第10章單因素方差

1、第10章 單因素方差分析One-factor analysis of variance 用6種培養(yǎng)液培養(yǎng)紅苜蓿，每一種培養(yǎng)液做5次重復，測定5盆苜蓿的含氮量，結果如下表（單位:mg）問用6種不同培養(yǎng)液培養(yǎng)的紅苜蓿含氮量差異是否顯著？盆號培養(yǎng)方法1234519.432.627.032.133.017.724.827.925.224.317.019.49.111.915.820.721.020.518.818.614.314.411.811.614.217.319.419.116.920.8方差分析方差分析(analysis of varianceANOVA)是由英國統(tǒng)計學家R.A.Fisher于

2、1923年提出的。 方差分析是一種特殊的假設檢驗，是用來判斷多組數(shù)據(jù)之間平均數(shù)差異顯著性的它不同于t檢驗之處在于：它把所有數(shù)據(jù)放在一起，一次比較就對所有各組間是否有差異做出判斷，如果沒有顯著性差異，則認為各組平均數(shù)相同；如果發(fā)現(xiàn)有差異，再進一步比較是哪組數(shù)據(jù)與其它數(shù)據(jù)不同 在多組數(shù)據(jù)的平均數(shù)之間做比較時，可以在平均數(shù)的所有對之間做t檢驗，但這樣做會提高犯I型錯誤的概率，因而是不可取的。方差分析可以防止該問題的出現(xiàn)。 如對5個平均數(shù)進行檢驗，若做t檢驗，則需做10次，假設每一次檢驗接受零假設的概率為0.95，那么10次都接受零假設的概率為（0.95）10=0.60，（至少有1次）拒絕零假設的概率

3、為0.40，犯I型錯誤的概率明顯平加方差分析中常用基本概念方差分析中常用基本概念（一）試驗指標（一）試驗指標(experimental index) 為衡量試驗結果的好壞或處理效應的高低，在試驗中具體測定的性狀或觀測的項目。（二）試驗因素（二）試驗因素 (experimental factor) 試驗中所研究的影響試驗指標的因素叫試驗因素。 當試驗中考察的因素只有一個時，稱為單因素試驗；單因素試驗； 若同時研究兩個或兩個以上的因素對試驗指標的影響時， 則稱為兩因素或多因素試驗兩因素或多因素試驗。 按是否可控制因素可分為：固定因素和隨機因素固定因素：可準確控制且其水平固定后效應也固定，比如：溫度

4、、化學藥物濃度等隨機因素：因素水平不能嚴格控制或者說即使其水平可控制但其效應也不固定比如：動物的窩別、農(nóng)家肥的效果等 試驗因素常用大寫字母A、B、C、等表示。（三）因素水平（三）因素水平(level of factor)試驗因素所處的某些特定狀態(tài)或數(shù)量等級稱為因素水平因素水平，簡稱水平水平。比如：不同的溫度；溶液不同濃度等（四）（四）重復(repeat) 在試驗中，將一個處理實施在兩個或兩個以上的試驗單位上，稱為處理有重復；一處理實施的試驗單位數(shù)稱為處理的重復數(shù)。一、線性模型二、固定線性模型三、隨機線性模型四、多重比較五、基本假定 （一）線性模型 假設某單因素試驗有a個處理，每個處理有n次重復

5、，共有na 個觀測值。這類試驗資料的數(shù)據(jù)模式如表7-1所示。表7-1 單因素方差分析的典型數(shù)據(jù)模式 X1 X2 X3 Xi Xa 合計1 11 21 31 i1 a12 12 22 32 i2 a23 13 23 33 i3 a3 j 1j 2j 3j ij ajn 1n 2n 3n in an合計平均數(shù)總體均數(shù)處理效應 1x 2x 3x ix ax x 1x 2x 3x ix ax x123ia1a2a3aiaaa符號文字表述 a n因素水平數(shù)每一水平的重復數(shù)第i水平的第j次觀察值第i水平所有觀察值的和第i水平均值全部觀察值的和總平均值第i水平上的子樣方差ijxnjijixx1iixnx1

6、ainjijxx11 xanx1aiiijixxnS122)(11各處理總和、平均數(shù)、大總和、總平均數(shù)是計算的一級數(shù)據(jù)一級數(shù)據(jù)，在本章我們采用了黑點符號體系法黑點符號體系法表示，要注意熟悉和掌握。 可以分解為 表示第i個處理觀測值總體的平均數(shù)。為了看出各處理的影響大小，將 再進行分解， 其中表示全試驗觀測值的總體平均數(shù)(overall mean)， 是第i個處理的效應(treatment effect),表示處理i對試驗結果產(chǎn)生的影響。是試驗誤差，相互獨立，且服從正態(tài)分布N（0，2）。ijxijiijxiiijiijiiaiiaxaa則令11iaij上式就稱為單因素試驗的線性統(tǒng)計模型（line

7、ar statistical model）亦稱數(shù)學模型。 方差分析的目的就是要檢驗處理效應的大小和有無。（二）方差分析的基本思路（二）方差分析的基本思路將總的變差分解為構成總變差的各個部分。即將a個處理的觀測值作為一個整體看待， 把觀察值總變異的平方和及自由度分解為相應于不同變異來源的平方和及自由度，進而獲得不同變異來源的總體方差估計值；通過這些估計值的適當比值，就能檢驗各樣本所屬總體均值是否相等。 方差分析實質(zhì)上是關于觀測值變異原因的數(shù)量分析。njaixijiij, 2 , 1, 2 , 1二固定模型fixed model:因素固定、效應也固定反應到線性模型中即為常數(shù)可要求1. 假設固定模型

8、的零假設為：的零假設為： 備擇假設為：備擇假設為：iaaii100:210aH0:iAH故an個觀察值的總變異可分解為處理間的變異和處理內(nèi)的變異兩部分。全部觀察值的總變異可以用總均方來度量，處理間變異和處理內(nèi)變異分別用處理間均方和處理內(nèi)均方來度量。 2. 平方和與自由度的剖分()()() ()()()ijiijiiijiiiijiijxxxxxxxxxxxx 、分別是、的估計值。 總均方的拆分是通過將總均方的分子稱為總離均差平方和，簡稱為總平方和(total sum of squares，SST) ，剖分成處理間平方和(sum of squares between treatments ，SS

9、A)與處理內(nèi)平方和(sum of squares within treatment ，SSe)兩部分；將總均方的分母稱為總自由度 ，剖分成處理間自由度 與處理內(nèi)自由度 兩部分來實現(xiàn)的。 處理間均方（處理均方，MSA ）處理內(nèi)均方（誤差均方，MSe ）TdfAdfedfAAAdfSSMSeeedfSSMS 221111221122111111()()()()2()()() (.)2(.)(.)(.)(.)(ananTijiijiijijaniiijiijiijaananiiijiijiiijijaiiiSSxxxxxxxxxxxxxxnxxxxxxxxxxx其中1222.11111.)0()()

10、()njijaaannijiijiijiijxxxnxxxx所以 ainjiijeaiiAxxSSxxnSS11212)(;)(eATSSSSSS差的大小各處理內(nèi)的變異，即誤反映了方和的和，為各處理內(nèi)離均差平次的處理間變異；映了重復反的乘積，均差平方和與重復數(shù)離的與總平均數(shù)，為各處理平均數(shù) ainjiijeiaiiAxxSSnnxxxxnSS11212)()(三種平方和的簡便計算公式三種平方和的簡便計算公式如下：等重復時：22211122111()();1()aanTiijiijanaAijiiijieTACcorrectionanSSnxxCSSxxxCnSSSSSSxx 校正項不等重復時：

11、ATeaiiiAainjijTSSSSSSCnxSSCSSNCxx ;121122在計算總平方和時，資料中的各個觀察值要受 這一條件約束，總自由度等于資料中觀察值的總個數(shù)減1，即an-1。 總自由度記為dfT，則 dfT = an-1 。在計算處理間平方和時，各處理均數(shù)要受 這一條件的約束，故處理間自由度為處理數(shù)減1，即a-1。 處理間自由度記為dfA，則dfA= a-1。 0)(11 ainjijxx1()0aiixx在計算處理內(nèi)平方和時，要受a個條件的約束，即 ，i=1,2,.a。故處理內(nèi)自由度為資料中觀察值的總個數(shù)減a ，即an- a 。 處理內(nèi)自由度記為dfe，則dfe= an-a=

12、a(n-1)。 因為 na -1=(a-1)+(na-a)=(a -1)+ a(n-1) 所以 dfT= dfA+ dfe綜合以上各式得：0)(1njiijxxATeATdfdfdfadfandf11各部分平方和除以各自的自由度便得到總均方、處理間均方總均方、處理間均方和處理內(nèi)均方（誤差均方）和處理內(nèi)均方（誤差均方）,分別記為： MST(或ST2 )、 MSA(或SA2 )和MSe(或Se2 ),即 MST= ST2 =SST/dfT; MSt= St2 =SSt/dft; MSe= Se2 =SSe/dfe 注意：注意： 在方差分析中不涉及總均方的數(shù)值，所以一般在方差分析中不涉及總均方的數(shù)值

13、，所以一般不必計算；不必計算； 總均方一般不等于處理間均方加處理內(nèi)均方?？偩揭话悴坏扔谔幚黹g均方加處理內(nèi)均方。3. 期望均方(expected mean squares EMS）若A A是B B的無偏估計，則稱B B是A A的數(shù)學期望數(shù)學期望。處理內(nèi)均方MSMSe e是誤差方差 2 2的無偏估計值，即 2 2稱為稱為MSMSe e 的數(shù)學期望的數(shù)學期望。異是代表了各處理間的差也就是說外，還有效應方差，除了代表隨機誤差即量；是隨機誤差的一個估計說明的方差，是隨機誤差的期望是，即AAaiiaiiAeeeMSMSanaanMSEMSMSMSE221212222)(11)()(4. 統(tǒng)計量當零假設成

14、立時，處理效應的方差為零為零，亦即各處理觀察值總體均數(shù)i (i=1，2，a) 相等時，處理間均方MSA與處理內(nèi)均方一樣，也是誤差方差 2 2的估計值。 方差分析就是通過MSA 與MSe的比較來推斷各處理平均數(shù) 間差異的大小 F= MSA/ MSeF具有兩個自由度：df1=dfA=a-1; df2=dfe=a(n-1)。0:210aHi查附表7: 若F ，即P0.05，不能否定H0，可認為各處理間差異不顯著； 若 F ，即0.01P0.05,否定H0，接受HA，認為各處理間差異顯著，標記“*” ; 若F ，即P0.01，否定H0，接受HA， 認為各處理間差異極顯著，標記“*”。),(05. 02

15、1dfdfF),(05. 021dfdfF),(01. 021dfdfF),(01. 021dfdfF),(05. 021dfdfF),(01. 021dfdfF【例【例10.2】 某試驗研究不同藥物對腹水癌的治療效果，將患腹水癌的25只小白鼠隨機分為5組，每組5只。其中A1組不用藥作為對照，A2、A3為兩個不同的用中藥組，A4、A5為兩個不同的西藥組。各組小白鼠的存活天數(shù)如表72所示。表102 用不同藥物治療腹水癌小白鼠的結果藥物藥物各小鼠存活天數(shù)（各小鼠存活天數(shù)（xij） 合計合計xi.平均平均A115 16 15 17 18816561 1319A245 42 50 38 3921445

16、796 9254A330 35 29 31 3516025600 5152A431 28 20 25 3013417956 3670A540 35 31 32 3016828224 5710合計合計x.=757124137251052 ix2ijx這是一個單因素試驗，處理數(shù)a =5,重復數(shù)n=5。第一步：計算一級數(shù)據(jù)（見表）；第二步：計算SS e、SSA、 dfe 、 dfA 矯正項 C=x2./an總平方和處理間平方和 =248274-2291.96=1905.44處理內(nèi)平方和 SS e=SST -SSA=2183.04-1905.44=277.6004.218396.22921251052

17、CxSSijT96.229212575722 anxCxnSSiA21總自由度 dfT =an-1=25-1=24處理間自由度 dfA=a-1=5-1=4處理內(nèi)自由度 dfe =dfT- dfA=24-4=20 處理間均方 MSA=SSt /dfA = 1905.44 /4=476.36 處理內(nèi)均方 MSe=SSe /dfe = 277.60 /20=13.88 第三步：提出假設 零假設為：零假設為： H0:各處理組小鼠存活天數(shù)差異不顯著 備擇假設為：備擇假設為： HA:各處理組小鼠存活天數(shù)差異顯著第四步：計算統(tǒng)計量第四步：計算統(tǒng)計量 F=MSA/MSe=476.36/13.88=34.32*

18、第五步：查表根據(jù)df1=dft=4，df2=dfe=20 查附表7，得F0.01(4,20)=4.43第六步：做出推斷及生物學解釋：FF0.01(4,20)=4.43，P0.01。說明五個處理小白鼠存活天數(shù)差異極顯著，用不同藥物治療小白鼠腹水癌的療效是不同的。在方差分析中，通常將變異來源、平方和、自由度、均方和F值歸納成一張方差分析表方差分析表。表103 例10.2資料的方差分析表變異來源變異來源平方和平方和自由度自由度均均 方方F 值值處理間處理間SSA 1905.44dfA 4MSA 476.3634.22*處理內(nèi)處理內(nèi)SSe 277.60dfe 20MSe 13.88總變異總變異SST

19、2183.04 dfT 24F值應與相應的被檢驗因素齊行;在表的左下方注出顯著水平。 應用舉例： 例例4 調(diào)查了5個不同小麥品系的株高，結果見下表，問該5個小麥品系株高間的差異是否顯著？株號品 系IIIIIIIVV164.6 64.5 67.8 71.8 69.2265.3 65.3 66.3 72.1 68.2364.8 64.6 67.1 70.0 69.8466.0 63.7 66.8 69.1 68.3565.8 63.9 68.5 71.0 67.5平均數(shù)65.3 64.4 67.3 70.8 68.6株號品 系IIIIIIIVV1-0.4-0.52.86.84.220.30.31.

20、37.13.23-0.2-0.42.15.04.841.0-1.31.84.13.350.8-1.13.56.02.5總和xi1.5-3.011.529.018.057.0 xi22.259.00132.25841.00324.001308.5xij21.933.429.43174.4668.06277.281. 提出假設：H0： HA： 2計算檢驗統(tǒng)計量F： =147.32 =131.74SSe SSTSSA 15.58MSASSA(a-1)32.72MSeSSe(an-a) 0.78FMSAMSe41.953查附表3得：F4,20,0.052.87，F(xiàn)4,20,0.014.43。FF4,2

21、0,0.01，拒絕H0，說明5個不同小麥品系的株高差異極顯著。 0112ia0112iaainjijainjijTnaxxxxSS1122211)(aiiaiiAnaxxnxxnSS122121)(變差來源平方和自由度均方F處理間131.74432.7241.95*誤差15.58200.78總和147.3224三、隨機模型Random model:因素隨機、效應不固定是試驗誤差，相互獨立，且服從正態(tài)分布不再為常數(shù)，且服從正態(tài)分布1. 假設隨機模型的零假設為：的零假設為： 備擇假設為：備擇假設為：0:20aH0:2aAHnjaixijiij, 2 , 1, 2 , 1ijia), 0(2aNID

22、), 0(2NID2. 總平方和與總自由度的剖分：同固定模型3. 數(shù)學期望：4. 統(tǒng)計量F:注意：在做生物學解釋時，固定模型中的結論只適用于檢查的那幾個因素水平；隨機模型中的結論可推廣到這一因素的各個水平222)(;)(aAenMSEMSEeATeATdfdfdfSSSSSS;eAeAdfdfdfdfMSMSF21,四、多重比較四、多重比較 (multiple comparisons)（一）為什么要進行多重比較？ F值顯著或極顯著值顯著或極顯著，否定了無效假Ho，表明試驗的總變異主要來源于處理間的變異，試驗中各處理平均數(shù)間存在顯著或極顯著差異。但并不意味著但并不意味著每兩個處理平均數(shù)間的差異都

23、顯著或極顯著，也不能具體說明哪些處理平均數(shù)間有顯著或極顯著差異，哪些沒有顯著差異。 因而，有必要進行兩兩處理平均數(shù)間的比較，以具體判斷兩兩處理平均數(shù)間的差異顯著性。（二）概念 統(tǒng)計上把多個平均數(shù)兩兩間的相互比較稱為多重比較多重比較。（三）常用的多重比較方法 多重比較的方法甚多，常用的有最小顯著差數(shù)法最小顯著差數(shù)法( (LSD法法) )和最小顯著極差法和最小顯著極差法( (LSR法法) )。 1、最小顯著差數(shù)法最小顯著差數(shù)法(LSD法，Least significant difference) 此法的基本原理基本原理是：在處理間F檢驗顯著的前提下, 先計算出顯著水平為的最小顯著差數(shù)LSD ,然后

24、將任意兩個處理平均數(shù)的差數(shù)的絕對值 與其比較，作出結論。jixx最小顯著差數(shù)由下式計算：式中 為在F檢驗中誤差自由度下，顯著水平為的臨界t 值,均數(shù)差異標準誤 則下式算得。其中MSe為F檢驗中的誤差均方，n為各處理內(nèi)的重復數(shù)。jiexxdfStLSD)()(edftjixxSnMSSnnnMSnnSSexxexxjiji2)11()11(21212時為當每一處理重復次數(shù)都顯著水平取0.05和0.01時，從t 值表查出 代入 ，即可求得LSD0.05和LSD0.01利用利用LSD法進行多重比較時，步驟如下法進行多重比較時，步驟如下: 列出平數(shù)的多重比較表，比較表中各處理按其平均數(shù)從 大到小自上而

25、下排列； 計算最小顯著差數(shù)LSD0.05和LSD0.01;將平均數(shù)多重比較表中兩兩平均數(shù)的差數(shù)與計算出的LSD0.05 、LSD0.01 比較，作出統(tǒng)計推斷。)(01. 0)(05. 0eedfdftt、jiexxdfStLSD)(【例【例10.210.2】 dfe=20, n=5, MSe=13.88查t值表得 t0.05(dfe)=t0.05(20)=2.086，t0.01(dfe)=t 0.01(20)=2.845 所以顯著水平為0.05與0.01的最小的顯著差數(shù)為： 表表10-4 10-4 五個處理小鼠平均存活天數(shù)多重比較表五個處理小鼠平均存活天數(shù)多重比較表(LSD(LSD法法) )處

26、處 理理平均數(shù) -16.2 -26.8 -32.0 -33.6A542.826.6*16.0*10.8*9.2*A433.617.4*6.8*1.6A332.015.8*5.2*A226.810.6*A116.2703. 6356. 2845. 2915. 4356. 2086. 2)(01. 001. 0)(05. 005. 0jiejiexxdfxxdfStLSDStLSD ix ix ix ix ix356. 22nMSSexxji將表104中的10個差數(shù)與LSDLSD0.050.05 、LSDLSD0.010.01比較：小于LSDLSD0.050.05者不顯著；介于LSDLSD0.05

27、0.05與LSDLSD0.010.01之間者顯著，標記“*”；大于LSDLSD0.010.01者極顯著，標記“*”。 檢驗結果除差數(shù)1.6不顯著、5.2顯著外，其余各差數(shù)極顯著。 表明所用的藥物不論中西藥對小白鼠腹水癌都有一定療效，除中藥A3與西藥A4的療效差異不顯著外，其余藥物間的療效都有顯著或極顯著差異。說明：LSDLSD實質(zhì)上就是t檢驗法：它是將t檢驗中由所求得的t的絕對值 與臨界值 的比較轉化為將各對均數(shù)差值的絕對值 與最小顯著差數(shù)的比較，從而做出統(tǒng)計推斷的iixxjiSxxt)(tjixxiixxSt2 2、最小顯著極差法、最小顯著極差法(LSR(LSR法，法，Least signi

28、ficant ranges)Least significant ranges)LSR 法的特點法的特點：把平均數(shù)的差數(shù)看成是平均數(shù)的極差，根據(jù)極差范圍內(nèi)所包含的處理數(shù)(稱為秩次距秩次距) k的不同而采用不同的檢驗尺度，以克服LSD法的不足。 這些在顯著水平上依秩次距k的不同而采用的不同的檢驗尺度叫做最小顯著極差最小顯著極差。 因此，若有k個平均數(shù)相互比較，就有k-1種秩次距種秩次距( (k,k-1,k-2,2) )，因而需求得k-1 個最小顯著極差R(,k ），以作為判斷各秩次距(k)平均數(shù)的極差是否顯著的標準。常用的LSR法為Duncan法。檢驗步驟：檢驗步驟： 列出平均數(shù)多重比較表； 由自

29、由度dfe、秩次距k查“多重比較中的Duncan表”（附表7），計算最小顯著極差R0.05,k 和 R0.01,k ； 將平均數(shù)多重比較表中的各極差與相應的最小顯著極差R0.05,k 和 R0.01,k比較，作出統(tǒng)計推斷。nMSsaksrRexxdfkaae, 3 , 2;),(對于【例10.1】，已算出 =1.67，依dfe=20, k=2,3,4,5，由附表6查臨界r0.05(20,k) 和 r0.01(20,k)值，乘以 ，求得各最小顯著極差。所得結果列于表105。 表表105 105 r值與值與R值值dfe秩次距kr0.05r0.01R0.05R0.012022.954.024.96.

30、733.104.225.27.043.184.335.37.253.254.405.47.3xsxs處處 理理平均數(shù) -16.2 -26.8 -32.0 -33.6A542.826.0*16.0*10.8*9.2*A433.617.4*6.8*1.6nsA332.015.8*5.2*A226.810.6*A116.2 表表10-6 10-6 五個處理小鼠平均存活天數(shù)多重比較表五個處理小鼠平均存活天數(shù)多重比較表( (Duncan 法法) )xxxxx五、基本假定效應的可加性效應的可加性（additivity）分布的正態(tài)性（分布的正態(tài)性（normality）方差的同質(zhì)性（方差的同質(zhì)性（homoge

31、neity）方差分析的基本步驟1. 計算各項平方和與自由度。2. 列出方差分析表，進行F檢驗。3. 若F 檢驗顯著，則進行多重比較。 多重比較的方法有最小顯著差數(shù)法(LSD法)和最小顯著極差法(LSR法)。一、各處理重復數(shù)相等的方差分析【例【例10.210.2】 為了研究小白鼠患白血病后脾組織中 DNA含量的變化，測定四組，每組各8只（即a=4,n=8）小白鼠脾組織中DNA的含量；第1組為正常脾，第2組為患自發(fā)性白血病的脾；第3組為患移植性白血病 AK4的脾；第4組為患移植性白血病9421的脾。測定結果見表107。試檢驗各組DNA含量差異是否顯著。表表107 四組小白鼠脾組織中四組小白鼠脾組織

32、中DNA含量含量1. 計算各項平方和與自由度 C=x2./an=398.12/(48)=4952.61組別DNA含量（mg/g）xi.xi.2112.3 13.2 13.7 15.2 15.8 16.9 17.3 15.4119.814.981815.9614352.04210.8 11.6 12.3 12.7 13.5 13.5 14.8 13.6102.812.851332.2810567.843 9.3 10.3 11.1 11.7 11.7 12.0 12.3 12.490.811.351038.628244.644 9.5 10.3 10.5 10.5 10.5 10.9 11.0

33、11.584.710.59899.157174.09合計x.=398.1 5086.0140338.61jjijx122ijxix72.8961.495261.4033881140.13361.495201.508612112aiiAainjijTCxnSSCxSS SSe=SST SSA=133.40-89.72=43.68 dfT=an-1=4 8-1=31 dfA=a-1=4-1=3 dfe=dfT-dfA=31-3=28 2. 列出方差分析表，進行F檢驗，見表(108)。 表表108 四組小白鼠脾中四組小白鼠脾中DNA含量方差分析表含量方差分析表變異來源變異來源平方和平方和自由度自由度

34、均均 方方F 值值組組 間間89.72329.9119.17*組組 內(nèi)內(nèi)43.68281.56總變異總變異133.4031 根據(jù)df1=dfA=3,df2=dfe=28查臨界F值得： F0.05(3,28)=2.95,F0.01(3,28)=4.57 因為FF0.01(3,28),即P0.01，表明處理間DNA含量的差異達到1顯著水平。3. 多重比較 采用Duncan法。各處理平均數(shù)多重比較表，見表109。 因為MSe=1.56,n=8,所以 根據(jù)dfe=28，秩次距k=2,3,4由附表9 查出=0.05和=0.01的各臨界r值, 各r值乘以 ,即得各最小顯著極差。所得結果列于表109。442

35、. 0856. 1nMSSexxS 表表109 r值及值及LSR值值表表1010 各組各組DNA含量平均數(shù)多重比較表含量平均數(shù)多重比較表(Duncun法法)dfe秩次距kr0.05r0.01R0.05R0.012822.903.911.2821.72833.044.081.34421.80343.134.181.38331.848組別組別平均數(shù)平均數(shù) -10.59 -11.35 -12.85114.984.39 *3.63 *2.13 *212.852.26*1.50 *311.350.76410.59 ix ix ix ix檢驗結果表明：檢驗結果表明： 正常脾中DNA含量極顯著高于患有各類白

36、血病脾中DNA含量；患自發(fā)性白血病脾中DNA含量極顯著高于患移植性白血病9421，顯著高于患移植性白血病AK4；第三組第四組之間差異不顯著。四組中以正常脾DNA含量最高，第二組次之，第三、四組最低。 也就是說各類白血病都將導致各類白血病都將導致小白鼠脾中小白鼠脾中DNA含量明顯降低。含量明顯降低。組別組別平均數(shù)平均數(shù) 4 3 2114.984.39 *3.63 *2.13 *212.852.26*1.50 *311.350.76410.59二、各處理重復數(shù)不相等的方差分析 這種情況下方差分析步驟與各處理重復數(shù)相等的情況相同，只是在有關計算公式上略有差異。 設處理數(shù)為a；各處理重復數(shù)為n1 ,n

37、2 ,na ；試驗觀察值總數(shù)為N=ni。則1121122 NdfCnxSSCxSSNxCTaiiitainjijTi【例【例10.3】五個不同品種豬的育肥試驗，30天后增重(kg)如表1011所示。試比較品種間增重有無差異。表表1011 五個品種豬五個品種豬30天增重天增重品種增重（kg）nixi.xi.2 /niB121.519.520.022.018.020.06121.02440.1720.22450.5B216.018.517.015.520.016.06103.01768.1717.21783.5B319.017.520.018.017.0591.51674.4518.31680.25B421.018.519.020.0478.51540.5619.61544.25B515.518.017.016.0466.51105