二元一次方程組應(yīng)用題經(jīng)典題(DOC)

1、1實際問題與二元一次方程組題型歸納知識點一：列方程組解應(yīng)用題的基本思想列方程組解應(yīng)用題是把 “未知”轉(zhuǎn)化為“已知”的重要方法，它的關(guān)鍵是把已知量和未知量聯(lián)系起來，找出題目中的相等關(guān)系一般來說，有幾個未知數(shù)就列出幾個方程，所列方程必須滿足：(1)方程兩邊表示的是同類量；(2)同類量的單位要統(tǒng)一；(3)方程兩邊的數(shù)值要相等知識點二：列方程組解應(yīng)用題中常用的基本等量關(guān)系1.行程問題：(1)追擊問題：追擊問題是行程問題中很重要的一種，它的特點是同向而行。這類問題比較直觀，畫線段，用圖便于理解與分析。其等量關(guān)系式是：兩者的行程差-開始時兩者相距的路程；相遇問題 湘遇問題也是行程問題中很重要的一種，它的特

2、點是相向而行。這類問題也比較直觀， 因而也畫線段圖幫助理解與分析。這類問題的等量關(guān)系是：雙方所走的路程之和=總路程。(3)航行問題：船在靜水中的速度+水速=船的順水速度；2船在靜水中的速度-水速=船的逆水速度；3順水速度逆水速度=2X水速。注意：飛機航行問題同樣會出現(xiàn)順風(fēng)航行和逆風(fēng)航行，解題方法與船順水航行、逆水航行問題類似。2 2 .工程問題：工作效率X工作時間=工作量.3 3 .商品銷售利潤問題：利潤率二售聲抽100%(1)利潤=售價成本(進價)；(2);(3)利潤=成本(進價)X利潤率;(4)標價=成本(進價)X(1+利潤率)；(5)實際售價=標價X打折率；注意：“商品利潤=售價一成本”

3、中的右邊為正時，是盈利；為負時，就是虧損。打幾折就是按標價 的十分之幾或百分之幾十銷售。(例如八折就是按標價的十分之八即五分之四或者百分之八十)4 4 儲蓄問題：(1)基本概念1本金：顧客存入銀行的錢叫做本金。利息：銀行付給顧客的酬金叫做利息。本息和：本金與利息的和叫做本息和。期數(shù)：存入銀行的時間叫做期數(shù)。利率：每個期數(shù)內(nèi)的利息與本金的比叫做利率。利息稅：禾利息的稅款叫做利息稅。速度路程J.?。粫r間路程2(2)基本關(guān)系式1利息=本金X利率X期數(shù)2本息和=本金+利息=本金+本金X利率X期數(shù)=本金X(1+利率X期數(shù))3利息稅=利息X利息稅率=本金X利率X期數(shù)X利息稅率。月利率昨利率K丄4稅后利息=

4、利息X（1利息稅率）年利率=月利率X12一。注意：免稅利息=利息5.5. 配套問題：解這類問題的基本等量關(guān)系是：總量各部分之間的比例=每一套各部分之間的比例。6.6. 增長率問題：解這類問題的基本等量關(guān)系式是：原量X（1+增長率）=增長后的量；原量X（1一減少率）=減少后的量.7 7 .和差倍分問題：解這類問題的基本等量關(guān)系是：較大量=較小量+多余量，總量=倍數(shù)X倍量8 8.數(shù)字問題：解決這類問題，首先要正確掌握自然數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)等有關(guān)概念、特征及其表示。如當(dāng)n為整數(shù)時，奇數(shù)可表示為2n+1（或2n-1），偶數(shù)可表示為2n等，有關(guān)兩位數(shù)的基本等量關(guān)系式為：兩位數(shù)=十位數(shù)字10+個位數(shù)字9 9

5、.濃度問題：溶液質(zhì)量X濃度=溶質(zhì)質(zhì)量.10.10. 幾何問題：解決這類問題的基本關(guān)系式有關(guān)幾何圖形的性質(zhì)、周長、面積等計算公式11.11.年齡問題： 解決這類問題的關(guān)鍵是抓住兩人年齡的增長數(shù)是相等，兩人的年齡差是永遠不會變的12.12. 優(yōu)化方案問題：在解決問題時，常常需合理安排。需要從幾種方案中，選擇最佳方案，如網(wǎng)絡(luò)的使用、到不同旅行社 購票等，一般都要運用方程解答，得出最佳方案。注意：方案選擇題的題目較長，有時方案不止一種，閱讀時應(yīng)抓住重點，比較幾種方案得出最佳方案。知識點三：列二元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟利用二元一次方程組探究實際問題時，一般可分為以下六個步驟：1.審題：弄清題意及題

6、目中的數(shù)量關(guān)系；2.設(shè)未知數(shù)：可直接設(shè)元，也可間接設(shè)元；3.找出題目中的等量關(guān)系；4.列出方程組：根據(jù)題目中能表示全部含義的等量關(guān)系列出方程，并組成方程組；5.解所列的方程組，并檢驗解的正確性；6.寫出答案.要點詮釋：（1）解實際應(yīng)用問題必須寫“答”，而且在寫答案前要根據(jù)應(yīng)用題的實際意義，檢查求得的結(jié)果是否3合理，不符合題意的解應(yīng)該舍去；（2）“設(shè)”、“答”兩步，都要寫清單位名稱；（3）一般來說，設(shè)幾個未知數(shù)就應(yīng)該列出幾個方程并組成方程組列方程組解應(yīng)用題應(yīng)注意的問題弄清各種題型中基本量之間的關(guān)系；審題時，注意從文字，圖表中獲得有關(guān)信息；注意用方程組解應(yīng)用題的過程中單位的書寫，設(shè)未知數(shù)和寫答案都

7、要帶單位，列方程組與解方程組時，不要帶單位；正確書寫速度單位，避免與路程單位混淆；在尋找等量關(guān)系時，應(yīng)注意挖掘隱含的條件；列方程組解應(yīng)用題一定要注意檢驗。41甲、乙兩地相距160千米，一輛汽車和一輛拖拉機同時由甲、乙兩地相向而行，1小時20分相遇相遇后，拖拉機繼續(xù)前進，汽車在相遇處停留1小時后調(diào)轉(zhuǎn)車頭原速返回，在汽車再次出發(fā)半小時后追上了拖拉機這時，汽車、拖拉機各自行駛了多少千米？思路點撥：畫直線型示意圖理解題意：A-i. .221畫丈機石験1= AM的略(1)這里有兩個未知數(shù)：汽車的行程；拖拉機的行程(2)有兩個等量關(guān)系：,1(1相向而行：汽車行駛一小時的路程+拖拉機行駛一小時的路程=160

8、千米;解：設(shè)汽車的速度為每小時行 丄千米，拖拉機的速度為每小時 匸千米.解這個方程組，得：咖討)皿(千米)5(字和(千米答：汽車行駛了165千米，拖拉機行駛了85千米.總結(jié)升華：根據(jù)題意畫出示意圖，再根據(jù)路程、時間和速度的關(guān)系找出等量關(guān)系，是行程問題的常用 的解決策略。四、行程問題例4在某條高速公路上依次排列著A、B、C三個加油站，A到B的距離為120千米，B到C的距 離也是120千米.分別在A、C兩個加油站實施搶劫的兩個犯罪團伙作案后同時以相同的速度駕車沿高速 公路逃離現(xiàn)場，正在B站待命的兩輛巡邏車接到指揮中心的命令后立即以相同的速度分別往A、C兩個加油站駛?cè)?，結(jié)果往B站駛來的團伙在1小時后

9、就被其中一輛迎面而上的巡邏車堵截住，而另一團伙經(jīng)過3小時后才被另一輛巡邏車追趕上問巡邏車和犯罪團伙的車的速度各是多少？類型一：列二元一次方程組解決行程問題同向而行：汽車行駛-小時的路程=拖拉機行駛小時的路程根據(jù)題意，列方程組5【研析】設(shè)巡邏車、犯罪團伙的車的速度分別為x、y千米/時，則6因此，巡邏車的速度是80千米/時，犯罪團伙的車的速度是40千米/時.點評：相向而遇”和 同向追及”是行程問題中最常見的兩種題型，在這兩種題型中都存在著一個相等關(guān)系，這個關(guān)系涉及到兩者的速度、原來的距離以及行走的時間，具體表現(xiàn)在：相向而遇”時，兩者所走的路程之和等于它們原來的距離；同向追及”時，快者所走的路程減去

10、慢者所走的路程等于它們原來的距離.【變式1】甲、乙兩人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小時，那么他們在乙出發(fā)2.5小時后相遇；如果乙比甲先走2小時，那么他們在甲出發(fā)3小時后相遇，甲、乙兩人每小時各走多少千米？【變式2】兩地相距280千米，一艘船在其間航行，順流用14小時，逆流用20小時，求船在靜水中的速度和水流速度。類型二：列二元一次方程組解決一一工程問題2.家商店要進行裝修， 若請甲、乙兩個裝修組同時施工，8天可以完成，需付兩組費用共3520元；若先請甲組單獨做6天，再請乙組單獨做12天可完成，需付兩組費用共3480元，問：（1）甲、乙兩組工作一天，商店應(yīng)各付多少元？（2）已知甲組單

11、獨做需12天完成，乙組單獨做需24天完成，單獨請哪組，商店所付費用最少？思路點撥：本題有兩層含義，各自隱含兩個等式，第一層含義：若請甲、乙兩個裝修組同時施工，8天可以完成，需付兩組費用共3520元；第二層含義：若先請甲組單獨做6天，再請乙組單獨做12天可完x y =120 x - y = 40 x y =120 x =80，整理，得7成，需付兩組費用共3480元。設(shè)甲組單獨做一天商店應(yīng)付x元，乙組單獨做一天商店應(yīng)付y元，由第一層含義可得方程8（x+y）=3520,由第二層含義可得方程6x+12y=3480.解：（1）設(shè)甲組單獨做一天商店應(yīng)付x元，乙組單獨做一天商店應(yīng)付y元，依題意得：8單獨請甲

12、組做，需付款300X12=3600元，單獨請乙組做，需付款24X140=3360元, 故請乙組單獨做費用最少。答：請乙組單獨做費用最少?？偨Y(jié)升華：工作效率是單位時間里完成的工作量，同一題目中時間單位必須統(tǒng)一，一般地，將工作總 量設(shè)為1，也可設(shè)為a，需根據(jù)題目的特點合理選用；工程問題也經(jīng)常利用線段圖或列表法進行分析。六、工程問題例6某服裝廠接到生產(chǎn)一種工作服的訂貨任務(wù)，要求在規(guī)定期限內(nèi)完成，按照這個服裝廠原來的生產(chǎn)能力，每天可生產(chǎn)這種服裝150套，按這樣的生產(chǎn)進度在客戶要求的期限內(nèi)只能完成訂貨的-;現(xiàn)在5工廠改進了人員組織結(jié)構(gòu)和生產(chǎn)流程，每天可生產(chǎn)這種工作服200套，這樣不僅比規(guī)定時間少用1天，

13、而且比訂貨量多生產(chǎn)25套，求訂做的工作服是幾套？要求的期限是幾天?分析：設(shè)訂做的工作服是x套，要求的期限是y天，依題意，得點評：工程問題與行程問題相類似，關(guān)鍵要抓好三個基本量的關(guān)系，即 工作量=工作時間X工作效率 以及它們的變式 工作時間=工作量作效率，工作效率=工作量 T 作時間”.其次注意當(dāng)題目與工作量大 小、多少無關(guān)時，通常用 “1表示總工作量.【變式】小明家準備裝修一套新住房，若甲、乙兩個裝飾公司合作6周完成需工錢5.2萬元；若甲公司單獨做4周后，剩下的由乙公司來做，還需9周完成，需工錢4.8萬元.若只選一個公司單獨完成，從節(jié)約開支的角度考慮，小明家應(yīng)選甲公司還是乙公司？請你說明理由8

14、(x+7)= 352ft 6x+12=3480,Jr-300解得1. -1答：甲組單獨做一天商店應(yīng)付300元，乙組單獨做一天商店應(yīng)付140元。4150y x5200 y -1 i：= x 25，解得X二3375ly = 189三、配套問題例3某廠共有120名生產(chǎn)工人，每個工人每天可生產(chǎn)螺栓25個或螺母20個，如果一個螺栓與兩個類型五：列二元一次方程組解決生產(chǎn)中的配套問題10螺母配成一套，那么每天安排多名工人生產(chǎn)螺栓，多少名工人生產(chǎn)螺母，才能使每天生產(chǎn)出來的產(chǎn)品配成最多套？分析：要使生產(chǎn)出來的產(chǎn)品配成最多套，只須生產(chǎn)出來的螺栓和螺母全部配上套，根據(jù)題意，每天生故應(yīng)安排20人生產(chǎn)螺栓，100人生產(chǎn)

15、螺母.生產(chǎn)人員常見的問題， 解決配套問題的關(guān)鍵是利用配套本身所存在的相等關(guān)系, 題的等量關(guān)系是:(1)二合一 ”問題：如果a件甲產(chǎn)品和b件乙產(chǎn)品配成一套，那么甲產(chǎn)品數(shù)的b倍等于乙產(chǎn)品數(shù)的罰甲產(chǎn)品數(shù) 乙產(chǎn)品數(shù)即ab(2)三合一 ”問題：如果甲產(chǎn)品a件，乙產(chǎn)品b件，丙產(chǎn)品c件配成一套，那么各種產(chǎn)品數(shù)應(yīng)滿足5.某服裝廠生產(chǎn)一批某種款式的秋裝，已知每2米的某種布料可做上衣的衣身3個或衣袖5只.現(xiàn)計劃用132米這種布料生產(chǎn)這批秋裝(不考慮布料的損耗)，應(yīng)分別用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配 套？思路點撥：本題的第一個相等關(guān)系比較容易得出：衣身、衣袖所用布料的和為132米；第二個相等關(guān)系的得出要弄清一

16、整件衣服是怎么樣配套的，即衣袖的數(shù)量等于衣身的數(shù)量的2倍(注意：別把2倍的關(guān)系寫反了).解：設(shè)用；米布料做衣身，用：米布料做衣袖才能使衣身和衣袖恰好配套，根據(jù)題意，得：解得】答：用60米布料做衣身，用72米布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套總結(jié)升華：生產(chǎn)中的配套問題很多，如螺釘和螺母的配套、盒身與盒底的配套、桌面與桌腿的配套、 衣身與衣袖的配套等各種配套都有數(shù)量比例， 依次設(shè)未知數(shù)，用未知數(shù)可把它們之間的數(shù)量關(guān)系表示出來，從而得到方程組，使問題得以解決，確定等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵【變式1】現(xiàn)有190張鐵皮做盒子，每張鐵皮做8個盒身或22個盒底，一個盒身與兩個盒底配成一個完整盒子，問用多少張鐵

17、皮制盒身，多少張鐵皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？產(chǎn)的螺栓與螺母應(yīng)滿足關(guān)系式:每天生產(chǎn)的螺栓數(shù)疋=每天生產(chǎn)的螺母數(shù)X1因此，設(shè)安排x人生產(chǎn)螺栓,y人生產(chǎn)螺母，則每天可生產(chǎn)螺栓25x個， 螺母20y個，依題意，得X120，解之,50 x2 = 20y 1得X=20y =100點評：產(chǎn)品配套是工廠生產(chǎn)中基本原則之一,如何分配生產(chǎn)力，使生產(chǎn)出來的產(chǎn)品恰好配套成為主管其中兩種最常見的配的相等關(guān)系式是:甲產(chǎn)品數(shù)乙產(chǎn)品數(shù)丙產(chǎn)品數(shù)abc11【變式2】某工廠有工人60人，生產(chǎn)某種由一個螺栓套兩個螺母的配套產(chǎn)品，每人每天生產(chǎn)螺栓14個或螺母20個，應(yīng)分配多少人生產(chǎn)螺栓，多少人生產(chǎn)螺母，才能使生產(chǎn)出的螺栓和

18、螺母剛好配套?！咀兪?】一張方桌由1個桌面、4條桌腿組成，如果1立方米木料可以做桌面50個，或做桌腿300條?，F(xiàn)有5立方米的木料，那么用多少立方米木料做桌面，用多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿，恰好配成方桌？能配多少張方桌？五、貨運問題典例5某船的載重量為300噸，容積為1200立方米，現(xiàn)有甲、乙兩種貨物要運，其中甲種貨物每噸 體積為6立方米，乙種貨物每噸的體積為2立方米，要充分利用這艘船的載重和容積，甲、乙兩重貨物應(yīng) 各裝多少噸？分析：充分利用這艘船的載重和容積”的意思是貨物的總重量等于船的載重量”且貨物的體積等于 船的容積”設(shè)甲種貨物裝x噸，乙種貨物裝y噸，則丄x y = 300工x

19、 y = 300工x = 150，整理，得iy，解得彳,6x 2y =12003x y = 600y=150因此，甲、乙兩重貨物應(yīng)各裝150噸.點評：由實際問題列出的方程組一般都可以再化簡，因此，解實際問題的方程組時要注意先化簡，再 考慮消元和解法，這樣可以減少計算量，增加準確度.化簡時一般是去分母或兩邊同時除以各項系數(shù)的最 大公約數(shù)或移項、合并同類項等.12類型三：列二元一次方程組解決 一一商品銷售利潤問題二、禾U潤問題例2一件商品如果按定價打九折出售可以盈利20%;如果打八折出售可以盈利10元，問此商品的定價是多少？分析：商品的利潤涉及到進價、定價和賣出價，因此，設(shè)此商品的定價為有兩種方法

20、，一是：利潤=賣出價-進價；二是：利潤=進價壞U潤率（盈利百分數(shù)）特別注意 利潤”和 利 潤率”是不同的兩個概念.3.有甲、乙兩件商品，甲商品的利潤率為5%,乙商品的利潤率為4%,共可獲利46元。價格調(diào)整后，甲商品的利潤率為4%乙商品的利潤率為5%共可獲利44元，則兩件商品的進價分別是多少元？思路點撥：做此題的關(guān)鍵要知道：禾憫=進價X利潤率解：甲商品的進價為x兀，乙商品的進價為y兀，由題意得：f5%x + 4%y = 46Jx = 600（4%x+ 5%y二44，解得：y二4QQ答：兩件商品的進價分別為600元和400元?！咀兪? （2011湖南衡陽）李大叔去年承包了10畝地種植甲、乙兩種蔬菜

21、，共獲利18000元，其中甲種蔬菜每畝獲利2000元，乙種蔬菜每畝獲利1500元，李大叔去年甲、乙兩種蔬菜各種植了多少畝？x元，進價為y元，則打九折時的賣出價為0.9x元，獲利（0.9x-y）元，因此得方程0.9x-y=20%y;打八折時的賣出價為0.8x元，獲利(0.8x-y)元，可解方程組0.9x-“20%y,解得x=2。0.8x-y=10y=150因此，此商品定價為200元.點評：商品銷售盈利百分數(shù)是相對于進價而言的,不要誤為是相對于定價或賣出價.利潤的計算一般13【變式2】某商場用36萬元購進A、B兩種商品，銷售完后共獲利6萬元，其進價和售價如下表:AB進價（元/件）12001000售

22、價（元/件）13801200（注：獲利=售價一進價）求該商場購進A B兩種商品各多少件;類型四：列二元一次方程組解決 一一銀行儲蓄問題元，問這兩種儲蓄各存了多少錢？（利息所得稅=利息金額X思路點撥：設(shè)教育儲蓄存了x兀，一年定期存了y兀，我們可以根據(jù)題意可列出表格:教育儲琶一年走其月合計壬見在_年啟2042.TS解：設(shè)存一年教育儲蓄的錢為x元，存一年定期存款的錢為y元，則列方程:p = 2000-xJx = 1500（l + O,O225）x+yl + 0O225（l-0,2）=2042,乃，解得：二刊 0答：存教育儲蓄的錢為1500元，存一年定期的錢為500元.總結(jié)升華：我們在解一些涉及到行程

23、、收入、支出、增長率等的實際問題時，有時候不容易找出其等 量關(guān)系，這時候我們可以借助圖表法分析具體問題中蘊涵的數(shù)量關(guān)系，題目中的相等關(guān)系隨之浮現(xiàn)出來【變式1】李明以兩種形式分別儲蓄了2000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息所得稅可得利04.小明的媽媽為了準備小明一年后上高中的費用，現(xiàn)在以兩種方式在銀行共存了2000元錢,一種是年利率為2.25%的教育儲蓄，另一種是年利率為2.25%的一年定期存款，一年后可取出2042.7520%教育儲蓄沒有利息所得稅）14息43.92元已知兩種儲蓄年利率的和為3.24%，問這兩種儲蓄的年利率各是百分之幾？（注：公民應(yīng)繳利息所得稅=利息金額X20%15【

24、變式2】小敏的爸爸為了給她籌備上高中的費用，在銀行同時用兩種方式共存了4000元錢.第一種,一年期整存整取，共反復(fù)存了3次，每次存款數(shù)都相同，這種存款銀行利率為年息2.25%;第二種，三年期整存整取，這種存款銀行年利率為2.70%.三年后同時取出共得利息303.75元（不計利息稅），問小敏的 爸爸兩種存款各存入了多少兀？類型六：列二元一次方程組解決 增長率問題比去年減少了10%今年的利潤為780萬元，去年的總產(chǎn)值、總支出各是多少萬元? 思路點撥：設(shè)去年的總產(chǎn)值為x萬元，總支出為y萬元，則有總產(chǎn)值（萬元）總支出（萬元）利潤（萬元）去年xy200今年120%x90%y780根據(jù)題意知道去年的利潤和

25、今年的利潤，由利潤=總產(chǎn)值一總支出和表格里的已知量和未知量，可以列出兩個等式。解：設(shè)去年的總產(chǎn)值為x萬元，總支出為y萬元，根據(jù)題意得：- = 200 = 200020味X-90%=780解之得： = 1300答：去年的總產(chǎn)值為2000萬元，總支出為1800萬元總結(jié)升華：當(dāng)題的條件較多時，可以借助圖表或圖形進行分析?！咀兪?】若條件不變，求今年的總產(chǎn)值、總支出各是多少萬元?仇某工廠去年的利潤（總產(chǎn)值一總支出）為200萬元，今年總產(chǎn)值比去年增加了20%總支出16【變式2】某城市現(xiàn)有人口42萬，估計一年后城鎮(zhèn)人口增加0.8%，農(nóng)村人口增加1.1%，這樣全市人口增加1%求這個城市的城鎮(zhèn)人口與農(nóng)村人口。

26、類型七：列二元一次方程組解決一一和差倍分問題C 7.（2011年北京豐臺區(qū)中考一摸試題）“愛心”帳篷廠和“溫暖”帳篷廠原計劃每周生產(chǎn)帳篷 共9千頂，現(xiàn)某地震災(zāi)區(qū)急需帳篷14千頂，兩廠決定在一周內(nèi)趕制出這批帳篷為此，全體職工加班加點，“愛心”帳篷廠和“溫暖”帳篷廠一周內(nèi)制作的帳篷數(shù)分別達到了原來的1.6倍、1.5倍，恰好按時完成了這項任務(wù)求在趕制帳篷的一周內(nèi)，“愛心”帳篷廠和“溫暖”帳篷廠各生產(chǎn)帳篷多少千頂？蠱思路點撥：找出已知量和未知量，根據(jù)題意知未知量有兩個，所以列兩個方程，根據(jù)計劃前后，倍數(shù) 關(guān)系由已知量和未知量列出兩個等式，即是兩個方程組成的方程組。解：設(shè)原計劃“愛心”帳篷廠生產(chǎn)帳篷x千

27、頂，“溫暖”帳篷廠生產(chǎn)帳篷y千頂，由題意得：Jx +95|L6x + 1.5y = 14,解得：y=4所以：1.6x=1.65=8, 1.5y=1.54=6答：“愛心”帳篷廠生產(chǎn)帳篷8千頂，“溫暖”帳篷廠生產(chǎn)帳篷6千頂.【變式1】（2011年北京門頭溝區(qū)中考一模試題）“地球一小時”是世界自然基金會在2007年提出的一項倡議號召個人、社區(qū)、企業(yè)和政府在每年3月最后一個星期六20時30分一21時30分熄燈一小時，旨在通過一個人人可為的活動，讓全球民眾共同攜手關(guān)注氣候變化，倡導(dǎo)低碳生活中國內(nèi)地去年和 今年共有119個城市參加了此項活動，且今年參加活動的城市個數(shù)比去年的3倍少13個，問中國內(nèi)地去年、今

28、年分別有多少個城市參加了此項活動.【變式2】 游泳池中有一群小朋友，男孩戴藍色游泳帽，女孩戴紅色游泳帽。如果每位男孩看到藍色 與紅色的游泳帽一樣多，而每位女孩看到藍色的游泳帽比紅色的多1倍，你知道男孩與女孩各有多少人嗎？17類型八：列二元一次方程組解決 一一數(shù)字問題一、數(shù)字問題例1一個兩位數(shù)，比它十位上的數(shù)與個位上的數(shù)的和大9；如果交換十位上的數(shù)與個位上的數(shù)，所得兩位數(shù)比原兩位數(shù)大27,求這個兩位數(shù).分析：設(shè)這個兩位數(shù)十位上的數(shù)為x，個位上的數(shù)為y,則這個兩位數(shù)及新兩位數(shù)及其之間的關(guān)系可用下表表示：lOx y二x y9Jx=1解方程組，得，因此，所求的兩位數(shù)是14.10y +x = 10 x

29、+ y +27(y =4點評：由于受一元一次方程先入為主的影響，不少同學(xué)習(xí)慣于只設(shè)一元，然后列一元一次方程求解，雖然這種方法十有八九可以奏效，但對有些問題是無能為力的，象本題，如果直接設(shè)這個兩位數(shù)為x,或只設(shè)十位上的數(shù)為x，那將很難或根本就想象不出關(guān)于x的方程一般地，與數(shù)位上的數(shù)字有關(guān)的求數(shù)問題，一般應(yīng)設(shè)各個數(shù)位上的數(shù)為元”，然后列多元方程組解之.十位上的數(shù)個位上的數(shù)對應(yīng)的兩位數(shù)相等關(guān)系原兩位數(shù)xy10 x+y10 x+y=x+y+9新兩位數(shù)yX10y+x10y+x=10 x+y+278.兩個兩位數(shù)的和是68,在較大的兩位數(shù)的右邊接著寫較小的兩位數(shù)，得到一個四位數(shù)；在較大的兩位 數(shù)的左邊寫上較

30、小的兩位數(shù)，也得到一個四位數(shù)，已知前一個四位數(shù)比后一個四位數(shù)大2178，求這兩個兩位數(shù)。思路點撥：設(shè)較大的兩位數(shù)為x，較小的兩位數(shù)為y。問題1:在較大的兩位數(shù)的右邊寫上較小的兩位數(shù)，所寫的數(shù)可表示為：100 x+y問題2：在較大數(shù)的左邊寫上較小的數(shù)，所寫的數(shù)可表示為：100y+x解：設(shè)較大的兩位數(shù)為x,較小的兩位數(shù)為y。依題意可得：= 68x = 45t(100 x+-(100j + x) = 2178,解得：V = 23答：這兩個兩位數(shù)分別為45,23.【變式1】一個兩位數(shù)，減去它的各位數(shù)字之和的3倍，結(jié)果是23;這個兩位數(shù)除以它的各位數(shù)字之和，商是5,余數(shù)是1，這個兩位數(shù)是多少？18【變式

31、2】一個兩位數(shù)，十位上的數(shù)字比個位上的數(shù)字大5,如果把十位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字交換位置，那么得到的新兩位數(shù)比原來的兩位數(shù)的一半還少9，求這個兩位數(shù)？【變式3】某三位數(shù)，中間數(shù)字為0，其余兩個數(shù)位上數(shù)字之和是9，如果百位數(shù)字減1，個位數(shù)字加1，則所得新三位數(shù)正好是原三位數(shù)各位數(shù)字的倒序排列，求原三位數(shù)。類型九：列二元一次方程組解決 一一濃度問題9現(xiàn)有兩種酒精溶液，甲種酒精溶液的酒精與水的比是3:7,乙種酒精溶液的酒精與水的比是4：1,今要得到酒精與水的比為3:2的酒精溶液50kg，問甲、乙兩種酒精溶液應(yīng)各取多少？思路點撥：本題欲求兩個未知量，可直接設(shè)出兩個未知數(shù)，然后列出二兀一次方程組解決，題

32、中有以下幾個相等關(guān)系:（1）甲種酒精溶液與乙種酒精溶液的質(zhì)量之和=50; （2）混合前兩種溶液所含純酒精質(zhì)量之和=混合后的溶液所含純酒精的質(zhì)量；（3）混合前兩種溶液所含水的質(zhì)量之和=混合后溶液所含水的質(zhì)量；（4）混合前兩種溶液所含純酒精之和與水之和的比=混合后溶液所含純酒精與水的比。解：法一：設(shè)甲、乙兩種酒精溶液分別取x kg, y kg.依題意得：50 34320畔任L1055，（7 = 30答：甲取20kg，乙取30kg法二：設(shè)甲、乙兩種酒精溶液分別取10 x kg和5y kg，則甲種酒精溶液含水7x kg，乙種酒精溶液含水y kg，根據(jù)題意得：10 x4-5 = 50- 彳 2解亀 px

33、+x=-x50所以10 x=20,5y=30.答：甲取20kg，乙取30kg總結(jié)升華：此題的第（1）個相等關(guān)系比較明顯，關(guān)鍵是正確找到另外一個相等關(guān)系，解這類問題常用的相等關(guān)系是：混合前后所含溶質(zhì)相等或混合前后所含溶劑相等。用它們來聯(lián)系各量之間的關(guān)系，列方程組時就顯得容易多了。列方程組解應(yīng)用題，首先要設(shè)未知數(shù)，多數(shù)題目可以直接設(shè)未知數(shù)，但并不是千 篇一律的，問什么就設(shè)什么。有時候需要設(shè)間接未知數(shù)，有時候需要設(shè)輔助未知數(shù)。舉一反三：19【變式1】要配濃度是45%的鹽水12千克，現(xiàn)有10%的鹽水與85%勺鹽水，這兩種鹽水各需多少？【變式2】一種35%勺新農(nóng)藥，如稀釋到1.75%時，治蟲最有效。用多

34、少千克濃度為35%勺農(nóng)藥加水多少千克，才能配成1.75%的農(nóng)藥800千克？類型十：列二元一次方程組解決 一一幾何問題010.如圖，用8塊相同的長方形地磚拼成一個長方形，每塊長方形地磚的長和寬分別是多少?60cm思路點撥：初看這道題目中沒有提供任何相等關(guān)系，但是題目提供的圖形隱含著矩形兩條寬相等，兩條長相等，我們設(shè)每個小長方形的長為X,寬為y,就可以列出關(guān)于X、y的二元一次方程組。解：設(shè)長方形地磚的長xcm,寬ycm,由題意得：尹二 6045解得：（2x = y+x-2y,7 = 15答：每塊長方形地磚的長為45cm寬為15cm?？偨Y(jié)升華：幾何應(yīng)用題的相等關(guān)系一般隱藏在某些圖形的性質(zhì)中，解答這類

35、問題時應(yīng)注意認真分析圖形特點，找出圖形的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，再列出方程求解。舉一反三：【變式1】用長48厘米的鐵絲彎成一個矩形，若將此矩形的長邊剪掉3厘米，補到較短邊上去，則得到一個正方形，求正方形的面積比矩形面積大多少？【變式2】一塊矩形草坪的長比寬的2倍多10m它的周長是132m則長和寬分別為多少?20類型十一：列二元一次方程組解決一一年齡問題C11.今年父親的年齡是兒子的5倍，6年后父親的年齡是兒子的3倍，求現(xiàn)在父親和兒子的年 齡各是多少？思路點撥：解本題的關(guān)鍵是理解“6年后”這幾個字的含義，即6年后父子倆都長了6歲。今年父親 的年齡是兒子的5倍，6年后父親的年齡是兒子的3倍，根據(jù)這兩個

36、相等關(guān)系列方程。解：設(shè)現(xiàn)在父親x歲，兒子y歲，根據(jù)題意得：二5y30解得：（x + 6=3（y+6）, ,= 6答：父親現(xiàn)在30歲，兒子6歲。總結(jié)升華：解決年齡問題，要注意一點：一個人的年齡變化（增大、減?。┝?，其他人也一樣增大或 減小，并且增大（或減?。┑臍q數(shù)是相同的（相同的時間內(nèi)）?！咀兪?】今年，小李的年齡是他爺爺?shù)奈宸种恍±畎l(fā)現(xiàn)，12年之后，他的年齡變成爺爺?shù)娜种?試求出今年小李的年齡.類型十二：列二元一次方程組解決 優(yōu)化方案問題：12.某地生產(chǎn)一種綠色蔬菜，若在市場上直接銷售，每噸利潤為1000兀；經(jīng)粗加工后銷售，每噸利潤可達4500元；經(jīng)精加工后銷售，每噸利潤漲至7500元.

37、當(dāng)?shù)匾患肄r(nóng)工商公司收獲這種蔬菜140噸，該公司加工廠的生產(chǎn)能力是：如果對蔬菜進行粗加工，每天可以加工16噸；如果進行細加工，每天可加工6噸.但兩種加工方式不能同時進行受季節(jié)條件的限制，公司必須在15天之內(nèi)將這批蔬菜全部銷售或加工完畢，為此公司研制了三種加工方案方案一：將蔬菜全部進行粗加工；方案二：盡可能多的對蔬菜進行精加工，沒來得及加工的蔬菜在市場上直接銷售；方案三：將部分蔬菜進行精加工，其余蔬菜進行粗加工，并恰好在15天完成你認為選擇哪種方案獲利最多？為什么？思路點撥：如何對蔬菜進行加工，獲利最大，是生產(chǎn)經(jīng)營者一直思考的問題本題正是基于這一點，對綠色蔬菜的精、粗加工制定了三種可行方案，供同學(xué)

38、們自助探索，互相交流，嘗試解決，并在探索和解 決問題的過程中，體會應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的樂趣解：方案一獲利為：4500X140=630000（元）.方案二獲利為：7500X（6X15）+1000X（1406X15）=675000+50000=725000（元）.方案三獲利如下：設(shè)將；噸蔬菜進行精加工，噸蔬菜進行粗加工，則根據(jù)題意，得：rx=so解得：I尸80所以方案三獲利為：7500X60+4500X80=810000（元）.因為630000V725000V810000，所以選擇方案三獲利最多答：方案三獲利最多，最多為810000元?？偨Y(jié)升華：優(yōu)化方案問題首先要列舉出所有可能的方案，再按題

39、的要求分別求出每個方案的具體結(jié)果，再進行比較從中選擇最優(yōu)方案21舉一反三：【變式】某商場計劃撥款9萬元從廠家購進50臺電視機，已知廠家生產(chǎn)三種不同型號的電視機，出 廠價分別為：甲種每臺1500元，乙種每臺2100元，丙種每臺2500元。（1）若商場同時購進其中兩種不同型號的電視機50臺，用去9萬元，請你研究一下商場的進貨方案；（2）若商場銷售一臺甲、乙、丙電視機分別可獲利150元、200元、250元，在以上的方案中，為使獲利最多，你選擇哪種進貨方案？例2（2 0 0 6年 四 川 省 眉 山 市 ） 某 蔬 菜 公 司 收 購 蔬 菜 進 行 銷 售 的 獲 利 情 況 如 下 表 所 示 :

40、銷售方式直接銷售粗加工后銷售精加工后銷售每噸獲利（兀）100250450現(xiàn)在該公司收購了140噸蔬菜，已知該公司每天能精加工蔬菜6噸或粗加工蔬菜16噸（兩種加工不能同時進行）.（1）如果要求在18天內(nèi)全部銷售完這140噸蔬菜，請完成下列表格：銷售方式全部直接銷售口全部粗加工后銷售口盡量精加工，剩余部分直接銷售獲利（元）（2）如果先進行精加工，然后進行粗加工，要求在15天內(nèi)剛好加工完140噸蔬菜，則應(yīng)如何分配加工時間？解：（1）全部直接銷售獲利為：100X140=14000（元）；全部粗加工后銷售獲利為：250X140=35000（元）;盡量精加工，剩余部分直接銷售獲利為：450X（6X18）+

41、100X（140-6X18）=51800（元）.（2）設(shè)應(yīng)安排x天進行精加工，y天進行粗加工.由題意，得丿x+y=15，Qx +16y =140.故應(yīng)安排10天進行精加工，5天進行粗加工解得,x =10,廠5.22【跟蹤練習(xí)】為滿足市民對優(yōu)質(zhì)教育的需求，某中學(xué)決定改變辦學(xué)條件，計劃拆除一部分舊校舍，建造新校舍，拆除舊校舍每平方米需80元，建新校舍每平方米需700元計劃在年內(nèi)拆除舊校舍與建造新校舍共7200平方米，在實施中為擴大綠地面積，新建校舍只完成了計劃的80%，而拆除舊校舍則超過了計劃的10%，結(jié)果恰好完成了原計劃的拆、建總面積（1）求：原計劃拆、建面積各是多少平方米？（2）若綠化1平方米

42、需200元，那么在實際完成的拆、建工程中節(jié)余的資金用來綠化大約是多少平 方米？答案：（1）原計劃拆、建面積各是4800平方米、2400平方米；（2）可綠化面積為1488平方米.課后作業(yè)二元一次方程組應(yīng)用題1.一次籃、排球比賽，共有48個隊，520名運動員參加，其中籃球隊每隊10名，排球隊每隊12名，求籃、排球各有多少隊參賽？2.某廠買進甲、乙兩種材料共56噸，用去9860元。若甲種材料每噸190元，乙種材料每噸160元，則兩種材料各買多少噸？3.某人用24000元買進甲、乙兩種股票，在甲股票升值15%，乙股票下跌10%時賣出，共獲利1350元,試問某人買的甲、乙兩股票各是多少元？4.一次籃、排

43、球比賽，共有48個隊，520名運動員參加，其中籃球隊每隊10名，排球隊每隊12名，求籃、排球各有多少隊參賽？5.某廠買進甲、乙兩種材料共56噸，用去9860元。若甲種材料每噸190元，乙種材料每噸160元，則兩 種材料各買多少噸？6.某人用24000元買進甲、乙兩種股票，在甲股票升值15%，乙股票下跌10%時賣出，共獲利1350元,試問某人買的甲、乙兩股票各是多少元？237.有甲乙兩種債券年利率分別是10%與12%現(xiàn)有400元債券，一年后獲利45元，問兩種債券各有多少?8.種飲料大小包裝有3種，1個中瓶比2小瓶便宜2角，1個大瓶比1個中瓶加1個小瓶貴4角，大、中、 小各買1瓶，需9元6角。3種

44、包裝的飲料每瓶各多少元？9.某班同學(xué)去18千米的北山郊游。只有一輛汽車，需分兩組，甲組先乘車、乙組步行。車行至A處，甲組下車步行，汽車返回接乙組，最后兩組同時達到北山站。已知汽車速度是60千米/時，步行速度是4千米/時，求A點距北山站的距離。10.一級學(xué)生去飯?zhí)瞄_會，如果每4人共坐一張長凳，則有28人沒有位置坐，如果6人共坐一張長凳，求初一級學(xué)生人數(shù)及長凳數(shù).11.兩列火車同時從相距910千米的兩地相向出發(fā)，10小時后相遇，如果第一列車比第二列車早出發(fā)4小時20分，那么在第二列火車出發(fā)8小時后相遇，求兩列火車的速度.12.購買甲種圖書10本和乙種圖書16本共付款410元，甲種圖書比乙種圖書每本

45、貴15元，問甲、乙兩種圖書每本各買多少元？13.甲、乙兩人分別從甲、乙兩地同時相向出發(fā)，在甲超過中點 達乙、甲兩地后立即返身往回走，結(jié)果甲、乙兩人在距甲地50米處甲、乙兩人第一次相遇， 甲、 乙到100米處第二次相遇，求甲、乙兩地的路程。14.某工程車從倉庫裝上水泥電線桿運送到離倉庫恰為1000米處的公路邊栽立，要求沿公路的一邊向前每隔100米栽立電線桿。已知工程車每次至多只能運送電線桿4根，要求完成運送18根的任務(wù)，并返回倉庫。若工程車行駛每千米耗油m升（耗油量只考慮與行駛的路程有關(guān)），每升汽油n元，求完成此項任務(wù)最低的耗油費用。15.某家庭前年結(jié)余5000元，去年結(jié)余9500元，已知去年的

46、收入比前年增加了15%而支出比前年減少了10%這個家庭去年的收入和支出各是多少?16.某人裝修房屋，原預(yù)算25000元。裝修時因材料費下降了求原來材料費及工資各是多少元？20%，工資漲了10%，實際用去21500元。242517.某單位甲、乙兩人，去年共分得現(xiàn)金9000元，今年共分得現(xiàn)金12700元.已知今年分得的現(xiàn)金，甲增加50%，乙增加30%.兩人今年分得的現(xiàn)金各是多少元？18.若干學(xué)生住宿，若每間住4人則余20人，若每間住8人，則有一間不空也不滿，問宿舍幾間，學(xué)生多少人？19.某運輸公司有大小兩種貨車，2輛大車和3輛小車可運貨15.5噸，5輛大車和6輛小車可運貨35噸，客戶王某有貨52噸

47、，要求一次性用數(shù)量相等的大小貨車運出，問需用大、小貨車各多少輛？20.通訊員要在規(guī)定時間內(nèi)到達某地，他每小時走15千米，則可提前24分鐘到達某地；如果每小時走12千米，則要遲到15分鐘。求通訊員到達某地的路程是多少千米？和原定的時間為多少小時？二元一次方程組測試題一. 填空題(10X3 =30)1、 方程中含有個未知數(shù)，并且的次數(shù)是1，這樣的方程是二元一次方程。2、 二元一次方程組的解題思想是_，方法有_, _法。3、 將方程10-2(3-y)=3(2-x)變形，用含x的代數(shù)式表示y是_。4、 已知3x2a+b_3-5y3a-2b+2=-1是關(guān)于x、y的二元一次方程，則(a+b)b=_。125

48、、 在公式s=V0t+ 2 at中，當(dāng)t=1時，s=13，當(dāng)t=2時，s=42，則t=5時，s=_。2x + 3v = 12(1)6、 解方程組丿時，可以_將x項的系數(shù)化相等，還可以 _ 將y、3x_4y=17(2)項的系數(shù)化為互為相反數(shù)。17、 已知2x3m-2n+2ym+n與2 x5y4n+1是同類項，貝Vm=_,n=_。8、 寫出2x+3y=12的所有非負整數(shù)解為 _。一,3a-b 2a+c 2b+c -,9、 已知=，貝Ua:b:c=_。ffx im x nOmp10、_ 已知丿 和丿 是方程2x-3y=1的解，則代數(shù)式y(tǒng)的值為_ 。)=n J = m3n_5二. 選擇題(10X3 =

49、30)11、 某校150名學(xué)生參加數(shù)學(xué)考試，人平均分55分，其中及格學(xué)生平均77分，不及格學(xué)生平均47分，則不及格學(xué)生人數(shù)為()A49B 101C 110D402612、已知x+2y+3z=54,3x+y+2z=47,2x+3y+z=31，那么代數(shù)式x+y+z的值是()A、132B、32C、22D、1713、 若2乂+ (m+1)y=3m-1是關(guān)于x、y的二元一次方程，則m的取值范圍是()A、m工1B、m=1C、m=1 D、m=02714、若方程組/x+3y =5的解中的x值比y的值的相反數(shù)大1,則k為()kx(k1)y=8已知4x-5yS0(xyzM0),則x：y:z的值為(x +4y _3

50、z =0219、在y=ax +bx+c中，當(dāng)x=1時，y=0;當(dāng)x=1時，y=6;當(dāng)x=2時，y=3;則當(dāng)x=2時，y=()x + y =520、已知方程組22，則xy的值為()x y=5A、土6B、6三解答題(共60)(m + 1)x (3n + 2)v = 8.(122、(6)在解關(guān)于x、y方程組：(5一門)x + my = 11.(2)可以用(1)X2+(2)消去未知數(shù)x;也可以用(1)+(2)X5消去未知數(shù)y;求m、n的值。15、B、一3C、2D、一2F列方程組中, 屬于二元一次方程組的是x +5y =2_xy =72x - = 1y3x -4y二03xC、=5yx y 4 =4332a b 3416、若4x廠-x6ya是同類項，則A、-3C、317、某校運動員分組訓(xùn)練，若每組7人，余3人；若每組8