蒲豐投針試驗(yàn)及蒙特卡羅模擬電子教案模擬

1、概率模型的隨機(jī)模擬與蒲豐投針實(shí)驗(yàn)第 1 章 模擬1.1 模擬的概念每一個(gè)現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)外部環(huán)境之間都存在著一定的數(shù)學(xué)的或者邏輯的關(guān)系， 這些 關(guān)系在系統(tǒng)內(nèi)部的各個(gè)組成部分之間也存在。 對(duì)數(shù)學(xué)、邏輯關(guān)系并不復(fù)雜的模型， 人們一般都可用解析論證和數(shù)值計(jì)算求解。 但是，許多現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)的這種數(shù)學(xué)、邏 輯模型十分復(fù)雜， 例如大多數(shù)具有隨機(jī)因素的復(fù)雜系統(tǒng)。 這些系統(tǒng)中的隨機(jī)性因 素很多，一些因素很難甚至不可以用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)公式表述， 從而無法對(duì)整個(gè)系統(tǒng) 采用數(shù)學(xué)解析法求解。這類實(shí)際問題往往可以用模擬的方法解決。模擬主要針對(duì)隨機(jī)系統(tǒng)進(jìn)行。 當(dāng)然，也可以用于確定性系統(tǒng)。 本文討論的重 點(diǎn)是其中的隨機(jī)模擬。 采用模擬技術(shù)

2、求解隨機(jī)模型， 往往需要處理大批量的數(shù)據(jù)。 因此，為了加速模擬過程，減少模擬誤差，通常借助于計(jì)算機(jī)進(jìn)行模擬，因此又 稱為計(jì)算機(jī)模擬。計(jì)算機(jī)模擬就是在已經(jīng)建立起的數(shù)學(xué)、 邏輯模型的基礎(chǔ)之上， 通過計(jì)算機(jī)試 驗(yàn)，對(duì)一個(gè)系統(tǒng)按照一定的決策原則或作業(yè)規(guī)則， 由一個(gè)狀態(tài)變換為另一個(gè)狀態(tài) 的行為進(jìn)行描述和分析。1.2 模擬的步驟整個(gè)模擬過程可以劃分為一定的階段，分步驟進(jìn)行。(1) 明確問題，建立模型。在進(jìn)行模擬之前， 首先必須正確地描述待研究的問題， 明確規(guī)定模擬的目的 和任務(wù)。確定衡量系統(tǒng)性能或模擬輸出結(jié)果的目標(biāo)函數(shù)， 然后根據(jù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及 作業(yè)規(guī)則，分析系統(tǒng)各狀態(tài)變量之間的關(guān)系， 以此為基礎(chǔ)建立所研究

3、的系統(tǒng)模型。 為了能夠正確反映實(shí)際問題的本質(zhì)， 可先以影響系統(tǒng)狀態(tài)發(fā)生變化的主要因素建 立較為簡單的模型，以后再逐步補(bǔ)充和完善。(2) 收集和整理數(shù)據(jù)資料。模擬技術(shù)的正確運(yùn)用， 往往要大量的輸入數(shù)據(jù)。 在隨機(jī)模擬中， 隨機(jī)數(shù)據(jù)僅 靠一些觀察值是不夠的。 應(yīng)當(dāng)對(duì)具體收集到的隨機(jī)性數(shù)據(jù)資料進(jìn)行認(rèn)真分析。 確 定系統(tǒng)中隨機(jī)性因素的概率分布特性， 以此為依據(jù)產(chǎn)生模擬過程所必需的抽樣數(shù) 據(jù)。(3) 編制程序，模擬運(yùn)行。選擇適當(dāng)?shù)挠?jì)算機(jī)語言。 按照系統(tǒng)的數(shù)學(xué)、 邏輯模型編寫計(jì)算機(jī)程序。 然后 可以進(jìn)行調(diào)試性模擬， 分析模擬結(jié)果是否能夠正確地反映現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)的本質(zhì)。 并相 應(yīng)修改模型和程序， 反復(fù)調(diào)試之后確定模

4、型。 根據(jù)系統(tǒng)的特點(diǎn)及問題的性質(zhì)設(shè)定 初始狀態(tài)， 在確定了模擬運(yùn)行的時(shí)間、 隨機(jī)樣本量的多少及獨(dú)立模擬運(yùn)行次數(shù)等 之后，就可以開始進(jìn)行大量的計(jì)算機(jī)模擬運(yùn)行，從而獲得模擬輸出資料。(4) 分析模擬輸出的結(jié)果。對(duì)模擬的輸出結(jié)果進(jìn)行分析， 一般包括一下幾個(gè)方面的內(nèi)容： 模擬結(jié)果額統(tǒng) 計(jì)特性，包括樣本均值、方差及置信區(qū)間等；靈敏性分析；如果某個(gè)輸入?yún)?shù)作 微小的變化卻導(dǎo)致輸出結(jié)果巨大的改變， 則應(yīng)花費(fèi)更多的時(shí)間和精力對(duì)它們求得 更精確的估計(jì)。根據(jù)前期確定的目標(biāo)函數(shù)，在多種實(shí)現(xiàn)方案中選擇最優(yōu)的方案。1.3 模擬的作用模擬技術(shù)廣泛的應(yīng)用于工業(yè)企業(yè)管理、 物資管理、軍事后勤系統(tǒng)、 排隊(duì)系統(tǒng)、 交通運(yùn)輸系統(tǒng)等

5、眾多領(lǐng)域中。模擬主要有以下作用：(1)(1) 可以處理難以用解析法解決的問題。對(duì)于那些很難用解析方法加以處理的問題， 模擬是一種有效的技術(shù)。 計(jì)算機(jī) 模擬是一種數(shù)值試驗(yàn)手段， 它可以模仿真實(shí)系統(tǒng)隨機(jī)運(yùn)行的特性。 將由此特性產(chǎn) 生的抽樣數(shù)據(jù)輸入到事先編制好的程序中去， 讓計(jì)算機(jī)計(jì)算出相應(yīng)的結(jié)果， 從而 得出實(shí)際問題的數(shù)值解。(2)(2) 對(duì)假設(shè)和結(jié)論進(jìn)行檢驗(yàn)。在建立數(shù)學(xué)模型的過程中， 常常要對(duì)客觀問題作一些假設(shè)。 這些假設(shè)并不一 定符合實(shí)際，需要通過鑒定。另外，理論研究的一些結(jié)論也往往需要加以檢驗(yàn)， 如果按照系統(tǒng)實(shí)際運(yùn)行的進(jìn)行試驗(yàn)， 一般需要花費(fèi)大量的人力、 物力、財(cái)力和時(shí) 間，有時(shí)甚至是不可能

6、的。 使用計(jì)算機(jī)模擬技術(shù)代替實(shí)際系統(tǒng)的反復(fù)試驗(yàn)， 可以 大幅度地減少資源的耗費(fèi)， 快速地積累數(shù)據(jù)。 同時(shí)， 經(jīng)過認(rèn)真分析計(jì)算機(jī)模擬出 來的輸出結(jié)果，可對(duì)系統(tǒng)的性能作進(jìn)一步的分析與評(píng)價(jià)， 從而能夠確定假設(shè)的正 確性，改進(jìn)理論研究的一些成果，改善系統(tǒng)運(yùn)行的方案等。(3)(3) 對(duì)各種方案的評(píng)估，選擇最優(yōu)方案。在模型建立后，人們通過收集、整理和分析有關(guān)數(shù)據(jù)資料，往往可能對(duì)該系 統(tǒng)制訂出多種不同的方案。對(duì)這些不同的方案，可用計(jì)算機(jī)進(jìn)行多次模擬，按照 既定的目標(biāo)函數(shù)對(duì)不同方案進(jìn)行比較，從中選擇最優(yōu)的實(shí)現(xiàn)方案。1.4 模擬的分類模擬分為動(dòng)態(tài)模擬與靜態(tài)模擬。動(dòng)態(tài)模擬又可以分為連續(xù)系統(tǒng)模擬和離散事 件系統(tǒng)模擬

7、，前者研究系統(tǒng)的狀態(tài)隨時(shí)間連續(xù)變化的情形，其模型一般是微分方程；后者討論的是系統(tǒng)狀態(tài)只在一些離散時(shí)間點(diǎn)上，由于事件驅(qū)動(dòng)而變化，其模型一般只能用流程圖或網(wǎng)絡(luò)來表示。而以蒙特卡羅(MonteMonte CarloCarlo)思想建立起來 的蒙特卡羅模擬是典型的靜態(tài)模擬。第 2 章蒙特卡羅模擬2.1 蒙特卡羅模擬的起源蒙特卡羅是摩納哥的一個(gè)城市，以賭博聞名于世界。蒙特卡羅法借用這 一城市的名稱是為了象征性地表明該方法的概率統(tǒng)計(jì)的特點(diǎn)。蒙特卡羅模擬是一種隨機(jī)模擬方法。以概率和統(tǒng)計(jì)理論方法為基礎(chǔ)的一種計(jì)算方法。將所 求解的問題同一定的概率模型相聯(lián)系，用計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)統(tǒng)計(jì)模擬或抽樣，以獲 得問題的近似解。由

8、S.M.S.M.烏拉姆和 J.J.馮諾伊曼在 2020 世紀(jì) 4040 年代為研制核 武器而首先提出。 在這之前，蒙特卡羅方法就已經(jīng)存在。17771777 年，法國科學(xué)家蒲豐提出用投針實(shí)驗(yàn)的方法求圓周率二，這就是蒙特卡羅模擬最早的雛形。2.2 蒲豐拋針實(shí)驗(yàn)拋針問題主要內(nèi)容是：在平面上等距離的畫出一些平行線，向這個(gè)平面拋出 某一特定長度的針，試求針與任一平行線相交的概率。顯然只有兩種可能性：要么針與其中至少一條平行線相交；要么針與所有的 平行線都不相交。但是，古典概率無法解決這一個(gè)表面上很簡單的問題。不過， 可以利用幾何概率模型算出要求的概率值，正是隨處可見的 二。這個(gè)矩形的面積為：小aHS云由

9、于針與平行線相交，則M必定與最近的一條平行線相交,必要條件是：l0 x si nA = $20蘭蘭兀A在圖 2 2 中顯示為門中的一個(gè)小區(qū)域，它的面積為：最近的一條平行線的距離，表示針與平行線的交角。那么，不難得到：a0 _x _ 20 蘭兀從幾何的角度看，上述方程組代表了一個(gè)矩形區(qū)域 -那么相交的充分x x 則表示中點(diǎn)M到圖 2 蒲豐投針試驗(yàn)原理JT dSAl si n d = l由概率的幾何意義，針與任一平行線相交的概率是：A A 1 1= =2l2lS門1a二弟2從上面概率的表達(dá)式可以看出，只要I跟 a a 的比值不變，概率P的值也不變。由于P表達(dá)式中含有二，可以利用拋針試驗(yàn)得到的結(jié)果去

10、估算 二的值。原理是盡量加大試驗(yàn)次數(shù)N，記錄針與平行線相交的次數(shù) n n，則P的近似值是-。代入N的P表達(dá)式：2INn st：-an表 1 抽針實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表實(shí)驗(yàn)者年份針長度試驗(yàn)次數(shù)相交次數(shù)兀的實(shí)驗(yàn)值Wolf18500.8500025323.1596Smith18550.632041218.53.1554De Morga n C18601.0600382.53.137Fox18840.7510304893.1596Lazzeri ni19010.83340818083.1415926Rei na19250.541925208593.1795蒲豐拋針試驗(yàn)揭示了蒙特卡羅方法的基本思想，即在大數(shù)定理的保

11、證下，利 用事件發(fā)生的“頻率”作為事件的“概率”的近似值。只要設(shè)計(jì)一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)， 使一個(gè)事件的概率與某未知數(shù)有關(guān)，然后通過重復(fù)試驗(yàn)，以頻率近似表示概率， 即可求得該未知數(shù)的近似解。2.3 蒙特卡羅模擬的基本思想及其發(fā)展當(dāng)所要求解的問題是某種事件出現(xiàn)的概率，或者是某個(gè)隨機(jī)變量的期望值 時(shí)，它們可以 通過某種“試驗(yàn)”的方法，得到這種事件出現(xiàn)的頻率，或者這個(gè) 隨機(jī)變數(shù)的平均值，并用它們作為問題的解。這就是蒙特卡羅方法的基本思想。 蒙特卡羅方法通過抓住事物運(yùn)動(dòng)的幾何數(shù)量和幾何特征，利用數(shù)學(xué)方法來加以模 擬，即進(jìn)行一種數(shù)字模擬實(shí)驗(yàn)。 它是以一個(gè)概率模型為基礎(chǔ)， 按照這個(gè)模型所描 繪的過程，通過計(jì)算機(jī)直接

12、進(jìn)行抽樣試驗(yàn)得出結(jié)果，作為問題的近似解。從理論上來說，蒙特卡羅方法需要大量的實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)次數(shù)越多，所得到 的結(jié)果才越精確。計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，使得蒙特卡羅方法在最近 1010 年得到 快速的普及?，F(xiàn)代的蒙特卡羅方法，已經(jīng)不必親自動(dòng)手做實(shí)驗(yàn)，而是借助計(jì) 算機(jī)的高速運(yùn)轉(zhuǎn)能力，使得原本費(fèi)時(shí)費(fèi)力的實(shí)驗(yàn)過程，變成了快速和輕而易 舉的事情。蒙特卡羅方法有很強(qiáng)的適應(yīng)性，問題的幾何形狀的復(fù)雜性對(duì)它的 影響不大。蒙特卡羅方法的收斂性是指概率意義下的收斂，因此問題維數(shù)的 增加不會(huì)影響它的收斂速度，而且存貯單元也很省，這些是用該方法處理大 型復(fù)雜問題時(shí)的優(yōu)勢。它不僅較好地解決了多重積分計(jì)算、微分方程求解、 積分方程求解

13、、 特征值計(jì)算和非線性方程組求解等高難度和復(fù)雜的數(shù)學(xué)計(jì)算 問題，而且在統(tǒng)計(jì)物理、核物理、真空技術(shù)、系統(tǒng)科學(xué)、信息科學(xué)、公用事 業(yè)、地質(zhì)、醫(yī)學(xué)，可靠性及計(jì)算機(jī)科學(xué)等廣泛的領(lǐng)域都得到成功的應(yīng)用。 借助計(jì)算機(jī)技術(shù)，蒙特卡羅方法實(shí)現(xiàn)了兩大優(yōu)點(diǎn)：一是簡單。省卻了繁復(fù)的 數(shù)學(xué)報(bào)導(dǎo)和演算過程，使得一般人也能夠理解和掌握；二是快速。簡單和快 速，是蒙特卡羅方法在現(xiàn)代項(xiàng)目管理中獲得應(yīng)用的技術(shù)基礎(chǔ)。2.4 蒙特卡羅模擬一般步驟( ( 1)1) 構(gòu)造或描述概率過程：對(duì)于本身就具有隨機(jī)性質(zhì)的問題， 主要是正確描述和模擬這個(gè)概率過程。 對(duì) 于本來不是隨機(jī)性質(zhì)的確定性問題， 比如計(jì)算定積分， 就必須事先構(gòu)造一個(gè)人為 的概

14、率過程， 它的某些參量正好是所要求問題的解， 即要將不具有隨機(jī)性質(zhì)的問 題轉(zhuǎn)化為隨機(jī)性質(zhì)的問題。( ( 2)2) 實(shí)現(xiàn)從已知概率分布抽樣：構(gòu)造了概率模型以后， 由于各種概率模型都可以看作是由各種各樣的概率分 布構(gòu)成的， 因此產(chǎn)生已知概率分布的隨機(jī)變量，就成為實(shí)現(xiàn)蒙特卡羅方法模擬 實(shí)驗(yàn)的基本手段， 這也是蒙特卡羅方法被稱為隨機(jī)抽樣的原因。 最簡單、最基本、 最重要的一個(gè)概率分布是 ( ( 0,1)0,1)上的均勻分布(或稱矩形分布) 。隨機(jī)數(shù)就是具有 這種均勻分布的隨機(jī)變量。 產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的問題， 就是從這個(gè)分布的抽樣問題。 在 計(jì)算機(jī)上，可以用物理方法產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，但價(jià)格昂貴，不能重復(fù)，使用不便。另 一種方法是用數(shù)學(xué)遞推公式產(chǎn)生。這樣產(chǎn)生的序列，與真正的隨機(jī)數(shù)序列不同， 所以稱為偽隨機(jī)數(shù)。不過，經(jīng)過多種統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)表明，它與真正的隨機(jī)數(shù)，或隨機(jī) 數(shù)序列具有相近的性質(zhì)， 因此可把它作為真正的隨機(jī)數(shù)來使用。