八年級數學競賽例題和差化積--因式分解的應用專題講解

1、八年級數學競賽例題和差化積-因式分解的應用專題講解專題05和差化積因式分解的應用閱讀與思考：因式分解是代數變形的有力工具，在以后的學習中， 因式分解是學習分式、一元二次方程等知識的基礎，其 應用主要體現在以下幾個方面：1復雜的數值計算；2代數式的化簡與求值；3簡單的不定方程（組）；4代數等式的證明等.有些多項式分解因式后的結果在解題中經常用到， 我們應熟悉這些結果：;2. ;；例題與求解【例1】已知 ， ，那么 的值為 _（全國初中數學聯賽試題）解題思路：對已知等式通過因式分解變形，尋求a，b之間的關系，代入關系求值【例2】a,b,c是正整數，ab,且，貝U等于（）.A.-1 B 1或7 C.

2、1 D.1或7(江蘇省競賽試題)解題思路：運用因式分解，從變形條件等式入手， 在字母允許的范圍內，把一個代數式變換成另一個 與它恒等的代數式稱代數式的恒等變形，它是研究代數 式、方程和函數的重要工具，換元、待定系數、配方、 因式分解又是恒等變形的有力工具求代數式的值的基本方法有；(1)代入字母的值求值；(2)代入字母間的關系求值；(3)整體代入求值【例3】計算：(1)(“希望杯”邀請賽試題)(2) (江蘇省競賽試題)解題思路：直接計算，則必然繁難，對于(1)，不妨 用字母表示數，通過對分子、分母分解因式來探求解題 思路；對于(2)，可以先研究 的規(guī)律【例4】求下列方程的整數解(1) ;(上海市

3、競賽試題)(2) .(四川省競賽試題)解題思路：不定方程、方程組沒有固定的解法，需 具體問題具體分析，觀察方程、方程組的特點，利用整 數解這個特殊條件，從分解因A.-1 B 1或7 C.1 D.1或7式入手解不定方程的常用方法有：(1)窮舉法；(2)配方法；(3)分解法；(4)分離參 數法用這些方程解題時，都要靈活地運用質數合數、奇 數偶數、整除等與整數相關的知識.【例5】已知 ， ，求下列各式的值：(1)；(2)；(3) 解題思路：先分解因式再代入求值.【例6】一個自然數 恰等于另一個自然數 的立方，則稱自然數 為完全立方數，如27=33,27就是一個完全立 方數.若=xx199519923

4、,求證： 是一個完全立方 數 (北京市競賽試題)解題思路：用字母表示數,將 分解為完全立方式的 形式即可能力訓練A級如圖,有三種卡片,其中邊長為 的正方形卡片1張,邊長分別為 , 的長方形卡片6張,邊長為 的正 方形卡片9張,用這16張卡片拼成一個正方形,則這個 正方形的邊長為煙臺市初中考試題)2已知 ，則 的值為 _ （江蘇省競賽試題）3方程 的整數解是 _ （“希望杯”邀請賽試題）如果 是完全平方式，那么 的值為_ （海南省競賽試題）已知（ ）,則 的值是( )A2,B2 CD6當,的值為（ ）A.1B0 C2 D17已知，貝U M與N的大小關系是( )A. MVN B.M N C.M=

5、N D.不能確定（“希望杯”邀請賽試題）8 為某一自然數，代入代數式 中計算其值時，四 個同學算出如下四個結果，其中正確的結果只能是（ ）ABD（五城市聯賽試題）9計算：（1）（北京市競賽試題）（2） （安徽省競賽試題）0.一個自然數 恰好等于另 一個自然數的平方，則稱自然數 為完全平方數，如64=82,64就是一個完全平方數，若=19982+19982X19992+19992,求證： 是一個完全平方數.北京市競賽試題）已知四個實數且 ， ，若四個關系式 ， ， ，同時成立（1）求 的值；（2）分別求 ， ， ， 的值 （湖州市競賽試題）B級1已知 是正整數，且 是質數，那么（“希望杯”邀請賽

6、試題）2已知三個質數 的乘積等于這三個質數的和的5倍，貝y = .（“希望杯”邀請賽試題）3.已知正數 ， 滿足 ，貝=_. （北京市競賽試題）4 在日常生活中如取款、 上網等都需要密碼， 有一 種用“因式分解”法產生的密碼，方便記憶原理是：如對于多項式，因式分解的結果是 ，若取 =9,=9時，貝各個因式的值是： ，于是就可以把“0181 62” 作為一個六位數的密碼，對于多項式，取 =10, =10時，用上述方法產生的密碼是： _ （寫出一個即可）（浙江省中考試題）5已知 , 是一個三角形的三邊,貝 的值（ ）A.恒正B.恒負C.可正可負D.非負（太原市競賽試題）6.若是自然數，設 ，則（

7、）.A.一定是完全平方數B.存在有限個 ，使是完 全平方數一定不是完全平方數D.存在無限多個 ，使 是完全平方數7.方程的正整數解有（ ）組.A.3 B.2 C.1 D.0（“五羊杯”競賽試題）8.方程的整數解有（ ）組.A.2 B.4 C.6 D.8（”希望杯”邀請賽試題）9.設N=695+5X694+10X693+10X692+5X69+1.試問有多少個正整數是N的因數？（美國中學生數學競賽試題）0當我們看到下面這個數學算式 時，大概會覺得算題的人用錯了運算法則吧， 因為我們知道 但是，如果你動手計算一下，就會發(fā)現 上式并沒有錯，不僅如此，我們還可以寫出任意多個這 種算式： ? ? ? ?你能發(fā)現以上等式的規(guī)律嗎？按下面規(guī)則擴充新數：已有，兩數，可按規(guī)則 擴充一個新數，而以三個數中任取兩數，按規(guī)則又可擴充一個新數，每擴充一個新數叫做一次操作.現有數1和4，求：(1)按上述規(guī)則操作三次得到擴充的最大新