高考專欄――數(shù)學(xué)

1、.高考專欄數(shù)學(xué)第三講數(shù)列一、知識(shí)結(jié)構(gòu)：            二、基本知識(shí)點(diǎn)：1數(shù)列是特殊的函數(shù)，有些題目可結(jié)合函數(shù)知識(shí)去解決，體現(xiàn)了函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合的思想2等差、等比數(shù)列中，a、n、d(q)、“知三求二”，體現(xiàn)了方程(組)的思想、整體思想，有時(shí)用到換元法3求等比數(shù)列的前n項(xiàng)和時(shí)要考慮公比是否等于1，公比是字母時(shí)要進(jìn)行討論，體現(xiàn)了分類討論的思想4數(shù)列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，錯(cuò)位相減法，拆項(xiàng)法，裂項(xiàng)法，累加法，等價(jià)轉(zhuǎn)化等5.等差數(shù)列相關(guān)公式：（1）；（2）通項(xiàng)公式：；（3

2、）前n項(xiàng)和公式：；（4）通項(xiàng)公式推廣：6.等差數(shù)列的一些性質(zhì)：（1）對(duì)于任意正整數(shù)n，都有；（2）的通項(xiàng)公式；（3）對(duì)于任意的整數(shù)，如果，那么；（4）對(duì)于任意的正整數(shù)，如果，則；（5）對(duì)于任意的正整數(shù)n>1，有；（6）對(duì)于任意的非零實(shí)數(shù)b，數(shù)列是等差數(shù)列，則是等差數(shù)列（7）已知是等差數(shù)列，則也是等差數(shù)列（8）等都是等差數(shù)列；（9）是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，則仍成等差數(shù)列，即； （10）若，則（11）若，則（12），反之也成立7.等比數(shù)列相關(guān)公式：（1）定義：；（2）通項(xiàng)公式：（3）前n項(xiàng)和公式：；（4）通項(xiàng)公式推廣：8.等比數(shù)列的一些性質(zhì)：（1）對(duì)于任意的正整數(shù)n，均有；（2）對(duì)于任意的正整

3、數(shù),如果，則；（3）對(duì)于任意的正整數(shù)，如果，則（4）對(duì)于任意的正整數(shù)n>1,有；（5）對(duì)于任意的非零實(shí)數(shù)b，也是等比數(shù)列；（6）已知是等比數(shù)列，則也是等比數(shù)列；（7）如果，則是等差數(shù)列；（8）數(shù)列是等差數(shù)列，則是等比數(shù)列；（9）等都是等比數(shù)列；(10)是等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，當(dāng)q=1且k為偶數(shù)時(shí)，不是等比數(shù)列.當(dāng)q1或k為奇數(shù)時(shí)，仍成等比數(shù)列9.數(shù)列前n項(xiàng)和公式：；等差數(shù)列中，；等比數(shù)列中，；裂項(xiàng)求和：；（）三、鞏固訓(xùn)練（2004年高考試題）1.（浙江文理(3) ）已知等差數(shù)列的公差為2,若成等比數(shù)列, 則=（ ）(A) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 10 2.（全國卷四文理6）等差

4、數(shù)列中，則此數(shù)列前20項(xiàng)和等于 A160B180C200D2203.（天津卷理8.） 已知數(shù)列，那么“對(duì)任意的，點(diǎn)都在直線上”是“為等差數(shù)列”的（ ）A. 必要而不充分條件B. 充分而不必要條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件4.（全國卷四文18）已知數(shù)列為等比數(shù)列，（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，證明解：（I）設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，則a2=a1q, a5=a1q4. 依題意，得方程組a1q=6, a1q4=162.解此方程組，得a1=2, q=3.故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=2·3n1（II） 5.（全國三文（4）等比數(shù)列中，則的前4項(xiàng)和為A. 81 B.

5、120 C. 90 D. 1926.（全國三文）設(shè)公差不為零的等差數(shù)列an，Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且,，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式. 解：設(shè)數(shù)列an的公差為d(d0),首項(xiàng)為a1，由已知得：.解之得：，或（舍）7.（全國卷三理）設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，Sn是數(shù)列的前n項(xiàng)和，則（ ）A.S4S5 B.S4S5 C.S6S5 D.S6S58.（全國卷三理(22)）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足：Sn=2an +(-1)n,n1.寫出求數(shù)列an的前3項(xiàng)a1,a2,a3；求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；證明：對(duì)任意的整數(shù)m>4，有解：當(dāng)n=1時(shí),有：S1=a1=2a1+(-1)a1=1；當(dāng)n=2時(shí),有：S2=a1

6、+a2=2a2+(-1)2a2=0；當(dāng)n=3時(shí),有：S3=a1+a2+a3=2a3+(-1)3a3=2；綜上可知a1=1,a2=0,a3=2；由已知得：，化簡得：上式可化為：，故數(shù)列是以為首項(xiàng), 公比為2的等比數(shù)列.故 數(shù)列的通項(xiàng)公式為：由已知得：. 故，( m>4) 9.（天津卷文20.） 設(shè)是一個(gè)公差為的等差數(shù)列，它的前10項(xiàng)和且，成等比數(shù)列。（1）證明；（2）求公差的值和數(shù)列的通項(xiàng)公式證明：因，成等比數(shù)列，故，而是等差數(shù)列，有，于是 ，即，化簡得 （2）解：由條件和，得到，由（1），代入上式得，故 ，10.（浙江卷文（17）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為（）求；（）求證數(shù)列是等比數(shù)列解: (

7、)由,得，又,即,得.()當(dāng)n>1時(shí),得所以是首項(xiàng),公比為的等比數(shù)列11.（北京文理（14）定義“等和數(shù)列”：在一個(gè)數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和都為同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公和。已知數(shù)列是等和數(shù)列，且，公和為5，那么的值為_，且（文：這個(gè)數(shù)列的前21項(xiàng)和的值為_）（理：這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和的計(jì)算公式為_（ 3 ；（文：52）理：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)， ；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，）12.（湖南文20） 已知數(shù)列an是首項(xiàng)為a且公比q不等于1的等比數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)的和，a1,2a7,3a4 成等差數(shù)列.（I）證明 12S3,S6,S12-S6成等比數(shù)列；（II）求和T

8、n=a1+2a4+3a7+na3n （）證明 由成等差數(shù)列， 得，即 變形得 所以（舍去）.由 得 所以12S3，S6，S12S6成等比數(shù)列（）解：即 ×得： 所以 13.（江蘇卷15）設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，Sn=(對(duì)于所有n1)，且a4=54，則a1的數(shù)值是_214.（江蘇卷20）設(shè)無窮等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.()若首項(xiàng)，公差，求滿足的正整數(shù)k；()求所有的無窮等差數(shù)列an，使得對(duì)于一切正整數(shù)k都有成立 解：（1）；（2）或或15.（上海卷理12）若干個(gè)能唯一確定一個(gè)數(shù)列的量稱為該數(shù)列的“基本量”.設(shè)an是公比為q的無窮等比數(shù)列,下列an的四組量中,一定能成為該數(shù)列“基

9、本量”的是第 組.(寫出所有符合要求的組號(hào))S1與S2; a2與S3; a1與an; q與an.其中n為大于1的整數(shù), Sn為an的前n項(xiàng)和.（、）16.（全國卷一理22）已知數(shù)列，且a2k=a2k1+(1)K, a2k+1=a2k+3k, 其中k=1,2,3,.（I）求a3, a5；（II）求 an的通項(xiàng)公式 解：（I）a2=a1+(1)1=0,a3=a2+31=3. a4=a3+(1)2=4, a5=a4+32=13, 所以，a3=3,a5=13.(II) (II)          

10、60;       a2k+1=a2k+3k = a2k1+(1)k+3k, 所以a2k+1a2k1=3k+(1)k, 同理a2k1a2k3=3k1+(1)k1, a3a1=3+(1). 所以(a2k+1a2k1)+(a2k1a2k3)+(a3a1)=(3k+3k1+3)+(1)k+(1)k1+(1), 由此得a2k+1a1=(3k1)+(1)k1,于是a2k+1= a2k= a2k1+(1)k=(1)k11+(1)k=(1)k=1 an的通項(xiàng)公式為： 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an=當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，17.（全國卷一文17）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和記為S

11、n.已知（）求通項(xiàng)；（）若Sn=242，求n 解：（）由得方程組 解得 所以 （）由得方程解得18.（全國卷二理（19）數(shù)列an的前n項(xiàng)和記為Sn，已知a11，an1Sn（n1，2，3，）證明：()數(shù)列是等比數(shù)列；()Sn14an 證（I）由a1=1,an+1=Sn(n=1,2,3，)，知a2=S1=3a1, ,又an+1=Sn+1-Sn(n=1,2,3，),則Sn+1-Sn=Sn(n=1,2,3，)，nSn+1=2(n+1)Sn, (n=1,2,3，).故數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列 證（II） 由（I）知，于是Sn+1=4(n+1)·=4an(n)又a2=3S1=3,則S2=a1+a2=4=4a1,因此對(duì)于任意正整數(shù)n1都有Sn+1=4an 19.（全國卷二文（17）已知等差數(shù)列an，a29，a5 21 ()求an的通項(xiàng)公式；()令bn，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn 解：a5-a2=3d,d=4,an=a2+(n-2)d=9+4(n-2)=4n+1；