高中數(shù)學必修五習題及解析

1、必修五第一章 解三角形1.在ABC中，AB5，BC6，AC8，則ABC的形狀是()A銳角三角形 B直角三角形 C鈍角三角形 D非鈍角三角形解析：最大邊AC所對角為B，則cosB<0，B為鈍角 答案C2在ABC中，已知a1，b，A30°，B為銳角，那么A，B，C的大小關系為()AA>B>C BB>A>C CC>B>A DC>A>B解析由正弦定理，sinB.B為銳角，B60°，則C90°，故C>B>A. 答案C3在ABC中，已知a8，B60°，C75°，則b等于()A4 B4 C4

2、D.解:由ABC180°，可求得A45°，由正弦定理，得b4.答案C4在ABC中，AB5，BC7，AC8，則·的值為()A5 B5 C15 D15解析在ABC中，由余弦定理得cosB.·|·|cosB5×7×5. 答案A5若三角形三邊長之比是1：2，則其所對角之比是()A1：2：3 B1：2 C1： D.：2解析設三邊長分別為a，a,2a，設最大角為A，則cosA0，A90°.設最小角為B，則cosB，B30°，C60°. 因此三角之比為1：2：3. 答案A6在ABC中，若a6，b9，A45&#

3、176;，則此三角形有()A無解 B一解 C兩解 D解的個數(shù)不確定解析由，得sinB>1.此三角形無解 答案A7已知ABC的外接圓半徑為R，且2R(sin2Asin2C)(ab)sinB(其中a，b分別為A，B的對邊)，那么角C的大小為()A30° B45° C60° D90°解析根據(jù)正弦定理，原式可化為2R(ab)·， a2c2(ab)b，a2b2c2ab，cosC，C45°. 答案B8在ABC中，已知sin2Asin2BsinAsinBsin2C，且滿足ab4，則該三角形的面積為()A1 B2 C. D.解析由2R，又sin

4、2Asin2BsinAsinBsin2C，可得a2b2abc2.cosC，C60°，sinC.SABCabsinC.答案D9在ABC中，A120°，AB5，BC7，則的值為()A. B. C. D.解析由余弦定理，得cosA，解得AC3. 由正弦定理. 答案D10.在三角形ABC中，AB5，AC3，BC7，則BAC的大小為()A. B. C. D.解析由余弦定理，得cosBAC，BAC.答案A11有一長為1 km的斜坡，它的傾斜角為20°，現(xiàn)要將傾斜角改為10°，則坡底要加長()A0.5 km B1 km C1.5 km D. km解析如圖，ACAB&#

5、183;sin20°sin20°，BCAB·cos20°cos20°，DC2cos210°，DBDCBC2cos210°cos20°1. 答案B12已知ABC中，A，B，C的對邊分別為a，b，c.若ac，且A75°，則b為()A2 B42 C42 D.解析在ABC中，由余弦定理，得a2b2c22bccosA，ac，0b22bccosAb22b()cos75°，而cos75°cos(30°45°)cos30°cos45°sin30°sin

6、45°()，b22b()cos75°b22b()·()b22b0，解得b2，或b0(舍去)故選A. 答案A13在ABC中，A60°，C45°，b4，則此三角形的最小邊是_解析由ABC180°，得B75°，c為最小邊，由正弦定理，知c4(1) 答案4(1)14在ABC中，若b2a，BA60°，則A_.解析由BA60°，得sinBsin(A60°)sinAcosA.又由b2a，知sinB2sinA.2sinAsinAcosA.即sinAcosA.cosA0，tanA.0°<A<

7、180°，A30°. 答案30°15在ABC中，AC2B，BC5，且ABC的面積為10，則B_，AB_.解析由AC2B及ABC180°，得B60°.又SAB·BC·sinB，10 AB×5×sin60°，AB8. 答案60°816在ABC中，已知(bc)：(ca)：(ab)8：9：10，則sinA：sinB：sinC_.解析設可得a：b：c11：9：7.sinA：sinB：sinC11：9：7. 答案11：9：7三、解答題(本大題共6個小題，共70分解答應寫出必要的文字說明、證明過程或

8、演算步驟)17(10分)在非等腰ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a2b(bc)(1)求證：A2B；(2)若ab，試判斷ABC的形狀解(1)證明：在ABC中，a2b·(bc)b2bc，由余弦定理，得cosB，sinA2sinBcosBsin2B.則A2B或A2B.若A2B，又ABC，BC.這與已知相矛盾，故A2B.(2)ab，由a2b(bc)，得3b2b2bc，c2b.又a2b24b2c2.故ABC為直角三角形18(12分)銳角三角形ABC中，邊a，b是方程x22x20的兩根，角A，B滿足2sin(AB)0.求：(1)角C的度數(shù)；(2)邊c的長度及ABC的面積解(1)

9、由2sin(AB)0，得sin(AB).ABC為銳角三角形，AB120°，C60°.(2)a，b是方程x22x20的兩個根，ab2，ab2.c2a2b22abcosC(ab)23ab1266.c.SABCabsinC×2×.19(12分)如右圖，某貨輪在A處看燈塔B在貨輪的北偏東75°，距離為12 nmile，在A處看燈塔C在貨輪的北偏西30°，距離為8 nmile，貨輪由A處向正北航行到D處時，再看燈塔B在北偏東120°，求：(1)A處與D處的距離；(2)燈塔C與D處的距離解(1)在ABD中，ADB60°，B45

10、°，AB12 ，由正弦定理，得AD24(nmile)(2)在ADC中，由余弦定理，得CD2AD2AC22AD·AC·cos30°.解得CD8(nmile)A處與D處的距離為24 nmile，燈塔C與D處的距離為8 nmile.20(12分)已知ABC的角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，設向量m(a，b)，n(sinB，sinA)，p(b2，a2)(1)若mn，求證：ABC為等腰三角形；(2)若mp，邊長c2，角C，求ABC的面積解(1)證明：mn，asinAbsinB.由正弦定得知，sinA，sinB(其中R為ABC外接圓的半徑)，代入上式，得a&#

11、183;b·，ab.故ABC為等腰三角形(2)mp，m·p0，a(b2)b(a2)0，abab.由余弦定理c2a2b22abcosC得4(ab)23ab，即(ab)23ab40.解得ab4，ab1(舍去)ABC的面積SabsinC×4×sin.第二章 數(shù)列1已知正項數(shù)列an中，a1=l，a2=2，2an2=an+12+an-12（n2），則a6=（）A16B4C22D45【解答】解：正項數(shù)列an中，a1=1，a2=2，2an2=an+12+an12（n2），an+12an2=an2an12，數(shù)列an2為等差數(shù)列，首項為1，公差d=a22a12=3，an2

12、=1+3（n1）=3n2，an=3n+2a6=3×6-2=4， 故選：B2張丘建算經卷上第22題“女子織布”問題：某女子善于織布，一天比一天織得快，而且每天增加的數(shù)量相同已知第一天織布5尺，30天共織布390尺，則該女子織布每天增加（）A47尺B1629尺C815尺D1631尺【解答】解：設該婦子織布每天增加d尺，由題意知S30=30×5+30×292d=390，解得d=1629故該女子織布每天增加1629尺故選：B3已知數(shù)列an滿足a1=1，an+1=2an,(n為正奇數(shù)）an+1,(n為正偶數(shù)），則其前6項之和是（）A16B20C33D120【解答】解：a1=

13、1，an+1=2an,(n為正奇數(shù)）an+1,(n為正偶數(shù)），a2=2a1=2，a3=a2+1=2+1=3，a4=2a3=6，a5=a4+1=7，a6=2a5=14其前6項之和是1+2+3+6+7+14=33故選C4定義np1+p2+pn為n個正數(shù)p1，p2，pn的“均倒數(shù)”若已知數(shù)列an的前n項的“均倒數(shù)”為12n+1，又bn=an+14，則1b1b2+1b2b3+1b10b11=（）A 111B910C 1011D 1112【解答】解：由已知得，na1+a2+an=12n+1a1+a2+an=n（2n+1）=Sn當n2時，an=SnSn1=4n1，驗證知當n=1時也成立，an=4n1，bn

14、=an+14，1bn'bn+1=1n-1n+11b1b2+1b2b3+1b10b11=(1-12)+12-13+13-14+110-111=1-111=1011 故選C5已知等比數(shù)列an是遞增數(shù)列，Sn是an的前n項和若a1，a3是方程x25x+4=0的兩個根，則S6=63【解答】解：解方程x25x+4=0，得x1=1，x2=4因為數(shù)列an是遞增數(shù)列，且a1，a3是方程x25x+4=0的兩個根，所以a1=1，a3=4設等比數(shù)列an的公比為q，則q2=a3a1=41=4，所以q=2則S6=a1(1-q6)1-q=1×(1-26)1-2=63 故答案為636如圖給出一個“三角形數(shù)

15、陣”已知每一列數(shù)成等差數(shù)列，從第三行起，每一行數(shù)成等比數(shù)列，而且每一行的公比都相等，記第i行第j列的數(shù)為aij（ij，i，jN*），則a53等于，amn=（m3）1412,1434,34,316【解答】解：第k行的所含的數(shù)的個數(shù)為k，前n行所含的數(shù)的總數(shù)=1+2+n=n(n+1)2a53表示的是第5行的第三個數(shù)，由每一列數(shù)成等差數(shù)列，且第一列是首項為12，公差d=12-14=14的等差數(shù)列，第一列的第5 個數(shù)=14+5-1×14=54;又從第三行起，每一行數(shù)成等比數(shù)列，而且每一行的公比都相等，由第三行可知公比q=3834=12，第5行是以為首項，12為公比的等比數(shù)列，a53=54&#

16、215;(12)2=516amn表示的是第m行的第n個數(shù)，由可知：第一列的第m 個數(shù)=14+m-1×14=m4，amn=m4×(12)n-1=m2n+1故答案分別為516， m2n+17等差數(shù)列an中，a7=4，a19=2a9，（）求an的通項公式； （）設bn=1nan，求數(shù)列bn的前n項和Sn【考點】8E：數(shù)列的求和；84：等差數(shù)列的通項公式【分析】（I）由a7=4，a19=2a9，結合等差數(shù)列的通項公式可求a1，d，進而可求an（II）由bn=1nan=2n(n+1)=2n-2n+1，利用裂項求和即可求解【解答】解：（I）設等差數(shù)列an的公差為da7=4，a19=2a

17、9，a1+6d=4a1+18d=2(a1+8d)解得，a1=1，d=12an=1+12n-1=1+n2（II）bn=1nan=2n(n+1)=2n-2n+1Sn=2(1-12+12-13+1n-1n+1)=21-1n+1=2nn+18已知等差數(shù)列an，的前n項和為Sn，且a2=2，S5=15，數(shù)列bn滿足b1=12，bn+1=n+12nbn（1）求數(shù)列an，bn的通項公式；（2）記Tn為數(shù)列bn的前n項和，fn=2Sn(2-Tn)n+2，試問f（n）是否存在最大值，若存在，求出最大值，若不存在請說明理由將bn+1=n+12nbn整理，得到bnn是首項為12，公比為12的等比數(shù)列，應用等比數(shù)列的

18、通項即可求出bn；（2）運用錯位相減法求出前n項和Tn，化簡f（n），運用相鄰兩項的差f（n+1）f（n），判斷f（n）的增減性，從而判斷f（n）是否存在最大值【解答】解：（1）設等差數(shù)列an首項為a1，公差為d，則a1+d=25a1+10d=15解得a1=1，d=1，an=n，又bn+1n+1=bn2n，即bnn是首項為12，公比為12的等比數(shù)列，bnn=b11(12)n-1，bn=n2n；（2）由（1）得：Tn=12+222+323+n2n，12Tn=123+223+324+n-12n+n2n+1，相減，得12Tn=12+122+123+12n+n2n+1， =12(1-12n)1-12，

19、Tn=2-n+22n，又Sn=12n（n+1），fn=2Sn(2-Tn)n+2=n2+n2n，fn+1-fn=(n+102+n+12n+1-n2+n2n=(n+1)(2-n)2n-1，當n3時，f（n+1）f（n）0，數(shù)列f（n）是遞減數(shù)列，又f1=1,f2=32,f3=32f（n）存在最大值，且為329設數(shù)列an的前項n和為Sn，若對于任意的正整數(shù)n都有Sn=2an-3n.（1）設bn=an+5，求證：數(shù)列bn是等比數(shù)列，并求出an的通項公式。（2）求數(shù)列nan的前n項和. 解：（1）Sn=2an-3n對于任意的正整數(shù)都成立，Sn+1=2an+1-3(n+1) 兩式相減，得Sn+1-Sn=2

20、an+1-3n+1-2an+3nan+1=2an+1-2an-3， 即an+1=2an+3an+1+3=2(an+3)，即bn=an+1+3an+3=2對一切正整數(shù)都成立。數(shù)列bn是等比數(shù)列。由已知得 S1=2a1-3 即a1=2a1-3首項b1=a1+3，公比q=2，bn=62n-1。an=62n-1-3=32n-3。10設數(shù)列an的前n項為Sn，點n,Snn,nN*均在函數(shù)y = 3x2的圖象上.（1）求數(shù)列an的通項公式。（2）設bn=3anan+1，Tn為數(shù)列bn的前n項和，求使得Tn<m20對所有nN*都成立的最小正整數(shù)m.解：（1）點n,Snn在函數(shù)y = 3x2的圖象上，a

21、1= s1 =1當 （2） ，使得12(1-16n-1)<m20(nN*)成立的m必須且僅需滿足12m20即m10，故滿足要求的最小整數(shù)m為10.第三章 不等式1.若b<a<0，則下列不等式中正確的是()A.1a>1bB.|a|>|b| C.ba+ab>2D.a+b>ab【解析】選C.取b=-2，a=-1代入驗證得C正確.2.(2015·贛州高二檢測)不等式x-4x-1<1的解集是()A.(-，-1)(3，+)B.(-1，1)(3，+) C.(-，-1)(1，3)D.(-1，3)【解析】選C.不等式x-4x-1<1化為(x-1)2

22、-4x-1<0，即(x-3)(x+1)x-1<0，由穿根法可得不等式的解集為(-，-1)(1，3).3.(2015·太原高二檢測)若m<n，p<q且(q-m)(q-n)<0，(p-m)(p-n)<0，則m，n，p，q從小到大排列順序是()A.p<m<n<q B.m<p<q<n C.p<q<m<nD.m<n<p<q【解析】選B.將p，q看成變量，則m<p<n，m<q<n.4.若變量x，y滿足約束條件x-1,yx,3x+2y5,則z=2x+y的最大值為()A

23、.1B.2C.3D.4【解析】選C.可行域是由A(-1，-1)，B(-1，4)，C(1，1)構成的三角形，可知目標函數(shù)過C時最大，最大值為3.5.(2015·邯鄲高二檢測)已知x>0，y>0，x+2y+2xy=8，則x+2y的最小值是()A.3B.4C.92D.112【解析】選B.考查基本不等式x+2y=8-x·(2y)8-x+2y22，整理得x+2y2+4x+2y-320，即x+2y-4x+2y+80，又x+2y>0，所以x+2y4.當且僅當x=2，y=1時取等號.6.設不等式組x+y-110,3x-y+30,5x-3y+90表示的平面區(qū)域為D，若指數(shù)函

24、數(shù)y=ax的圖象上存在區(qū)域D上的點，則a的取值范圍是()A.(1，3B.2，3 C.(1，2D.3，+)【解析】選A.作出區(qū)域D的圖象，聯(lián)系指數(shù)函數(shù)y=ax的圖象，能夠看出，當圖象經過區(qū)域的邊界點(2，9)時，a可以取到最大值3，而顯然只要a大于1，圖象必然經過區(qū)域內的點，故a的取值范圍為(1，3.7.當x>1時，不等式x+1x-1a恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是()A.(-，2B.2，+) C.3，+)D.(-，3【解析】選D.因為x>1，所以x-1>0，則x+1x-1=x-1+1x-1+12+1=3，當且僅當x=2時取等號，所以a3.8.(2015·恩施高二檢測)

25、已知函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)的圖象經過點(-1，3)和(1，1)兩點，若0<c<1，則a的取值范圍是()A.(1，3)B.(1，2) C.2，3)D.1，3來源:Z,xx,k.Com【解題指南】由函數(shù)圖象經過兩點，將兩點的坐標代入，可得a，b，c的關系，又因為0<c<1，由此確定a的取值范圍.【解析】選B.a-b+c=3,a+b+c=1,a+c=2，c=2-a，0<2-a<1，1<a<2.9.(2015·鐵嶺高二檢測)某加工廠用某原料由甲車間加工出A產品，由乙車間加工出B產品.甲車間加工一箱原料需耗費工時10小時可加工出7千克A

26、產品，每千克A產品獲利40元，乙車間加工一箱原料需耗費工時6小時可加工出4千克B產品，每千克B產品獲利50元.甲、乙兩車間每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙兩車間耗費工時總和不得超過480小時，甲、乙兩車間每天總獲利最大的生產計劃為()A.甲車間加工原料10箱，乙車間加工原料60箱B.甲車間加工原料15箱，乙車間加工原料55箱C.甲車間加工原料18箱，乙車間加工原料50箱D.甲車間加工原料40箱，乙車間加工原料30箱【解析】選B.設甲車間加工原料x箱，乙車間加工原料y箱.則x+y70,10x+6y480,x,yN,目標函數(shù)z=280x+200y，結合圖象可得：當x=15，y=55時z

27、最大，本題也可以將答案逐項代入檢驗.10.已知M是ABC內的一點，且AB·AC=23，BAC=6，若MBC，MCA，MAB的面積分別為12，x，y，則1x+4y的最小值為()A.16B.18C.20D.24【解析】選B.因為AB·AC=23，BAC=6，|AB|AC|cos6=23，bc=4，SABC=12bcsin6=14bc=1.MBC，MCA，MAB的面積分別為12，x，y，12+x+y=1，化為x+y=12.1x+4y=2(x+y)1x+4y=25+yx+4xy25+2yx·4xy=18，當且僅當y=2x=13時取等號，故1x+4y的最小值為18.11.已

28、知兩點O(0，0)，A(1，1)及直線l：x+y=a，它們滿足：O，A有一點在直線l上或O，A在直線l的兩側，設h(a)=a2+2a+3，則使不等式x2+4x-2h(a)恒成立的x的取值范圍是()A.0，2B.-5，1C.3，11D.2，3【解析】選B.由O，A有一點在直線l上可得a=0或a=2，來源:Zxxk.Com由O，A在直線l的兩側可得a(a-2)<0，解得0<a<2，故0a2，又函數(shù)h(a)=(a+1)2+2在0，2上單調遞增，所以h(a)max=h(2)=11，h(a)min=h(0)=3，由x2+4x-2h(a)恒成立，得x2+4x-23，解不等式可得-5x1.

29、12.若兩個正實數(shù)x，y滿足1x+4y=1，且不等式x+y4<m2-3m有解，則實數(shù)m的取值范圍是()A.(-1，4)B.(-，-1)(4，+) C.(-4，1)D.(-，0)(3，+)【解析】選B.因為不等式x+y4<m2-3m有解，所以x+y4min<m2-3m，因為x>0，y>0，且1x+4y=1，所以x+y4=x+y41x+4y=4xy+y4x+224xy·y4x+2=4，當且僅當4xy=y4x，即x=2，y=8時取等號，所以x+y4min=4，故m2-3m>4，即(m+1)(m-4)>0，解得m<-1或m>4，所以實數(shù)m

30、的取值范圍是(-，-1)(4，+).13.已知不等式x2-ax-b<0的解集為(2，3)，則不等式bx2-ax-1>0的解集為_.【解析】依題意知方程x2-ax-b=0的兩根為2，3，根據(jù)根與系數(shù)的關系可求得a=5，b=-6，所以不等式bx2-ax-1>0為6x2+5x+1<0，解得-12<x<-13.答案：-12,-1314.(2015·揚州高二檢測)不等式4x-3·2x+2<0的解集是_.【解析】由4x-3·2x+2<0(2x)2-3·2x+2<0(2x-1)(2x-2)<01<2x&

31、lt;2.所以0<x<1，故不等式的解集是x0<x<1. 答案：x0<x<115.已知f(x)=32x-k·3x+2，當xR時，f(x)恒為正值，則k的取值范圍為_.【解析】由f(x)>0，得32x-k·3x+2>0，解得k<3x+23x，而3x+23x22，所以k<22.答案：(-，22)16.(2015·鹽城高二檢測)設m>1，已知在約束條件yx,ymx,x+y1下，目標函數(shù)z=x2+y2的最大值為23，則實數(shù)m的值為_.【解析】由題意作出其平面區(qū)域，z=x2+y2可看成陰影內的點到原點(0，0)的距離的平方，則由題意得x2+y2=23,x+y=1.解得，點C的坐標為12-36,1