人在做操？3 一個(gè)年級(jí)有 120 人愛(ài)好數(shù)學(xué)，100 人愛(ài)好語(yǔ)文，85 人愛(ài)好美術(shù)，30 人既愛(ài)好數(shù)學(xué)又愛(ài)好語(yǔ)文，20 人既愛(ài)好語(yǔ)文又愛(ài)好美術(shù)，35 人既愛(ài)好美術(shù)又愛(ài)好數(shù)學(xué)，有18 人三個(gè)學(xué)科都愛(ài)好。請(qǐng)問(wèn)：這個(gè)年級(jí)中數(shù)學(xué)、語(yǔ)文、美術(shù)三個(gè)學(xué)科至少愛(ài)好一個(gè)學(xué)科的學(xué)生有多少人？4某班全體學(xué)生進(jìn)行了數(shù)學(xué)、語(yǔ)文、英語(yǔ)三個(gè)科目的測(cè)試，有8 名學(xué)生在這三個(gè)科目上都沒(méi)有達(dá)到優(yōu)秀，其余每人至少有一個(gè)科目達(dá)到優(yōu)秀，這部分學(xué)生達(dá)到優(yōu)秀的科目和人數(shù)如下表：數(shù)學(xué)語(yǔ)文英語(yǔ)數(shù)學(xué)、語(yǔ)文語(yǔ)文、英語(yǔ)英語(yǔ)、數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)、語(yǔ)文、英語(yǔ)2016164453全班一共有多少名學(xué)生?5 第三小隊(duì)的學(xué)生有 20 人，

9、手中分別拿有紅、黃藍(lán)三種顏色的球，已知手中有紅球、黃球、藍(lán)球折學(xué)生人數(shù)分 別為 10 人、10 人、6 人，其中手中既有紅球又有黃球的有3 人，既有黃球又有藍(lán)球的有 2 人，既有藍(lán)球又有紅球的有 4 人。已知全隊(duì)每人手里都至少有一種顏色的球，那么，手中三種顏色的球都有多少人？6 .某班 50 名同學(xué)全部參加數(shù)學(xué)、語(yǔ)文、美術(shù)三個(gè)課外興趣小組，參加數(shù)學(xué)小組的有21 人，參加美術(shù)小組的有 25 人，有 17 人既參加數(shù)學(xué)小組又參加美術(shù)小組，有小組，有 10 人既參加語(yǔ)文小組又參加美術(shù)小組。三個(gè)小組都參加的有多少人?7 有學(xué)生 30 名，他們中有部分學(xué)生參加了乒乓球，羽毛球、排球三個(gè)訓(xùn)練小組，各組人數(shù)

10、分別為 14 人、12 人、10 人，其中既參加羽毛球小組又參加排球小組的有4 人，既參加羽毛球小組又參加乒乓球小組的有 6 人，既參加乒乓球小組又參加排球小組的有 5 人，三個(gè)小組都參加的有 1 人。這些學(xué)生中這三個(gè)小組都沒(méi)有參加的有幾人？8 某外語(yǔ)學(xué)習(xí)班有 40 名學(xué)員，規(guī)定他們至少學(xué)習(xí)英語(yǔ)、日語(yǔ)、德語(yǔ)中的一咱。結(jié)果學(xué)習(xí)英語(yǔ)的有20 人，學(xué)習(xí)日語(yǔ)的有 12 人，學(xué)習(xí)德語(yǔ)的有 18 人，其中有 5 人既學(xué)習(xí)了英語(yǔ)又學(xué)習(xí)了日語(yǔ)，有 2 人既學(xué)習(xí)了日語(yǔ)又學(xué)習(xí)了德語(yǔ)，沒(méi)有人同時(shí)學(xué)習(xí)三咱語(yǔ)言。既學(xué)習(xí)英語(yǔ)又學(xué)習(xí)德語(yǔ)的有多少人？9 .四(1)班有 55 名學(xué)生參加音樂(lè)、美術(shù)、體育興趣組。有22 人參加美

11、術(shù)組，有 21 人參加音樂(lè)組，其中 15人既參加音樂(lè)組又參加美術(shù)組，3 人既參加音樂(lè)組又參加體育組，但沒(méi)有一人既參加美術(shù)組又參加優(yōu)育組。(1) 只參加美術(shù)組的有多少人？(2) 只參加音樂(lè)組的有多少人？29 人，參加語(yǔ)文小組的有15 人既參加數(shù)學(xué)小組又參加語(yǔ)文(3) 只參加音樂(lè)組的有多少人？能力測(cè)試（三）（滿分 100 分，90 分鐘完成）一、填空題（每空 6 分，共 54 分）。1.小英有 2 分、5 分的硬幣共 35 枚，一共是 1 元 1 角 5 分，2 分硬幣有（ ）枚，5 分硬幣有（ ）枚。2 從舊舊歷中知道，1988 年元旦昌星期五，那么， 2000 年元旦是星期（）。3 .買(mǎi) 5

12、元 1 千克的糖和 8 元 1 千克的糖共 10 千克，用去 71 元。5 元 1 千克的糖有（）千克，8 元 1 千克的糖有（）千克。圖中共有（）個(gè)正方形。圖中菜有（）個(gè)三角形。5 新華小學(xué)四年級(jí)共 40 個(gè)學(xué)生采集標(biāo)本，采集昆蟲(chóng)標(biāo)本的有27 人，采集植物標(biāo)本的有 21 人，兩種標(biāo)本都采集的有（）人。6 某班學(xué)生去圖書(shū)館借書(shū)，每人都借了語(yǔ)文或數(shù)學(xué)課外書(shū)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果是：借語(yǔ)文書(shū)的39 人，借數(shù)學(xué)書(shū)的 32 人，語(yǔ)文、數(shù)學(xué)兩種書(shū)都借的有26 人，全班學(xué)生共（）人。二、應(yīng)用題（第 1 題 10 分，其余每題 9 分，共 46 分）。1.英文字母A, B, C, D,按規(guī)則排列為ABAACCDABAACC 共 250 個(gè)字母，最后一個(gè)字母是什么？A,B, C, D各有多少個(gè)？2 四年級(jí)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)比賽，規(guī)定算對(duì)一題得5 分，錯(cuò)一題扣 2 分。試卷上共有 20 道題，李華得了 86 分，他算對(duì)了多少道題？3 .一個(gè)停車(chē)場(chǎng)上共停汽車(chē)、三輪摩托車(chē)25 輛，其中汽車(chē)有 4 個(gè)輪子，三輪摩托車(chē)有 3 個(gè)輪子。這些車(chē)共有 90個(gè)輪子。三輪摩托車(chē)有