《高等數(shù)學(xué)2》教學(xué)大綱

1、高等數(shù)學(xué)H教學(xué)大綱（Advanee Mathematics）（總學(xué)時(shí)：100）一、簡(jiǎn)要說明本大綱適用于生物安全、 輕化、材料等工科專業(yè)。 共100學(xué)時(shí)，7學(xué)分，屬必修課程。二、 課程的性質(zhì)、地位和任務(wù)高等數(shù)學(xué)課程是高等學(xué)校工科各專業(yè)學(xué)生的一門必修的重要基礎(chǔ)理論課，它是為培養(yǎng)我國社會(huì)主義現(xiàn)代化建設(shè)所需要的高質(zhì)量專門人才服務(wù)的。通過本課程的學(xué)習(xí)，要使學(xué)生獲得：（1）一元函數(shù)微積分學(xué)； （2）向量代數(shù)和空間解析幾何；（3）多元函數(shù)微積分學(xué)；（4）無窮級(jí)數(shù)；（5）常微分方程，等方面的基本概念、基本理論和基本運(yùn)算技能，為學(xué)習(xí)后繼課程 和進(jìn)一步獲得數(shù)學(xué)知識(shí)奠定必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。在傳授知識(shí)的同時(shí)， 要通過各個(gè)

2、教學(xué)環(huán)節(jié)逐步培養(yǎng)學(xué)生具有抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力和自學(xué)能力，還要特別注意培養(yǎng)學(xué)生具有比較熟練的運(yùn)算能力和綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)去分析問題和解決問題的能力。三、教學(xué)基本要求與方法本門課程的內(nèi)容按教學(xué)要求的不同，分為兩個(gè)層次。較高層次的內(nèi)容必須使學(xué)生深入理解，牢固掌握，熟練應(yīng)用。其中，概念、理論用“理解”一詞表述，方法、運(yùn)算用“掌握” 一詞表述。較低層次的內(nèi)容也是必不可少的，只是在教學(xué)要求上低于前者。其中概念、理論用“了解”一詞表述，方法、運(yùn)算用“會(huì)”或“了解”表述。四、 授課教材及主要參考書（一）授課教材：高等數(shù)學(xué)（上、下冊(cè)）（第四版）同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室主編 高等教育出版社1996（二

3、）主要參考書1、 數(shù)學(xué)分析 陳傳璋等編高等教育出版社20012、 數(shù)學(xué)分析 黃玉民編南開大學(xué)出版社2000五、 學(xué)分與學(xué)時(shí)分配本課程共100學(xué)時(shí)，7學(xué)分，學(xué)時(shí)分配如下早內(nèi)容學(xué)時(shí)第一章函數(shù)、極限與連續(xù)14第二章一兀函數(shù)微分學(xué)22第三章一兀函數(shù)積分學(xué)22第四章向量代數(shù)與空間解析幾何8第五章多元函數(shù)微分學(xué)10第六章二重積分4第七章無窮級(jí)數(shù)14第八章常微分方程6總 計(jì)100六、教學(xué)內(nèi)容及學(xué)時(shí)分配第一章函數(shù)、極限、連續(xù)（14學(xué)時(shí)）1、要點(diǎn)函數(shù)的概念，函數(shù)的有界性、單調(diào)性、奇偶性和周期性，復(fù)合函數(shù)，反函數(shù)，基本初 等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形，初等函數(shù)，簡(jiǎn)單應(yīng)用問題的函數(shù)關(guān)系式的建立。數(shù)列極限的N定義，函數(shù)極限的

4、定義和函數(shù)的左、右極限，無窮小，無窮 大，無窮小的階，極限的四則運(yùn)算，極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則，兩個(gè)重要極限，等價(jià)無窮小求極 限。函數(shù)連續(xù)的概念， 函數(shù)間斷點(diǎn)的類型和名稱， 初等函數(shù)的連續(xù)性 ， 閉區(qū)間上連續(xù)函 數(shù)的性質(zhì)。2、 目的要求（1）理解函數(shù)的概念。（2）了解函數(shù)奇偶性、單調(diào)性、周期性和有界性 。（3）理解復(fù)合函數(shù)的概念、了解反函數(shù)的概念。（4）掌握基本初等函數(shù)的圖形及其性質(zhì)。（5）會(huì)建立簡(jiǎn)單實(shí)際問題的函數(shù)關(guān)系式。（6）了解極限的概念（對(duì)于極限的N、 定義只作一般了解） 。（7）掌握極限四則運(yùn)算法則。（8）了解兩個(gè)極限存在準(zhǔn)則（夾逼準(zhǔn)則和單調(diào)有界準(zhǔn)則），會(huì)用兩個(gè)重要極限求極限。（9）了解無窮

5、小、無窮大以及無窮小的階的概念。會(huì)用等價(jià)無窮小求極限。（10）理解函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的概念。 （11）了解間斷點(diǎn)的概念，并會(huì)判別間斷點(diǎn)的類型和名稱。（12）了解初等函數(shù)的連續(xù)性和閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（介值定理和最大、 最小值定理）。第二章 一元函數(shù)微分學(xué) （22學(xué)時(shí)）1、 要點(diǎn)導(dǎo)數(shù)和微分的概念， 導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物理意義， 函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系， ， 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，導(dǎo)數(shù)和微分的四則運(yùn)算，復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)， 高階導(dǎo)數(shù)，隱函數(shù)和參數(shù)式所確定的函數(shù)的一、二階導(dǎo)數(shù)，一階微分形式不變性。羅爾（Rolle）定理，拉格朗日（Lagrange）定理，柯西（Cauchy）定理。

6、泰勒（Tayloy）定理，羅必塔（L Hospital）法則，函數(shù)的極值概念及其求法，函數(shù)增 減性和函數(shù)圖形的凹凸性的判定， 函數(shù)圖形的拐點(diǎn)及其求法， 描繪函數(shù)的圖形， 函數(shù)最大值 和最小值的求法及簡(jiǎn)單應(yīng)用，曲率和曲率半徑。2、 目的要求 （1）理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義及函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān) 系。（2）掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法，掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式， 了解微分的四則運(yùn)算法則和一階微分形式不變性。（3）了解高階導(dǎo)數(shù)的概念。（4）掌握初等函數(shù)一階、二階導(dǎo)數(shù)的求法。（5）會(huì)求隱函數(shù)和參數(shù)式所確定的函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)，會(huì)求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。（6）理解羅爾（R

7、olle）定理和拉格朗日（Lagrange）定理。（7）了解柯西（Cauchy）定理和泰勒（Taylor）定理。（8）理解函數(shù)的極值概念，并掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求極值的方法。（9）會(huì)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性，會(huì)求拐點(diǎn)，會(huì)描繪函數(shù)的圖形（包括水平和鉛 直漸近線），會(huì)求解較簡(jiǎn)單的最大值和最小值的應(yīng)用問題。（10）會(huì)用羅必塔（L Hospital）法則求不定式的極限。（11）了解曲率和曲率半徑的概念，并會(huì)計(jì)算曲率和曲率半徑。第三章、一元函數(shù)積分學(xué)（26學(xué)時(shí)）1、 要點(diǎn)原函數(shù)和不定積分的概念， 不定積分的基本性質(zhì)， 不定積分的基本公式， 不定積分的換 元法和分部積分法， 有理函數(shù)、 三角函數(shù)

8、有理式的積分， 定積分的概念和基本性質(zhì)，積分中 值定理，變上限定積分及其導(dǎo)數(shù)，牛頓萊布尼茲（Newton-Leibniz）公式，定積分的換元 法和分部積分法，廣義積分的概念及其運(yùn)算，定積分應(yīng)用（如面積、體積、壓力等） 。2、 目的要求（1）理解不定積分和定積分的概念及性質(zhì)。（2）掌握不定積分的基本公式，不定積分、定積分的換元法與分部積分法。（3）會(huì)求簡(jiǎn)單的有理函數(shù)的積分（對(duì)待定系數(shù)不作過高要求）。（4）理解變上限的積分作為其上限的函數(shù)及其求導(dǎo)定理，掌握牛頓-萊布尼茲（Newton-Leibniz）公式。（5）理解廣義積分的概念和-函數(shù)的性質(zhì)。（6）掌握用定積分表達(dá)一些幾何量與物理量（如面積、體

9、積、壓力等）的方法。第四章 向量代數(shù)與空間解析幾何（8學(xué)時(shí)）1、 要點(diǎn)空間直角坐標(biāo)系， 向量的概念及其表示， 向量的線性運(yùn)算， 向量數(shù)量積和向量積的概念 及運(yùn)算，向量的坐標(biāo)表達(dá)式及其運(yùn)算，投影單位向量，方向角與方向余弦，兩向量的夾角， 兩向量垂直和平行的條件。平面方程，曲面方程的概念，旋轉(zhuǎn)曲面、柱面、二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程及其圖形。2、目的要求（1）理解空間直角坐標(biāo)系，理解向量的概念及其表示。（2）掌握向量的運(yùn)算（線性運(yùn)算、點(diǎn)乘法、叉乘法），了解兩個(gè)向量垂直、平行的條件（3）掌握單位向量、方向余弦、向量的坐標(biāo)表達(dá)式以及用坐標(biāo)表達(dá)式進(jìn)行向量運(yùn)算的 方法。（4）掌握平面方程。（5）理解曲面方程的概念，

10、了解常用二次曲面的方程及其圖形，了解以坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn) 軸的旋轉(zhuǎn)曲面及母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程。第五章 多元函數(shù)微分學(xué)（10學(xué)時(shí)）1、要點(diǎn)多元函數(shù)的概念， 二元函數(shù)的極限和連續(xù)的概念， 有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)， 偏導(dǎo) 數(shù)、全微分的概念，全微分存在的必要和充分條件。復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)的求導(dǎo)法，二階偏導(dǎo)數(shù)。 空間曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的方程， 多元函數(shù)極值、 條件極值的概 念，二元函數(shù)極值的求法，拉格朗日乘數(shù)法，多元函數(shù)的最大值和最小值的應(yīng)用問題。2、目的要求（1）理解多元函數(shù)的概念。（2）了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念，（3）理解偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念，了解全微分存在的必要和充分條

11、件。（4）掌握復(fù)合函數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù)的求法，會(huì)求復(fù)合函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)。（5）會(huì)求隱函數(shù)（包括由兩個(gè)方程組成的方程組確定的隱函數(shù)）的偏導(dǎo)數(shù)。（6）了解曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線，并會(huì)求出它們的方程。（7）理解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，會(huì)求二元函數(shù)的極值，了解求條件極值的拉 格朗日乘數(shù)法，會(huì)求解一些較簡(jiǎn)單的最大值和最小值的應(yīng)用問題。第六章 二重積分（4學(xué)時(shí)）1、要點(diǎn)重積分、三重積分的概念及其性質(zhì)，二重積分（兩種坐標(biāo)）2、目的要求（1） 理解二重積分、三重積分的概念，了解重積分的性質(zhì)。（2） 掌握二重積分的計(jì)算方法（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)）。第七章無窮級(jí)數(shù)（14學(xué)時(shí)）1、要點(diǎn)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂與

12、發(fā)散的概念，收斂級(jí)數(shù)和的概念，級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要 條件，幾何級(jí)數(shù)和P級(jí)數(shù)的收斂性，正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法和比值審斂法，交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊 布尼茲定理，絕對(duì)收斂，條件收斂，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念，幕級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域，幕級(jí)數(shù)在其收斂域內(nèi)的基本性質(zhì)，幕級(jí)數(shù)求和函數(shù)，函數(shù)展開為泰勒級(jí)數(shù)的充1要條件，ex,sinx, cosx, arctgx, In（1x）, （1 x）m,的麥克勞林（Maclaurin）展開式1 x并將簡(jiǎn)單函數(shù)展成幕級(jí)數(shù)。2、目的要求（1） 理解無窮級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，了解無窮級(jí)數(shù)基本性質(zhì)及收斂的必要條件。（2） 掌握幾何級(jí)數(shù)和P級(jí)數(shù)的收斂性。（3） 了解正項(xiàng)

13、級(jí)數(shù)的比較審斂法，掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值審斂法。（4） 了解交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茲定理。（5） 了解無窮級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與條件收斂的概念以及絕對(duì)收斂與收斂的關(guān)系。（6） 了解函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念。（7） 掌握比較簡(jiǎn)單的幕級(jí)數(shù)收斂區(qū)間的求法（區(qū)間端點(diǎn)的收斂性可不作要求）。（8） 了解幕級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的一些基本性質(zhì)。（9） 了解函數(shù)展開為泰勒級(jí)數(shù)的充分必要條件。Xm1（10） 會(huì)利用ex,sinx, cosx, arctgx, ln（1 x）, （1 x）m,的麥克勞林（Maclaurin）1 x展開式將一些簡(jiǎn)單函數(shù)間接展開為幕級(jí)數(shù)。第八章常微分方程（6學(xué)時(shí)）1、要點(diǎn)常微分方程的概念，微分方程的解，通解，特解，初始條件，變量可分離的方程，齊 次方程，一階線性方程。降階法解高階微分方程（三類