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1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上高等數(shù)學(xué)2期末復(fù)習(xí)題一、填空題:1. 函數(shù)的定義域是 1X2+Y2<3 .2.設(shè)則 .3.函數(shù)在點(diǎn)的全微分 4設(shè)則 .設(shè)則 .5.設(shè) 而 則 6函數(shù) 在點(diǎn)(1,2)處沿從點(diǎn)(1,2)到點(diǎn)(2,)的方向?qū)?shù)是 7.改換積分次序 ; .8若L是拋物線 上從點(diǎn)A到點(diǎn)B的一段弧,則= 9.微分方程的通解為 .二、選擇題:1 等于 ( )(上下求導(dǎo))A2, B. C.0 D.不存在2函數(shù) 的定義域是( D )A B. C. D3. ( B )A. B. C. D. 5.設(shè),且F具有導(dǎo)數(shù),則(D )A.; B.;C. ; D. .6曲線 ,在 處的切向量是 ( D )A B
2、. C. D.7對(duì)于函數(shù) ,原點(diǎn) ( A )A是駐點(diǎn)但不是極值點(diǎn) B.不是駐點(diǎn) C.是極大值點(diǎn) D.是極小值點(diǎn)8設(shè)I=, 其中D是圓環(huán)所確定的閉區(qū)域,則必有( )AI大于零 B.I小于零 C.I等于零 D.I不等于零,但符號(hào)不能確定。9. 已知L是平面上不包含原點(diǎn)的任意閉曲線,若曲線積分 ,則a等于 ( ). A -1 B 1 C 2 D -210若L為連接及兩點(diǎn)的直線段,則曲線積分=( )A0 B.1 C. D.211.設(shè)D為則( ) A.; B. ; C. ; D. .12. 微分方程的通解為( )A.; B.;C.;D.13.( )是微分方程在初始條件下的特解.A.;B.;C.;D.三、
3、計(jì)算題:1.設(shè),求 及,其中f 具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù). 2 設(shè), 求 , 3 求旋轉(zhuǎn)拋物面 在點(diǎn)處的切平面及法線方程。4 求函數(shù)的極值5 計(jì)算,其中D是由圓周 及軸所圍成的右 半閉區(qū)域.6 計(jì)算,其中D是以O(shè)(0,0),A(1,1),B(0,1)為頂點(diǎn)的三角形閉區(qū)域.7.計(jì)算 ,其中是三個(gè)坐標(biāo)面與平面 所圍成的區(qū)域.8.計(jì)算 ,其中L為圓 的正向邊界。9.計(jì)算曲線積分 其中L是從O(0, 0)沿上半圓到A(2, 0). 10.驗(yàn)證:在整個(gè)面內(nèi),是某個(gè)函數(shù)的全微分,并求出這樣的一個(gè)函數(shù).11.求微分方程 的通解.12.求解微分方程的特解: 13.解微分方程 .四、應(yīng)用題:1.用鋼板制造一個(gè)容積為V
4、的無(wú)蓋長(zhǎng)方形水池,應(yīng)如何選擇水池的長(zhǎng)、寬、高才最省鋼板.2.已知矩形的周長(zhǎng)為24cm,將它繞其一邊旋轉(zhuǎn)而構(gòu)成一圓柱體,試求所得圓柱體體積最大時(shí)的矩形面積.3.求拋物線所圍成的閉區(qū)域的面積.4.求拋物面與錐面所圍成的立體的體積.高等數(shù)學(xué)2期末復(fù)習(xí)題答案一、填空題:1、 2、 3、 4、 5、6、 (注:方向?qū)?shù))7、; 8、 (注:) 9、二、選擇題:1、A; 2. D; 3. B; 4.缺 5. D; 6. D; 7. A; 8. A; 9. A; 10.C;11. C; 12.C; 13.D三、計(jì)算題:1.解:令,則 2. 解:兩方程分別兩邊對(duì)求偏導(dǎo)數(shù),注意是關(guān)于的二元函數(shù),得 即 這是以為
5、未知量的二元線性方程組。當(dāng) 時(shí),有 ,3. 解:旋轉(zhuǎn)拋物面 在點(diǎn)處的切向量 于是,所求切平面方程為 ,即 法線方程為 4. 解:解方程組,得四個(gè)駐點(diǎn).又 . 對(duì)且,則是函數(shù)的極小值點(diǎn); 對(duì),則不是極值點(diǎn); 對(duì),則不是極值點(diǎn); 對(duì),且,則是函數(shù)的極大值點(diǎn). 于是,函數(shù)有極小值,極大值 .5. 解:利用極坐標(biāo)變換,令,則,且D可表示為:.于是 .6. 解:三角形區(qū)域D由直線及軸圍成,選擇先對(duì)積分,.(注:此題也可以參看課本167頁(yè)例2的解法)7.解題過(guò)程見(jiàn)課本124頁(yè)例1.8. 解:在L圍成的圓域D:上全在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),從而 .于是由格林公式,得.9. 解:,有 在整個(gè)平面上恒成立,所以曲線積分與
6、路徑無(wú)關(guān),故可取軸上線段OA作為積分路徑.OA的方程為,且從0變到2,從而.10. 解:,有 , 即有在整個(gè)平面上恒成立,因此在整個(gè)面內(nèi),是某個(gè)函數(shù)的全微分.取ARB為積分路徑,其中各點(diǎn)坐標(biāo)分別為,得 .11. 解法一:方程可改寫(xiě)為 ,這是一階非齊次線性微分方程.先求對(duì)應(yīng)的齊次線性方程的通解. 由,分離變量,得,兩邊積分,解得 .用常數(shù)變易法,將換成.即,.代入原方程,化簡(jiǎn)得 .故 .于是方程的通解為 .解法二:方程可改寫(xiě)為 .這是一階非齊次線性微分方程,其中.利用通解公式 .12. 課本212頁(yè)第8題第(1)小題。 解:原方程可寫(xiě)成 .令,即 ,有 ,則原方程成為 ,分離變量,得 .兩邊積分
7、,得.代入并整理,得通解 .由初始條件得 .于是所求特解為 .13.解題過(guò)程見(jiàn)課本212頁(yè)例5.四、應(yīng)用題:1.解法一:設(shè)水池的長(zhǎng)、寬、高分別是.已知xyz=V,從而高,水池表面的面積 S的定義域. 這個(gè)問(wèn)題就是求二元函數(shù)S在區(qū)域D內(nèi)的最小值. 解方程組 在區(qū)域D內(nèi)解得唯一得駐點(diǎn).根據(jù)實(shí)際問(wèn)題可知最小值在定義域內(nèi)必存在,因此可斷定此唯一駐點(diǎn)就是最小值點(diǎn).即當(dāng)長(zhǎng),寬均為,高為時(shí),水池所用材料最省. 解法二:設(shè)水池的長(zhǎng)、寬、高分別是.已知xyz=V,水池表面的面積 S的定義域.此題就是求函數(shù)在約束條件xyz=V下的最小值.構(gòu)造拉格朗日函數(shù) . 解方程組 比較(1),(2),(3)式,得 x=y=2z,代入(4)式中,有,即.于是,x,y,z只有唯一一組解.由問(wèn)題的實(shí)際意義最小值在定義域內(nèi)必存在.因此,函數(shù)S在其唯一駐點(diǎn)處必取得最小值.故當(dāng)長(zhǎng)方形水池的長(zhǎng),寬,高分別是時(shí)所用材料最省.2.解題過(guò)程見(jiàn)課本98頁(yè)例4.3.利用二重積分求閉區(qū)域的面積解:所求區(qū)域的面積為 ,其中D為拋物線所圍成的閉區(qū)域.兩曲線交于兩點(diǎn)(0,0),(1,2).選擇先對(duì)積分,于是,.4.利用三重積分計(jì)算立體的體積. 解法一:所求立體的體積為 ,其中是拋物面與錐面所圍成的立體. 利用直角坐標(biāo)計(jì)算.由與
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