一題多解一題多變

1、圓錐曲線中的中點(diǎn)弦問題及其變式直線與圓錐曲線相交所得弦中點(diǎn)問題，是解析幾何中的重要內(nèi)容之一，也是高考的一個熱點(diǎn)問題。22原題：過橢圓仝=1內(nèi)一點(diǎn)M(2,1)引一條弦，使弦被點(diǎn)M平分，求這條弦所在的直164線方程。解法一：設(shè)所求直線方程為y-1=k(x-2)，代入橢圓方程并整理得:(4k21)x2_8(2k2_k)x4(2k_1)2_16=0又設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為A(x1,y1)，B(x2,y2)，則為，X2是方程的兩個根，于是x-ix28(2k2-k)24k12又“為AB的中點(diǎn)，所以寧=警片=2，1解得k=2故所求直線方程為x2y-4=0。解法二：設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為A(x1,y1)，B(x2

2、,y2)，M(2，1)為AB的中點(diǎn),所以x1x2=4，y1y2=2，2222又A、B兩點(diǎn)在橢圓上，則x14y1=16，x24y2=16，2222兩式相減得g-x2)-4(y1-y2)=0，所以yV2x1x2X1X24(%+y2)所以yV2x1x2X1X24(%+y2)即kab2故所求直線方程為x2y-4=0。解法三：設(shè)所求直線與橢圓的一個交點(diǎn)為則另一個交點(diǎn)為B(4-x,2-y)，因?yàn)锳、B兩點(diǎn)在橢圓上，所以有丿、(4兩式相減得x2y-4=0,A(x,y)，由于中點(diǎn)為M(2，1)，22x4y=1622?x)4(2-y)=16由于過A、B的直線只有一條，故所求直線方程為x2y-4=0。22變式一、

3、過橢圓厶=1上一點(diǎn)P(-8，0)作直線交橢圓于Q點(diǎn)，求PQ中點(diǎn)的軌跡6436方程。則有*229X1+16y1=576-2.2，解法一：設(shè)弦PQ中點(diǎn)M(x,y)，弦端點(diǎn)P(x1,y1)，Q(x2,y2)，9x2+16y2=576兩式相減得9(x,-x22)16(y,-y22)=0，又因?yàn)閄2=2x，y1y2y，所以92x(x1-x?)162y(y1-y?)=0，所以%Xx29x16y而kpQy-0x-(-8)，故9x_y16yx8化簡可得9x272x16y2=0(x=-8)。解法二：設(shè)弦中點(diǎn)M(x,y),Q(xi,y,),.X,8yi由x-,y-可得x,=2x8,y,=2y,2222又因?yàn)镼在橢

4、圓上，所以x-y-1,643622即4(x4)4=i，6436所以PQ中點(diǎn)M的軌跡方程為所以PQ中點(diǎn)M的軌跡方程為22區(qū)m=i169(x=-8)。變式二、求直線y=x-1被拋物線y2=4x截得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)。解：解法一：設(shè)直線y=x-1與拋物線y2=4x交于A(x,y1)，B(X22)，其中點(diǎn)y=x_1P(xo,y)，由題意得2，y=4x消去y得(x-1)2=4x，即x2-6x1=0,X1+X2所以Xo1-=3，y0=冷一1=2，即中點(diǎn)坐標(biāo)為(3,2)。2解法二：設(shè)直線y=x-1與拋物線y2=4x交于A(x1,y1)，B(x2,y2)，其中點(diǎn)p(x,y。)，由題意得y12一4x1，兩式相減得y

5、?2_%2=4(X2-xj，J2=4X2所以(y2y1)(y2y1)=4，x2_為所以y1y2-4，即y=2，X0=y1=3，即中點(diǎn)坐標(biāo)為(3,2)。22變式三探究：設(shè)A、B是二次曲線c：AxCyDxEyF=0上的兩點(diǎn)，p（xo，yo）為弦AB的中點(diǎn)，貝UkAB0（2Cy亠E=0）22設(shè)A(Xi，yi)、B(x2,y2)則AxiCyiDxiEyiF=0(i)22Ax2Cy2Dx2Ey2F=022設(shè)A(Xi，yi)、B(x2,y2)則AxiCyiDxiEyiF=0(i)22Ax2Cy2Dx2Ey2F=02Cy+E(2)(1)-得A(xix2)(xi-x2)C(yiy2)(y_y2)D(xi-x2

6、)E(yi-y2)=0-2Ax0(xi-x2)2Cy0(yi-y2)D(Xi-x2)E(yi_y2)=0-(2Ax0D)(xi-x2)(2Cy0E)(yi-y2)=02AxoD2AxoD-2CyE=0.Xi=X2Xi-X2kAB2Cy0E即2Ax0D2Cy0E。(說明：當(dāng)A-B時，上面的結(jié)論就是過二次曲線I,2Ax+Dk2Cy0+E）變式四探究22設(shè)圓X=0的弦2xD2yoE。（假設(shè)點(diǎn)P在圓上時，則過點(diǎn)C上的點(diǎn)P（X。，y。）的切線斜率公式，即AB的中點(diǎn)為kABp的切線斜率p（x。，y。）（y。式0）,則2x2yDE為)22設(shè)橢圓a2b2的弦AB的中點(diǎn)為P（x0，y0）（y0=0）k=對awb

7、也成立。假設(shè)點(diǎn)P在橢圓上，則過點(diǎn)P的切線斜率為22x_y_2,2akAB，則b2X2*ayx0y0。（注:3設(shè)雙曲線設(shè)點(diǎn)P在雙曲線上,-ib2的弦AB的中點(diǎn)為P（x0,y0）（y0k戈呂則過P點(diǎn)的切線斜率為ay0）0)則kAB)_b2_2aX。y0。（假4設(shè)拋物線2y=2Px的弦AB的中點(diǎn)為P(x0，y0)(%=則kABy0。（假設(shè)點(diǎn)P1）在拋物線上，則過點(diǎn)P的切線斜率為y0我們可以由以上的探究結(jié)論解決有關(guān)問題，下面舉例說明。22例i、求橢圓25i6斜率為3的弦的中點(diǎn)軌跡方程。ci6x25y，故所示的軌跡方程為i6x+75y=0解：設(shè)P（x,y）是所求軌跡上的任一點(diǎn)，則有3=,7575、(x)241、24122x_.y_2,2例2、已知橢圓ab=1(ab0),A、B是橢圓上兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線I與2.2a-bX軸相交于p(X，)，求證：證明：設(shè)AB的中點(diǎn)為T(X1,y1),:Xo:a2-b2k一bAB一一2aXiki由題設(shè)可知2ay1F*AB與x軸不垂直，yi=,yi-I的方程為：2aX12,2a-b2,2a-b/1丄AB221(X-Xjbx1Xi*Xoa2.|%|：a-b22ay10%(x一)令y=0得bX12a22a-bXoI：a:Xo:a2y=X，直線例3、已知拋物線C:I：y=k(x-1)l要使拋物線c上存k的取值范圍是什么?在關(guān)于1對稱的兩點(diǎn),解：設(shè)中點(diǎn)