高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)(研究函數(shù)與極限的基本方法)

1、1 第二講第二講 研究函數(shù)與極限研究函數(shù)與極限 的的 基本方法基本方法2函數(shù)函數(shù)研究的對(duì)象研究的對(duì)象極限極限研究的工具研究的工具連續(xù)連續(xù)研究的橋梁研究的橋梁微積分學(xué)的基礎(chǔ)微積分學(xué)的基礎(chǔ)參考參考 : 第一章 (第一節(jié), 第二節(jié))(英 1642-1727)(德1646-1716)(法1789-1857)3 1-1 函數(shù)和連續(xù)的概念、性質(zhì)和應(yīng)用函數(shù)和連續(xù)的概念、性質(zhì)和應(yīng)用一一. 方法指導(dǎo)方法指導(dǎo)1. 對(duì)函數(shù)的理解和討論對(duì)函數(shù)的理解和討論(1) 定義定義XxfXxxfyyYy, )(定義域 對(duì)應(yīng)規(guī)律值域基本要素基本要素定義域定義域使表達(dá)式及實(shí)際問(wèn)題有意義的自變量取值集合 .對(duì)應(yīng)規(guī)律對(duì)應(yīng)規(guī)律表示方式:圖

2、象法; 表格法 .解析法;值域值域4(2) 基本特性基本特性有界性 ,單調(diào)性 ,奇偶性,周期性.(3) 基本結(jié)構(gòu)基本結(jié)構(gòu)基本初等函數(shù)復(fù)合運(yùn)算反演運(yùn)算初等函數(shù)非初等函數(shù)分段函數(shù)級(jí)數(shù)表示的函數(shù)四則運(yùn)算有限次運(yùn)算且用一個(gè)式子表示5(4) 常用的等式與不等式常用的等式與不等式1(1)12nkn nk、21(1)(21)6nkn nnk2、1212nnnxxxx xxn3、62. 函數(shù)的連續(xù)與間斷函數(shù)的連續(xù)與間斷(1) 連續(xù)性的等價(jià)形式連續(xù)性的等價(jià)形式)(xfy 在0 x連續(xù))()(lim00 xfxfxx0lim0yx)()(00 xfxfyxxx000()()()f xf xf x,0,0當(dāng)0 xx

3、時(shí))()(0 xfxf7(2) 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(P4 , 5)有界定理 ; 最值定理 ;介值定理 ;零點(diǎn)定理 (3) 函數(shù)的間斷點(diǎn)函數(shù)的間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn):00()()f xf x跳躍間斷點(diǎn):00()()f xf x第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)無(wú)窮間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn)二二. 實(shí)例分析實(shí)例分析8例例1. 設(shè),2)()(xfxfxx 1其中,1 ,0 x求. )(xf解解: 令令t,1xx則x,11t代入原方程得)()(tfft11,12t即)()(xffx11x12再令再令,11ux則,111uux代入上式得即)()(ffu11,)1(2uuuu 1)

4、()(ffx11xx)1(2xx 1將將 , 兩式與原方程原方程聯(lián)立,解得1)( xxfx1x119例例2. 設(shè)其中)(,1,0 xaa滿足, )()()(yxyx判斷)(xf的奇偶性.解解: 令,2111)(xaxg則)()(xgxg)2111)()(xaxxf2111xa211xxaa0故)(xg為奇函數(shù)為奇函數(shù) .又令 y = 0 ,得, )0()()0(xx故,0)0(而)0(0)(xx)()(xx故)(x為奇函數(shù)為奇函數(shù) .因此)()()(xgxxf為偶函數(shù) .10例例3. 求常數(shù)k及函數(shù)g(x),使函數(shù)2,0( ),( ),0 xekxf xg xx為連續(xù)的奇函數(shù)。解解: 連續(xù)的奇

5、函數(shù)有 f (0) = 0, 即( )f x0 x 21,xe0 x ( ),g x而( )()g xfx 22()11xxee 所以0 x 21,xe0 x 21,xe( )f x 10,1,kk 11例例4. 設(shè)31,1( ),1xxf xxx求( ( ).f f x解解:)(f( )f x( )1f x 3 ( ) 1,f x ( )1f x ( ),f x當(dāng)( )1f x 時(shí)0 x ; 當(dāng)( )1f x 時(shí),1,01xx0 x 94,x01x31,x1x ,x)(f( )f x12例例5. 設(shè),1sin1)(xxxf證明)(xf但.)(lim0 xfx證證: 在 (0,1) 中取點(diǎn)列在

6、 (0,1 上無(wú)界,212kxk,2, 1 ,0k則有)2sin()2()(22kkxfk22 k顯然 ,2, 1 ,0k)(xf在 (0,1 上無(wú)界 .但 , 若取點(diǎn)列,1nxn,2, 1 ,0n則, )(0nxn而,0)(nxf故.)(lim0 xfx02. 0, 7 . 07 . 0,02. 0(P8.例例4)13的間斷點(diǎn) , 并) 1)(1(sin)1 (lim1xxxxxx, 1sin21 x = 1 為第一類可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn),)(lim1xfx x = 1 為第二類無(wú)窮間斷點(diǎn)無(wú)窮間斷點(diǎn), 1)(lim0 xfx, 1)(lim0 xfx x = 0 為第一類跳躍間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)

7、例例6.求函數(shù)判別間斷點(diǎn)的類型 .解解:) 1(sin)1 ()(2xxxxxf所以 f (x) 有間斷點(diǎn) ) 1)(1(sin)1 ()(xxxxxxf1,0, 1x14例例7.7.設(shè)函數(shù) (2008(2008考研考研) )解解: :只有兩個(gè)間斷點(diǎn)ln( )sin1xf xxx( )f xA.A.B.C.D0,1xx00lnlnlimsinlim011xxxxxxxx0 x 11lnln 1(1)limsinsin1limsin111xxxxxxx 則 有（ ）；1個(gè)可去間斷點(diǎn)，1個(gè)跳躍間斷點(diǎn)； 1個(gè)可去間斷點(diǎn)，1個(gè)無(wú)窮間斷點(diǎn)；2個(gè)跳躍間斷點(diǎn)； 2個(gè)無(wú)窮間斷點(diǎn)。為可去間斷點(diǎn)；11lnln 1

8、(1)limsinsin1limsin111xxxxxxx1x 為跳躍間斷點(diǎn)。15例例8. 討論下述函數(shù)的連續(xù)與間斷問(wèn)題),0) 1)(1( ()11(lim)(txtxtxxftxtxt(P8.例例5(1)解解:txtttxxfxt)11(lim)(1limx tttx ttxe1xxe顯然 ,)(xf在區(qū)域), 1 () 1,(上連續(xù) .因11(1 )limxxxfe,011(1 )limxxxfe故 x =1 為第二類無(wú)窮間斷點(diǎn).1161-2 求極限的方法求極限的方法 (P13 第二節(jié)第二節(jié))一一. 方法指導(dǎo)方法指導(dǎo)1. 求極限的基本方法求極限的基本方法 (P16-P19)(1) 已知極

9、限值利用極限定義驗(yàn)證(用“ - N ” 或 “ - ”語(yǔ)言)(2) 未知極限值先判別極限存在后再求極限根據(jù)法則演算, 判定與計(jì)算同時(shí)進(jìn)行.17求極限的基本方法求極限的基本方法 1）用驗(yàn)證極限的定義。8) 用極限運(yùn)算法則與函數(shù)的連續(xù)性求極限。2）用消去不定型法求極限。3）用有界函數(shù)與無(wú)窮小乘積仍為無(wú)窮小的結(jié)論求極限。5）用等價(jià)無(wú)窮小的替代定理求極限。6）用變量代換求極限。4）用兩個(gè)重要極限公式求極限。7）用左、右極限存在且相等的方法求極限。9）用函數(shù)極限和數(shù)列極限的關(guān)系求極限。10）利用極限存在準(zhǔn)則求極限。1812）用導(dǎo)數(shù)的定義或定積分定義求極限。13）利用微分中值定理求極限。14）利用泰勒公式

10、求極限。16）用無(wú)窮級(jí)數(shù)的有關(guān)知識(shí)求極限。11）用洛必達(dá)法則求極限。15）用積分中值定理求極限。17） 其他。192.求未定式的極限的方法求未定式的極限的方法通分通分轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化000取倒數(shù)取倒數(shù)轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化0010取對(duì)數(shù)取對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化3. 求極限的基本技巧求極限的基本技巧(1) 定式部分應(yīng)盡早求出; 各種方法注意綜合使用.(2) 注意利用已知極限的結(jié)果 . 例如, 當(dāng) 時(shí)00!lim!limlimlnlimnnnnnnnnnneennnlnlimlimlim0 xxxxxxxxexexn時(shí)nnnnenn, !,ln速度一個(gè)比一個(gè)快 .20(3) 善于利用等價(jià)無(wú)窮小替換利用麥克勞林公式找等價(jià)無(wú)窮小)(

11、!)0(!2)0()0()0()()(2nnnxoxnfxfxffxf 當(dāng)0 x時(shí))(xfnnxnf!)0()(xff)0()0(替換定理替換定理（整個(gè)分子、整個(gè)分母或分子分母乘積的因子）211xe;xxex1;221x)1ln(x;xxx )1ln( ;221x1)1 (x.xxtan;xxarcsin;xxsin;xxx sin;3!31xxcos1;221x當(dāng) x 0 時(shí), 有下列常用等價(jià)無(wú)窮小 : ( P16)一般形式，如：( )0f x ln(1( )f x( );f x(1( )1( )f xf xxarctan;x22設(shè)對(duì)同一變化過(guò)程 , , 為無(wú)窮小 ,說(shuō)明說(shuō)明:無(wú)窮小的性質(zhì),

12、 (1) 和差取大規(guī)則和差取大規(guī)則: 由等價(jià)可得簡(jiǎn)化某些極限運(yùn)算的下述規(guī)則. 若 = o() , 例如例如,xxxx3sinlim30 xxx3lim031則證明證明lim）（1lim120ln(12)limsinxxxx02lim2xxx練習(xí)練習(xí)、求 23,不等價(jià)與且若,則,limlim且.時(shí)此結(jié)論未必成立但例如例如,11sin2tanlim0 xxxxxxxx2102lim2(2) 和差代替規(guī)則和差代替規(guī)則: 24(3) 因式代替規(guī)則因式代替規(guī)則:極限存在或有且若)(,x界, 則)(limx)(limx例如例如,.sintanlim30 xxxx30limxxxx原式30)cos1 (ta

13、nlimxxxx2132210limxxxx例例4. 求01limarcsinsinxxx解解: 原式 01limsin0 xxx25如, 利用導(dǎo)數(shù)定義 ,微分中值定理 ,泰勒公式等求極限 .3. 判斷極限不存在的主要方法判斷極限不存在的主要方法 (P22, 6)(1) 對(duì)分段函數(shù), 在界點(diǎn)處討論左右極限 ;(2) 利用數(shù)列極限與函數(shù)極限的關(guān)系 ;(3) 利用反證法 , 設(shè)極限存在推出矛盾.(4) 注意用求極限的特殊方法 26例例1. 求).1sin(lim2nn解解:原式2limsin(1)nnnn)1(sin) 1(lim2nnnnnnnn1sin) 1(lim20二二. 實(shí)例分析實(shí)例分析

14、27例例2. 求01limxxx limttt. 1lim0 xxx0型解解:令 1tx有1例例3. 求.lim100021xexx00型解解:不能直接用洛必達(dá)法則 !令,12xt 則ttet50lim原式0說(shuō)明說(shuō)明: 有許多極限問(wèn)題可通過(guò)變量代換使其簡(jiǎn)化 . 再如, P27 例728例例4. 求sinsin2cossin2240sinsin(sin )sinlimxxxxx30sinsin(sin )limxxxx（洛必達(dá)法則或泰勒公式）2008考研考研30sinlimxxxx1629例例5. 設(shè))(xf解解: 利用前一極限式可令bxaxxxf2322)(再利用后一極限式 , 得xxfx)(

15、lim30可見(jiàn)0,3ba是多項(xiàng)式 , 且,22)(lim23xxxfx,3)(lim0 xxfx求. )(xf)(lim0 xbax故xxxxf322)(2330例例6. 求.sin12lim410 xxeexxx解解:xxeexxxsin12lim4100sinlim 0 xxx1xxeexxxsin12lim4100sinlim 2xxx1原式 = 1 .310 x例例7. 求函數(shù)xxx解解:xxx1214381xxx當(dāng)0 x時(shí)的等價(jià)無(wú)窮小.81 xxxx0 x sin cos cos2xxxxkCx01sin cos cos2limkxxxxxCx1011cos4limkxxCkx210

16、18lim1kxxCkx3,8 3.kC時(shí) 與小，求C. 解 是等價(jià)無(wú)窮01sin414limkxxxCx則例例832練習(xí)練習(xí) 已知11( ),sinxf xxx0lim( )xaf xa0 x ( )f xakxk011lim()sinxxaxx220sinlimxxxxx012coslim12xxxx，(1)求的值，(2)當(dāng)時(shí)，是求常數(shù)解解 由題意 (1)；的同階無(wú)窮小,的值。2012考研33(2) 因?yàn)?3sin()6xxxo x0( )limkxf xx220sinsinlimkxxxxxxx322320()()6limkxxxxxxo xx3320()6limkxxo xx32k(

17、)f xa1.k ，則可知當(dāng) 時(shí)，因此 與x是同階無(wú)窮小，20sin1sinlimkxxxxxxx34nne21例例9. 求.lim120 xneeexnxxx1型證證:原式120lim 1xxxnxxeeenn( )( )1( )lim( )u xf xu xf x ex0lim對(duì)指數(shù)用洛必達(dá)法則) 1(21nexnneeexnxx2( )lim1 ( ( ) 1)u xf xlim( ) 1 ( )f xu xe35例例10、求21lim( arctan)xxxx21lim( arctan)xxxx21lim(1( arctan1)xxxx21( arctan1)limxxxxe1, tx

18、21lim( arctan1)xxxx30arctanlimtttt13 2131lim( arctan)xxxex解解 令 則36例例11 求極限求極限21) lim()()xxxxa xb()lim1()()xxab xabxa xb()lim()()xx a b x aba bx ax bee2010考研考研37解解110ln(1)2)limxexxIx2011考研考研10ln(1)lim 1xxxxIx20ln(1)limxxxxe0111lim2xxxe01lim22xxxee38當(dāng)當(dāng)lnln(1)lnln1xxxye11ln(1)xexyx0(1)ln(1)lim(1)ln(1)x

19、xxxxxx00lnln(1)lnlim lnlimxxxxyx0 x 110ln(1)2) limxexxx011lim(1)ln(1)xxxx12 2011考研考研設(shè)時(shí)，20(1)ln(1)limxxxxx01 ln(1) 1lim2xxxln ln(1)ln()ln1xxxye10 x 同樣可得時(shí)，00ln ln(1)ln()1lim lnlim2xxxxyx 當(dāng)原式12e393、1cossin4lim (tan )xxxx1cossin4lim (1(tan1)xxxxtan1cossin4limxxxxe4tan1limcossinxxxx41tan1limcos1tanxxxx2

20、1cossin4lim (tan )xxxxtan12cossin4limxxxxee所以因?yàn)?012考研考研40.sinlimsin0 xxeeIxxx解解: sinsin01limsinxxxxeIexxxxexxsin1sin1例例12 1、 求一般，若lim( ), lim ( )f xag xa( )( )lim( )( )f xg xeeIf xg x則( )( )1lim( )( )f xg xaeef xg xae412、計(jì)算22 2cos40limxxxeex22 2cos2 2cos401limxxxxeex 24022coslimxxxx30sinlim2xxxx301c

21、os1lim126xxx2012考研考研42例例13. 求.)(sinlim30 xxxxxx( P43 題題21(3) )解解:原式=3sin0)(1 limxxxxxxx30 limxxxxeln1 sinlnxxxe利用ln0lim1,xxxeueu12sin0lnlimxxxx)1sin(1lnsinlnxxxx1sinxx2sin01limxxxx30sinlimxxxx33!310limxxx3! 31sinxxx6143例例14. ln(1)xxx lnxx解解: 因?yàn)楫?dāng)或所以所以)sinlnarctan(limxxxx1|sin|xxlnsinxxxlnsinxxxlim ar

22、ctan(lnsin )2xxxxlnsin(1)xxxx 44例例15. 設(shè))(xf在 x = 0 的某鄰域內(nèi)二階可導(dǎo), 且,21)(sinlim30 xxfxxx求)0(),0(ff及)0(f 的值.解解:)(sin3!33xoxxx)()0()0()0()(22!21xoxfxffxf 301limxx(1(0)fx2)0(xf 36121)0(xf )(3xo2121)(sin1lim30 xfxxxx代入, 得, 1)0(f,0)0( f.34)0( f45例例16. 求. )1 (cossin1lim34222260 xxxxxx00型直接用洛必達(dá)法則繁 !解決辦法巧用泰勒公式巧用

23、泰勒公式解解:xx22cossinx2sin241)4cos1 (81x812!21)4( x4!41)4( x6!61)4( x)(6xo34)1 (22xx2x見(jiàn)見(jiàn) P70見(jiàn)見(jiàn) P702341x43134! 21x)(4xo6924342xxx)(6xo 原式601limxx)()(66924532xox 452246說(shuō)明說(shuō)明 利用泰勒公式求極限 (P31例例12) 利用導(dǎo)數(shù)定義求極限(P29例例9(1) ; P30 例例10) 利用微分中值定理求極限(P31例例11) 求極限的特殊方法求極限的特殊方法: 利用定積分定義求極限 (P29例例9(2) 47例例1720lncos3arctan

24、4limln(1 2 ) lncos5xxxxxx20ln(1cos31)4lim2ln(1cos51)xxxxxx0(cos31)2lim2(cos51)xxxxx01cos31lim4cos51xxx 2201(3 ) /2lim4(5 ) /2xxx 9100 48例例18.解解: 原式xexxexxxx2)ln()ln(sinlim2220 xexexxeexxxxx2) 1(ln) 1(sinlnlim22220) 1ln() 1ln(sinlim2220 xxxexxe2220sinlimxxxx ex e1lim20 xxxee2220ln(sin1)lim2ln(1)2xxxx

25、xexxx ex49例例19. 解法解法1: 原式0)1(lim313xbaxxx0)1(lim313xbaxx故,01a于是1a而)1(lim33xxbx2333231)1 (1limxxxxx試確定常數(shù) a , b 使.0)1(lim33bxaxx(P34 例例14)050例例19. 解法解法2: 因x3133311xxx試確定常數(shù) a , b 使0)1(lim33bxaxx(P34 例例14)利用時(shí))(121xox)1(lim033bxaxx)1()1(limxobxax得.0, 1ba51例例20. 解解: 設(shè)由夾逼準(zhǔn)則得,122) 1(nnknkxlim.nnx222) 1(1.11

26、1nnnxn222222(1)nnnxnn222lim2nnn222lim2(1)nnn2limnnx求52例例21. 設(shè)證明證明:嚴(yán)格單調(diào)增加，且有界，則 x1210( )( )fxfxx且)(limnfn21110( )xxf t dtdtt10( )(1)1f xfx ( )0,fx)(xf)(limxfx)(limnfn10( )(1)11f nfn )(limnfn證明存在。 時(shí)，有連續(xù)存在，嚴(yán)格單調(diào)增加，且有界，所以存在，則存在?；蛘叽嬖?。53例例2222 設(shè)數(shù)列 nx110,sin(1,2,)nnxxxnlimnnx211limnxnnnxx212sin,01,xxx2n 1si

27、n,nnnxxx nx 0,nnxxlimnnxAsin,0.AA A221100sinsinlimlim(1)ttttttttt30sinlimtt tte20cos1lim3ttte0sinlim6ttte16e滿足（1）證明存在，并求之，（2）計(jì)算解解（1）因?yàn)?則當(dāng)時(shí)，單調(diào)減少。又有下界，根據(jù)準(zhǔn)則，存在，（2）遞推公式兩邊取極限得2009考研考研54例例23. 設(shè)證明證明:設(shè)11114, lim.2nnnnnxxxxx求2212211111nnnnnxxxxxnnnnnxxxxx211nnxx22202222nx1nnxxnxnnxlim axnnlim )21(lim lim 11nnnnnxxxaaa21 2.a 得則單調(diào)減少，且有下界，存在。即55例例24) 1()1(lim323231xxxIx)(22bababa)(2233babababa1111133333lim