機(jī)器人的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)齊次變換矩陣及其運(yùn)算PPT精選文檔

1、LOGO機(jī)器人學(xué)基礎(chǔ)機(jī)器人學(xué)基礎(chǔ)齊次變換矩陣及其運(yùn)算2齊次變換矩陣及其運(yùn)算齊次變換矩陣及其運(yùn)算0001xxxxyyyyzzzznoapnoapFnoap由于各種原因，變換矩陣應(yīng)寫(xiě)成方型形式，3*3或4*4均可. 為保證所表示的矩陣為方陣，如果在同一矩陣中既表示姿態(tài)又表示位置，那么可在矩陣中加入比例因子使之成為4*4矩陣。 3變換可定義為空間的一個(gè)運(yùn)動(dòng)。 已知一直角坐標(biāo)系中的某點(diǎn)坐標(biāo)，那么該點(diǎn)在另一直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)可通過(guò)齊次坐標(biāo)變換來(lái)求得。變換可分為如下形式： 純平移 純旋轉(zhuǎn) 平移與旋轉(zhuǎn)的結(jié)合4v1.平移的齊次變換平移的齊次變換v空間某一點(diǎn)在直角坐標(biāo)系中的平移空間某一點(diǎn)在直角坐標(biāo)系中的平移,由

2、由A(x, y, z)平移至平移至A(x, y, z), 即即 zzzyyyxxx110001000100011zyxzyxzyx a=Trans(x, y, z)a 平移算子5v 算子左乘算子左乘: : 表示點(diǎn)的平移是相對(duì)固定坐標(biāo)系進(jìn)行的坐標(biāo)變換。表示點(diǎn)的平移是相對(duì)固定坐標(biāo)系進(jìn)行的坐標(biāo)變換。v 算子右乘算子右乘: : 表示點(diǎn)的平移是相對(duì)動(dòng)坐標(biāo)系進(jìn)行的坐標(biāo)變換。表示點(diǎn)的平移是相對(duì)動(dòng)坐標(biāo)系進(jìn)行的坐標(biāo)變換。v 該公式亦適用于坐標(biāo)系的平移變換、該公式亦適用于坐標(biāo)系的平移變換、 物體的平移變換物體的平移變換, , 如機(jī)如機(jī)器人手部的平移變換。器人手部的平移變換。 1000100010001),(Tra

3、nszyxzyx6v 例例 動(dòng)坐標(biāo)系動(dòng)坐標(biāo)系A(chǔ)相對(duì)于固定坐標(biāo)系的相對(duì)于固定坐標(biāo)系的X0、Y0、Z0軸作軸作v (-1,2,2)平移后到平移后到A；動(dòng)坐標(biāo)系；動(dòng)坐標(biāo)系A(chǔ)相對(duì)于自身坐標(biāo)系相對(duì)于自身坐標(biāo)系(即動(dòng)系即動(dòng)系)的的X、Y、Z軸分別作軸分別作(-1,2,2)平移后到平移后到A。已知。已知A,寫(xiě)出坐標(biāo)系寫(xiě)出坐標(biāo)系A(chǔ)、 A1000110010011010A1000310030010010 A1000110020011010 A7v2旋轉(zhuǎn)的齊次變換旋轉(zhuǎn)的齊次變換v 點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的旋轉(zhuǎn)如圖所示。點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的旋轉(zhuǎn)如圖所示。A(x, y, z)繞繞Z軸旋軸旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角后至角后至A(x, y

4、, z),則則A與與A之間的關(guān)系為之間的關(guān)系為 ：zzyxyyxxcossinsincos11000010000cossin00sincos1zyxzyx記為: a=Rot(z, )a 旋轉(zhuǎn)算子81000010000cossin00sincos),(zRot同理，繞x軸、Y軸旋轉(zhuǎn)算子內(nèi)容為：繞Z軸旋轉(zhuǎn)算子內(nèi)容為：10000cossin00sincos00001),(xRot10000cos0sin00100sin0cos),(yRot9如圖所示單操作手臂，并且手腕如圖所示單操作手臂，并且手腕也具有一個(gè)旋轉(zhuǎn)自由度。已知手也具有一個(gè)旋轉(zhuǎn)自由度。已知手部的起始位姿矩陣為部的起始位姿矩陣為G1.若手臂

5、繞若手臂繞Z0軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)90，則手臂，則手臂到達(dá)到達(dá)G2；若手臂不動(dòng)，僅手部繞；若手臂不動(dòng)，僅手部繞手腕手腕Z1軸轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)90，則手部到達(dá)，則手部到達(dá)G3.寫(xiě)出手部坐標(biāo)系寫(xiě)出手部坐標(biāo)系G2、G3表達(dá)表達(dá)式。式。10113復(fù)合齊次變換復(fù)合齊次變換復(fù)合變換是由固定參考坐標(biāo)系或當(dāng)前運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系的一系列沿軸平移和繞軸旋轉(zhuǎn)變換所組成的。任何變換都可以分解為按一定順序的一組平移和旋轉(zhuǎn)變換。 相對(duì)于固定坐標(biāo)系相對(duì)于動(dòng)坐標(biāo)系算子左乘算子右乘12v 已知坐標(biāo)系中點(diǎn)已知坐標(biāo)系中點(diǎn)U的位置矢量的位置矢量 ，將此點(diǎn)繞，將此點(diǎn)繞Z軸軸旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)90，再繞，再繞Y軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)90，如圖所示，求旋轉(zhuǎn)變換后，如圖所示，求旋轉(zhuǎn)變換

6、后所得的點(diǎn)所得的點(diǎn)W。Tu1237Rot( ,90 )Rot( ,90 )YZWU7001 001 0001 0010003 1 000001 02000100011 13v 平移變換和旋轉(zhuǎn)變換可以組合在一個(gè)齊次變換中。上例平移變換和旋轉(zhuǎn)變換可以組合在一個(gè)齊次變換中。上例中點(diǎn)中點(diǎn)U若還要作若還要作4i-3j+7k的平移，則只要左乘上平移變換的平移，則只要左乘上平移變換算子即可得到最后的列陣表達(dá)式。算子即可得到最后的列陣表達(dá)式。uzRotyRotTransE)90,()90,()7 , 3, 4( 1415 齊次變換矩陣齊次變換矩陣 的數(shù)學(xué)意義：的數(shù)學(xué)意義：ABT （1）同一點(diǎn)在不同坐標(biāo)系）同一

7、點(diǎn)在不同坐標(biāo)系B和和A中的變換；中的變換； （2）描述坐標(biāo)系）描述坐標(biāo)系B相對(duì)于坐標(biāo)系相對(duì)于坐標(biāo)系A(chǔ)的位置和方位；的位置和方位； （3）點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)算子。）點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)算子。pTpBABA1000401030011100TAB1000100010001),(Transzyxzyx1000010000cossin00sincos),(zRot164變換矩陣相乘變換矩陣相乘對(duì)于給定的坐標(biāo)系A(chǔ)、B、C，已知B相對(duì)A的描述為 ，C相對(duì)B的描述為 ，則pTpCBCBpTTpTpCBCABBABA。從而定義復(fù)合變換 表示C相對(duì)于A的描述，是兩變換矩陣的乘積。注意：變換矩陣相乘不滿足“交換律”，變換矩陣的左乘和右乘

8、的運(yùn)動(dòng)解釋不同。TTTBCABACTTTBCABACTABTBC17101000CBBCBAABBCABACpRpRTTT復(fù)合變換可解釋為：TACTBCTABTBCTAC(1) 和 分別代表同一坐標(biāo)系C相對(duì)于A和B的描述。則 表示坐標(biāo)系C從 映射為 的變換。 (2)坐標(biāo)系C相對(duì)于A的描述 是這樣得到的：最初C與A重合，首先相對(duì)于A作運(yùn)動(dòng) ，到達(dá)B,然后相對(duì)B作運(yùn)動(dòng) ，到達(dá)最終位置C。TACTABTBC185.變換矩陣求逆變換矩陣求逆如果知道坐標(biāo)系B相對(duì)于A的描述。希望得到A相對(duì)于B的描述，這是個(gè)齊次變換求逆問(wèn)題。 對(duì)4*4矩陣直接求逆；利用齊次變換矩陣的特點(diǎn)，簡(jiǎn)化矩陣求逆運(yùn)算。求逆問(wèn)題可以描述

9、為：已知 ，求解 。TABTBA100BAABABpRT100ABBABApRT利用旋轉(zhuǎn)矩陣正交性 TABABR1R利用復(fù)合變換公式(2.13) ,求出 在B中描述。0BAp19100BATABTABBApRRT0)(000ABBABABABppRp000BATABBABAABpRpRp20 下面我們寫(xiě)出變換矩陣的一般表達(dá)形式下面我們寫(xiě)出變換矩陣的一般表達(dá)形式 nx ox ax px ny oy ay py T = nz oz az pz 0 0 0 1 式中式中 n, o, a 是旋轉(zhuǎn)變換列向量，是旋轉(zhuǎn)變換列向量，p 是平移向量，其逆是是平移向量，其逆是 nx ny nz - p.n ox

10、oy oz - p.o T- -1 = ax ay az - p.a 0 0 0 1 式中的式中的 “ . ” 表示向量的點(diǎn)積。表示向量的點(diǎn)積。21 計(jì)算T矩陣的逆矩陣。0.500.86630.86605201050001T10.50.8660(3 0.52 0.8665 0)001(3 02 05 1)0.8660.50(3 0.86620.55 0)0001T 0.50.86603.2300150.8660.501.5980001-0.5226 變換方程變換方程為了描述機(jī)器人的操作，必須建立機(jī)器人本身各連桿之間，機(jī)器人與周圍環(huán)境之間的運(yùn)算關(guān)系。為此要規(guī)定各種坐標(biāo)系來(lái)描述機(jī)器人與環(huán)境的相對(duì)位

11、姿關(guān)系。B代表基座坐標(biāo)系；W代表腕部坐標(biāo)系；T代表工具坐標(biāo)系；S代表工作站坐標(biāo)系；G代表目標(biāo)坐標(biāo)系；它們之間的位姿關(guān)系用相應(yīng)的齊次變換來(lái)描述。TBS描述工作站坐標(biāo)系相對(duì)于基座的位姿；TSG描述目標(biāo)坐標(biāo)系相對(duì)于S的位姿；TBW描述腕部W相對(duì)于基座B的位姿；23TGT對(duì)物體進(jìn)行操作時(shí)，工具坐標(biāo)系T相對(duì)于目標(biāo)坐標(biāo)系G的位姿 直接影響操作效果。它是機(jī)器人控制和規(guī)劃的目標(biāo)。實(shí)際上，它與其他變換之間的關(guān)系類似于空間尺寸鏈，TGT則是封閉環(huán)。如圖所示，工具坐標(biāo)系T相對(duì)于基座坐標(biāo)系B的描述可用兩種變換矩陣的乘積來(lái)表示：TTTWTBWBTTTTTGTSGBSBT令上面兩式相等，則得變換方程TTTTTGTSGBS

12、WTBW24變換方程中的任一變換矩陣都可用其余的變換矩陣來(lái)表示。例如，為了對(duì)目標(biāo)物進(jìn)行有效操作，工具坐標(biāo)系T相對(duì)于目標(biāo)坐標(biāo)系G的位姿 是預(yù)先規(guī)定的，需要改變 以達(dá)到這一目的，即通常規(guī)定 ，求 。TGTTBW1TTTTTWTGTSGBSBW根據(jù)變換方程，可以立即求出TGTTBW25kjikzyxkkk旋轉(zhuǎn)變換通式旋轉(zhuǎn)變換通式令是過(guò)原點(diǎn)的單位矢量，求繞k旋轉(zhuǎn)角的旋轉(zhuǎn)矩陣R(k,)。問(wèn)題描述：令),(kRotRAB即R(k,)表示坐標(biāo)系B相對(duì)于參考系A(chǔ)的方位。 坐標(biāo)系坐標(biāo)系B由坐標(biāo)系由坐標(biāo)系A(chǔ)繞繞 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn) 角得到。角得到。kkA26kxAyAzAxByBzB AAyAxAz BBxByBz A

13、 B旋轉(zhuǎn)變換通式旋轉(zhuǎn)變換通式xxxABAByyyzzznokRRnoknok再定義兩坐標(biāo)系A(chǔ)和 B，分別與A和B固接，但要求(1)A和 B的z軸與k重合。(2)旋轉(zhuǎn)之前A和 B重合， A和B也重合。27 AAAABBABBRRRRcossin0sincos0001ABR又因?yàn)橛忠驗(yàn)樗钥梢缘玫剑鹤鴺?biāo)系B繞k軸相對(duì)于A旋轉(zhuǎn)角相當(dāng)于：坐標(biāo)系B相對(duì)于A的z軸旋轉(zhuǎn)角，保持其他關(guān)系不變。則TBBBBRRkxAyAzAxByBzB AAyAxAz BBxByBz A B坐標(biāo)系A(chǔ)經(jīng)過(guò)如下變換到坐標(biāo)系B:281cossin0sincos0001cossin0sincos0001xxxxxxAAABBABByy

14、yyyyzzzzzzxxxxyzyyyxyzzzzxyznoknokRRRRnoknoknoknoknoknnnnokooonokkkk把上式右端三矩陣相乘，并運(yùn)用旋轉(zhuǎn)矩陣的正交性質(zhì)：onknkkoonkkoonn01291 c1 c1 c1 c1 c1 c1 c1 c1 cxxyxzzxyABxyzyyzyxxzyyzxzzk kck kk sk kk sRk kk sk kck kk sk kk sk kk sk kc 該式為一般旋轉(zhuǎn)齊次變換通式，概括了繞該式為一般旋轉(zhuǎn)齊次變換通式，概括了繞X X、Y Y、Z Z軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換的情況。軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換的情況。反之，當(dāng)給出某個(gè)旋轉(zhuǎn)齊次變換矩陣，

15、則可求得反之，當(dāng)給出某個(gè)旋轉(zhuǎn)齊次變換矩陣，則可求得k k及轉(zhuǎn)角及轉(zhuǎn)角。 變換算子公式不僅適用于點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)，也適用于矢量、坐標(biāo)系、物體的旋轉(zhuǎn)。變換算子公式不僅適用于點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)，也適用于矢量、坐標(biāo)系、物體的旋轉(zhuǎn)。 左乘是相對(duì)固定坐標(biāo)系的變換；右乘是相對(duì)動(dòng)坐標(biāo)系的變換。左乘是相對(duì)固定坐標(biāo)系的變換；右乘是相對(duì)動(dòng)坐標(biāo)系的變換。 當(dāng)當(dāng)kx=1，ky=kz=0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)ky=1，kx=kz=0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)kz=1，kx=ky=0時(shí)時(shí)30v反之，若給出某個(gè)旋轉(zhuǎn)齊次矩陣反之，若給出某個(gè)旋轉(zhuǎn)齊次矩陣則可根據(jù) 求出其等效矢量k及等效轉(zhuǎn)角),(Rotk31等效轉(zhuǎn)軸和等效轉(zhuǎn)角等效轉(zhuǎn)軸和等效轉(zhuǎn)角 給定旋轉(zhuǎn)矩陣給定旋轉(zhuǎn)矩陣 ，求對(duì)應(yīng)

16、的等效旋轉(zhuǎn)軸，求對(duì)應(yīng)的等效旋轉(zhuǎn)軸 和等效轉(zhuǎn)角和等效轉(zhuǎn)角ABRkxxxyyyzzznoaRnoanoa設(shè)設(shè) ，令令 1 c1 c1 c1 c1 c1 c1 c1 c1 cxxxyyyzzzxxyxzzxyxyzyyzyxxzyyzxzznoaRnoanoak kck kk sk kk sk kk sk kck kk sk kk sk kk sk kc32得到：得到：方程兩邊矩陣的非對(duì)角元素成對(duì)相減，得到：方程兩邊矩陣的非對(duì)角元素成對(duì)相減，得到：2sin2sin2sinzyxxzyyxzoakanknok2221 cos3cosxyzxyznoakkk1cos12xyznoa兩邊平方后相加，所以整

17、理后得到：兩邊平方后相加，所以整理后得到：2221sin2zyxzyxoaanno 所以，所以，12cosxyznoa 33所以：所以：方程兩邊矩陣的非對(duì)角元素成對(duì)相減，整理得到：方程兩邊矩陣的非對(duì)角元素成對(duì)相減，整理得到：2sin2sin2sinzyxxzyyxzoakanknok222tan1zyxzyxxyzoaannonoa （1）多值性：）多值性： 和和 值并不唯一，一般選取值并不唯一，一般選取 。（2）病態(tài)情況：當(dāng)）病態(tài)情況：當(dāng) 很小時(shí)，轉(zhuǎn)軸很小時(shí)，轉(zhuǎn)軸 不能確定，需要其它方法。不能確定，需要其它方法。注意：注意：kk0,1 8 034例題：已知轉(zhuǎn)動(dòng)變換矩陣1000001000010100)90,()90,(zRotyRot試求：等效轉(zhuǎn)軸與轉(zhuǎn)角?？梢宰C明，任何一組繞過(guò)