概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第八章假設(shè)檢驗(yàn)

1、.第八章 假設(shè)檢驗(yàn)第一節(jié) 概述統(tǒng)計(jì)推斷中的另一類重要問(wèn)題是假設(shè)檢驗(yàn)Hypothesis testing.當(dāng)總體的分布函數(shù)未知，或只知其形式而不知道它的參數(shù)的情況時(shí)，我們常需要判斷總體是否具有我們所感興趣的某些特性.這樣，我們就提出某些關(guān)于總體分布或關(guān)于總體參數(shù)的假設(shè)，然后根據(jù)樣本對(duì)所提出的假設(shè)作出判斷：是承受還是回絕.這就是本章所要討論的假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題.我們先從下面的例子來(lái)說(shuō)明假設(shè)檢驗(yàn)的一般提法.例8.1 某工廠用包裝機(jī)包裝奶粉，額定標(biāo)準(zhǔn)為每袋凈重0.5kg.設(shè)包裝機(jī)稱得奶粉重量X服從正態(tài)分布N，2.根據(jù)長(zhǎng)期的經(jīng)歷知其標(biāo)準(zhǔn)差=0.015kg.為檢驗(yàn)?zāi)撑_(tái)包裝機(jī)的工作是否正常；隨機(jī)抽取包裝的奶粉9袋

2、，稱得凈重單位：kg為0.499 0.515 0.508 0.512 0.4980.515 0.516 0.513 0.524問(wèn)該包裝機(jī)的工作是否正常？由于長(zhǎng)期理論說(shuō)明標(biāo)準(zhǔn)差比較穩(wěn)定，于是我們假設(shè)XN，0.0152.假設(shè)奶粉重量X的均值等于0.5kg，我們說(shuō)包裝機(jī)的工作是正常的.于是提出假設(shè)：H0：=0=0.5；H1：0=0.5.這樣的假設(shè)叫統(tǒng)計(jì)假設(shè).1.統(tǒng)計(jì)假設(shè)關(guān)于總體X的分布或隨機(jī)事件之概率的各種論斷叫統(tǒng)計(jì)假設(shè)，簡(jiǎn)稱假設(shè)，用“H表示，例如：1 對(duì)于檢驗(yàn)?zāi)硞€(gè)總體X的分布，可以提出假設(shè)：H0：X服從正態(tài)分布，H1: X不服從正態(tài)分布.H0：X服從泊松分布，H1: X不服從泊松分布.2 對(duì)于總體

3、X的分布的參數(shù)，假設(shè)檢驗(yàn)均值，可以提出假設(shè)：H0：=0；H1：0.H0：0；H1：0.假設(shè)檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差，可提出假設(shè)：H0：=0；H1：0.H0：0；H1：0.這里0，0是數(shù)，而=EX，2=DX是未知參數(shù).上面對(duì)于總體X的每個(gè)論斷，我們都提出了兩個(gè)互相對(duì)立的統(tǒng)計(jì)假設(shè)：H0和H1，顯然，H0與H1只有一個(gè)成立，或H0真H1假，或H0假H1真，其中假設(shè)H0，稱為原假設(shè)Original hypothesis又叫零假設(shè)、根本假設(shè)，而H1稱為H0的對(duì)立假設(shè)又叫備擇假設(shè).在處理實(shí)際問(wèn)題時(shí)，通常把希望得到的陳述視為備擇假設(shè),而把這一陳述的否認(rèn)作為原假設(shè).例如在上例中，H0：=0=0.5為原假設(shè)，它的對(duì)立假設(shè)是H

4、1：0=0.5.統(tǒng)計(jì)假設(shè)提出之后，我們關(guān)心的是它的真?zhèn)?所謂對(duì)假設(shè)H0的檢驗(yàn)，就是根據(jù)來(lái)自總體的樣本，按照一定的規(guī)那么對(duì)H0作出判斷：是承受，還是回絕，這個(gè)用來(lái)對(duì)假設(shè)作出判斷的規(guī)那么叫做檢驗(yàn)準(zhǔn)那么，簡(jiǎn)稱檢驗(yàn)，如何對(duì)統(tǒng)計(jì)假設(shè)進(jìn)展檢驗(yàn)?zāi)兀课覀兘Y(jié)合上例來(lái)說(shuō)明假設(shè)檢驗(yàn)的根本思想和做法.2.假設(shè)檢驗(yàn)的根本思想在例8.1中所提假設(shè)是H0：=0=0.5備擇假設(shè)H1：0.由于要檢驗(yàn)的假設(shè)涉及總體均值，故首先想到是否可借助樣本均值這一統(tǒng)計(jì)量來(lái)進(jìn)展判斷.從抽樣的結(jié)果來(lái)看，樣本均值=0.499+0.515+0.508+0.512+0.498+0.515+0.516+0.513+0.524=0.5110，與=0.5之

5、間有差異.對(duì)于與0之間的差異可以有兩種不同的解釋.1 統(tǒng)計(jì)假設(shè)H0是正確的，即=0=0.5，只是由于抽樣的隨機(jī)性造成了與0之間的差異；2 統(tǒng)計(jì)假設(shè)H0是不正確的，即0=0.5，由于系統(tǒng)誤差，也就是包裝機(jī)工作不正常，造成了與0之間的差異.對(duì)于這兩種解釋到底哪一種比較合理呢？為了答復(fù)這個(gè)問(wèn)題，我們適中選擇一個(gè)小正數(shù)=0.1,0.05等，叫做顯著性程度Level of significance.在假設(shè)H0成立的條件下，確定統(tǒng)計(jì)量 -0的臨界值，使得事件-0為小概率事件，即P-0=.8.1例如，取定顯著性程度=0.05.如今來(lái)確定臨界值0.05.因?yàn)閄N，2，當(dāng)H0：=0=0.5為真時(shí)，有XN0，2，

6、于是，Z=N0，1，所以 PZz/2=.由8.1式，有=，因此0.05=z0.025×=1.96×0.015/3=0.0098.故有P-00.0098=0.05.因?yàn)?0.05很小，根據(jù)實(shí)際推斷原理，即“小概率事件在一次試驗(yàn)中幾乎是不可能發(fā)生的原理，我們認(rèn)為當(dāng)H0為真時(shí)，事件-00.0098是小概率事件，實(shí)際上是不可能發(fā)生的.如今抽樣的結(jié)果是-0=0.5110-0.5=0.01100.0098.也就是說(shuō)，小概率事件-00.0098居然在一次抽樣中發(fā)生了，這說(shuō)明抽樣得到的結(jié)果與假設(shè)H0不相符，因此不能不使人疑心假設(shè)H0的正確性，所以在顯著性程度=0.05下， 我們回絕H0，承

7、受H1，即認(rèn)為這一天包裝機(jī)的工作是不正常的.通過(guò)上例的分析，我們知道假設(shè)檢驗(yàn)的根本思想是小概率事件原理，檢驗(yàn)的根本步驟是：1 根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的要求，提出原假設(shè)H0及備擇假設(shè)H1；2 選取適當(dāng)?shù)娘@著性程度通常=0.10,0.05等以及樣本容量n；3 構(gòu)造檢驗(yàn)用的統(tǒng)計(jì)量U，當(dāng)H0為真時(shí)，U的分布要，找出臨界值使PU=.我們稱U所確定的區(qū)域?yàn)镠0的回絕域Rejection region，記作W；4 取樣，根據(jù)樣本觀察值，計(jì)算統(tǒng)計(jì)量U的觀察值U0；5 作出判斷，將U的觀察值U0與臨界值比較，假設(shè)U0落入回絕域W內(nèi)，那么回絕H0承受H1；否那么就說(shuō)H0相容承受H0.3.兩類錯(cuò)誤由于我們是根據(jù)樣本作出承受H

8、0或回絕H0的決定，而樣本具有隨機(jī)性，因此在進(jìn)展判斷時(shí)，我們可能會(huì)犯兩個(gè)方面的錯(cuò)誤：一類錯(cuò)誤是，當(dāng)H0為真時(shí)，而樣本的觀察值U0落入回絕域W中，按給定的法那么，我們回絕了H0，這種錯(cuò)誤稱為第一類錯(cuò)誤.其發(fā)生的概率稱為犯第一類錯(cuò)誤的概率或稱棄真概率，通常記為，即P回絕H0H0為真=；另一種錯(cuò)誤是，當(dāng)H0不真時(shí)，而樣本的觀察值落入回絕域W之外，按給定的檢驗(yàn)法那么，我們卻承受了H0.這種錯(cuò)誤稱為第二類錯(cuò)誤，其發(fā)生的概率稱為犯第二類錯(cuò)誤的概率或取偽概率，通常記為，即P承受H0H0不真=.顯然這里的就是檢驗(yàn)的顯著性程度.總體與樣本各種情況的搭配見(jiàn)表8-1.表8-1H0判斷結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率真承受正確0回絕

9、犯第一類錯(cuò)誤假承受犯第二類錯(cuò)誤回絕正確0對(duì)給定的一對(duì)H0和H1，總可以找到許多回絕域W.當(dāng)然我們希望尋找這樣的回絕域W，使得犯兩類錯(cuò)誤的概率與都很小.但是在樣本容量n固定時(shí)，要使與都很小是不可能的，一般情形下，減小犯其中一類錯(cuò)誤的概率，會(huì)增加犯另一類錯(cuò)誤的概率，它們之間的關(guān)系猶如區(qū)間估計(jì)問(wèn)題中置信程度與置信區(qū)間的長(zhǎng)度的關(guān)系那樣.通常的做法是控制犯第一類錯(cuò)誤的概率不超過(guò)某個(gè)事先指定的顯著性程度01，而使犯第二類錯(cuò)誤的概率也盡可能地小.詳細(xì)實(shí)行這個(gè)原那么會(huì)有許多困難，因此有時(shí)把這個(gè)原那么簡(jiǎn)化成只要求犯第一類錯(cuò)誤的概率等于，稱這類假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題為顯著性檢驗(yàn)問(wèn)題，相應(yīng)的檢驗(yàn)為顯著性檢驗(yàn).在一般情況下，顯

10、著性檢驗(yàn)法那么是較容易找到的，我們將在以下各節(jié)中詳細(xì)討論.在實(shí)際問(wèn)題中，要確定一個(gè)檢驗(yàn)問(wèn)題的原假設(shè)，一方面要根據(jù)問(wèn)題要求檢驗(yàn)的是什么，另一方面要使原假設(shè)盡量簡(jiǎn)單，這是因?yàn)樵谙旅鎸⒅v到的檢驗(yàn)法中，必需要理解某統(tǒng)計(jì)量在原假設(shè)成立時(shí)的準(zhǔn)確分布或漸近分布.下面各節(jié)中，我們先介紹正態(tài)總體下參數(shù)的幾種顯著性檢驗(yàn)，再介紹總體分布函數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn).第二節(jié) 單個(gè)正態(tài)總體的假設(shè)檢驗(yàn)1.單個(gè)正態(tài)總體數(shù)學(xué)期望的假設(shè)檢驗(yàn)1 2關(guān)于的假設(shè)檢驗(yàn)Z檢驗(yàn)法Z-test設(shè)總體XN，2，方差2，檢驗(yàn)假設(shè)H0：=0；H1：0 0為常數(shù)由N，N0，1，我們選取Z= 8.2作為此假設(shè)檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量，顯然當(dāng)假設(shè)H0為真即=0正確時(shí)，ZN0，1

11、，所以對(duì)于給定的顯著性程度，可求z/2使PZz/2=，見(jiàn)圖8-1，即PZ-z/2+PZz/2=.從而有PZz/2=/2，PZz/2=1-/2.圖8-1利用概率1-/2，反查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表，得雙側(cè)分位點(diǎn)即臨界值z(mì)/2.另一方面，利用樣本觀察值x1，x2，xn計(jì)算統(tǒng)計(jì)量Z的觀察值z(mì)0=. 8.3假設(shè)：az0z/2，那么在顯著性程度下，回絕原假設(shè)H0承受備擇假設(shè)H1，所以z0z/2便是H0的回絕域.b z0z/2，那么在顯著性程度下，承受原假設(shè)H0，認(rèn)為H0正確.這里我們是利用H0為真時(shí)服從N0，1分布的統(tǒng)計(jì)量Z來(lái)確定回絕域的，這種檢驗(yàn)法稱為Z檢驗(yàn)法或稱U檢驗(yàn)法.例8.1中所用的方法就是Z檢驗(yàn)法

12、.為了熟悉這類假設(shè)檢驗(yàn)的詳細(xì)作法，如今我們?cè)倥e一例.例8.2 根據(jù)長(zhǎng)期經(jīng)歷和資料的分析，某磚廠消費(fèi)的磚的“抗斷強(qiáng)度X服從正態(tài)分布，方差2=1.21.從該廠產(chǎn)品中隨機(jī)抽取6塊，測(cè)得抗斷強(qiáng)度如下單位：kg·cm-2：32.56 29.66 31.64 30.00 31.87 31.03檢驗(yàn)這批磚的平均抗斷強(qiáng)度為32.50kg·cm-2是否成立取=0.05，并假設(shè)磚的抗斷強(qiáng)度的方差不會(huì)有什么變化？解 提出假設(shè)H0：=0=32.50；H1：0. 選取統(tǒng)計(jì)量Z=，假設(shè)H0為真，那么ZN0，1. 對(duì)給定的顯著性程度=0.05，求z/2使PZz/2=，這里z/2=z0.025=1.96.

13、 計(jì)算統(tǒng)計(jì)量Z的觀察值：z0= =3.05. 判斷：由于z0=3.05z0.025=1.96，所以在顯著性程度=0.05下否認(rèn)H0，即不能認(rèn)為這批產(chǎn)品的平均抗斷強(qiáng)度是32.50 kg·cm-2.把上面的檢驗(yàn)過(guò)程加以概括，得到了關(guān)于方差的正態(tài)總體期望值的檢驗(yàn)步驟：a 提出待檢驗(yàn)的假設(shè)H0：=0；H1：0.b 構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量Z，并計(jì)算其觀察值z(mì)0：Z=，z0=.c 對(duì)給定的顯著性程度，根據(jù)PZz/2=，PZz/2=/2，PZz/2=1-/2查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，得雙側(cè)分位點(diǎn)z/2.d 作出判斷：根據(jù)H0的回絕域假設(shè)z0z/2，那么回絕H0，承受H1；假設(shè)z0z/2，那么承受H0.2 方差2未知，

14、檢驗(yàn)t檢驗(yàn)法t-test設(shè)總體XN，2，方差2未知，檢驗(yàn)H0：=0；H1：0.由于2未知，便不是統(tǒng)計(jì)量，這時(shí)我們自然想到用2的無(wú)偏估計(jì)量樣本方差S2代替2，由于tn-1，應(yīng)選取樣本的函數(shù)t= 8.4圖8-2作為統(tǒng)計(jì)量，當(dāng)H0為真=0時(shí)ttn-1，對(duì)給定的檢驗(yàn)顯著性程度，由Ptt/2n-1=，Ptt/2n-1=/2，見(jiàn)圖8-2，直接查t分布表，得t分布分位點(diǎn)t/2n-1.利用樣本觀察值，計(jì)算統(tǒng)計(jì)量t的觀察值t0=，因此原假設(shè)H0的回絕域?yàn)閠0=t/2n-1. 8.5所以，假設(shè)t0t/2n-1，那么回絕H0，承受H1；假設(shè)t0t/2n-1，那么承受原假設(shè)H0.上述利用t統(tǒng)計(jì)量得出的檢驗(yàn)法稱為t檢驗(yàn)

15、法.在實(shí)際中，正態(tài)總體的方差常為未知，所以我們常用t檢驗(yàn)法來(lái)檢驗(yàn)關(guān)于正態(tài)總體均值的問(wèn)題.例8.3 用某儀器間接測(cè)量溫度，重復(fù)5次，所得的數(shù)據(jù)是1250°,1265°，1245°，1260°，1275°，而用別的準(zhǔn)確方法測(cè)得溫度為1277°可看作溫度的真值，試問(wèn)此儀器間接測(cè)量有無(wú)系統(tǒng)偏向？這里假設(shè)測(cè)量值X服從N，2分布.解 問(wèn)題是要檢驗(yàn)H0：=0=1277；H1：0.由于2未知即儀器的精度不知道，我們選取統(tǒng)計(jì)量t=.當(dāng)H0為真時(shí)，ttn-1，t的觀察值為t0=3.對(duì)于給定的檢驗(yàn)程度=0.05，由Ptt/2n-1=，Ptt/2n-1=/2

16、，Ptt0.0254=0.025，查t分布表得雙側(cè)分位點(diǎn)t/2n-1=t0.0254=2.776.因?yàn)閠03t0.0254=2.776，故應(yīng)回絕H0，認(rèn)為該儀器間接測(cè)量有系統(tǒng)偏向.3 雙邊檢驗(yàn)與單邊檢驗(yàn)上面討論的假設(shè)檢驗(yàn)中，H0為=0，而備擇假設(shè)H1：0意思是可能大于0，也可能小于0，稱為雙邊備擇假設(shè)，而稱形如H0：=0，H1：0的假設(shè)檢驗(yàn)為雙邊檢驗(yàn).有時(shí)我們只關(guān)心總體均值是否增大，例如，試驗(yàn)新工藝以進(jìn)步材料的強(qiáng)度，這時(shí)所考慮的總體的均值應(yīng)該越大越好，假設(shè)我們能判斷在新工藝下總體均值較以往正常消費(fèi)的大，那么可考慮采用新工藝.此時(shí)，我們需要檢驗(yàn)假設(shè)H0：=0；H1：0. 8.6我們?cè)谶@里作了不言

17、而喻的假定，即新工藝不可能比舊的更差，形如8.6的假設(shè)檢驗(yàn)，稱為右邊檢驗(yàn)，類似地，有時(shí)我們需要檢驗(yàn)假設(shè)H0：=0；H1：0. 8.7形如8.7的假設(shè)檢驗(yàn)，稱為左邊檢驗(yàn)，右邊檢驗(yàn)與左邊檢驗(yàn)統(tǒng)稱為單邊檢驗(yàn).下面來(lái)討論單邊檢驗(yàn)的回絕域.設(shè)總體XN，2，2為，x1，x2，xn是來(lái)自X的樣本觀察值.給定顯著性程度，我們先求檢驗(yàn)問(wèn)題H0：=0；H1：0.的回絕域.取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Z=，當(dāng)H0為真時(shí)，Z不應(yīng)太大，而在H1為真時(shí)，由于X是的無(wú)偏估計(jì)，當(dāng)偏大時(shí)，X也偏大，從而Z往往偏大，因此回絕域的形式為Z=k，k待定.因?yàn)楫?dāng)H0為真時(shí)，N0，1，由P回絕H0H0為真=P=得k=z，故回絕域?yàn)閆=z. 8.8類似地

18、，左邊檢驗(yàn)問(wèn)題H0：=0；H1：0.的回絕域?yàn)閆=-z. 8.9例8.4 從甲地發(fā)送一個(gè)信號(hào)到乙地，設(shè)發(fā)送的信號(hào)值為，由于信號(hào)傳送時(shí)有噪聲迭加到信號(hào)上，這個(gè)噪聲是隨機(jī)的，它服從正態(tài)分布N0，22，從而乙地接到的信號(hào)值是一個(gè)服從正態(tài)分布N，22的隨機(jī)變量.設(shè)甲地發(fā)送某信號(hào)5次，乙地收到的信號(hào)值為：8.4 10.5 9.1 9.6 9.9由以往經(jīng)歷，信號(hào)值為8，于是乙方猜測(cè)甲地發(fā)送的信號(hào)值為8，能否承受這種猜測(cè)？取=0.05.解 按題意需檢驗(yàn)假設(shè)H0：=8；H1：8.這是右邊檢驗(yàn)問(wèn)題，其回絕域如8.8式所示，即 Z= z0.05=1.645.而如今z0=1.681.645，所以回絕H0，認(rèn)為發(fā)出的

19、信號(hào)值8.2.單個(gè)正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗(yàn)檢驗(yàn)法-test1 雙邊檢驗(yàn)設(shè)總體XN，2，未知，檢驗(yàn)假設(shè)H0：2=02；H1：202.其中02為常數(shù).由于樣本方差S2是2的無(wú)偏估計(jì)，當(dāng)H0為真時(shí)，比值一般來(lái)說(shuō)應(yīng)在1附近擺動(dòng)，而不應(yīng)過(guò)分大于1或過(guò)分小于1，由第六章知當(dāng)H0為真時(shí)=n-1. 8.10所以對(duì)于給定的顯著性程度有圖8-3圖8-3Pn-1n-1=1-. 8.11對(duì)于給定的，查分布表可求得分布分位點(diǎn)n-1與n-1.由8.11知，H0的承受域是 n-1 n-1； 8.12H0的回絕域?yàn)閚-1或n-1. 8.13這種用服從分布的統(tǒng)計(jì)量對(duì)個(gè)單正態(tài)總體方差進(jìn)展假設(shè)檢驗(yàn)的方法，稱為檢驗(yàn)法.例8.5 某廠消

20、費(fèi)的某種型號(hào)的電池，其壽命長(zhǎng)期以來(lái)服從方差2=5000小時(shí)2的正態(tài)分布，現(xiàn)有一批這種電池，從它的消費(fèi)情況來(lái)看，壽命的波動(dòng)性有所改變，現(xiàn)隨機(jī)抽取26只電池，測(cè)得其壽命的樣本方差s2=9200小時(shí)2.問(wèn)根據(jù)這一數(shù)據(jù)能否推斷這批電池的壽命的波動(dòng)性較以往有顯著的變化取=0.02?解 此題要求在=0.02下檢驗(yàn)假設(shè)H0：2=5000；H1：25000.如今n=26，n-1=44.314， n-1= =11.524,02=5000.由8.13回絕域?yàn)?4.314或11.524由觀察值s2=9200得=4644.314,所以回絕H0，認(rèn)為這批電池壽命的波動(dòng)性較以往有顯著的變化.2 單邊檢驗(yàn)右檢驗(yàn)或左檢驗(yàn)設(shè)總

21、體XN，2，未知，檢驗(yàn)假設(shè)H0：202；H1：202.右檢驗(yàn)由于XN，2，故隨機(jī)變量=n-1.當(dāng)H0為真時(shí)，統(tǒng)計(jì)量=.對(duì)于顯著性程度，有Pn-1=圖8-4圖8-4.于是有Pn-1Pn-1=.可見(jiàn)，當(dāng)很小時(shí)，n-1是小概率事件，在一次的抽樣中認(rèn)為不可能發(fā)生，所以H0的回絕域是：=n-1右檢驗(yàn). 8.14類似地，可得左檢驗(yàn)假設(shè)H0：202，H1：202的回絕域?yàn)閚-1左檢驗(yàn). 8.15例8.6 今進(jìn)展某項(xiàng)工藝革新，從革新后的產(chǎn)品中抽取25個(gè)零件，測(cè)量其直徑，計(jì)算得樣本方差為s2=0.00066，革新前零件直徑的方差2=0.0012，設(shè)零件直徑服從正態(tài)分布，問(wèn)革新后消費(fèi)的零件直徑的方差是否顯著減??？

22、=0.05解 1 提出假設(shè)H0：202=0.0012；H1：2<02.2 選取統(tǒng)計(jì)量=.=n-1，且當(dāng)H0為真時(shí)，3 對(duì)于顯著性程度=0.05，查分布表得n-1=13.848，當(dāng)H0為真時(shí)，P< n-1P=.故回絕域?yàn)?lt; n-1=13.848.4 根據(jù)樣本觀察值計(jì)算的觀察值=13.2.5 作判斷：由于=13.2 n-1=13.848，即落入回絕域中，所以回絕H0：202，即認(rèn)為革新后消費(fèi)的零件直徑的方差小于革新前消費(fèi)的零件直徑的方差.最后我們指出，以上討論的是在均值未知的情況下，對(duì)方差的假設(shè)檢驗(yàn)，這種情況在實(shí)際問(wèn)題中較多.至于均值的情況下，對(duì)方差的假設(shè)檢驗(yàn)，其方法類似，只是所

23、選的統(tǒng)計(jì)量為=.當(dāng)2=02為真時(shí)，n.關(guān)于單個(gè)正態(tài)總體的假設(shè)檢驗(yàn)可列表8-2.表8-2檢驗(yàn)參數(shù)條件H0H1H0的回絕域檢驗(yàn)用的統(tǒng)計(jì)量自由度分位點(diǎn)數(shù)學(xué)期望2已知=000000|Z|z/2ZzZ-zZ=±z/2z-z2未知=000000tt/2ttt-tt=n-1±t/2t-t方差未知2=02202202202202202=n-1已知2=02202202202202202=n注：上表中H0中的不等號(hào)改成等號(hào)，所得的回絕域不變.第三節(jié) 兩個(gè)正態(tài)總體的假設(shè)檢驗(yàn)上一節(jié)介紹了單個(gè)正態(tài)總體的數(shù)學(xué)期望與方差的檢驗(yàn)問(wèn)題，在實(shí)際工作中還常碰到兩個(gè)正態(tài)總體的比較問(wèn)題.1.兩正態(tài)總體數(shù)學(xué)期望假設(shè)檢

24、驗(yàn)1 方差，關(guān)于數(shù)學(xué)期望的假設(shè)檢驗(yàn)Z檢驗(yàn)法設(shè)XN1,12，YN2，22，且X，Y互相獨(dú)立，12與22，要檢驗(yàn)的是H0：1=2；H1：12.雙邊檢驗(yàn)怎樣尋找檢驗(yàn)用的統(tǒng)計(jì)量呢？從總體X與Y中分別抽取容量為n1，n2的樣本X1，X2，及Y1，Y2，由于，E-=E-E=1-2，D-=D+D=，故隨機(jī)變量-也服從正態(tài)分布，即-N1-2，.從而N0，1.于是我們按如下步驟判斷.a 選取統(tǒng)計(jì)量 Z=， 8.16當(dāng)H0為真時(shí)，ZN0，1.b 對(duì)于給定的顯著性程度，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表求z/2使PZz/2=，或PZz/2=1-/2. 8.17c 由兩個(gè)樣本觀察值計(jì)算Z的觀察值z(mì)0：z0=.d 作出判斷：假設(shè)z0z/

25、2，那么回絕假設(shè)H0，承受H1；假設(shè)z0z/2，那么與H0相容，可以承受H0.例8.7 A，B兩臺(tái)車床加工同一種軸，如今要測(cè)量軸的橢圓度.設(shè)A車床加工的軸的橢圓度XN1，12，B車床加工的軸的橢圓度YN2，22，且12=0.0006mm2，22=0.0038mm2，現(xiàn)從A，B兩臺(tái)車床加工的軸中分別測(cè)量了n1=200，n2=150根軸的橢圓度，并計(jì)算得樣本均值分別為=0.081mm,=0.060mm.試問(wèn)這兩臺(tái)車床加工的軸的橢圓度是否有顯著性差異？給定=0.05解 提出假設(shè)H0：1=2；H1：12. 選取統(tǒng)計(jì)量Z=，在H0為真時(shí)，ZN0，1. 給定=0.05，因?yàn)槭请p邊檢驗(yàn)，/2=0.025.P

26、Zz/2=0.05, PZz/2=0.025，PZz/2=1-0.025=0.975.查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，得z/2=z0.025=1.96. 計(jì)算統(tǒng)計(jì)量Z的觀察值z(mì)z0=3.95. 作判斷：由于z0=3.951.96=z/2，故回絕H0，即在顯著性程度=0.05下，認(rèn)為兩臺(tái)車床加工的軸的橢圓度有顯著差異.用Z檢驗(yàn)法對(duì)兩正態(tài)總體的均值作假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)，必須知道總體的方差，但在許多實(shí)際問(wèn)題中總體方差12與22往往是未知的，這時(shí)只能用如下的t檢驗(yàn)法.2 方差12，22未知，關(guān)于均值的假設(shè)檢驗(yàn)t檢驗(yàn)法設(shè)兩正態(tài)總體X與Y互相獨(dú)立，XN1，12，YN2，22，12，22未知，但知12=22，檢驗(yàn)假設(shè)H0：1=2

27、；H1：12.雙邊檢驗(yàn)從總體X，Y中分別抽取樣本X1，X2，與Y1，Y2，那么隨機(jī)變量t=tn1+n2-2，式中Sw2=，S12，S22分別是X與Y的樣本方差.當(dāng)假設(shè)H0為真時(shí)，統(tǒng)計(jì)量t= tn1+n2-2. 8.18對(duì)給定的顯著性程度，查t分布得t/2n1+n2-2，使得Ptt/2n1+n2-2=. 8.19再由樣本觀察值計(jì)算t的觀察值t0=， 8.20最后作出判斷：假設(shè)t0t/2n1+n2-2，那么回絕H0；假設(shè)t0t/2n1+n2-2，那么承受H0.例8.8 在一臺(tái)自動(dòng)車床上加工直徑為2.050毫米的軸，如今每相隔兩小時(shí)，各取容量都為10的樣本，所得數(shù)據(jù)列表如表8-3所示.表8-3零件加

28、工編號(hào)12345678910第一個(gè)樣本2.0662.0632.0682.0602.0672.0632.0592.0622.0622.060第二個(gè)樣本2.0632.0602.0572.0562.0592.0582.0622.0592.0592.057假設(shè)直徑的分布是正態(tài)的，由于樣本是取自同一臺(tái)車床,可以認(rèn)為12=22=2，而2是未知常數(shù).問(wèn)這臺(tái)自動(dòng)車床的工作是否穩(wěn)定？取=0.01解 這里實(shí)際上是12=22=2，但2未知的情況下檢驗(yàn)假設(shè)H0：1=2；H1：12.我們用t檢驗(yàn)法，由樣本觀察值算得：=2.063, =2.059，s12=0.00000956， s22=0.00000489，sw2=0.

29、0000072.由8.20式計(jì)算得t0=3.3.對(duì)于=0.01，查自由度為18的t分布表得t0.00518=2.878.由于t0=3.3t0.00518=2.878,于是回絕原假設(shè)H0：1=2.這說(shuō)明兩個(gè)樣本在消費(fèi)上是有差異的，可能這臺(tái)自動(dòng)車床受時(shí)間的影響而消費(fèi)不穩(wěn)定.2. 兩正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗(yàn)F檢驗(yàn)法F-test1 雙邊檢驗(yàn)設(shè)兩正態(tài)總體XN1，12，YN2，22，X與Y獨(dú)立，X1，X2，與Y1，Y2，分別是來(lái)自這兩個(gè)總體的樣本，且1與2未知.如今要檢驗(yàn)假設(shè)H0：12=22；H1：1222.在原假設(shè)H0成立下，兩個(gè)樣本方差的比應(yīng)該在1附近隨機(jī)地?cái)[動(dòng)，所以這個(gè)比不能太大又不能太小.于是我們選

30、取統(tǒng)計(jì)量F=. 8.21顯然，只有當(dāng)F接近1時(shí)，才認(rèn)為有12=22.由于隨機(jī)變量F*= Fn1-1，n2-1,所以當(dāng)假設(shè)H0：12=22成立時(shí),統(tǒng)計(jì)量F= Fn1-1，n2-1.對(duì)于給定的顯著性程度，可以由F分布表求得臨界值n1-1，n2-1與F/2n1-1，n2-1使得 P n1-1，n2-1FF/2n1-1，n2-1=1-圖8-5，由此可知H0的承受區(qū)域是n1-1，n2-1FF/2n1-1，n2-1；而H0的回絕域?yàn)镕n1-1，n2-1，或 FF/2n1-1，n2-1.然后，根據(jù)樣本觀察值計(jì)算統(tǒng)計(jì)量F的觀察值，假設(shè)F的觀察值落在回絕域中，那么回絕H0，承受H1；假設(shè)F的觀察值落在承受域中，

31、那么承受H0.圖8-5例8.9 在例8.8中我們認(rèn)為兩個(gè)總體的方差12=22，它們是否真的相等呢？為此我們來(lái)檢驗(yàn)假設(shè)H0：12=22給定=0.1.解 這里n1=n2=10，s12=0.00000956,s22=0.00000489，于是統(tǒng)計(jì)量F的觀察值為F=0.00000956/0.00000489=1.95.查F分布表得F/2n1-1，n2-1=F0.059,9=3.18，F(xiàn)1-/2n1-1，n2-1=F0.959,9=1/F0.059,9=1/3.18.由樣本觀察值算出的F滿足F0.959,9=1/3.18F=1.953.18=F0.059,9.可見(jiàn)它不落入回絕域，因此不能回絕原假設(shè)H0：

32、12=22，從而認(rèn)為兩個(gè)總體的方差無(wú)顯著差異.注意：在1與2時(shí)，要檢驗(yàn)假設(shè)H0：12=22，其檢驗(yàn)方法類同均值未知的情況，此時(shí)所采用的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是：F=Fn1，n2.其回絕域參看表8-4.表8-4檢驗(yàn)參數(shù)條件H0H1H0的回絕域檢驗(yàn)用的統(tǒng)計(jì)量自由度分位點(diǎn)均值12,22已知1=21212121212|Z|z/2ZzZ-zZ=±z/2z-z12,22未知12=221=21212121212tt/2ttt-tt=n1+n2-2±t/2t-t方差1,2未知12=2212221222122212221222FF/2或FF1-/2FFFF1-F=n1-1,n2-1F/2或F1-/2FF

33、F1-1,2已知12=221222122122212221222FF/2或FF1-/2FFFF1-F=n1,n2F/2或F1-/2FFF1- 2 單邊檢驗(yàn)可作類似的討論，限于篇幅，這里不作介紹了.第四節(jié) 總體分布函數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)上兩節(jié)中，我們?cè)诳傮w分布形式為的前提下，討論了參數(shù)的檢驗(yàn)問(wèn)題.然而在實(shí)際問(wèn)題中，有時(shí)不能確知總體服從什么類型的分布，此時(shí)就要根據(jù)樣本來(lái)檢驗(yàn)關(guān)于總體分布的假設(shè).例如檢驗(yàn)假設(shè)：“總體服從正態(tài)分布等.本節(jié)僅介紹檢驗(yàn)法.所謂檢驗(yàn)法是在總體的分布為未知時(shí)，根據(jù)樣本值x1，x2，xn來(lái)檢驗(yàn)關(guān)于總體分布的假設(shè)H0：總體X的分布函數(shù)為Fx；H1：總體X的分布函數(shù)不是Fx 8.22的一種方

34、法這里的備擇假設(shè)H1可不必寫出.注意，假設(shè)總體X為離散型，那么假設(shè)8.22相當(dāng)于H0：總體X的分布律為PX=xi=pi，i=1，2，；8.23假設(shè)總體X為連續(xù)型，那么假設(shè)8.22相當(dāng)于H0：總體X的概率密度為fx. 8.24在用檢驗(yàn)法檢驗(yàn)假設(shè)H0時(shí)，假設(shè)在假設(shè)H0下Fx的形式，而其參數(shù)值未知，此時(shí)需先用極大似然估計(jì)法估計(jì)參數(shù)，然后再作檢驗(yàn).檢驗(yàn)法的根本思想與方法如下：1 將隨機(jī)試驗(yàn)可能結(jié)果的全體分為k個(gè)互不相容的事件A1，A2，Ak=，AiAj=Æ，ij；i,j=1,2,k,于是在H0為真時(shí)，可以計(jì)算概率=PAii=1，2，k.2 尋找用于檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量及相應(yīng)的分布，在n次試驗(yàn)中，事件

35、Ai出現(xiàn)的頻率與概率往往有差異，但由大數(shù)定律可以知道，假設(shè)樣本容量n較大一般要求n至少為50，最好在100以上，在H0成立條件下的值應(yīng)該比較小，基于這種想法，皮爾遜使用= 8.25作為檢驗(yàn)H0的統(tǒng)計(jì)量,并證明了如下的定理.定理8.1 假設(shè)n充分大n50,那么當(dāng)H0為真時(shí)不管H0中的分布屬什么分布,統(tǒng)計(jì)量8.25總是近似地服從自由度為k-r-1的分布,其中r是被估計(jì)的參數(shù)的個(gè)數(shù).3 對(duì)于給定的檢驗(yàn)程度，查表確定臨界值使P=，從而得到H0的回絕域?yàn)?4由樣本值x1，x2，xn計(jì)算的值，并與比較.5 作結(jié)論：假設(shè)，那么回絕H0，即不能認(rèn)為總體分布函數(shù)為Fx；否那么承受H0.例8.10 一本書的一頁(yè)中

36、印刷錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量，現(xiàn)檢查了一本書的100頁(yè)，記錄每頁(yè)中印刷錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)，其結(jié)果如表8-5所示.表8-5錯(cuò)誤個(gè)數(shù)i01234567頁(yè)數(shù)fi36401920210AiA 0A 1A 2A 3A 4A 5A 6A7其中fi是觀察到有i個(gè)錯(cuò)誤的頁(yè)數(shù).問(wèn)能否認(rèn)為一頁(yè)書中的錯(cuò)誤個(gè)數(shù)X服從泊松分布取=0.05?解 由題意首先提出假設(shè)：H0：總體X服從泊松分布.PX=i=，i=0，1，2，這里H0中參數(shù)為未知，所以需先來(lái)估計(jì)參數(shù).由最大似然估計(jì)法得=1.將試驗(yàn)結(jié)果的全體分為A0，A1，A7兩兩不相容的事件.假設(shè)H0為真，那么PX=i有估計(jì)，i=0，1，2，.例如計(jì)算結(jié)果如表8-6所示.將其中有些n

37、pi5的組予以適當(dāng)合并，使新的每一組內(nèi)有npi5，如表8-6所示，此處并組后k=4，但因在計(jì)算概率時(shí)，估計(jì)了一個(gè)未知參數(shù)，故計(jì)算結(jié)果為=1.460表8-6.因?yàn)?5.9911.46，所以在顯著性程度為0.05下承受H0，即認(rèn)為總體服從泊松分布.表8-6AifiA036e-136.788-0.7880.017A140e-136.7883.2120.280A219e-1/218.3940.6060.020A3A4A5A6A720210e-1/6e-1/24e-1/120e-1/7206.1311.5330.3070.0510.008-3.031.1431.460例8.11 研究混凝土抗壓強(qiáng)度的分布

38、.200件混凝土制件的抗壓強(qiáng)度以分組形式列出表8-7.n=200.要求在給定的檢驗(yàn)程度=0.05下檢驗(yàn)假設(shè)H0：抗壓強(qiáng)度XN，2.表8-7壓強(qiáng)區(qū)間×98kPa頻數(shù)fi190200102002102621022056220230642302403024025014解 原假設(shè)所定的正態(tài)分布的參數(shù)是未知的，我們需先求與2的極大似然估計(jì)值.由第七章知，與2的極大似然估計(jì)值為，.設(shè)為第i組的組中值，我們有=221,=152,=12.33.原假設(shè)H0改寫成X是正態(tài)N221，12.332分布，計(jì)算每個(gè)區(qū)間的理論概率值, i=1，2，6,其中,.為了計(jì)算出統(tǒng)計(jì)量之值，我們把需要進(jìn)展的計(jì)算列表如下表8

39、-8.表8-8壓強(qiáng)區(qū)間X頻數(shù)fi標(biāo)準(zhǔn)化區(qū)間i，i+119020010-，-1.700.045910.1120021026-1.70,-0.890.14228.45.760.2021022056-0.89,-0.080.28156.20.040.0022023064-0.08,0.730.29959.817.640.29230240300.73,1.540.17134.217.640.52240250141.54,+0.06212.42.560.231.0002001.35從上面計(jì)算得出的觀察值為1.35.在檢驗(yàn)程度=0.05下，查自由度m=6-2-1=3的分布表，得到臨界值=7.815.由于=

40、1.357.815=，不能回絕原假設(shè)，所以認(rèn)為混凝土制件的抗壓強(qiáng)度的分布是正態(tài)分布N221，152.小 結(jié)有關(guān)總體分布的未知參數(shù)或未知分布形式的種種論斷叫做統(tǒng)計(jì)假設(shè).一般統(tǒng)計(jì)假設(shè)分為原假設(shè)H0在實(shí)際問(wèn)題中至關(guān)重要的假設(shè)及與原假設(shè)H0對(duì)立假設(shè)即是備擇假設(shè)H1.假設(shè)檢驗(yàn)就是人們根據(jù)樣本提供的信息作出“承受H0、回絕H1或“回絕H0、承受H1的判斷.假設(shè)檢驗(yàn)的思想是小概率原理，即小概率事件在一次試驗(yàn)中幾乎不會(huì)發(fā)生.這種原理是人們處理實(shí)際問(wèn)題中公認(rèn)的原那么.由于樣本的隨機(jī)性，當(dāng)H0為真時(shí)，我們可能會(huì)作出回絕H0、承受H1的錯(cuò)誤判斷棄真錯(cuò)誤或當(dāng)H0不真時(shí)，我們可能會(huì)作出承受H0、回絕H1的錯(cuò)誤判斷取偽錯(cuò)

41、誤.假設(shè)檢驗(yàn)的兩類錯(cuò)誤真實(shí)情況未知所作決策承受H0回絕H0H0為真正確犯第一類錯(cuò)誤H0不真犯第二類錯(cuò)誤正確當(dāng)樣本容量n固定時(shí)，我們無(wú)法同時(shí)控制犯二類錯(cuò)誤，即減小犯第一類錯(cuò)誤的概率，就會(huì)增大犯第二類錯(cuò)誤的概率，反之亦然.在假設(shè)檢驗(yàn)中我們主要控制減小犯第一類錯(cuò)誤的概率.使P回絕H0|H0為真，其中很小.0<<1，稱為檢驗(yàn)的顯著性程度，這種只對(duì)犯第一類錯(cuò)誤的概率加以控制而不考慮犯第二類錯(cuò)誤的概率的檢驗(yàn)稱為顯著性假設(shè)檢驗(yàn).單個(gè)、兩個(gè)正態(tài)總體的均值、方差的假設(shè)檢驗(yàn)是本章重點(diǎn)問(wèn)題，讀者需掌握Z(yǔ)檢驗(yàn)法、檢驗(yàn)法、t檢驗(yàn)法等.這些檢驗(yàn)法中原假設(shè)H0備擇假設(shè)H1及H0的回絕域分別見(jiàn)表8-2、表8-4. 重要術(shù)語(yǔ)及主題原假設(shè) 備擇假設(shè) 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 單邊檢驗(yàn) 雙邊檢驗(yàn)顯著性程度 回絕域 顯著性檢驗(yàn) 一個(gè)正態(tài)