全國各地中考試題壓軸題精選講座

1、 網(wǎng)址：全國各地中考試題壓軸題精選講座拋物線與幾何問題【知識縱橫】 拋物線的解析式有下列三種形式：1、一般式：(a0)；2、頂點(diǎn)式：y =a(xh) 2k；3、交點(diǎn)式：y=a(xx 1)(xx 2 ) ，這里x 1、x 2 是方程ax 2 +bx+c=0的兩個(gè)實(shí)根。 解函數(shù)與幾何的綜合題，善于求點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出函數(shù)解析式是解題的基礎(chǔ)；而充分發(fā)揮形的因素，數(shù)形互動，把證明與計(jì)算相結(jié)合是解題的關(guān)鍵?！镜湫屠}】【例1】 (浙江杭州) 在直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)點(diǎn)A（0，t），點(diǎn)Q（t，b）。平移二次函數(shù)的圖象，得到的拋物線F滿足兩個(gè)條件：頂點(diǎn)為Q；與x軸相交于B，C兩點(diǎn)（OB<OC），連結(jié)A

2、，B。（1）是否存在這樣的拋物線F， ？請你作出判斷，并說明理由；（2）如果AQBC，且tanABO=，求拋物線F對應(yīng)的二次函數(shù)的解析式。【思路點(diǎn)撥】（1）由關(guān)系式來構(gòu)建關(guān)于t、b的方程；(2)討論t的取值范圍，來求拋物線F對應(yīng)的二次函數(shù)的解析式?！纠?】(江蘇常州)如圖,拋物線與x軸分別相交于點(diǎn)B、O,它的頂點(diǎn)為A,連接AB,把AB所的直線沿y軸向上平移,使它經(jīng)過原點(diǎn)O,得到直線l,設(shè)P是直線l上一動點(diǎn).（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo);（2）以點(diǎn)A、B、O、P為頂點(diǎn)的四邊形中,有菱形、等腰梯形、直角梯形,請分別直接寫出這些特殊四邊形的頂點(diǎn)P的坐標(biāo);（3）設(shè)以點(diǎn)A、B、O、P為頂點(diǎn)的四邊形的面積為S,點(diǎn)P

3、的橫坐標(biāo)為x,當(dāng)時(shí),求x的取值范圍. 【思路點(diǎn)撥】（3）可求得直線的函數(shù)關(guān)系式是y=-2x，所以應(yīng)討論當(dāng)點(diǎn)P在第二象限時(shí)，x<0、 當(dāng)點(diǎn)P在第四象限是，x>0這二種情況。BOAPM【例3】（浙江麗水）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)坐標(biāo)為（2，4），直線與軸相交于點(diǎn)，連結(jié)，拋物線從點(diǎn)沿方向平移，與直線交于點(diǎn)，頂點(diǎn)到點(diǎn)時(shí)停止移動（1）求線段所在直線的函數(shù)解析式；（2）設(shè)拋物線頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,用的代數(shù)式表示點(diǎn)的坐標(biāo)；當(dāng)為何值時(shí)，線段最短；（3）當(dāng)線段最短時(shí)，相應(yīng)的拋物線上是否存在點(diǎn)，使的面積與的面積相等，若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由【思路點(diǎn)撥】（2）構(gòu)建關(guān)于的二次函數(shù)，

4、求此函數(shù)的最小值；（3）分當(dāng)點(diǎn)落在直線的下方時(shí)、當(dāng)點(diǎn)落在直線的上方時(shí)討論?！纠?】（廣東省深圳市）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)為D點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，與x軸交于A、B兩點(diǎn)， A點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），OBOC ，tanACO（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式（2）經(jīng)過C、D兩點(diǎn)的直線，與x軸交于點(diǎn)E，在該拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)F，使以點(diǎn)A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由（3）若平行于x軸的直線與該拋物線交于M、N兩點(diǎn)，且以MN為直徑的圓與x軸相切，求該圓半徑的長度（4）如圖2，若點(diǎn)G（2，y）是該拋物線上一點(diǎn)

5、，點(diǎn)P是直線AG下方的拋物線上一動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置時(shí)，APG的面積最大？求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和APG的最大面積.【思路點(diǎn)撥】（2）可先以A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形時(shí)，求F點(diǎn)的坐標(biāo)，再代入拋物線的表達(dá)式檢驗(yàn)。（3）討論當(dāng)直線MN在x軸上方時(shí)、當(dāng)直線MN在x軸下方時(shí)二種情況。（4）構(gòu)建S關(guān)于x的二次函數(shù)，求它的最大值。【例5】（山東濟(jì)南）已知：拋物線(a0)，頂點(diǎn)C (1，)，與x軸交于A、B兩點(diǎn)，（1）求這條拋物線的解析式（2）如圖，以AB為直徑作圓，與拋物線交于點(diǎn)D，與拋物線對稱軸交于點(diǎn)E，依次連接A、D、B、E，點(diǎn)P為線段AB上一個(gè)動點(diǎn)(P與A、B兩點(diǎn)不重合)，過點(diǎn)P作P

6、MAE于M，PNDB于N，請判斷是否為定值? 若是，請求出此定值；若不是，請說明理由COxADPMEBNy（3）在(2)的條件下，若點(diǎn)S是線段EP上一點(diǎn)，過點(diǎn)S作FGEP ，F(xiàn)G分別與邊AE、BE相交于點(diǎn)F、G(F與A、E不重合，G與E、B不重合)，請判斷是否成立若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由【思路點(diǎn)撥】（2）證APMABE，同理: （3）證PH=BH且APMPBH再證MEPEGF可得。【學(xué)力訓(xùn)練】1、（廣東梅州）如圖所示，在梯形ABCD中，已知ABCD， ADDB，AD=DC=CB，AB=4以AB所在直線為軸，過D且垂直于AB的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系（1）求DAB的度數(shù)及A、D

7、、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求過A、D、C三點(diǎn)的拋物線的解析式及其對稱軸L（3）若P是拋物線的對稱軸L上的點(diǎn)，那么使PDB為等腰三角形的點(diǎn)P有幾個(gè)?（不必求點(diǎn)P的坐標(biāo)，只需說明理由） 2、（廣東肇慶）已知點(diǎn)A（a，）、B（2a，y）、C（3a，y）都在拋物線上.（1）求拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）當(dāng)a=1時(shí)，求ABC的面積；（3）是否存在含有、y、y，且與a無關(guān)的等式？如果存在，試給出一個(gè)，并加以證明；如果不存在，說明理由.3、（青海西寧）如圖，已知半徑為1的與軸交于兩點(diǎn)，為的切線，切點(diǎn)為，圓心的坐標(biāo)為，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過兩點(diǎn)yxOABMO1（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）求切線的函數(shù)解析式；（3

8、）線段上是否存在一點(diǎn)，使得以為頂點(diǎn)的三角形與相似若存在，請求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由AOxyBFC4、（遼寧12市）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線經(jīng)過三點(diǎn)（1）求過三點(diǎn)拋物線的解析式并求出頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）在拋物線上是否存在點(diǎn)，使為直角三角形，若存在，直接寫出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）試探究在直線上是否存在一點(diǎn)，使得的周長最小，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由5、（四川資陽）如圖，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（9，0），以AB為直徑作O，交y軸的負(fù)半軸于點(diǎn)C，連接AC、BC，過A、B、C三點(diǎn)作拋物線（1）求拋物

9、線的解析式；（2）點(diǎn)E是AC延長線上一點(diǎn)，BCE的平分線CD交O于點(diǎn)D，連結(jié)BD，求直線BD的解析式；（3）在（2）的條件下，拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得PDBCBD?如果存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由yxODECFAB6、（遼寧沈陽）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的邊在軸的負(fù)半軸上，邊在軸的正半軸上，且，矩形繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后得到矩形點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，拋物線過點(diǎn)（1）判斷點(diǎn)是否在軸上，并說明理由；（2）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（3）在軸的上方是否存在點(diǎn)，點(diǎn)，使以點(diǎn)為頂點(diǎn)的平行四邊形的面積是矩形面積的2倍，且點(diǎn)在拋物線上，若存在，請求出點(diǎn)，點(diǎn)的

10、坐標(biāo)；若不存在，請說明理由7、（蘇州市）如圖，拋物線ya(x1)(x5)與x軸的交點(diǎn)為M、N直線ykxb與x軸交于P(2，0)，與y軸交于C若A、B兩點(diǎn)在直線ykxb上，且AO=BO=，AOBOD為線段MN的中點(diǎn)，OH為RtOPC斜邊上的高(1)OH的長度等于_；k_，b_；(2)是否存在實(shí)數(shù)a，使得拋物線ya(x1)(x5)上有一點(diǎn)E，滿足以D、N、E為頂點(diǎn)的三角形與AOB相似?若不存在，說明理由；若存在，求所有符合條件的拋物線的解析式，同時(shí)探索所求得的拋物線上是否還有符合條件的E點(diǎn)(簡要說明理由)；并進(jìn)一步探索對符合條件的每一個(gè)E點(diǎn)，直線NE與直線AB的交點(diǎn)G是否總滿足PB·PG

11、，寫出探索過程AHCBy-2MODNxP 拋物線與幾何問題的參考答案【典型例題】【例1】 (浙江杭州)（1） 平移的圖象得到的拋物線的頂點(diǎn)為, 拋物線對應(yīng)的解析式為:. 拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，. 令, 得，, )( )| ,即, 所以當(dāng)時(shí), 存在拋物線使得.- 2分(2) , , 得: ,解得. 在中,1) 當(dāng)時(shí),由 , 得, 當(dāng)時(shí), 由, 解得, 此時(shí), 二次函數(shù)解析式為; 當(dāng)時(shí), 由, 解得, 此時(shí)，二次函數(shù)解析式為 + +. 2) 當(dāng)時(shí), 由 , 將代, 可得, ,（也可由代，代得到）所以二次函數(shù)解析式為 + 或. 【例2】(江蘇常州) （1）A(-2,-4)（2）四邊形ABP1O為菱

12、形時(shí)，P1(-2,4)四邊形ABOP2為等腰梯形時(shí)，P1()四邊形ABP3O為直角梯形時(shí)，P1()四邊形ABOP4為直角梯形時(shí)，P1()（3） 由已知條件可求得AB所在直線的函數(shù)關(guān)系式是y=-2x-8,所以直線的函數(shù)關(guān)系式是y=-2x當(dāng)點(diǎn)P在第二象限時(shí)，x<0,POB的面積AOB的面積，即 x的取值范圍是當(dāng)點(diǎn)P在第四象限是，x>0,過點(diǎn)A、P分別作x軸的垂線，垂足為A、P則四邊形POAA的面積AAB的面積， 即 x的取值范圍是BOAPM（第24題）【例3】（浙江麗水）（1）設(shè)所在直線的函數(shù)解析式為，（2，4），, ,所在直線的函數(shù)解析式為（2）頂點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，且在線段上移動， （

13、02）.頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(,).拋物線函數(shù)解析式為.當(dāng)時(shí)，（02）.點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，）. =， 又02，當(dāng)時(shí)，PB最短（3）當(dāng)線段最短時(shí)，此時(shí)拋物線的解析式為.假設(shè)在拋物線上存在點(diǎn)，使. 設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）.當(dāng)點(diǎn)落在直線的下方時(shí)，過作直線/，交軸于點(diǎn)，DOABPMCE，點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，）.點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，3），直線的函數(shù)解析式為.，點(diǎn)落在直線上.=.解得，即點(diǎn)（2，3）.點(diǎn)與點(diǎn)重合.此時(shí)拋物線上不存在點(diǎn)，使與的面積相等.當(dāng)點(diǎn)落在直線的上方時(shí)，作點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱稱點(diǎn)，過作直線/，交軸于點(diǎn)，、的坐標(biāo)分別是（0，1），（2，5），直線函數(shù)解析式為.，點(diǎn)落在直線上.=.解得：，.代入，得，.此時(shí)拋物線上存在

14、點(diǎn)，使與的面積相等. 綜上所述，拋物線上存在點(diǎn)， 使與的面積相等.【例4】（廣東省深圳市）（1）方法一：由已知得：C（0，3），A（1，0） 將A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入得 解得： 所以這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為： （2）存在，F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，3） 易得D（1，4），所以直線CD的解析式為：E點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0） 以A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形F點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，3）或（2，3）或（4，3） 代入拋物線的表達(dá)式檢驗(yàn)，只有（2，3）符合存在點(diǎn)F，坐標(biāo)為（2，3） （3）如圖，當(dāng)直線MN在x軸上方時(shí)，設(shè)圓的半徑為R（R>0），則N（R+1，R），代入拋物線的表達(dá)式，解得 當(dāng)直線MN在x

15、軸下方時(shí)，設(shè)圓的半徑為r（r>0），則N（r+1，r），代入拋物線的表達(dá)式，解得圓的半徑為或 （4）過點(diǎn)P作y軸的平行線與AG交于點(diǎn)Q，易得G（2，3），直線AG為設(shè)P（x，），則Q（x，x1），PQ 當(dāng)時(shí)，APG的面積最大此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為， 【例5】（山東濟(jì)南） (1)設(shè)拋物線的解析式為 將A(1，0)代入: 拋物線的解析式為，即：（2）是定值， AB為直徑， AEB=90°， PMAE， PMBE APMABE， 同理: + : （3） 直線EC為拋物線對稱軸， EC垂直平分AB EA=EB AEB=90° AEB為等腰直角三角形 EAB=EBA=45°

16、 7分如圖，過點(diǎn)P作PHBE于H，由已知及作法可知，四邊形PHEM是矩形，PH=ME且PHME在APM和PBH中AMP=PHB=90°， EAB=BPH=45° PH=BH且APMPBH 在MEP和EGF中， PEFG， FGE+SEG=90°MEP+SEG=90° FGE=MEP PME=FEG=90° MEPEGF 由、知：【學(xué)力訓(xùn)練】1、（廣東梅州）（1） DCAB，AD=DC=CB， CDB=CBD=DBA， DAB=CBA， DAB=2DBA， DAB+DBA=90， DAB=60， DBA=30，AB=4， DC=AD=2， RtA

17、OD，OA=1，OD=， A（-1，0），D（0， ），C（2， ）（2）根據(jù)拋物線和等腰梯形的對稱性知，滿足條件的拋物線必過點(diǎn)A（1，0），B（3，0），故可設(shè)所求為 = （+1）（ -3）將點(diǎn)D（0， ）的坐標(biāo)代入上式得， =所求拋物線的解析式為 = 其對稱軸L為直線=1（3） PDB為等腰三角形，有以下三種情況：因直線L與DB不平行，DB的垂直平分線與L僅有一個(gè)交點(diǎn)P1，P1D=P1B， P1DB為等腰三角形； 因?yàn)橐訢為圓心，DB為半徑的圓與直線L有兩個(gè)交點(diǎn)P2、P3，DB=DP2，DB=DP3， P2DB， P3DB為等腰三角形；與同理，L上也有兩個(gè)點(diǎn)P4、P5，使得 BD=BP4，

18、BD=BP5 由于以上各點(diǎn)互不重合，所以在直線L上，使PDB為等腰三角形的點(diǎn)P有5個(gè)2、（廣東肇慶）（1）由5=0，（1分）得，拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0）、（，0）（3分）（2）當(dāng)a=1時(shí)，得A（1，17）、B（2，44）、C（3，81），分別過點(diǎn)A、B、C作x軸的垂線，垂足分別為D、E、F，則有=S - - =-=5（個(gè)單位面積）（3）如： 事實(shí)上， =45a2+36a 3（）=35×（2a）2+12×2a-（5a2+12a） =45a2+36a 3、（青海西寧）（1）圓心的坐標(biāo)為，半徑為1，1分二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，可得方程組解得：二次函數(shù)解析式為（2）過點(diǎn)作軸

19、，垂足為 是的切線，為切點(diǎn)，（圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑）yAHFMOP1P2O1xB在中，為銳角，在中，點(diǎn)坐標(biāo)為設(shè)切線的函數(shù)解析式為，由題意可知，切線的函數(shù)解析式為（3）存在過點(diǎn)作軸，與交于點(diǎn)可得（兩角對應(yīng)相等兩三角形相似），過點(diǎn)作，垂足為，過點(diǎn)作，垂足為可得（兩角對應(yīng)相等兩三角開相似）在中，在中，符合條件的點(diǎn)坐標(biāo)有，4、（遼寧12市）解：（1）直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)都在拋物線上， 拋物線的解析式為頂點(diǎn)（2）存在AOxyBFC圖9HBM（3）存在理由：解法一：延長到點(diǎn)，使，連接交直線于點(diǎn)，則點(diǎn)就是所求的點(diǎn) 過點(diǎn)作于點(diǎn)點(diǎn)在拋物線上，在中，在中，設(shè)直線的解析式為 解得 解得 在直線上存

20、在點(diǎn)，使得的周長最小，此時(shí)5、（四川資陽） (1) 以AB為直徑作O，交y軸的負(fù)半軸于點(diǎn)C，OCA+OCB=90°，又OCB+OBC=90°，圖10OCA=OBC，又AOC= COB=90°，AOC COB，又A(1，0)，B(9，0)，解得OC=3(負(fù)值舍去)C(0，3)，設(shè)拋物線解析式為y=a(x+1)(x9)，3=a(0+1)(09)，解得a=，二次函數(shù)的解析式為y=(x+1)(x9)，即y=x2x3 (2) AB為O的直徑，且A(1，0)，B(9，0)，OO=4，O(4，0)，點(diǎn)E是AC延長線上一點(diǎn)，BCE的平分線CD交O于點(diǎn)D，BCD=BCE=×

21、;90°=45°，連結(jié)OD交BC于點(diǎn)M，則BOD=2BCD=2×45°=90°，OO=4，OD=AB=5D(4，5)圖10答案圖1設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b（k0）解得直線BD的解析式為y=x9.(3) 假設(shè)在拋物線上存在點(diǎn)P，使得PDB=CBD，設(shè)射線DP交O于點(diǎn)Q，則分兩種情況(如答案圖1所示)：O(4，0)，D(4，5)，B(9，0)，C(0，3)把點(diǎn)C、D繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，則點(diǎn)C與點(diǎn)Q1重合，因此，點(diǎn)Q1(7，4)符合，D(4，5)，Q1(7，4)，用待定系數(shù)法可求出直線DQ1解析式為y=x解方程

22、組得點(diǎn)P1坐標(biāo)為(，)，坐標(biāo)為(，)不符合題意，舍去Q1(7，4)，點(diǎn)Q1關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為Q2(7，4)也符合D(4，5)，Q2(7，4)用待定系數(shù)法可求出直線DQ2解析式為y=3x17解方程組得點(diǎn)P2坐標(biāo)為(14，25)，坐標(biāo)為(3，8)不符合題意，舍去符合條件的點(diǎn)P有兩個(gè)：P1(，)，P2(14，25)6、（遼寧沈陽）（1）點(diǎn)在軸上理由如下：連接，如圖所示，在中，由題意可知：點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上（2）過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，在中，點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)的坐標(biāo)為由（1）知，點(diǎn)在軸的正半軸上點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)的坐標(biāo)為拋物線經(jīng)過點(diǎn)，由題意，將，代入中得 解得所求拋物線表達(dá)式為：（3）存在符合條件的點(diǎn)，點(diǎn)10分理由如下：矩形的面積以為頂點(diǎn)的平行四邊形面積為由題意可知為此平行四邊形一邊，又邊上的高為2依題意設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)在拋物線上解得，以為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，yxODECFABM，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，；當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，7、（蘇州市）