蒲豐投針試驗及蒙特卡羅模擬電子教案模擬

1、概率模型的隨機模擬與蒲豐投針實驗第 1 章 模擬1.1 模擬的概念每一個現(xiàn)實系統(tǒng)外部環(huán)境之間都存在著一定的數(shù)學(xué)的或者邏輯的關(guān)系， 這些 關(guān)系在系統(tǒng)內(nèi)部的各個組成部分之間也存在。 對數(shù)學(xué)、邏輯關(guān)系并不復(fù)雜的模型， 人們一般都可用解析論證和數(shù)值計算求解。 但是，許多現(xiàn)實系統(tǒng)的這種數(shù)學(xué)、邏 輯模型十分復(fù)雜， 例如大多數(shù)具有隨機因素的復(fù)雜系統(tǒng)。 這些系統(tǒng)中的隨機性因 素很多，一些因素很難甚至不可以用準確的數(shù)學(xué)公式表述， 從而無法對整個系統(tǒng) 采用數(shù)學(xué)解析法求解。這類實際問題往往可以用模擬的方法解決。模擬主要針對隨機系統(tǒng)進行。 當然，也可以用于確定性系統(tǒng)。 本文討論的重 點是其中的隨機模擬。 采用模擬技術(shù)

2、求解隨機模型， 往往需要處理大批量的數(shù)據(jù)。 因此，為了加速模擬過程，減少模擬誤差，通常借助于計算機進行模擬，因此又 稱為計算機模擬。計算機模擬就是在已經(jīng)建立起的數(shù)學(xué)、 邏輯模型的基礎(chǔ)之上， 通過計算機試 驗，對一個系統(tǒng)按照一定的決策原則或作業(yè)規(guī)則， 由一個狀態(tài)變換為另一個狀態(tài) 的行為進行描述和分析。1.2 模擬的步驟整個模擬過程可以劃分為一定的階段，分步驟進行。(1) 明確問題，建立模型。在進行模擬之前， 首先必須正確地描述待研究的問題， 明確規(guī)定模擬的目的 和任務(wù)。確定衡量系統(tǒng)性能或模擬輸出結(jié)果的目標函數(shù)， 然后根據(jù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及 作業(yè)規(guī)則，分析系統(tǒng)各狀態(tài)變量之間的關(guān)系， 以此為基礎(chǔ)建立所研究

3、的系統(tǒng)模型。 為了能夠正確反映實際問題的本質(zhì)， 可先以影響系統(tǒng)狀態(tài)發(fā)生變化的主要因素建 立較為簡單的模型，以后再逐步補充和完善。(2) 收集和整理數(shù)據(jù)資料。模擬技術(shù)的正確運用， 往往要大量的輸入數(shù)據(jù)。 在隨機模擬中， 隨機數(shù)據(jù)僅 靠一些觀察值是不夠的。 應(yīng)當對具體收集到的隨機性數(shù)據(jù)資料進行認真分析。 確 定系統(tǒng)中隨機性因素的概率分布特性， 以此為依據(jù)產(chǎn)生模擬過程所必需的抽樣數(shù) 據(jù)。(3) 編制程序，模擬運行。選擇適當?shù)挠嬎銠C語言。 按照系統(tǒng)的數(shù)學(xué)、 邏輯模型編寫計算機程序。 然后 可以進行調(diào)試性模擬， 分析模擬結(jié)果是否能夠正確地反映現(xiàn)實系統(tǒng)的本質(zhì)。 并相 應(yīng)修改模型和程序， 反復(fù)調(diào)試之后確定模

4、型。 根據(jù)系統(tǒng)的特點及問題的性質(zhì)設(shè)定 初始狀態(tài)， 在確定了模擬運行的時間、 隨機樣本量的多少及獨立模擬運行次數(shù)等 之后，就可以開始進行大量的計算機模擬運行，從而獲得模擬輸出資料。(4) 分析模擬輸出的結(jié)果。對模擬的輸出結(jié)果進行分析， 一般包括一下幾個方面的內(nèi)容： 模擬結(jié)果額統(tǒng) 計特性，包括樣本均值、方差及置信區(qū)間等；靈敏性分析；如果某個輸入?yún)?shù)作 微小的變化卻導(dǎo)致輸出結(jié)果巨大的改變， 則應(yīng)花費更多的時間和精力對它們求得 更精確的估計。根據(jù)前期確定的目標函數(shù)，在多種實現(xiàn)方案中選擇最優(yōu)的方案。1.3 模擬的作用模擬技術(shù)廣泛的應(yīng)用于工業(yè)企業(yè)管理、 物資管理、軍事后勤系統(tǒng)、 排隊系統(tǒng)、 交通運輸系統(tǒng)等

5、眾多領(lǐng)域中。模擬主要有以下作用：(1)(1) 可以處理難以用解析法解決的問題。對于那些很難用解析方法加以處理的問題， 模擬是一種有效的技術(shù)。 計算機 模擬是一種數(shù)值試驗手段， 它可以模仿真實系統(tǒng)隨機運行的特性。 將由此特性產(chǎn) 生的抽樣數(shù)據(jù)輸入到事先編制好的程序中去， 讓計算機計算出相應(yīng)的結(jié)果， 從而 得出實際問題的數(shù)值解。(2)(2) 對假設(shè)和結(jié)論進行檢驗。在建立數(shù)學(xué)模型的過程中， 常常要對客觀問題作一些假設(shè)。 這些假設(shè)并不一 定符合實際，需要通過鑒定。另外，理論研究的一些結(jié)論也往往需要加以檢驗， 如果按照系統(tǒng)實際運行的進行試驗， 一般需要花費大量的人力、 物力、財力和時 間，有時甚至是不可能

6、的。 使用計算機模擬技術(shù)代替實際系統(tǒng)的反復(fù)試驗， 可以 大幅度地減少資源的耗費， 快速地積累數(shù)據(jù)。 同時， 經(jīng)過認真分析計算機模擬出 來的輸出結(jié)果，可對系統(tǒng)的性能作進一步的分析與評價， 從而能夠確定假設(shè)的正 確性，改進理論研究的一些成果，改善系統(tǒng)運行的方案等。(3)(3) 對各種方案的評估，選擇最優(yōu)方案。在模型建立后，人們通過收集、整理和分析有關(guān)數(shù)據(jù)資料，往往可能對該系 統(tǒng)制訂出多種不同的方案。對這些不同的方案，可用計算機進行多次模擬，按照 既定的目標函數(shù)對不同方案進行比較，從中選擇最優(yōu)的實現(xiàn)方案。1.4 模擬的分類模擬分為動態(tài)模擬與靜態(tài)模擬。動態(tài)模擬又可以分為連續(xù)系統(tǒng)模擬和離散事 件系統(tǒng)模擬

7、，前者研究系統(tǒng)的狀態(tài)隨時間連續(xù)變化的情形，其模型一般是微分方程；后者討論的是系統(tǒng)狀態(tài)只在一些離散時間點上，由于事件驅(qū)動而變化，其模型一般只能用流程圖或網(wǎng)絡(luò)來表示。而以蒙特卡羅(MonteMonte CarloCarlo)思想建立起來 的蒙特卡羅模擬是典型的靜態(tài)模擬。第 2 章蒙特卡羅模擬2.1 蒙特卡羅模擬的起源蒙特卡羅是摩納哥的一個城市，以賭博聞名于世界。蒙特卡羅法借用這 一城市的名稱是為了象征性地表明該方法的概率統(tǒng)計的特點。蒙特卡羅模擬是一種隨機模擬方法。以概率和統(tǒng)計理論方法為基礎(chǔ)的一種計算方法。將所 求解的問題同一定的概率模型相聯(lián)系，用計算機實現(xiàn)統(tǒng)計模擬或抽樣，以獲 得問題的近似解。由

8、S.M.S.M.烏拉姆和 J.J.馮諾伊曼在 2020 世紀 4040 年代為研制核 武器而首先提出。 在這之前，蒙特卡羅方法就已經(jīng)存在。17771777 年，法國科學(xué)家蒲豐提出用投針實驗的方法求圓周率二，這就是蒙特卡羅模擬最早的雛形。2.2 蒲豐拋針實驗拋針問題主要內(nèi)容是：在平面上等距離的畫出一些平行線，向這個平面拋出 某一特定長度的針，試求針與任一平行線相交的概率。顯然只有兩種可能性：要么針與其中至少一條平行線相交；要么針與所有的 平行線都不相交。但是，古典概率無法解決這一個表面上很簡單的問題。不過， 可以利用幾何概率模型算出要求的概率值，正是隨處可見的 二。這個矩形的面積為：小aHS云由

9、于針與平行線相交，則M必定與最近的一條平行線相交,必要條件是：l0 x si nA = $20蘭蘭兀A在圖 2 2 中顯示為門中的一個小區(qū)域，它的面積為：最近的一條平行線的距離，表示針與平行線的交角。那么，不難得到：a0 _x _ 20 蘭兀從幾何的角度看，上述方程組代表了一個矩形區(qū)域 -那么相交的充分x x 則表示中點M到圖 2 蒲豐投針試驗原理JT dSAl si n d = l由概率的幾何意義，針與任一平行線相交的概率是：A A 1 1= =2l2lS門1a二弟2從上面概率的表達式可以看出，只要I跟 a a 的比值不變，概率P的值也不變。由于P表達式中含有二，可以利用拋針試驗得到的結(jié)果去

10、估算 二的值。原理是盡量加大試驗次數(shù)N，記錄針與平行線相交的次數(shù) n n，則P的近似值是-。代入N的P表達式：2INn st：-an表 1 抽針實驗數(shù)據(jù)表實驗者年份針長度試驗次數(shù)相交次數(shù)兀的實驗值Wolf18500.8500025323.1596Smith18550.632041218.53.1554De Morga n C18601.0600382.53.137Fox18840.7510304893.1596Lazzeri ni19010.83340818083.1415926Rei na19250.541925208593.1795蒲豐拋針試驗揭示了蒙特卡羅方法的基本思想，即在大數(shù)定理的保

11、證下，利 用事件發(fā)生的“頻率”作為事件的“概率”的近似值。只要設(shè)計一個隨機試驗， 使一個事件的概率與某未知數(shù)有關(guān)，然后通過重復(fù)試驗，以頻率近似表示概率， 即可求得該未知數(shù)的近似解。2.3 蒙特卡羅模擬的基本思想及其發(fā)展當所要求解的問題是某種事件出現(xiàn)的概率，或者是某個隨機變量的期望值 時，它們可以 通過某種“試驗”的方法，得到這種事件出現(xiàn)的頻率，或者這個 隨機變數(shù)的平均值，并用它們作為問題的解。這就是蒙特卡羅方法的基本思想。 蒙特卡羅方法通過抓住事物運動的幾何數(shù)量和幾何特征，利用數(shù)學(xué)方法來加以模 擬，即進行一種數(shù)字模擬實驗。 它是以一個概率模型為基礎(chǔ)， 按照這個模型所描 繪的過程，通過計算機直接

12、進行抽樣試驗得出結(jié)果，作為問題的近似解。從理論上來說，蒙特卡羅方法需要大量的實驗。實驗次數(shù)越多，所得到 的結(jié)果才越精確。計算機技術(shù)的發(fā)展，使得蒙特卡羅方法在最近 1010 年得到 快速的普及?，F(xiàn)代的蒙特卡羅方法，已經(jīng)不必親自動手做實驗，而是借助計 算機的高速運轉(zhuǎn)能力，使得原本費時費力的實驗過程，變成了快速和輕而易 舉的事情。蒙特卡羅方法有很強的適應(yīng)性，問題的幾何形狀的復(fù)雜性對它的 影響不大。蒙特卡羅方法的收斂性是指概率意義下的收斂，因此問題維數(shù)的 增加不會影響它的收斂速度，而且存貯單元也很省，這些是用該方法處理大 型復(fù)雜問題時的優(yōu)勢。它不僅較好地解決了多重積分計算、微分方程求解、 積分方程求解

13、、 特征值計算和非線性方程組求解等高難度和復(fù)雜的數(shù)學(xué)計算 問題，而且在統(tǒng)計物理、核物理、真空技術(shù)、系統(tǒng)科學(xué)、信息科學(xué)、公用事 業(yè)、地質(zhì)、醫(yī)學(xué)，可靠性及計算機科學(xué)等廣泛的領(lǐng)域都得到成功的應(yīng)用。 借助計算機技術(shù)，蒙特卡羅方法實現(xiàn)了兩大優(yōu)點：一是簡單。省卻了繁復(fù)的 數(shù)學(xué)報導(dǎo)和演算過程，使得一般人也能夠理解和掌握；二是快速。簡單和快 速，是蒙特卡羅方法在現(xiàn)代項目管理中獲得應(yīng)用的技術(shù)基礎(chǔ)。2.4 蒙特卡羅模擬一般步驟( ( 1)1) 構(gòu)造或描述概率過程：對于本身就具有隨機性質(zhì)的問題， 主要是正確描述和模擬這個概率過程。 對 于本來不是隨機性質(zhì)的確定性問題， 比如計算定積分， 就必須事先構(gòu)造一個人為 的概

14、率過程， 它的某些參量正好是所要求問題的解， 即要將不具有隨機性質(zhì)的問 題轉(zhuǎn)化為隨機性質(zhì)的問題。( ( 2)2) 實現(xiàn)從已知概率分布抽樣：構(gòu)造了概率模型以后， 由于各種概率模型都可以看作是由各種各樣的概率分 布構(gòu)成的， 因此產(chǎn)生已知概率分布的隨機變量，就成為實現(xiàn)蒙特卡羅方法模擬 實驗的基本手段， 這也是蒙特卡羅方法被稱為隨機抽樣的原因。 最簡單、最基本、 最重要的一個概率分布是 ( ( 0,1)0,1)上的均勻分布(或稱矩形分布) 。隨機數(shù)就是具有 這種均勻分布的隨機變量。 產(chǎn)生隨機數(shù)的問題， 就是從這個分布的抽樣問題。 在 計算機上，可以用物理方法產(chǎn)生隨機數(shù)，但價格昂貴，不能重復(fù)，使用不便。另 一種方法是用數(shù)學(xué)遞推公式產(chǎn)生。這樣產(chǎn)生的序列，與真正的隨機數(shù)序列不同， 所以稱為偽隨機數(shù)。不過，經(jīng)過多種統(tǒng)計檢驗表明，它與真正的隨機數(shù)，或隨機 數(shù)序列具有相近的性質(zhì)， 因此可把它作為真正的隨機數(shù)來使用。