分式方程的增根與無解

1、1例談分式方程的增根與無解泰州市智堡中學(xué)楊紅英分式方程的增根與無解是分式方程中常見的兩個(gè)概念，同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)分式方程后， 常常會(huì)對(duì)這兩個(gè)概念混淆不清，認(rèn)為分式方程無解和分式方程有增根是同一回事，事實(shí) 上并非如此.分式方程有增根，指的是解分式方程時(shí)，在把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程的變形過程中，方程的兩邊都乘了一個(gè)可能使分母為零的整式，從而擴(kuò)大了未知數(shù)的取值范圍而產(chǎn) 生的未知數(shù)的值；而分式方程無解則是指不論未知數(shù)取何值，都不能使方程兩邊的值相 等它包含兩種情形：(一)原方程化去分母后的整式方程無解；(二)原方程化去分母后的整式方程有解， 但這個(gè)解卻使原方程的分母為0,它是原方程的增根， 從而原方程無解現(xiàn)

2、舉例說明如下：24x 3例1解方程斗 x 2x4x2解：方程兩邊都乘以(x+2) (x-2),得2(x+2)-4x=3(x-2).解這個(gè)方程，得x=2.經(jīng)檢驗(yàn)：當(dāng)x=2時(shí)，原方程無意義，所以x=2是原方程的增根.所以原方程無解.【說明】顯然，方程中未知數(shù)x的取值范圍是XM2且XM-2 .而在去分母化為方程后，此時(shí)未知數(shù)x的取值范圍擴(kuò)大為全體實(shí)數(shù).所以當(dāng)求得的x值恰好使最簡(jiǎn)公分母為零時(shí)，x的值就是增根.本題中方程的解是x=2，恰好使公分母為零，所以x=2是原方程的增根，原方程無解.x 13 x例2解方程乂二2.x 22 x解：去分母后化為x1=3-x+2(2+x).整理得0 x=8.2因?yàn)榇朔匠?/p>

3、無解，所以原分式方程無解.【說明】此方程化為整式方程后，本身就無解，當(dāng)然原分式方程肯定就無解了由 此可見，分式方程無解不一定就是產(chǎn)生增根.例3(2007湖北荊門)若方程 二旦 無解，則m=x 2 2 x方程兩邊都乘以x2,得x3_m.解這個(gè)方程，得x_3m因?yàn)樵匠虩o解，所以這個(gè)解應(yīng)是原方程的增根.即x_2,所以2_3m,解得m_1故當(dāng)m_1時(shí)，原方程無解.【說明】因?yàn)橥瑢W(xué)們目前所學(xué)的是能化為一元一次方程的分式方程，而一元一次方程只有一個(gè)根，所以如果這個(gè)根是原方程的增根，那么原方程無解.但是同學(xué)們并不能 因此認(rèn)為有增根的分式方程一定無解，隨著以后所學(xué)知識(shí)的加深，同學(xué)們便會(huì)明白其中 的道理，此處

4、不再舉例.2 ax 3例4當(dāng)a為何值時(shí)，關(guān)于x的方程2會(huì)產(chǎn)生增根?x 2 x 4 x 2解：方程兩邊都乘以(x+2) (x-2),得2(x+2) +ax=3(x2)整理得(a1)x= 10若原分式方程有增根，則x=2或2是方程的根.把x=2或一2代入方程中，解得，a= 4或6.【說明】做此類題首先將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，然后找出使公分母為零的未知數(shù)的值即為增根，最后將增根代入轉(zhuǎn)化得到的整式方程中，求出原方程中所含字母的值.若將此題“會(huì)產(chǎn)生增根”改為“無解”，即：ax當(dāng)a為何值時(shí)，關(guān)于x的方程2無解？解：原方程可化為x 3_x 23x 2 x 4x2此時(shí)還要考慮轉(zhuǎn)化后的整式方程(a-1)x=-10本身無解的情況，解法如下：解：方程兩邊都乘以(x+2) (x-2),得2(x+2) +ax=3(x-2)整理得(a-1)x= -10若原方程無解，則有兩種情形：(1)當(dāng)a-1=0(即a=1)時(shí)，方程為0 x=-10,此方程無解，所以原方程無解。(2) 如果方程的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式方程無解原方程若有增根，增根為x=2或一2,把x=2或一2代入方程中，求出a=-4或6綜上所述，a=1或a