高等數(shù)學(xué)2期末復(fù)習(xí)題與答案

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上高等數(shù)學(xué)2期末復(fù)習(xí)題一、填空題：1. 函數(shù)的定義域是 1X2+Y2<3 .2.設(shè)則 .3.函數(shù)在點(diǎn)的全微分 4設(shè)則 .設(shè)則 .5.設(shè) 而 則 6函數(shù) 在點(diǎn)（1，2）處沿從點(diǎn)（1，2）到點(diǎn)（2，）的方向?qū)?shù)是 7.改換積分次序 ； .8若L是拋物線 上從點(diǎn)A到點(diǎn)B的一段弧，則= 9.微分方程的通解為 .二、選擇題：1 等于 （ ）（上下求導(dǎo)）A2， B. C.0 D.不存在2函數(shù) 的定義域是（ D ）A B. C. D3. （ B ）A. B. C. D. 5.設(shè)，且F具有導(dǎo)數(shù)，則（D ）A.； B.；C. ； D. .6曲線 ，在 處的切向量是 （ D ）A B

2、. C. D.7對于函數(shù) ，原點(diǎn) （ A ）A是駐點(diǎn)但不是極值點(diǎn) B.不是駐點(diǎn) C.是極大值點(diǎn) D.是極小值點(diǎn)8設(shè)I=， 其中D是圓環(huán)所確定的閉區(qū)域，則必有（ ）AI大于零 B.I小于零 C.I等于零 D.I不等于零，但符號不能確定。9. 已知L是平面上不包含原點(diǎn)的任意閉曲線，若曲線積分 ，則a等于 （ ）. A -1 B 1 C 2 D -210若L為連接及兩點(diǎn)的直線段，則曲線積分=（ ）A0 B.1 C. D.211.設(shè)D為則（ ） A.； B. ； C. ； D. .12. 微分方程的通解為（ ）A.； B.；C.；D.13.（ ）是微分方程在初始條件下的特解.A.；B.；C.；D.三、

3、計算題：1.設(shè)，求 及，其中f 具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù). 2 設(shè)， 求 ， 3 求旋轉(zhuǎn)拋物面 在點(diǎn)處的切平面及法線方程。4 求函數(shù)的極值5 計算，其中D是由圓周 及軸所圍成的右 半閉區(qū)域.6 計算，其中D是以O(shè)（0,0），A（1,1），B（0,1）為頂點(diǎn)的三角形閉區(qū)域.7.計算 ，其中是三個坐標(biāo)面與平面 所圍成的區(qū)域.8.計算 ，其中L為圓 的正向邊界。9.計算曲線積分 其中L是從O(0, 0)沿上半圓到A(2, 0). 10.驗證：在整個面內(nèi)，是某個函數(shù)的全微分，并求出這樣的一個函數(shù).11.求微分方程 的通解.12.求解微分方程的特解： 13.解微分方程 .四、應(yīng)用題：1.用鋼板制造一個容積為V

4、的無蓋長方形水池，應(yīng)如何選擇水池的長、寬、高才最省鋼板.2.已知矩形的周長為24cm，將它繞其一邊旋轉(zhuǎn)而構(gòu)成一圓柱體，試求所得圓柱體體積最大時的矩形面積.3.求拋物線所圍成的閉區(qū)域的面積.4.求拋物面與錐面所圍成的立體的體積.高等數(shù)學(xué)2期末復(fù)習(xí)題答案一、填空題：1、 2、 3、 4、 5、6、 （注：方向?qū)?shù)）7、； 8、 （注：） 9、二、選擇題：1、A; 2. D; 3. B; 4.缺 5. D; 6. D; 7. A; 8. A; 9. A; 10.C;11. C; 12.C; 13.D三、計算題：1.解：令，則 2. 解：兩方程分別兩邊對求偏導(dǎo)數(shù)，注意是關(guān)于的二元函數(shù)，得 即 這是以為

5、未知量的二元線性方程組。當(dāng) 時，有 ，3. 解：旋轉(zhuǎn)拋物面 在點(diǎn)處的切向量 于是，所求切平面方程為 ，即 法線方程為 4. 解：解方程組，得四個駐點(diǎn).又 . 對且,則是函數(shù)的極小值點(diǎn)； 對,則不是極值點(diǎn)； 對,則不是極值點(diǎn)； 對,且,則是函數(shù)的極大值點(diǎn). 于是，函數(shù)有極小值，極大值 .5. 解：利用極坐標(biāo)變換，令，則，且D可表示為：.于是 .6. 解：三角形區(qū)域D由直線及軸圍成，選擇先對積分，.（注：此題也可以參看課本167頁例2的解法）7.解題過程見課本124頁例1.8. 解：在L圍成的圓域D:上全在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，從而 .于是由格林公式，得.9. 解：，有 在整個平面上恒成立，所以曲線積分與

6、路徑無關(guān)，故可取軸上線段OA作為積分路徑.OA的方程為，且從0變到2，從而.10. 解：，有 ， 即有在整個平面上恒成立，因此在整個面內(nèi)，是某個函數(shù)的全微分.取ARB為積分路徑，其中各點(diǎn)坐標(biāo)分別為，得 .11. 解法一：方程可改寫為 ，這是一階非齊次線性微分方程.先求對應(yīng)的齊次線性方程的通解. 由，分離變量，得，兩邊積分，解得 .用常數(shù)變易法，將換成.即，.代入原方程，化簡得 .故 .于是方程的通解為 .解法二：方程可改寫為 .這是一階非齊次線性微分方程，其中.利用通解公式 .12. 課本212頁第8題第（1）小題。 解：原方程可寫成 .令，即 ，有 ，則原方程成為 ，分離變量，得 .兩邊積分

7、，得.代入并整理，得通解 .由初始條件得 .于是所求特解為 .13.解題過程見課本212頁例5.四、應(yīng)用題：1.解法一：設(shè)水池的長、寬、高分別是.已知xyz=V，從而高，水池表面的面積 S的定義域. 這個問題就是求二元函數(shù)S在區(qū)域D內(nèi)的最小值. 解方程組 在區(qū)域D內(nèi)解得唯一得駐點(diǎn).根據(jù)實際問題可知最小值在定義域內(nèi)必存在,因此可斷定此唯一駐點(diǎn)就是最小值點(diǎn).即當(dāng)長，寬均為，高為時，水池所用材料最省. 解法二：設(shè)水池的長、寬、高分別是.已知xyz=V，水池表面的面積 S的定義域.此題就是求函數(shù)在約束條件xyz=V下的最小值.構(gòu)造拉格朗日函數(shù) . 解方程組 比較（1），（2），（3）式，得 x=y=2z，代入（4）式中，有,即.于是，x,y,z只有唯一一組解.由問題的實際意義最小值在定義域內(nèi)必存在.因此，函數(shù)S在其唯一駐點(diǎn)處必取得最小值.故當(dāng)長方形水池的長，寬，高分別是時所用材料最省.2.解題過程見課本98頁例4.3.利用二重積分求閉區(qū)域的面積解：所求區(qū)域的面積為 ，其中D為拋物線所圍成的閉區(qū)域.兩曲線交于兩點(diǎn)（0,0），（1,2）.選擇先對積分，于是，.4.利用三重積分計算立體的體積. 解法一：所求立體的體積為 ，其中是拋物面與錐面所圍成的立體. 利用直角坐標(biāo)計算.由與