高中數(shù)學(xué)知識點總結(jié)與題庫（數(shù)列）

1、.第六章 數(shù)列:1二、重難點擊本章重點：數(shù)列的概念，等差數(shù)列，等比數(shù)列的定義，通項公式和前項和公式及運用，等差數(shù)列、等比數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)。注重提煉一些重要的思想和方法，如：觀察法、累加法、累乘法、待定系數(shù)法、倒序相加求和法、錯位相減求和法、裂項相消求和法、函數(shù)與方程思想、分類與討論思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等。知識網(wǎng)絡(luò)數(shù)列與正整數(shù)集關(guān)系 等差數(shù)列等比數(shù)列特殊數(shù)列求和方法公式法倒序相加法錯位相減法裂項相消法 遞推公式通項公式 數(shù)列第一課時 數(shù)列11四、數(shù)列通項與前項和的關(guān)系12課前熱身3數(shù)列的通項公式為 ,則數(shù)列各項中最小項是( B )A第項B第項C第項D第項4已知數(shù)列是遞增數(shù)列，其通項公式為,則實數(shù)的

2、取值范圍是5數(shù)列的前項和,，則題型一 歸納、猜想法求數(shù)列通項【例1】根據(jù)下列數(shù)列的前幾項，分別寫出它們的一個通項公式 7，77，777，7777，1，3，3，5，5，7，7，9，9解析：將數(shù)列變形為，將已知數(shù)列變?yōu)?+0，2+1，3+0，4+1，5+0，6+1，7+0，8+1，9+0，。可得數(shù)列的通項公式為點撥：本例的求解關(guān)鍵是通過分析、比較、聯(lián)想、歸納、轉(zhuǎn)換獲得項與項數(shù)的一般規(guī)律，從而求得通項。題型二 應(yīng)用求數(shù)列通項例2已知數(shù)列的前項和，分別求其通項公式. 解析：當(dāng)，當(dāng)又不適合上式，故 三、利用遞推關(guān)系求數(shù)列的通項【例3】根據(jù)下列各個數(shù)列的首項和遞推關(guān)系，求其通項公式解析：因為，所以所以，以

3、上個式相加得 即：點撥：在遞推關(guān)系中若求用累加法，若求用累乘法，若，求用待定系數(shù)法或迭代法。課外練習(xí)3設(shè)，()，則的大小關(guān)系是( C )ABCD不能確定解：因為所以，選二、填空題5已知數(shù)列的前項和則7已知數(shù)列的通項（），則數(shù)列的前30項中最大項和最小項分別是解：構(gòu)造函數(shù)由函數(shù)性質(zhì)可知，函數(shù)在上遞減，且函數(shù)在上遞增且三、解答題6.2等差數(shù)列知識要點2遞推關(guān)系與通項公式是數(shù)列成等差數(shù)列的充要條件。等差中項：若成等差數(shù)列，則稱的等差中項，且；成等差數(shù)列是的充要條件。前項和公式 ； 是數(shù)列成等差數(shù)列的充要條件。5等差數(shù)列的基本性質(zhì)反之，不成立。仍成等差數(shù)列。判斷或證明一個數(shù)列是等差數(shù)列的方法：定義法：

4、是等差數(shù)列中項法：是等差數(shù)列通項公式法：是等差數(shù)列前項和公式法：是等差數(shù)列課前熱身 2等差數(shù)列中，A14B15C16D17解。3等差數(shù)列中，則前10或11項的和最大。解：為遞減等差數(shù)列為最大。4已知等差數(shù)列的前10項和為100，前100項和為10，則前110項和為110解：成等差數(shù)列，公差為D其首項為，前10項的和為 設(shè)等差數(shù)列的前項和為，已知 求出公差的范圍，指出中哪一個值最大，并說明理由。解： 課外練習(xí)一、 選擇題1 已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前10項的和，則其公差等于( D )2 已知等差數(shù)列中，等于（ A ）A15 B30 C31 D64二、填空題3 設(shè)為等差數(shù)列的前項和，=544 已知等

5、差數(shù)列的前項和為，若5 設(shè)F是橢圓的右焦點，且橢圓上至少有21個不同點組成公差為的等差數(shù)列，則的取值范圍為解：橢圓的焦點F到橢圓上的點最大、最小距離分別為，由題意得：三、解答題6 等差數(shù)列的前項和記為，已知 求通項；若=242，求解：由，=2427 甲、乙兩物體分別從相距70的兩處同時相向運動，甲第一分鐘走2，以后每分鐘比前一分鐘多走1，乙每分鐘走5，甲、乙開始運動后幾分鐘相遇？如果甲乙到對方起點后立即折返，甲繼續(xù)每分鐘比前一分鐘多走1，乙繼續(xù)每分鐘走5，那么，開始運動幾分鐘后第二次相遇？解：設(shè)分鐘后第一次相遇，依題意有：故第一次相遇是在開始運動后7分鐘。設(shè)分鐘后第二次相遇，則：故第二次相遇是

6、在開始運動后15分鐘10已知數(shù)列中，前和求證：數(shù)列是等差數(shù)列求數(shù)列的通項公式設(shè)數(shù)列的前項和為，是否存在實數(shù)，使得對一切正整數(shù)都成立？若存在，求的最小值，若不存在，試說明理由。解：數(shù)列為等差數(shù)列。要使得對一切正整數(shù)恒成立，只要，所以存在實數(shù)使得對一切正整數(shù)都成立，的最小值為。6.3等比數(shù)列知識要點1 定義：如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，記為。2 遞推關(guān)系與通項公式3 等比中項：若三個數(shù)成等比數(shù)列，則稱為的等比中項，且為是成等比數(shù)列的必要而不充分條件。4 前項和公式5 等比數(shù)列的基本性質(zhì)， 反之不真！ 為等比數(shù)列

7、，則下標(biāo)成等差數(shù)列的對應(yīng)項成等比數(shù)列。 仍成等比數(shù)列。6 等比數(shù)列與等比數(shù)列的轉(zhuǎn)化 是等差數(shù)列是等比數(shù)列； 是正項等比數(shù)列是等差數(shù)列； 既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列是各項不為零的常數(shù)列。7 等比數(shù)列的判定法定義法：為等比數(shù)列；中項法：為等比數(shù)列； 通項公式法：為等比數(shù)列；前項和法：為等比數(shù)列。1 2 已知數(shù)列是等比數(shù)列，且70 （問題引入）猜想：是等比數(shù)列，公比為。證明如下： 即：，是首項為，公比為的等比數(shù)列。 二、性質(zhì)運用例2：在等比數(shù)列中，求，若 在等比數(shù)列中，若，則有等式成立，類比上述性質(zhì)，相應(yīng)的在等比數(shù)列中，若則有等式 成立。 解：由等比數(shù)列的性質(zhì)可知： 由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，是等差數(shù)列，

8、因為由題設(shè)可知，如果在等差數(shù)列中有成立，我們知道，如果，而對于等比數(shù)列，則有所以可以得出結(jié)論，若成立，在本題中點撥：歷年高考對性質(zhì)考查較多，主要是利用“等積性”，題目“小而巧”且背景不斷更新，要熟練掌握。典例精析一、 錯位相減法求和例1：求和： 解： 由得：點撥：若數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，則求數(shù)列的前項和時，可采用錯位相減法； 當(dāng)?shù)缺葦?shù)列公比為字母時，應(yīng)對字母是否為1進(jìn)行討論； 當(dāng)將與相減合并同類項時，注意錯位及未合并項的正負(fù)號。二、 裂項相消法求和例2：數(shù)列滿足=8， （） 求數(shù)列的通項公式；則所以，=8（1）×（2）102 對一切恒成立。故的最大整數(shù)值為5。點撥：若數(shù)列的通項

9、能轉(zhuǎn)化為的形式，常采用裂項相消法求和。 使用裂項消法求和時，要注意正負(fù)項相消時，消去了哪些項，保留了哪些項。三、 奇偶分析法求和例3：設(shè)二次函數(shù) 1 在等差數(shù)列中，=1，前項和滿足 求數(shù)列的通項公式 記，求數(shù)列的前項和。解：設(shè)數(shù)列的公差為，由所以=由，有 所以 得課外練習(xí) 數(shù)列的前項和為，若等于（ B ）的定義域為，且是以2為周期的周期函數(shù)，數(shù)列是首項為，公差為1的等差數(shù)列，那么的值為（ C ）A1 B1 C0 D10解：因為函數(shù)的定義域為，且是以2為周期的周期函數(shù)，所以又?jǐn)?shù)列是首項為，公差為1的等差數(shù)列故原式=0，選C。二、填空題設(shè)等比數(shù)列的公比與前項和分別為和，且1，6數(shù)列滿足，則數(shù)列的前

10、項和為= ）數(shù)列的前100項的和為。（）典例精析一、 函數(shù)與數(shù)列的綜合問題 設(shè)是常數(shù)，求證：成等差數(shù)列； 若，的前項和是，當(dāng)時，求解：， 點撥：本例是數(shù)列與函數(shù)綜合的基本題型之一，特 征是以函數(shù)為載體構(gòu)建數(shù)列的遞推關(guān)系，通過由函數(shù)的解析式獲知數(shù)列的通項公式，從而問題得到求解。 已知正項數(shù)列的前項和為，的等比中項， 求證：數(shù)列是等差數(shù)列； 若，數(shù)列的前項和為，求 在的條件下，是否存在常數(shù)，使得數(shù)列為等比數(shù)列？若存在，試求出；若不存在，說明理由。解：的等比中項， 所以數(shù)列是等差數(shù)列。 所以當(dāng)且僅當(dāng)3+=0，即=3時，數(shù)列 為等比數(shù)列。 已知在正項數(shù)列中，=2，且在雙曲線上，數(shù)列中，點（，）在直線上

11、，其中是數(shù)列的前項和，求數(shù)列的通項公式；求證：數(shù)列是等比數(shù)列。若。解：由已知帶點在上知， ，所以數(shù)列是以2為首項，以1為公差的等差數(shù)列。所以因為點（,）在直線上， 一、選擇題1.（2009廣東卷理）已知等比數(shù)列滿足，且，則當(dāng)時， A. B. C. D. 【解析】由得，則， ，選C. 答案 C2.（2009遼寧卷理）設(shè)等比數(shù)列 的前n 項和為 ，若 =3 ，則 = A. 2 B. C. D.3【解析】設(shè)公比為q ,則1q33 Þ q32 于是 【答案】B14.(2009湖北卷理)已知數(shù)列滿足：（m為正整數(shù)），若，則m所有可能的取值為_。 答案 4 5 32解析 （1）若為偶數(shù)，則為偶,

12、 故當(dāng)仍為偶數(shù)時， 故當(dāng)為奇數(shù)時，故得m=4。（2）若為奇數(shù)，則為偶數(shù)，故必為偶數(shù)，所以=1可得m=516.（2009陜西卷文）設(shè)等差數(shù)列的前n項和為,若,則 . 解析:由可得的公差d=2,首項=2,故易得2n.答案:2n17.(2009陜西卷理)設(shè)等差數(shù)列的前n項和為,若,則 .答案：122.（2009全國卷理）在數(shù)列中，（I）設(shè)，求數(shù)列的通項公式（II）求數(shù)列的前項和分析：（I）由已知有利用累差迭加即可求出數(shù)列的通項公式: ()（II）由（I）知,=而,又是一個典型的錯位相減法模型，易得 =23.（2009北京理）已知數(shù)集具有性質(zhì)；對任意的，與兩數(shù)中至少有一個屬于.（）分別判斷數(shù)集與是否具

13、有性質(zhì)，并說明理由；（）證明：，且；（）證明：當(dāng)時，成等比數(shù)列.【解析】本題主要考查集合、等比數(shù)列的性質(zhì)，考查運算能力、推理論證能力、分分類討論等數(shù)學(xué)思想方法本題是數(shù)列與不等式的綜合題，屬于較難層次題.（）由于與均不屬于數(shù)集，該數(shù)集不具有性質(zhì)P. 由于都屬于數(shù)集， 該數(shù)集具有性質(zhì)P.（）具有性質(zhì)P，與中至少有一個屬于A，由于，故. 從而，.， ，故.由A具有性質(zhì)P可知.又，從而，. （）由（）知，當(dāng)時，有，即， ，由A具有性質(zhì)P可知. ，得，且，即是首項為1，公比為成等比數(shù)列. 25（2009江蘇卷）對于正整數(shù)2，用表示關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根的有序數(shù)組的組數(shù)，其中（和可以相等）；對于隨機選

14、取的（和可以相等），記為關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根的概率。（1）求和；（2）求證：對任意正整數(shù)2，有.【解析】 必做題本小題主要考查概率的基本知識和記數(shù)原理，考查探究能力。滿分10分。 29.（2009江西卷理）各項均為正數(shù)的數(shù)列，且對滿足的正整數(shù)都有（1）當(dāng)時，求通項 （2）證明：對任意，存在與有關(guān)的常數(shù)，使得對于每個正整數(shù)，都有解：（1）由得將代入化簡得 所以 故數(shù)列為等比數(shù)列，從而即可驗證，滿足題設(shè)條件.(2) 由題設(shè)的值僅與有關(guān),記為則 考察函數(shù) ,則在定義域上有 故對， 恒成立. 又 ,注意到,解上式得取,即有 . 30. (2009湖北卷理)已知數(shù)列的前n項和（n為正整數(shù)）。（）令

15、，求證數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；(）令，試比較與的大小，并予以證明。解（I）在中，令n=1，可得，即當(dāng)時，. . 又?jǐn)?shù)列是首項和公差均為1的等差數(shù)列. 于是.(II)由（I）得，所以由-得 于是確定的大小關(guān)系等價于比較的大小由 可猜想當(dāng)證明如下：證法1：（1）當(dāng)n=3時，由上驗算顯示成立。（2）假設(shè)時所以當(dāng)時猜想也成立綜合（1）（2）可知 ，對一切的正整數(shù)，都有證法2：當(dāng)時綜上所述，當(dāng)，當(dāng)時31.（2009四川卷文）設(shè)數(shù)列的前項和為，對任意的正整數(shù)，都有成立，記。 （I）求數(shù)列與數(shù)列的通項公式；（II）設(shè)數(shù)列的前項和為，是否存在正整數(shù)，使得成立？若存在，找出一個正整數(shù)；若不存在，請說

16、明理由；（III）記，設(shè)數(shù)列的前項和為，求證：對任意正整數(shù)都有；解（I）當(dāng)時， 又?jǐn)?shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列， 3分（II）不存在正整數(shù)，使得成立。證明：由（I）知 當(dāng)n為偶數(shù)時，設(shè) 當(dāng)n為奇數(shù)時，設(shè)對于一切的正整數(shù)n，都有 不存在正整數(shù)，使得成立。 8分（III）由得 又， 當(dāng)時，當(dāng)時，32.（2009湖南卷文）對于數(shù)列,若存在常數(shù)M0,對任意的，恒有 , 則稱數(shù)列為數(shù)列.（）首項為1，公比為的等比數(shù)列是否為B-數(shù)列？請說明理由;（）設(shè)是數(shù)列的前n項和.給出下列兩組判斷：A組：數(shù)列是B-數(shù)列, 數(shù)列不是B-數(shù)列;B組：數(shù)列是B-數(shù)列, 數(shù)列不是B-數(shù)列.請以其中一組中的一個論斷為條件，另

17、一組中的一個論斷為結(jié)論組成一個命題.判斷所給命題的真假，并證明你的結(jié)論；()若數(shù)列是B-數(shù)列，證明：數(shù)列也是B-數(shù)列。解: （）設(shè)滿足題設(shè)的等比數(shù)列為,則.于是 =所以首項為1，公比為的等比數(shù)列是B-數(shù)列 .（）命題1：若數(shù)列是B-數(shù)列，則數(shù)列是B-數(shù)列.此命題為假命題.事實上設(shè)=1，易知數(shù)列是B-數(shù)列，但=n， .由n的任意性知，數(shù)列不是B-數(shù)列。命題2：若數(shù)列是B-數(shù)列，則數(shù)列不是B-數(shù)列。此命題為真命題。事實上，因為數(shù)列是B-數(shù)列，所以存在正數(shù)M，對任意的，有 , 即.于是,所以數(shù)列是B-數(shù)列。（注：按題中要求組成其它命題解答時，仿上述解法） ()若數(shù)列是B-數(shù)列，則存在正數(shù)M，對任意的

18、有 .因為 .記，則有 .因此.故數(shù)列是B-數(shù)列.33. (2009陜西卷理) 已知數(shù)列滿足， .猜想數(shù)列的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；（)證明：。 證明（1）由由猜想：數(shù)列是遞減數(shù)列下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：（1）當(dāng)n=1時，已證命題成立 （2）假設(shè)當(dāng)n=k時命題成立，即易知，那么=即也就是說，當(dāng)n=k+1時命題也成立，結(jié)合（1）和（2）知，命題成立（2）當(dāng)n=1時，結(jié)論成立當(dāng)時，易知 35.（2009天津卷理）已知等差數(shù)列的公差為d（d0），等比數(shù)列的公比為q（q>1）。設(shè)=+.+ ,=-+.+(-1 ,n 若= 1，d=2，q=3，求 的值；若=1，證明（1-q）-（1+q）=，n； ()

19、 若正數(shù)n滿足2nq，設(shè)的兩個不同的排列， ， 證明。本小題主要考查等差數(shù)列的通項公式、等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式等基礎(chǔ)知識，考查運算能力，推理論證能力及綜合分析和解決問題的能力的能力，滿分14分。（）解：由題設(shè)，可得所以， （）證明：由題設(shè)可得則 式減去式，得 式加上式，得 式兩邊同乘q，得 所以， ()證明： 因為所以 若，取i=n 若，取i滿足且由（1）,(2)及題設(shè)知，且 當(dāng)時，得即，又所以 因此當(dāng)同理可得，因此 綜上，37.（2009年上海卷理）已知是公差為的等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列。若，是否存在，有說明理由； 找出所有數(shù)列和，使對一切,并說明理由；若試確定所有的，使數(shù)列中

20、存在某個連續(xù)項的和是數(shù)列中的一項，請證明。解法一（1）由，得， 2分整理后，可得，、，為整數(shù)， 不存在、，使等式成立。 5分（2）若，即， （*）（）若則。 當(dāng)為非零常數(shù)列，為恒等于1的常數(shù)列，滿足要求。 7分（）若，（*）式等號左邊取極限得，（*）式等號右邊的極限只有當(dāng)時，才能等于1。此時等號左邊是常數(shù)，矛盾。綜上所述，只有當(dāng)為非零常數(shù)列，為恒等于1的常數(shù)列，滿足要求。10分【解法二】設(shè) 則若d=0，則 若（常數(shù)）即，則d=0，矛盾綜上所述，有， 10分（3） 設(shè).，. 13分取 15分由二項展開式可得正整數(shù)M1、M2，使得（4-1）2s+2=4M1+1, 故當(dāng)且僅當(dāng)p=3s,sN時，命題成

21、立. 說明：第（3）題若學(xué)生從以下角度解題，可分別得部分分（即分步得分）若p為偶數(shù)，則am+1+am+2+am+p為偶數(shù)，但3k為奇數(shù)故此等式不成立，所以，p一定為奇數(shù)。當(dāng)p=1時，則am+1=bk,即4m+5=3k，而3k=(4-1)k=當(dāng)為偶數(shù)時，存在，使3k成立 1分當(dāng)p=3時，則am+1+am+2+am+3=bk,即3am+2-bk, 也即3（4m+9）=3k,所以4m+9=3k-1,4(m+1)+5=3k-1由已證可知，當(dāng)k-1為偶數(shù)即k為奇數(shù)時，存在m, 4m+9=3k成立 2分當(dāng)p=5時，則am+1+am+2+am+5=bk,即5am+3=bk也即5（4m+13）=3k,而3k不是5的倍數(shù)，所以，當(dāng)p=5時，所要求的m不存在故不是所有奇數(shù)都成立. 2分三、解答題10.（2008全國I）設(shè)函數(shù)數(shù)列滿足，（）證明：函數(shù)在區(qū)間是增函數(shù)；（）證明：；（）設(shè)，整數(shù)證明：（）證明：，故函數(shù)在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù)；（）證明：（用數(shù)學(xué)歸納法）（i）當(dāng)n=1時，由函數(shù)在區(qū)間是增函數(shù)，且函數(shù)在處連續(xù)，則在區(qū)間是增函數(shù)，即成立；（）假設(shè)當(dāng)時，成立，即那么當(dāng)時，由在