第8章 壓桿穩(wěn)定

1、第八章第八章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定30mm1m 兩根相同材料（松木）制成的桿，兩根相同材料（松木）制成的桿，b=20MPa；A10mm30mm短桿長：短桿長：l30mm；FFFF長桿長：長桿長：l1000mm壓桿穩(wěn)定第一節(jié)第一節(jié) 壓桿穩(wěn)定的概念壓桿穩(wěn)定的概念若按強(qiáng)度條件計(jì)算，若按強(qiáng)度條件計(jì)算， 兩根桿壓縮時(shí)的極限承載能力兩根桿壓縮時(shí)的極限承載能力均應(yīng)為：均應(yīng)為：F= b A=6kN （1 1）短桿在壓力增加到約）短桿在壓力增加到約為為6kN6kN時(shí)，因木紋出現(xiàn)裂紋而時(shí)，因木紋出現(xiàn)裂紋而破壞。破壞。 （2 2）長桿在壓力增加到約）長桿在壓力增加到約4kN4kN時(shí)突然彎向一側(cè)，繼續(xù)增大壓力，時(shí)突然彎向

2、一側(cè)，繼續(xù)增大壓力，彎曲迅速增大，桿隨即折斷。彎曲迅速增大，桿隨即折斷。30mm1mFFFF壓桿穩(wěn)定壓桿的破壞實(shí)驗(yàn)壓桿的破壞實(shí)驗(yàn)結(jié)果結(jié)果： 短壓桿的破壞屬于強(qiáng)短壓桿的破壞屬于強(qiáng)度問題；度問題；30mm1mFFFF第六章壓桿穩(wěn)定 長壓桿的破壞則屬于能長壓桿的破壞則屬于能否保持其原來的直線平衡否保持其原來的直線平衡狀態(tài)的問題狀態(tài)的問題結(jié)論：結(jié)論： 短壓桿與長壓桿在壓縮時(shí)的破壞短壓桿與長壓桿在壓縮時(shí)的破壞性質(zhì)完全不同性質(zhì)完全不同 壓桿穩(wěn)定性壓桿穩(wěn)定性：壓桿保持其原來直線平衡狀態(tài)：壓桿保持其原來直線平衡狀態(tài)的能力。的能力。 壓桿不能保持其原來直線平衡狀態(tài)而突然變壓桿不能保持其原來直線平衡狀態(tài)而突然變彎

3、的現(xiàn)象，稱為壓桿的直線平衡狀態(tài)喪失了穩(wěn)定，彎的現(xiàn)象，稱為壓桿的直線平衡狀態(tài)喪失了穩(wěn)定，簡稱為簡稱為壓桿失穩(wěn)。壓桿失穩(wěn)。第十章壓桿穩(wěn)定壓桿失穩(wěn)的嚴(yán)重后果：壓桿失穩(wěn)的嚴(yán)重后果：1919世紀(jì)，瑞士的孟汗太因橋突然倒塌，造世紀(jì)，瑞士的孟汗太因橋突然倒塌，造成成200200人遇難。人遇難。 19071907年加拿大的魁北克橋在建造時(shí)突然倒年加拿大的魁北克橋在建造時(shí)突然倒塌，其原因都是因?yàn)闃蛄鸿旒苤械氖軌簵U失穩(wěn)塌，其原因都是因?yàn)闃蛄鸿旒苤械氖軌簵U失穩(wěn)引起的。引起的。19091909年年1212月漢堡一個(gè)月漢堡一個(gè)6060萬萬m m3 3的大型貯氣罐的大型貯氣罐因一個(gè)受壓構(gòu)件失穩(wěn)而突然倒塌。因一個(gè)受壓構(gòu)件失

4、穩(wěn)而突然倒塌。壓桿穩(wěn)定研究壓桿穩(wěn)定性的意義：研究壓桿穩(wěn)定性的意義： 壓桿因強(qiáng)度或剛度不足而造成破壞之前一般壓桿因強(qiáng)度或剛度不足而造成破壞之前一般都有先兆；都有先兆；壓桿由于失穩(wěn)而造成破壞之前沒有壓桿由于失穩(wěn)而造成破壞之前沒有任何先兆，當(dāng)壓力達(dá)到某個(gè)臨界數(shù)值時(shí)就會(huì)突任何先兆，當(dāng)壓力達(dá)到某個(gè)臨界數(shù)值時(shí)就會(huì)突然破壞，然破壞，因此這種破壞形式在工程上具有很大因此這種破壞形式在工程上具有很大的破壞性。的破壞性。在建筑工程中的受壓上弦桿、廠房的柱子等在建筑工程中的受壓上弦桿、廠房的柱子等設(shè)計(jì)中都必須考慮其穩(wěn)定性要求。設(shè)計(jì)中都必須考慮其穩(wěn)定性要求。壓桿穩(wěn)定穩(wěn)定平衡：穩(wěn)定平衡： 干擾平衡的外力消失后，干擾平衡

5、的外力消失后，物體能自動(dòng)恢復(fù)到原來的平物體能自動(dòng)恢復(fù)到原來的平衡位置的平衡衡位置的平衡不穩(wěn)定平衡：不穩(wěn)定平衡： 即使干擾平衡的外力消即使干擾平衡的外力消失后，物體仍繼續(xù)向遠(yuǎn)離原失后，物體仍繼續(xù)向遠(yuǎn)離原來平衡位置的方向繼續(xù)運(yùn)動(dòng)來平衡位置的方向繼續(xù)運(yùn)動(dòng)的平衡。的平衡。隨遇平衡：隨遇平衡： 干擾平衡的外力消失后，干擾平衡的外力消失后，物體可在任意位置繼續(xù)保持物體可在任意位置繼續(xù)保持平衡。平衡。 顯然，隨遇平衡是界于穩(wěn)定平衡與不穩(wěn)定平衡之間的狀顯然，隨遇平衡是界于穩(wěn)定平衡與不穩(wěn)定平衡之間的狀態(tài)，稱為態(tài)，稱為臨界平衡狀態(tài)臨界平衡狀態(tài)。壓桿穩(wěn)定FPFPlFPFPFFFPFPF FPcrFPFPF= FPc

6、rFPFPF FPcr穩(wěn)定直線平衡狀態(tài)穩(wěn)定直線平衡狀態(tài)不穩(wěn)定平衡狀態(tài)不穩(wěn)定平衡狀態(tài)臨界狀態(tài)臨界狀態(tài) 壓桿處于臨界狀態(tài)時(shí)的軸向壓力稱為壓桿處于臨界狀態(tài)時(shí)的軸向壓力稱為壓桿的壓桿的臨界力臨界力Fcr。壓桿穩(wěn)定第二節(jié)第二節(jié)細(xì)長壓桿的臨界力細(xì)長壓桿的臨界力臨界力臨界力Fcr的大小反映了壓桿失穩(wěn)的難易，而壓桿失穩(wěn)的大小反映了壓桿失穩(wěn)的難易，而壓桿失穩(wěn)就是直桿變彎，發(fā)生彎曲變形，因此臨界力的大小與影響就是直桿變彎，發(fā)生彎曲變形，因此臨界力的大小與影響直桿彎曲變形的因素有關(guān)：直桿彎曲變形的因素有關(guān)：桿的長度桿的長度ll越大越大抵抗變形的能力越小抵抗變形的能力越小容易失穩(wěn)容易失穩(wěn)Fcr越小越小抗彎剛度抗彎剛度

7、EIEI越大越大抵抗變形的能力越強(qiáng)抵抗變形的能力越強(qiáng)不易失穩(wěn)不易失穩(wěn)Fcr越大越大桿端支承桿端支承越牢固越牢固越不容易發(fā)生彎曲變形越不容易發(fā)生彎曲變形不易失穩(wěn)不易失穩(wěn)Fcr越大越大壓桿穩(wěn)定式中式中 E材料的彈性模量；材料的彈性模量；I壓桿橫截面對形心軸的最小慣性矩；壓桿橫截面對形心軸的最小慣性矩；l壓桿的長度；壓桿的長度；長度系數(shù)，反映了桿端支承對臨界力的影響；長度系數(shù)，反映了桿端支承對臨界力的影響；l壓桿的計(jì)算長度。壓桿的計(jì)算長度。22)( lEIFcr壓桿穩(wěn)定Fcrl=1 兩端鉸支兩端鉸支l一端固定一端固定一端鉸支一端鉸支Fcr0.3l0.7l=0.7 兩端固定兩端固定lFcr0.5l0.

8、25l0.25l=0.5 lFcr一端固定一端固定一端自由一端自由=2 壓桿穩(wěn)定 例例1 一根兩端鉸支的一根兩端鉸支的20a工字鋼細(xì)長壓桿，長工字鋼細(xì)長壓桿，長l=3m，鋼的彈性模量，鋼的彈性模量E=200GPa，試計(jì)算其臨界力，試計(jì)算其臨界力。 由此可知，若軸向壓力達(dá)到由此可知，若軸向壓力達(dá)到346kN時(shí)，此桿會(huì)失穩(wěn)。時(shí)，此桿會(huì)失穩(wěn)。kN346N10346N310158102003289222lEIFcr解解 查型鋼表得查型鋼表得Iz=2370cm4，Iy=158cm4壓桿穩(wěn)定 材料及橫截面均相同，哪一根最容易失穩(wěn)，哪一根材料及橫截面均相同，哪一根最容易失穩(wěn)，哪一根最不容易失穩(wěn)。最不容易失穩(wěn)

9、。壓桿穩(wěn)定思考思考 例例2 一矩形截面的一矩形截面的中心受壓的細(xì)長木柱，中心受壓的細(xì)長木柱，長長l=8m，柱的支承情況，柱的支承情況，在最大剛度平面內(nèi)彎曲在最大剛度平面內(nèi)彎曲時(shí)為兩端鉸支（圖時(shí)為兩端鉸支（圖a）；）；在最小剛度平面內(nèi)彎曲在最小剛度平面內(nèi)彎曲時(shí)為兩端固定（圖時(shí)為兩端固定（圖b）。）。木材的彈性模量木材的彈性模量E=10GPa，試求木柱的，試求木柱的臨界力。臨界力。壓桿穩(wěn)定Fcr120200zyFcr8m200zy120解解 由于最大剛度平面與最小剛度平面內(nèi)的支承由于最大剛度平面與最小剛度平面內(nèi)的支承情況不同，所以需分別計(jì)算。情況不同，所以需分別計(jì)算。（1）計(jì)算最大剛度平面內(nèi)的臨界

10、力）計(jì)算最大剛度平面內(nèi)的臨界力兩端鉸支，長度系數(shù)兩端鉸支，長度系數(shù)=1454743m108mm108mm12200120yIkN123N10123N)81 (108101014. 3)(3259222lEIFycr截面的慣性矩為截面的慣性矩為壓桿穩(wěn)定Fcr8m200zy120（2）計(jì)算最小剛度平面內(nèi)的臨界力。）計(jì)算最小剛度平面內(nèi)的臨界力。454743m1088. 2mm1088. 2mm12120200ZI兩端固定，長度系數(shù)兩端固定，長度系數(shù)=0.5kN177N10177N)85 . 0(1088. 2101014. 3)(3259222lEIFZcr由圖由圖16-4b,截面慣性矩為截面慣性矩

11、為壓桿穩(wěn)定Fcr120200zy 比較計(jì)算結(jié)果可知比較計(jì)算結(jié)果可知，第一種情況的臨界力，第一種情況的臨界力小，所以壓桿失穩(wěn)時(shí)將小，所以壓桿失穩(wěn)時(shí)將在最大剛度平面內(nèi)產(chǎn)生在最大剛度平面內(nèi)產(chǎn)生彎曲。此例說明，彎曲。此例說明，當(dāng)在當(dāng)在最小剛度平面與最大剛最小剛度平面與最大剛度平面內(nèi)支承情況不同度平面內(nèi)支承情況不同時(shí)，壓桿不一定在最小時(shí)，壓桿不一定在最小剛度平面內(nèi)失穩(wěn)，必須剛度平面內(nèi)失穩(wěn)，必須經(jīng)過具體計(jì)算后才能確經(jīng)過具體計(jì)算后才能確定。定。壓桿穩(wěn)定Fcr120200zyFcr8m200zy1202IiAl i令第三節(jié)第三節(jié) 臨界應(yīng)力與歐拉公式的適用范圍臨界應(yīng)力與歐拉公式的適用范圍AIlEAFcr22cr

12、)(22Ecr 壓桿的壓桿的柔度柔度（長細(xì)比），是無量綱的量。（長細(xì)比），是無量綱的量。l i22222)()(ilElEicr壓桿穩(wěn)定 （1）綜合反映了壓桿的長度（）綜合反映了壓桿的長度（l）、桿端支承情況（）、桿端支承情況（）、截面形狀和尺寸（）、截面形狀和尺寸（I、A、i）對臨界應(yīng)力的影響。）對臨界應(yīng)力的影響。 （2）壓桿的臨界應(yīng)力與壓桿柔度的平方成反比，即）壓桿的臨界應(yīng)力與壓桿柔度的平方成反比，即，柔度越大壓桿臨界應(yīng)力越小，壓桿越容易失穩(wěn)。，柔度越大壓桿臨界應(yīng)力越小，壓桿越容易失穩(wěn)。壓桿穩(wěn)定 只有當(dāng)壓桿的臨界應(yīng)力不超過材料的比例極限時(shí)，歐只有當(dāng)壓桿的臨界應(yīng)力不超過材料的比例極限時(shí)，歐拉

13、公式才適用，即：拉公式才適用，即：對應(yīng)于材料比例極限時(shí)的柔度，只與材料的性質(zhì)對應(yīng)于材料比例極限時(shí)的柔度，只與材料的性質(zhì)有關(guān)，與壓桿的截面形狀和尺寸無關(guān)。有關(guān)，與壓桿的截面形狀和尺寸無關(guān)。pp的壓桿的壓桿大柔度桿（細(xì)長桿）大柔度桿（細(xì)長桿）歐拉公式只適用于大柔度桿（細(xì)長桿）歐拉公式只適用于大柔度桿（細(xì)長桿）pcrE22ppE壓桿穩(wěn)定 壓桿的應(yīng)力超出比例極限時(shí)（壓桿的應(yīng)力超出比例極限時(shí)（p），這類桿件工程），這類桿件工程上稱為中柔度桿，此類壓桿的穩(wěn)定稱彈塑性穩(wěn)定。上稱為中柔度桿，此類壓桿的穩(wěn)定稱彈塑性穩(wěn)定。拋物線公式（經(jīng)驗(yàn)公式）拋物線公式（經(jīng)驗(yàn)公式）cr= a - b2式中，式中，為壓桿的柔度，為

14、壓桿的柔度，a、b與材料有關(guān)的常數(shù)與材料有關(guān)的常數(shù)例如：對于例如：對于Q235鋼及鋼及16Mn鋼分別有鋼分別有 cr=（235-0.006682）MPacr=（345-0.01422）MPa壓桿穩(wěn)定 注意：注意：圖中以圖中以c c=123=123而不是以而不是以p p=100=100作為二曲作為二曲線的線的分界點(diǎn)分界點(diǎn). . 由式可知，壓桿不論處于彈性階段還是彈塑性階段，由式可知，壓桿不論處于彈性階段還是彈塑性階段，其臨界應(yīng)力均為壓桿柔度的函數(shù)，臨界應(yīng)力其臨界應(yīng)力均為壓桿柔度的函數(shù)，臨界應(yīng)力cr與柔度與柔度的的函數(shù)曲線稱為函數(shù)曲線稱為臨界應(yīng)力總圖。臨界應(yīng)力總圖。 對對Q235Q235鋼制成的壓

15、桿鋼制成的壓桿 , ,當(dāng)當(dāng)c c，按歐拉公式計(jì)，按歐拉公式計(jì)算臨界應(yīng)力或臨界力算臨界應(yīng)力或臨界力; ;當(dāng)當(dāng)123123時(shí)用經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算時(shí)用經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算壓桿穩(wěn)定第四節(jié)壓桿的穩(wěn)定計(jì)算第四節(jié)壓桿的穩(wěn)定計(jì)算 st 式中式中 st稱為穩(wěn)定許用應(yīng)力，其值為稱為穩(wěn)定許用應(yīng)力，其值為 stcrstn式中式中nst為壓桿的穩(wěn)定安全系數(shù)為壓桿的穩(wěn)定安全系數(shù) 壓桿穩(wěn)定穩(wěn)定許用應(yīng)力值可寫成下列形式穩(wěn)定許用應(yīng)力值可寫成下列形式 st式中式中強(qiáng)度計(jì)算時(shí)的許用應(yīng)力；強(qiáng)度計(jì)算時(shí)的許用應(yīng)力； 折減系數(shù)。折減系數(shù)。 壓桿穩(wěn)定條件可寫為壓桿穩(wěn)定條件可寫為 AFN 式中式中A為橫截面的毛面積。為橫截面的毛面積。壓桿穩(wěn)定 （1）折減系

16、數(shù)是柔度）折減系數(shù)是柔度的函數(shù)，隨柔度的函數(shù)，隨柔度的變化而的變化而變化，柔度變化，柔度越大，折減系數(shù)越?。辉酱?，折減系數(shù)越小； （2）折減系數(shù)是各種影響因素的綜合反映（如荷載）折減系數(shù)是各種影響因素的綜合反映（如荷載偏心、材料不均勻、初始曲率、安全儲(chǔ)備等）；偏心、材料不均勻、初始曲率、安全儲(chǔ)備等）； （3）由于）由于 st總是小于總是小于，因此折減系數(shù)是一個(gè)小，因此折減系數(shù)是一個(gè)小于于1的數(shù)。的數(shù)。壓桿穩(wěn)定 穩(wěn)定校核。穩(wěn)定校核。3.3.確定穩(wěn)定許用荷載。確定穩(wěn)定許用荷載。 2. 2.設(shè)計(jì)截面。設(shè)計(jì)截面。壓桿穩(wěn)定 例例11-3 圖示兩端鉸支（球形鉸）的矩形截面木桿，桿圖示兩端鉸支（球形鉸）的矩

17、形截面木桿，桿端作用軸向壓力端作用軸向壓力Fp。已知。已知l=3.6m，F(xiàn)p=40kN，木材的強(qiáng)度，木材的強(qiáng)度等級為等級為TC13，許用應(yīng)力，許用應(yīng)力=10MPa，試校核該壓桿的穩(wěn)定。，試校核該壓桿的穩(wěn)定。mm64.34mm1212012123bbhhbAIiy解解 矩形截面的慣性半徑矩形截面的慣性半徑壓桿穩(wěn)定Fcr8m120160yz因?yàn)橐驗(yàn)?1259. 01042800280022所以該壓桿滿足穩(wěn)定條件。所以該壓桿滿足穩(wěn)定條件。兩端鉸支時(shí)長度系數(shù)兩端鉸支時(shí)長度系數(shù)=1=11041064.346 . 313il MPa00. 8MPa160120259. 010403NAFAF壓桿穩(wěn)定第五節(jié)

18、第五節(jié) 提高壓桿穩(wěn)定性的措施提高壓桿穩(wěn)定性的措施從柔度計(jì)算式從柔度計(jì)算式il 在條件允許的情況下，應(yīng)在條件允許的情況下，應(yīng)盡量使壓桿的長度減小，或者盡量使壓桿的長度減小，或者在壓桿中間增加支撐。在壓桿中間增加支撐。 減小壓桿的長度是降低壓桿柔減小壓桿的長度是降低壓桿柔度，提高壓桿穩(wěn)定性的有效方法度，提高壓桿穩(wěn)定性的有效方法之一。之一。ll2l2壓桿穩(wěn)定 桿端約束剛性越強(qiáng)桿端約束剛性越強(qiáng), ,壓桿的長度系數(shù)越小壓桿的長度系數(shù)越小, ,相應(yīng)的柔度相應(yīng)的柔度就越低就越低, ,臨界力就越大臨界力就越大, ,因此盡可能加強(qiáng)桿端約束的剛性因此盡可能加強(qiáng)桿端約束的剛性, ,可使壓可使壓 桿的穩(wěn)定性得到提高桿的穩(wěn)定性得到提高. . 50.21Fcr第壓桿穩(wěn)定FcrFcr 當(dāng)截面面積相同的情況下，增大慣性矩當(dāng)截面面積相同的情況下，增大慣性矩I，從而達(dá)到增從而達(dá)到增大慣性半徑大慣性半徑i，減小柔度，減小柔度，提高壓桿的臨界應(yīng)力。，提高壓桿的臨界應(yīng)力。 壓桿穩(wěn)定 當(dāng)壓桿在各個(gè)彎曲平面內(nèi)的支承條件相同時(shí)，當(dāng)壓桿在各個(gè)彎曲平面內(nèi)的支承條件相同時(shí)，壓桿的壓桿的穩(wěn)定性是由穩(wěn)定