線性代數(shù)教案(正式打印版)

1、1第（1 1）次課 授課時間（）教學(xué)章節(jié)第一章第一、二、三節(jié)學(xué)時2 2 學(xué)時教材和 參考書1.1.線性代數(shù)（第 4 4 版）同濟大學(xué)編1.1.教學(xué)目的：熟練掌握 2 2 階,3,3 階行列式的計算；掌握逆序數(shù)的疋義，并會計算； 掌握n階行列式的定義；2.2.教學(xué)重點：逆序數(shù)的計算；3.3. 教學(xué)難點：逆序數(shù)的計算. .1 1教學(xué)內(nèi)谷：一、二階行列式的疋義；全排列及其逆序數(shù)；n階行列式的疋義2 2時間安排：2 2 學(xué)時；3 3教學(xué)方法：講授與討論相結(jié)合；4 4教學(xué)手段：黑板講解與多媒體演示. .2基本內(nèi)容第一節(jié)二、三階行列式的定義、二階行列式的定義從二元方程組的解的公式，引出二階行列式的概念。如

2、果將 D D 中第一列的元素aii, ,a2i換成常數(shù)項bi, ,b2，則可得到另一個行列式，用字母Di表示, ,于是有按二階行列式的定義，它等于兩項的代數(shù)和：bia22b2a2i, ,這就是公式（2 2）中xi的表達式的分子。同理將D中第二列的元素 a ai2,a,a22換成常數(shù)項 b bi,b,b2，可得到另一個行列式，用字母D2表示, ,于是有備注設(shè)二元線性方程組aiiXia2X2a2iX2a?2X2b?用消元法，當aiia22ai2a2i0時，解得a22biai2b2Xi,X2aia22ai2a2iaiib2a2i biaia22ai2a2iaiia2iai2a22ai2a2i，稱為二

3、階行列式，則A如an妬21如口11口口11知如Dibiai2b2a22D2aibia? ib?&桐223按二階行列式的定義，它等于兩項的代數(shù)和：aiib2a2ibi, ,這就是公式4(2(2)中 X X2的表達式的分子。于是二元方程組的解的公式又可寫為XiX2D1DD2D其中3x12X212例 1.1.解線性方程組2x1x21同樣, ,在解三元一次方程組91Xa2X2913X3bi921X1922X2923X3b2時, ,要用到931X1932X2933X3b3“三階行列式”，這里可采用如下的定義. .二、三階行列式的定義設(shè)三元線性方程組9n X1912X2913X3b1921X192

4、2X2923X3b2931X1932X2933X3b3用消元法解得_4碼0至+1工;3 +曲商也耐也角2還I診衛(wèi)空口垃2婦亟-，旳說皿餌+糾衛(wèi)鮎亀1十如眄L世-E 衛(wèi)禺？-叭屁角廠如牝電1烷1禹碣孑十如旳g碼1+訃衛(wèi)也泯他低屬如也冋 H 帀1盤2兩101皿丁1口羽 + 匚2口 吃jp說g H-?超：|1召二| 說i口口0蘋3Li p-i_r-c?： j角2跳+也1曲叫14 直砌1空刃左1爲血左吩砌血1矗左曲逢31的曲刃篦+曲0茁也L +曲工巾設(shè)丈-陽函?色空-內(nèi)兇爼殆=一冊猝 4 曲1定義 設(shè)有 9 9 個數(shù)排成 3 3 行 3 3 列的數(shù)表91192193191292293291392393

5、3911912913921922923911922933931932933a!2a23a31ai3a2ia323139229313119239323l2321933 55稱為二階行列式，則11 Bl口爼a23口朝站乜口11如站 口21吐玄爲ki %毎門】1 %11厲22知叫1旳如F 5一a 1 &1221衣22盤釣也1吒旳工網(wǎng)一li如 % 勺1 22我如如剛?cè)A行列式所表示的 6 6 項的代數(shù)和，也用對角線法則來記憶： 從左上角到右下角三個元素相乘取正號，從右上角到左下角三個元 素取負號，即1 24例 2.2.計算三階行列式D2 21.(-14.(-14) )3 421 11例 3.3

6、. 求解方程2 3x0(x2或x 3)4 92x2xy z2例 4.4. 解線性方程組xy 4z 03x7y 5z56解先計算系數(shù)行列式21 1D 114375再計算D1,D2,D321122121 2D101451, ,D210431，D3110557 5355375D117D231D35得x 323，y09，z6&第二節(jié)全排列及其逆序數(shù)引例：用 1 1、2 2、 3 3 三個數(shù)字， 可以組成多少個沒有重復(fù)的三位 數(shù)？一、全排列把 n n 個不同的元素排成一列，叫做這n個元素的全排列（簡稱 排列）. .可將n個不同元素按1 n進行編號則n個不同元素的全排列 可看成這n個自然數(shù)的全排列

7、. .n個不同元素的全排列共有n!種. .二、逆序及逆序數(shù)逆序的定義：取一個排列為標準排列，其它排列中某兩個元素 的次序與標準排列中這兩個元素的次序相反時，則稱有一個逆序. .通常取從小到大的排列為標準排列，即1 n的全排列中取10 12 7 3 56 569 07123 (n 1)n為標準排列. .逆序數(shù)的定義：一個排列中所有逆序數(shù)的總數(shù)稱為這個排列的逆序數(shù). .逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列，逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列，標準排列規(guī)定為偶排列. .例 1 1：討論1,2,3的全排列. .全排列123123231231312312132132213213321321逆序數(shù)0 02 22 21

8、11 13 3奇偶性偶奇逆序數(shù)的計算：設(shè)P1P2Pn為123 (n 1)n的一個全排列貝卩其n逆序數(shù)為t t1t2tnti. .i 1其中ti為排在Pi前且比Pi大的數(shù)的個數(shù). .例 2 2 :求排列54321的逆序數(shù). .n解：t 0,t21,t32,t43,ts4,t ti10.i 1( (對于逆序數(shù)的計算介紹另一種算法) )第三節(jié)n階行列式的定義F F 面可用全排列的方式改寫二階，三階行列式. .8二階行列式a11a12a21a22aa2212821a11a12a11a22a12a21a21a22(1)云碼2其中:P1P2是1,2的全排列，t是P1P2的逆序數(shù)，是對9所有1,2的全排列求

9、和. .三階行列式ai1ai2ai3a21a22a23a31a32a33813822831811823832812821833其中: :P1P2P3是1,2,3的全排列， t是P1P2P3的逆序數(shù)， 是對 所有1,2,3的全排列求和. .其中: :PiP2Pn是1,2, ,n的全排列，t是PiP2Pn的逆序數(shù), , 是對所有1,2, ,n的全排列求和. .000 1例 1 1計算對角行列式：002(24)030 040 0 0例 2.2.證明對角行列式(其對角線上的元素是i, ,未寫出的元素都為 0 0)證明：按定義式aiia22a33a12a23a31a13a21a3281182183181

10、2822832813823833(1) 81 Pi82P283Pn10例 3 3證明下三角行列式ana21a22an1an2證明: :按定義式得以上, ,n階行列式的定義式，是利用行列式的第一行元素來定義行列式的, ,這個式子通常稱為行列式按第一行元素的展開式. .1211n13211 n,1 n 111 23nnnnnanna11a22annD ana22a32a330a11a22a33a430an2an3annan 3an4anna11a22ann10回顧和小結(jié)小結(jié)：1.1. 二三階行列式的定義；2.2. 全排列及其逆序數(shù)；3.3.n階行列式的定義。復(fù)習(xí)思考題或作業(yè)題思考題：1231.1.

11、計算三階行列式D7894562.2.求排列54321的逆序數(shù). .作業(yè)題：習(xí)題一：第 1 1 （ 1,31,3 ）、2 2 （2,4,62,4,6）實施情況及分析1.1.通過學(xué)習(xí)學(xué)員理解了二、 三階行列式和全排列及的定義概念，會計算二、三階行列式；2.2.對其逆序數(shù)等方面的應(yīng)用有待加強. .1112第（2 2 ）次課授課時間（）教學(xué)章節(jié)第一章第四、五節(jié)學(xué)時2 2 學(xué)時教材和 參考書線性代數(shù)（第 4 4 版）同濟大學(xué)編1.1. 教學(xué)目的：掌握對換的概念；掌握n階行列式的性質(zhì)，會利用n階行列式的性質(zhì)計算n階行列式的值；2.2. 教學(xué)重點：行列式的性質(zhì)；3.3. 教學(xué)難點：行列式的性質(zhì). .1.1.

12、 教學(xué)內(nèi)容：對換；行列式的性質(zhì)；2.2. 時間安排：2 2 學(xué)時；3.3. 教學(xué)方法：講授與討論相結(jié)合；4.4. 教學(xué)手段：黑板講解與多媒體演示. .13基本內(nèi)容第四節(jié)對換對換的定義：在排列中，將任意兩個元素對調(diào)，其余元素不動，這種作出新排列的手續(xù)叫做對換.將相鄰兩個元素對調(diào)，叫做相鄰對換.例：aiaabb b-Qa b ab b. .定理 1 1一個排列中的任意兩個元素對換，排列改變奇偶性. .推論奇排列調(diào)成標準排列的對換次數(shù)為奇數(shù)，偶排列調(diào)成標準排列的對換次數(shù)為偶數(shù). .證明： 由定理 1 1 知對換的次數(shù)就是排列奇偶性的變化次數(shù), ,而標準排列是偶排列（逆序數(shù)為 0 0）, ,因此知推論

13、成立(1) ap!lap22apnn.備注定理 2 2n階行列式為:a11ai2ai314an1an2an1其中t為PlP2P的逆序數(shù). .15（以 4 4 階行列式為例，對證明過程作以說明）（補充）定理 3 3n階行列式也可定義為數(shù)與列標排列逆序數(shù)的和練習(xí)：試判斷814823831842856865和83284334851825866是否都是六階行列式中的項第五節(jié)行列式的性質(zhì)轉(zhuǎn)置行列式的定義81182181n8118218n1記D82182282nDT=8128228n2( (D) )8n18n28nn81n82n8nn行列式DT稱為行列式D的轉(zhuǎn)置行列式（依次將行換成列）一、n階行列式的性質(zhì)

14、性質(zhì) 1 1 :行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等. .由此知，行與列具有同等地位關(guān)于行的性質(zhì)，對列也同樣成立,反之亦然. .如：D8 bDT8 Cc db daiia21ai2a22an1an 2ai3a23ani（1）冷矗P20l2aPnqin.其中pip2pn和qq2qn是兩個n級排列, ,t為行標排列逆序16以ri表示第i行，Cj表示第j列交換i, j兩行記為rirj, ,交換i,j兩列記作CiCj. .性質(zhì) 2 2 : 行列式互換兩行（列），行列式變號. . 推論：行列式有兩行（列）相同，則此行列式為零. .性質(zhì) 3 3 : 行列式的某一行（列）的所有元素乘以數(shù)k, ,等于 用數(shù)k乘以該行列

15、式. .推論：行列式的某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符號外. .性質(zhì) 4 4 :行列式中有兩行（列）的元素對應(yīng)成比例，則此行列式為零. .性質(zhì) 5 5 :若行列式中某一行（列）的元素都是兩數(shù)之和，則此行列式等于兩個行列式之和. .ai1ai2(aiiaii)ain即若Da21a22a2ia2ia2nanian2anianiannaiiai2aiiainaiiai2aiiai n則Da21a22a2ia2n+ +a2ia22a2ia2nanian2aniannanian2aniann性質(zhì) 6 6 :把行列式某一行（列）的元素乘以數(shù)k再加到另一行（列）上，則該行列式不變. .二、n階行

16、列式的計算：17例 1 1計算D（推廣至n階，總結(jié)一般方法）PqqrrPPqr例 3.3.證明：P1q1q1r1r1P12P1q1r1P2q2q2r2P2P2q2r2證明：第一列PqrrPqqrrp左端性質(zhì)5P1q1r1r1P1q1q1r1r1P1P2q2r2r2P2q2q2r2r2P2PqrrqrrPPqrqrPP1q1r1r1q1r1r1P1P1q1r1q1r1P1P2q2r2r2q2r2r2P2P2q2r2q2r2P2pqr2 P1q1r1P2q22解:2512152215223714C1C317342102165927295732r14r101134612164201204612D5

17、2 2r21r405 2 21 2 0030r22r49. .例 2.2.abbba 3b a 3ba 3ba 3bbabbr1r2r3r4babbDbbabbbabbbbabbba11 111|1111r1a 3bbab br br10a b00a3ba 3bb ba bi 2,3,400a b0b bb a000a b10000360331 2 00000 3(a 3b)(a b). .1819例 4.4.計算2n階行列式. .ababa bnD(ad bc)nc dcdcd( (利用遞推法計算) )anaik0例 5.5.D：kiakkbb,c11Gk5Oncn1cnkbn1bnna11

18、a1k5blnDidet(aij),D2det(b0).ak1akkbmbnn證明：DD1D2. .20回顧和小結(jié)小結(jié)：對換和n階行列式的性質(zhì)與計算1.1. 對換的定義及兩個定理；2.2.n階行列式的性質(zhì)與計算；復(fù)習(xí)思考題或作業(yè)題思考題：1 1把排列 5413254132 作一次對換變?yōu)?2413524135，問相當 于作幾次相鄰對換？把排列 1234512345 作偶數(shù)次對 換后得到的新排列是奇排列還是偶排列？0 a b a2 2計算：a 0 a b.Db a 0 aa b a 0作業(yè)題：習(xí)題一：第 3 3，4 4( 2 2，4 4),5(2,4,5),5(2,4,5)實施情況及分析1.1.

19、通過學(xué)習(xí)學(xué)員掌握了n階行列式的定義和對換的概念；2.2.對利用n階行列式的定義和對換等方面的應(yīng)用有待加強. .1922第（3 3 ）次課 授課時間（）教學(xué)章節(jié)第一章第六節(jié)學(xué)時 2 2 學(xué)時教材和 參考書1.1.線性代數(shù)（第 4 4 版）同濟大學(xué)編；1.1. 教學(xué)目的：了解余子式和代數(shù)余子式的概念；掌握行列式按行（列）展開；2.2. 教學(xué)重點：行列式按行（列）展開；3.3. 教學(xué)難點：行列式按行（列）展開. .1.1. 教學(xué)內(nèi)容：行列式按行（列）展開；2.2. 時間安排：2 2 學(xué)時；3.3. 教學(xué)方法：講授與討論相結(jié)合；4.4. 教學(xué)手段：黑板講解與多媒體演示. .2i基本內(nèi)容第六節(jié) 行列式按

20、行(列)展開定義 在n階行列式中，把元素aj所處的第i行、第j列劃去, 剩下的元素按原排列構(gòu)成的n i階行列式，稱為aj的余子式，記為Mj;而Aj( 1)i jMj稱為aj的代數(shù)余子式. .再證一般情形:數(shù)余子式乘積之和，即按行:aiiAjiai2Aj2ainAjn按列:aiiAi ja2iA2janiAnj備注引理如果n階行列式中的第i行除aj外其余元素均為零，即:aiiaijain3ni則:D aijAjj. .先證簡單情形:Qia21a22a2nanian2ann定理行列式等于它的任意一行的各元素與對應(yīng)的代24證：(此疋理稱為行列式按行(列)展開疋理)Qiai2QnDai o o o 2

21、oo o an4l%anna1lai2ainai1ai2ainQ11比Qlnsi1ooo a2oooanQiQI24nQn1QT2Qn亂1耳24nQAQ2A2ainAn(i 1,2, n).3112例1:D5 134.2o111533解：31-12一E 4-6巾一互-3 0 *4 -6壓邯二畀展阡 JQD = lx -1)217幾+2 0 1-1)衍十丿16 -2716 0 -27-16 4 -215-迅曲*鮮卜16-2- 010= -lx(lj=40 G+6、205勺勺20-2|2 11 2例2：Dn2 11 225解：Dn例 3 3 .證明范德蒙行列式111X1X2XnDn2X2X22Xn

22、XXj. .n i j 1n 1n 1n 1X1X2Xn其中，記號“”表示全體同類因子的乘積證 用歸納法2 -1-12-1-1 2-1二, t. 1. 2-1-1 2-1 2-1槪黑一4f斥手K-ln 1. .Dn1r2rn從而解得Dn因為D21X2X2X1X Xj2 i j 126所以，當n 2n=2n=2 時，（4 4）式成立. .現(xiàn)設(shè)（4 4）式對n 1時成立，要證對n時也成立為此，設(shè)法把Dn降階；從第n行開始，后行減去前行的X1倍，有1 11L10X2X1X3XLXnX1Dn0 X2X2為X3X3X1LXnXnX10LLLLc n 20 X2X2X1nX32X3X1Ln 2XnXnX1

23、（按第一列展開，并提出因子XiX1)27iiiX2XiX3XiXnXiX2X3Xnn i階范德蒙行列式n 2n2n 2X2X3Xn由假設(shè)X2X1X3XiLXnXiXiXj= =X Xjn ij 2ni j i定理的推論行列式一行（列） 的各元素與另一行（列）對應(yīng)各元素的代數(shù)余子式 乘積之和為零，即aiiAjiai2Aj2ainAjn0ij按列：aiiAija2iA2 janiA、nj0i j結(jié)合定理及推論，得nnaikAjkDij,a舟Ak 1k 1其中ij1,(i0(ij)j)例 4.4.計算行列式D53i20i7252023i0的值。04i400235028回顧和小結(jié)小結(jié)：行列式按行（列）

24、展開。1.1.余子式和代數(shù)余子式的概念；2 2行列式按行（列）展開；復(fù)習(xí)思考題或作業(yè)題123n1200思考題：設(shè)b1030,100n求第行各元素的代數(shù)余子式之和作業(yè)題：習(xí)題一: :第 7 7（2 2，3 3，5 5，6 6）實施情況及分析1.1.通過學(xué)習(xí)學(xué)員理解了余子式和代數(shù)余子式的概念，掌握行列式按行（列）展開；2.2.對利用行列式按行（列）展開的方法計算行列式等方面的應(yīng)用有待加強. .29第（4 4 ）次課授課時間（）教學(xué)章節(jié)第一章第七節(jié)學(xué)時2 2 學(xué)時教材和 參考書線性代數(shù)（第 4 4 版）同濟大學(xué)編1.教學(xué)目的：了解克拉默法則的內(nèi)容，了解克拉默法則的證明，會利用克拉默法 則求解含有n個

25、未知數(shù)n個方程的線性方程組的解；2.教學(xué)重點：克拉默法則的應(yīng)用；3.教學(xué)難點：克拉默法則的應(yīng)用. .1.1. 教學(xué)內(nèi)容：克拉默法則；2.2. 時間安排：2 2 學(xué)時；3.3. 教學(xué)方法：講授與討論相結(jié)合；4.4. 教學(xué)手段：黑板講解與多媒體演示. .30基本內(nèi)容第七節(jié)克拉默法則含有n個未知數(shù)X1,X2,Xn的n個方程的線性方程組a1X1a12X2a1 nXnb ba21X1a22X2a2nX2b2 2(1 1)an 1X1an2X2annXnbn與二、三元線性方程組相類似， 它的解可以用n階行列式表示. .定理 1 1 （CramerCramer 法則）如果線性方程組（1 1）的系數(shù)行列式不等

26、于零，即則方程組（1 1）有且僅有一組解：D1D2DnXi ,X2= =，, ,Xn DDD其中Djj 1,2,., n是把系數(shù)行列式D中的第j列的元素用方程組右端的常數(shù)列代替，而其余列不變所得到的n階行列式（證明在第二章）當b1，b2，.,bn全為零時，即a1a12X2a1nXn0a21X1a?2X2a2nX20備注a11Dan1aln0anna1a,j1b,j 1Dj為2,j 1ba2j 1OnQ,j 1Q,j 1ana?n為31an1X1an2X2annXn032稱之為齊次線性方程組顯然，齊次線性方程組必定有解( (x10,x20,.,xn0). .根據(jù)克拉默法則，有非零解）例 1 1

27、.求解線性方程組2x1X25X3X48x3x,6x492x2X32X45x4冷7X36X40解: :系數(shù)行列式同樣可以計算注意:1.1. 克萊姆法則的條件：n個未知數(shù), ,n個方程，且D 0D1D38950210113241324501789501626162681D2所以X1D13，X2D2D2101895050171626108210113245017895027,4, ,X3D3D1, ,X4D41. .D1 1 .齊次線性方程組的系數(shù)行列式D0時，則它只有零解（沒有2 2 .反之，齊次線性方程組有非零解，則它的系數(shù)行列式D 0. 0332.2.

28、用克萊姆法則求解方程組運算量大一般不采用它求解方程3435組。3.3. 克萊姆法則具有重要的理論意義。4.4. 克來姆法則說明線性方程組的解與它的系數(shù)、常數(shù)項之間的 依存關(guān)系. .例 2.2.用克拉默法則解方程組3xi5x22x3X43,3X24x44,XiX2X3X411/6,xx23x32x45/6.例 3.3.已知齊次線性方程組(5)x2y2z02x (6)y02x(4)z0有非零解，問 應(yīng)取何值？解系數(shù)行列式D (5)(2)(8)由：D 0, ,得2、58.36回顧和小結(jié)小結(jié)：克拉默法則. .1.1.內(nèi)容；2.2.應(yīng)用. .復(fù)習(xí)思考題或作業(yè)題思考題：當線性方程組的系數(shù)行列式為零時，能否

29、 用克拉默法則解方程組？為什么？此時方程組的解 為何？作業(yè)題：習(xí)題一第 8 8（ 2 2 ）、9 9（ 2 2,4,4）實施情況及分析1.1.通過學(xué)習(xí)學(xué)員理解了解克拉默法則的內(nèi)容，了解克拉默法則的證明，會利用克拉默法則求解含有n個未知數(shù)n個方程的線性方程組的解；2.2.對利用克拉默法則等方面的應(yīng)用有待加強. .3138教學(xué)章節(jié)第二章第一、二節(jié)學(xué)時 2 2 學(xué)時教材和參考書1.1.線性代數(shù)（第四版）同濟大學(xué)編；2.2.同濟大學(xué) 胡一鳴編線 性代數(shù)輔導(dǎo)及習(xí)題精解；3.3.孫建東等編線性代數(shù)知識點與典型 例題解析。1.1. 教學(xué)目的：了解矩陣的概念；掌握矩陣的運算；2.2. 教學(xué)重點：矩陣的概念和矩

30、陣的運算；3.3. 教學(xué)難點：矩陣的概念和矩陣的運算。1.1. 教學(xué)內(nèi)容：矩陣；矩陣的運算；2.2. 時間安排：2 2 學(xué)時；3.3. 教學(xué)方法：講授與討論相結(jié)合；4.4. 教學(xué)手段：黑板講解與多媒體演示。第（5 5）次課授課時間（)39、矩陣的定義稱m行、n列的數(shù)表為m n矩陣，或簡稱為矩陣；表示為的元素。的一個數(shù)；而m n矩陣是m n個數(shù)的整體，不對這些數(shù)作運算。例如，公司的統(tǒng)計報表，學(xué)生成績登記表等，都可寫出相應(yīng)的矩陣。設(shè)A (aj)mn，B (bj)mn都是m n矩陣，當，-a=i,z-怖；j=ra ，同)則稱矩陣A與B相等，記成A B。二、特殊形式n階方陣：n n矩陣行矩陣：1 n矩

31、陣（以后又可叫做行向量），記為基本內(nèi)容備注第一節(jié)矩陣aiia21ai2a22aina2nam1am2amn其中行列式Dai1a21ai2a22ai na2n為按行列式的運算規(guī)則所得到amiam2amn或簡記為A (aij)m n, ,或Aai1a21am1ai2a22aina2nam2amn(aij)或Am n；其中aj表示A中第i行，第j列40A佝乙，,an）列矩陣：m 1矩陣（以后又可叫做列向量），記為bibm零矩陣：所有元素為0的矩陣，記為0對角陣：對角線元素為1,2,.,n, ,其余元素為D的方陣，記為=“ -=爲，入）單位陣：對角線元素為 1 1，其余元素為 0 0 的方陣，記為11

32、E1三、線性變換的系數(shù)矩陣線性變換的定義：設(shè)變量y1,y2,.,ym能用變量為*，,x.線性表示，即Y1y2du Xa?1Xa2X2a?2X2a1nXna2n 人Ymam1X1am2X2amnXn這里內(nèi)ii1,2,m; j1,2, ,n為常數(shù)。這種從變量X1,X2,.,Xn到41變量yi,w,ym的變換稱為線性變換。線性變換由m個n元函數(shù)組成，每個函數(shù)都是變量的一次幕，故而稱之為線性變換。上式的系數(shù)可構(gòu)成一個m n矩陣aiiai2ai nAa2ia22a2nAaij m naijamiam2amnaiiai2aina2iAa22a2n稱之為線性變換的系數(shù)矩陣。am1am2amn線性變換和系數(shù)矩

33、陣是-對應(yīng)的如，直角坐標系的旋轉(zhuǎn)變換（變量（x,y）到變量（x,y）的變換）恒等變換xcos xsin yysin xcos ycossinsincos的系數(shù)矩陣為A4243yixiy2X2ymXm的系數(shù)矩陣為i例. .E11aiiXi812X2anXn0a?iXia?2X2a?nXn0同樣，齊次線性方程組amiXiam2X28mnXn0aiiai2ain與系數(shù)矩陣A822a2n，也是一一對應(yīng)的. .amiam2amnaiIXIai2X2ai nXnbia2iXia22X2a2nXnb2非齊次線性方程組amiXiam2X2amnXnbmaiiai2ainbi與增廣矩陣A %a22a2nb2也是

34、一一對應(yīng)的。amiam2amnbm第二節(jié)矩陣的運算一、加法設(shè)A (aj)mn，B (bj)mn, ,都是m n矩陣, ,則加法定義為44aiibiiai2ainbinA Ba2ib2ia22b22a2nb2namibmiam2bm2amnbmn顯然，A BB A， (A B)CA (BA)、數(shù)乘設(shè)是數(shù), ,A (aQmn是m n矩陣則數(shù)乘定義為aiiai2a(Aa2i822a2namiam2amn顯然AA，A AA， A BA B三、乘法乘法運算比較復(fù)雜，首先看一個例子設(shè)變量 tttt 到變量旨,卞2彳3的線性變換為XiX2X3biitib2itib3itibi2t2b22t2b32t2變量X

35、i, X2, X3到變量yi,y的線性變換為yiy28iiXia?iXia2X2a?2X2813X3a23X3那么，變量ti,t2到變量yi,y2的線性變換應(yīng)為yiaibiitibi212a2b2itib2212yia?ibitbi212a22b2itib2212a3b3iti32 七 2a23b3itib32t245的乘積為biibi2aiiai2ai3.aiibiib2ib22a2ia22a23.a2ibiib3ib32ai2b2iai3b3iaiibi2ai2b22ai3b32a22b2ia23b3ia2ibi2a22b22a23b32設(shè)A (aj)ms,B (bj)sn, ,則乘法定義

36、為AB C其中C(cij)m n注：兩個矩陣相乘要求前一個矩陣的列數(shù)等于后一個矩陣的行數(shù)；乘積矩陣的行數(shù)為前一個矩陣的行數(shù)，列數(shù)為后一個矩陣的列數(shù);乘積矩陣的第i行，第j列元素為前一個矩陣的第i行元素與后一個矩陣的第j行元素對應(yīng)相乘再相加i 0 3i4ii 0i 3例：設(shè)AJ B，則2 i 0220ii344i0i03 iii3AB2 i 0220ii341 4 013 2111101 3013 1 0 0 3 3 114按以上方式定義的乘法具有實際意義由此推廣得到一般定義yiaiibii31221aditiabai3b32t2yia2ibiia22b21a?iba22b22a23p2t2定義

37、矩陣biibi2aiiai2ai3和b2ib22a2ia22a23CijSilbi jSi2b2jsaisbsjaikbkjk iii,2,mji,2, ,nb31b32462 4 110 22 1 2 1 11 00 2 32 0 1 3 0 1 2 49219 911例: :設(shè)A242,B4求AB及BA。12-3-6解：24241632AB123681624240 0BA36120 0由此發(fā)現(xiàn)：（1 1 ）AB BA,（不滿足交換律）（2 2）A O,B O，但卻有BA O。一個必須注意的問題：1 1 .若Am s，Bsn,則AmsBsn成立，當m n時，Bs nAm s不成立；2 2 .

38、即使Amn,Bnm, ,則Am nBn m是m階方陣，而Bn mAm n是n階方陣；24243.3.如果A, ,B都是n階方陣，例如A12,B36，則16 32=0 0AB，而BA816 0 0綜上所述，一般AB BA（即矩陣乘法不滿足交換率）。下列性質(zhì)顯然成立：1AB C A BC，AB A B A B,2ABC AB AC, ,B C A BA CA幾個運算結(jié)果：471 1 . .bia2b2anbn；ai, a2, anb2a1b1bnbia1b1a1b2dbnb2a2bia2b2a2bn2.2.ai, a2,anbnandanb2anbnAE A；4 4線性變換的矩陣表示:y1a Xa

39、2x?a1nXn目2設(shè)a?1xa?2X?a2nXnymam1x1am2x2am n 人a11a12a1nX1y1Aa21a22Aa2nJX2X, ,yy2am1am2amnXnymAx線性方程組的矩陣表示：a Xa2xa1nXnbia?1xa?2xa2nXnb2am1X1am2xa xmn 八 nbn1a11a12a1nX1b1Aa21a22Aa2nX2,x, ,bb2am1am2amnXnbm3 3 . .若A為m n矩陣, ,E是m階單位陣則EAA；若E是n階單位陣則48則Ax b49矩陣的幕: :A2AA，A3AA2,，AnAAn 1例證明cossinsincoscos n sinn s

40、in ncosn證明用歸納法:1時顯然成立，假定n k時成立則n k 1時cosk 1sincossincosksinsincossincossincoscossincosksi nksincossin kcoskcoscosk sin sinkcos sin ksin cosksin cosk cos sin ksinsin kcos coslcos(k1)sin(k 1)sin (k 1) cos(k 1)n從而結(jié)論成立. .由于cossinsinCOS是直角坐標旋轉(zhuǎn) 角度變換的系數(shù)矩陣，故而cossinsincos是旋轉(zhuǎn)了n角度變換的系數(shù)矩陣四、轉(zhuǎn)置a11a12a1na11a21an1a

41、21a22a2n，記ATa12a22an2an1an2anna1na2nann設(shè)AO則稱A是A的轉(zhuǎn)置矩陣顯然,AT TA，A BATBT，ATAT對稱矩陣的定義：若矩陣A滿足AA(即a.jABTBTAT。aji), ,則稱A是對稱50例設(shè)A是m n矩陣， 證明AA是n階對稱陣,AA是m階對稱陣. . 例. .設(shè)x Xi,X2, ,XnT，且xTx 1, ,E為n階單位陣，H E 2xxT, ,證明: :H是對稱陣，H2E. .證明HTE2XXTTET2 xxT TE故H是對稱陣。H2E2XXT2E4XXT4XXTXXTE 4XXT4XXTE五、方陣的行列式A或det A。顯然,其中Aj是aj的

42、代數(shù)余子式, ,A*稱為A的伴隨陣. .證明：AA*A*AAE. .A為n階方陣，其元素構(gòu)成的n階行列式稱為方陣的行列式，記為2XXTHE4XXT4X XTX XT例ATATaiiAa213n1AnA12A21A22AniAn2AnA?nA，51證明 設(shè)AA*C（心）52CijaiiAjiai2Aj2ainbjnaikAjk kiAij設(shè)A*A Ddj*AA C(dj)Ali3ijA2i32 j例設(shè)A為n(n解: 注意到由AA*由于AAEAnibnjdjAijAij2)階實方陣，且AO,ajnakjAkik iAEAj,求 |A.AiiA12A21A22A2nAE，得AATAEnaikAjkk

43、 i六、共軛矩陣AniAn2aiiai2ainATA2Anaik20,故Ank ia2ia22a2nA2AnA 1.anian2annATA (aj)為復(fù)矩陣，aj為aj的共軛復(fù)數(shù)，則稱A佝)為A的共ij軛矩陣.顯然,A B A B,A A,AB AB53回顧和小結(jié)小結(jié)：矩陣的概念和矩陣的運算：1.1. 矩陣的概念；2.2. 矩陣的運算；思考題：1.1.矩陣與行列式的有何區(qū)別？2.2.設(shè)A與B為n階方陣，問等式復(fù)習(xí)思考題或作業(yè)題2 2A BA B A B成立的充要條件是什么？作業(yè)題：習(xí)題二第 2 2、3 3、4 4（ 2 2，3 3，5 5 ）、7 71 1 . .通過學(xué)習(xí)使學(xué)員理解矩陣的概念

44、，掌握了矩實施情況及分析陣的運算；2.2.對利用矩陣的運算法則的應(yīng)用有待加強. .54第（ 6 6）次課授課時間（ ）55教學(xué)章節(jié)第一章第三節(jié)學(xué)時 2 2 學(xué)時教材和參考書1.1.線性代數(shù)（第四版）同濟大學(xué)編；2.2.同濟大學(xué) 胡一鳴編線 性代數(shù)輔導(dǎo)及習(xí)題精解；3.3.孫建東等編線性代數(shù)知識點與典型 例題解析。1.1. 教學(xué)目的：理解逆矩陣的概念；掌握逆矩陣的性質(zhì)和計算方法；2.2. 教學(xué)重點：逆矩陣概念和計算；3.3. 教學(xué)難點：逆矩陣概念和計算。1.1. 教學(xué)內(nèi)容：逆矩陣；2.2. 時間安排：2 2 學(xué)時；3.3. 教學(xué)方法：講授與討論相結(jié)合；4.4. 教學(xué)手段：黑板講解與多媒體演示。基本內(nèi)容備注56第三節(jié)逆矩陣一、逆陣的定義引入：設(shè)給定一個線性變換y1y2anXia21