高中數(shù)學(xué)選修-ppt課件

1、選修2-22.2.2教學(xué)目的教學(xué)目的 結(jié)合曾經(jīng)學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解間接證明的一種根本方法反證法；了解反證法的思索過(guò)程、特點(diǎn). 教學(xué)重點(diǎn)：會(huì)用反證法證明問(wèn)題；了解反證法的思索過(guò)程. 教學(xué)難點(diǎn)：根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法.methodlsynthetica,這這種種證證明明方方法法叫叫做做要要證證明明的的結(jié)結(jié)論論成成立立最最后后推推導(dǎo)導(dǎo)出出所所經(jīng)經(jīng)過(guò)過(guò)一一系系列列的的推推理理論論證證定定理理等等學(xué)學(xué)定定義義、公公理理、利利用用已已知知條條件件和和某某些些數(shù)數(shù)一一般般地地綜綜合合法法.,果法果法又叫順推證法或由因?qū)в纸许樛谱C法或由因?qū)ЬC合法綜合法:,Q,P表表示示為為則則綜綜合合法法可可用用

2、框框圖圖表表示示所所要要證證明明的的結(jié)結(jié)論論等等定定義義、公公理理、定定理理表表示示已已知知條條件件、已已有有的的用用1QP 21QQ 32QQ QQn ).methodanalytical(.)(,這這種種證證方方法法叫叫做做為為止止公公理理等等、已已知知條條件件、定定理理、定定義義定定一一個(gè)個(gè)明明顯顯成成立立的的條條件件判判把把要要證證明明的的結(jié)結(jié)論論歸歸結(jié)結(jié)為為直直到到最最后后的的充充分分條條件件逐逐步步尋尋求求使使它它成成立立從從要要證證明明的的結(jié)結(jié)論論出出發(fā)發(fā)一一般般地地分析法分析法.,因法因法又叫逆推證法或執(zhí)果索又叫逆推證法或執(zhí)果索分析法分析法:,Q為為則分析法可用框圖表示則分析法

3、可用框圖表示表示要證明的結(jié)論表示要證明的結(jié)論用用1PQ 21PP 32PP 成立的條件成立的條件得到一個(gè)明顯得到一個(gè)明顯 課前自主學(xué)案課前自主學(xué)案1_是一種執(zhí)因推果的證明方法是一種執(zhí)因推果的證明方法_是一種執(zhí)果索因的證明方法是一種執(zhí)果索因的證明方法2命題命題“ABC中，假設(shè)中，假設(shè)AB，那么，那么ab的的結(jié)論的否認(rèn)是結(jié)論的否認(rèn)是_.溫固夯基溫固夯基綜合法綜合法分析法分析法ab1間接證明間接證明不是直接從原命題的條件逐漸推得命題成立，這種不是直接從原命題的條件逐漸推得命題成立，這種_的方法通常稱為間接證明的方法通常稱為間接證明_就是一種常用的間接證明方法，間接就是一種常用的間接證明方法，間接證明

4、還有證明還有 _、_等等知新益能知新益能不是直接證明不是直接證明反證法反證法同一法同一法枚舉法枚舉法2反證法反證法(1)反證法證明過(guò)程反證法證明過(guò)程反證法證明時(shí)，要從反證法證明時(shí)，要從_開(kāi)場(chǎng)，經(jīng)過(guò)開(kāi)場(chǎng)，經(jīng)過(guò)_導(dǎo)致導(dǎo)致_，從而到達(dá)，從而到達(dá)_ (即一定原命題即一定原命題)，用反證法證明命題，用反證法證明命題“假設(shè)假設(shè)p那么那么q的過(guò)程可以用下面的框圖表示：的過(guò)程可以用下面的框圖表示：否認(rèn)結(jié)論否認(rèn)結(jié)論正確的推理正確的推理邏輯矛盾邏輯矛盾新的否認(rèn)新的否認(rèn)(2)反證法證明命題反證法證明命題“假設(shè)假設(shè)p那么那么q的步驟的步驟_假設(shè)假設(shè)_不成立，即不成立，即假定原結(jié)論的反面為真；假定原結(jié)論的反面為真；歸謬

5、歸謬從從_和和_出發(fā)，經(jīng)過(guò)一出發(fā)，經(jīng)過(guò)一系列正確的邏輯推理，得出矛盾結(jié)果；系列正確的邏輯推理，得出矛盾結(jié)果；存真存真由由_，斷定反設(shè)不真，從而，斷定反設(shè)不真，從而一定原結(jié)論成立一定原結(jié)論成立反設(shè)反設(shè)命題的結(jié)論命題的結(jié)論反設(shè)反設(shè)知條件知條件矛盾結(jié)果矛盾結(jié)果1反證法解題的本質(zhì)是什么？反證法解題的本質(zhì)是什么？提示：用反證法解題的本質(zhì)就能否認(rèn)結(jié)論導(dǎo)出矛盾，提示：用反證法解題的本質(zhì)就能否認(rèn)結(jié)論導(dǎo)出矛盾，從而證明原結(jié)論正確從而證明原結(jié)論正確2用反證法證明命題用反證法證明命題“假設(shè)假設(shè)p那么那么q時(shí)，為什么綈時(shí)，為什么綈q假假q就真？就真？提示：在證明數(shù)學(xué)命題時(shí)，要證明的結(jié)論要么正確，提示：在證明數(shù)學(xué)命題時(shí)

6、，要證明的結(jié)論要么正確，要么錯(cuò)誤，二者必居其一，所以命題結(jié)論要么錯(cuò)誤，二者必居其一，所以命題結(jié)論q的反面的反面綈綈q錯(cuò)誤時(shí)，錯(cuò)誤時(shí)，q就一定正確就一定正確問(wèn)題探求問(wèn)題探求思索？思索？ A A、B B、C C三個(gè)人，三個(gè)人，A A說(shuō)說(shuō)B B扯謊，扯謊，B B說(shuō)說(shuō)C C扯謊，扯謊，C C說(shuō)說(shuō)A A、B B都扯謊。那么都扯謊。那么C C必必定是在扯謊，為什么？定是在扯謊，為什么？分析分析:假設(shè)假設(shè)C沒(méi)有扯謊沒(méi)有扯謊, 那么那么C真真. - - - -那么那么A假且假且B假假;由由A A假假, , 知知B B真真. . 這與這與B B假矛盾假矛盾. .那么假設(shè)那么假設(shè)C C沒(méi)有扯謊不成立沒(méi)有扯謊不成立

7、; ;那么那么C C必定是在扯必定是在扯謊謊. .,.證證法法有有時(shí)時(shí)會(huì)會(huì)不不自自覺(jué)覺(jué)地地使使用用反反決決某某些些數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)問(wèn)問(wèn)題題時(shí)時(shí)在在日日常常生生活活或或解解生生于于這這種種方方法法其其實(shí)實(shí)并并不不陌陌我我們們對(duì)對(duì)種種基基本本方方法法反反證證法法是是間間接接證證明明的的一一 反證法：反證法： 假設(shè)命題結(jié)論的反面成立，經(jīng)過(guò)正確的假設(shè)命題結(jié)論的反面成立，經(jīng)過(guò)正確的推理推理, ,引出矛盾，因此闡明假設(shè)錯(cuò)誤引出矛盾，因此闡明假設(shè)錯(cuò)誤, ,從而從而證明原命題成立證明原命題成立, ,這樣的的證明方法叫反這樣的的證明方法叫反證法。證法。反證法的思想方法：反證法的思想方法：正難那么反正難那么反反證法的根本

8、步驟：反證法的根本步驟：1 1假設(shè)命題結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成假設(shè)命題結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成-立；立；2 2從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過(guò)推實(shí)際證，得出矛盾；從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過(guò)推實(shí)際證，得出矛盾； 3 3從矛盾斷定假設(shè)不正確，從而一定命題的結(jié)從矛盾斷定假設(shè)不正確，從而一定命題的結(jié) - -論正確論正確歸繆矛盾：歸繆矛盾：1 1與知條件矛盾；與知條件矛盾；2 2與已有公理、定理、定義矛盾；與已有公理、定理、定義矛盾； 3 3自相矛盾。自相矛盾。運(yùn)用反證法的情形：運(yùn)用反證法的情形： (1) (1)直接證明困難直接證明困難; ; (2) (2)需分成很多類進(jìn)展討論需分成很多類進(jìn)展討論3)3)結(jié)論

9、為結(jié)論為“至少、至少、“至多、至多、“有無(wú)有無(wú)窮多個(gè)窮多個(gè) - -類命題；類命題； 4 4結(jié)論為結(jié)論為 “獨(dú)一類命題；獨(dú)一類命題；例例1 1：用反證法證明：用反證法證明：假設(shè)假設(shè)ab0ab0，那么，那么a a b b證證：假假設(shè)設(shè) a a b b不不成成立立，則則 a a b b若若 a a = =b b，則則a a = = b b, ,與與已已知知a a b b矛矛盾盾, ,若 a b，則a b,若 a b，則a b b矛矛盾盾, ,故故假假設(shè)設(shè)不不成成立立，結(jié)結(jié)論論 a a b b成成立立。例例2 2 知知a0a0，證明，證明x x的方程的方程ax=bax=b有且只需一有且只需一個(gè)根。個(gè)根

10、。證：假設(shè)方程ax+b = 0(a 0)至少存在兩個(gè)根，證：假設(shè)方程ax+b = 0(a 0)至少存在兩個(gè)根，1 12 21 12 2不不妨妨設(shè)設(shè)其其中中的的兩兩根根分分別別為為x x ，x x 且且x x x x1 12 2則則a ax x = = b b，a ax x = = b b1212ax = axax = ax1 12 2 a ax x - -a ax x = = 0 01212 a（x -x ） = 0 a（x -x ） = 012121212 x x ，x -x 0 x x ，x -x 0 a = 0 a = 0與與已已知知a a 0 0矛矛盾盾, ,故故假假設(shè)設(shè)不不成成立立，

11、結(jié)結(jié)論論成成立立。P P例例3 3：證明：圓的兩條不全是直徑的相交：證明：圓的兩條不全是直徑的相交弦不能相互平分弦不能相互平分. .知：在知：在OO中中, ,弦弦ABAB、CDCD相交于相交于P P，且，且ABAB、CDCD不全是直徑不全是直徑 求證：求證：ABAB、CDCD不能相互平分。不能相互平分。A AB BC CD DO O 例4 求證： 是無(wú)理數(shù)。2 2證：假設(shè) 2是有理數(shù)，證：假設(shè) 2是有理數(shù)，m m則則存存在在互互質(zhì)質(zhì)的的整整數(shù)數(shù)m m，n n使使得得2 2 = =，n n m =2n m =2n2222 m = 2n m = 2n2 2m m 是是偶偶數(shù)數(shù)，從從而而m m必必是

12、是偶偶數(shù)數(shù)，故故設(shè)設(shè)m m= =2 2k k（k kN N）2 22 22 22 2從從而而有有4 4k k = = 2 2n n ，即即n n = = 2 2k k2 2n n 也也是是偶偶數(shù)數(shù)，這這與與m m，n n互互質(zhì)質(zhì)矛矛盾盾！是無(wú)理數(shù)成立所以假設(shè)不成立，2.,;,1,2步伐步伐大大推動(dòng)了數(shù)學(xué)前進(jìn)的大大推動(dòng)了數(shù)學(xué)前進(jìn)的第一次危機(jī)第一次危機(jī)從而引發(fā)了數(shù)學(xué)史上的從而引發(fā)了數(shù)學(xué)史上的理數(shù)理數(shù)這就是無(wú)這就是無(wú)是不可公度的是不可公度的還有一類數(shù)與還有一類數(shù)與外外之之使人們認(rèn)識(shí)到在有理數(shù)使人們認(rèn)識(shí)到在有理數(shù)的發(fā)現(xiàn)的發(fā)現(xiàn)正是正是.,.,、事實(shí)矛盾等、事實(shí)矛盾等或與定義、公理、定理或與定義、公理、定

13、理假設(shè)矛盾假設(shè)矛盾或與或與條件矛盾條件矛盾這個(gè)矛盾可以是與已知這個(gè)矛盾可以是與已知理下得出矛盾理下得出矛盾的推的推反證法的關(guān)鍵是在正確反證法的關(guān)鍵是在正確由上面的例子可以看出由上面的例子可以看出 !,.,)(:,全全局局拱拱手手讓讓予予對(duì)對(duì)方方數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)家家索索性性把把或或頂頂多多一一子子棋棋對(duì)對(duì)奕奕者者不不外外犧犧牲牲一一卒卒象象它它還還要要高高明明勢(shì)勢(shì)的的讓讓棋棋法法局局時(shí)時(shí)犧犧牲牲一一子子以以取取得得優(yōu)優(yōu)比比起起象象棋棋開(kāi)開(kāi)武武器器是是數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)家家最最有有力力的的一一件件反反證證法法歸歸謬謬法法贊贊它它數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)家家哈哈代代曾曾經(jīng)經(jīng)這這樣樣稱稱國(guó)國(guó)近近代代英英問(wèn)問(wèn)題題的的有有力力工工具具疑疑

14、難難反反證證法法常常常常是是解解決決某某些些 .,.)(,用用及及應(yīng)應(yīng)用用進(jìn)進(jìn)一一步步了了解解反反證證法法的的作作己己查查找找相相關(guān)關(guān)書書籍籍感感興興趣趣的的同同學(xué)學(xué)可可以以自自就就采采用用了了反反證證法法的的證證明明個(gè)個(gè)質(zhì)質(zhì)數(shù)數(shù)有有無(wú)無(wú)限限多多如如數(shù)數(shù)史史上上有有許許多多經(jīng)經(jīng)典典證證明明事事實(shí)實(shí)上上課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練用反證法證明否認(rèn)性命題用反證法證明否認(rèn)性命題考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破結(jié)論中含有結(jié)論中含有“不、不、“不是、不是、“不能夠、不能夠、“不存在不存在等詞語(yǔ)的命題稱為否認(rèn)性命題，此類問(wèn)題的正面等詞語(yǔ)的命題稱為否認(rèn)性命題，此類問(wèn)題的正面比較模糊，而反面比較詳細(xì)，適于運(yùn)用反證法比較模糊，而反

15、面比較詳細(xì)，適于運(yùn)用反證法 如圖，設(shè)如圖，設(shè)SA，SB是圓錐的兩條母線，是圓錐的兩條母線，O是是底面圓心，底面圓心，C是是SB上一點(diǎn)，求證：上一點(diǎn)，求證：AC與平面與平面SOB不垂直不垂直【思緒點(diǎn)撥】結(jié)論是【思緒點(diǎn)撥】結(jié)論是“不垂直，呈不垂直，呈“否認(rèn)性否認(rèn)性，思索運(yùn)用反證法，即假設(shè)，思索運(yùn)用反證法，即假設(shè)“垂直，再導(dǎo)出垂直，再導(dǎo)出矛盾，從而一定矛盾，從而一定“不垂直不垂直【證明】假設(shè)【證明】假設(shè)AC平面平面SOB，由于直線由于直線SO在平面在平面SOB內(nèi)，內(nèi)，所以所以ACSO.又又SO底面，底面，所以所以SOAB.所以所以SO平面平面SAB.故平面故平面SAB底面底面這與知條件矛盾，這與知條

16、件矛盾，所以假設(shè)不成立所以假設(shè)不成立即即AC與平面與平面SOB不垂直不垂直【名師點(diǎn)評(píng)】經(jīng)過(guò)否認(rèn)給出命題，將原來(lái)的否認(rèn)【名師點(diǎn)評(píng)】經(jīng)過(guò)否認(rèn)給出命題，將原來(lái)的否認(rèn)性命題轉(zhuǎn)化為一定命題，再加以利用，找出矛盾性命題轉(zhuǎn)化為一定命題，再加以利用，找出矛盾用反證法證明獨(dú)一性命題用反證法證明獨(dú)一性命題結(jié)論中含有結(jié)論中含有“有且只需，有且只需，“只需一個(gè)，只需一個(gè)，“獨(dú)獨(dú)一存在等詞語(yǔ)的命題，表達(dá)了結(jié)果的一存在等詞語(yǔ)的命題，表達(dá)了結(jié)果的“獨(dú)一獨(dú)一性，結(jié)論易于否認(rèn)，也易于推出矛盾，常用性，結(jié)論易于否認(rèn)，也易于推出矛盾，常用反證法來(lái)證明反證法來(lái)證明 求證：兩條相交直線有且只需一個(gè)交求證：兩條相交直線有且只需一個(gè)交點(diǎn)點(diǎn)

17、【思緒點(diǎn)撥】屬于獨(dú)一性命題，用反證法證明比【思緒點(diǎn)撥】屬于獨(dú)一性命題，用反證法證明比較簡(jiǎn)單較簡(jiǎn)單【證明】假設(shè)結(jié)論不成立，那么有兩種能夠：無(wú)【證明】假設(shè)結(jié)論不成立，那么有兩種能夠：無(wú)交點(diǎn)或不只需一個(gè)交點(diǎn)交點(diǎn)或不只需一個(gè)交點(diǎn)假設(shè)直線假設(shè)直線a，b無(wú)交點(diǎn)，無(wú)交點(diǎn)，那么那么ab或或a，b是異面直線，與知矛盾是異面直線，與知矛盾假設(shè)直線假設(shè)直線a，b不只需一個(gè)交點(diǎn)，不只需一個(gè)交點(diǎn)，那么至少有兩個(gè)交點(diǎn)那么至少有兩個(gè)交點(diǎn)A和和B，這樣同時(shí)經(jīng)過(guò)點(diǎn)這樣同時(shí)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B就有兩條直線，就有兩條直線，這與這與“經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有且只需一條直線相矛盾經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有且只需一條直線相矛盾綜上所述，兩條相交直線有且只需一個(gè)交點(diǎn)綜上所述，

18、兩條相交直線有且只需一個(gè)交點(diǎn)【名師點(diǎn)評(píng)】留意此題反設(shè)中不能漏掉【名師點(diǎn)評(píng)】留意此題反設(shè)中不能漏掉“無(wú)交點(diǎn)無(wú)交點(diǎn)這種情況這種情況變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練2求證：方程求證：方程5x12的解是獨(dú)一的的解是獨(dú)一的由假設(shè)，得由假設(shè)，得x2x10，從而，當(dāng)從而，當(dāng)x2x10時(shí)，有時(shí)，有5x2x11；當(dāng)當(dāng)x2x10時(shí)，有時(shí)，有5x2x11.顯然，都與矛盾，這闡明假設(shè)不成立顯然，都與矛盾，這闡明假設(shè)不成立所以原方程的解是獨(dú)一的所以原方程的解是獨(dú)一的當(dāng)一個(gè)命題的結(jié)論以當(dāng)一個(gè)命題的結(jié)論以“最多、最多、“最少等方式出最少等方式出現(xiàn)時(shí)，宜用反證法現(xiàn)時(shí)，宜用反證法 (此題總分值此題總分值14分分)知知a，b，c是互不相等的是互

19、不相等的實(shí)數(shù)，求證：由實(shí)數(shù)，求證：由yax22bxc，ybx22cxa和和ycx22axb確定的三條拋物線至少有一條確定的三條拋物線至少有一條與與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn) 用反證法證明用反證法證明“至多至多“至少存在性至少存在性問(wèn)題問(wèn)題【規(guī)范解答】假設(shè)題設(shè)中的函數(shù)確定的三條拋【規(guī)范解答】假設(shè)題設(shè)中的函數(shù)確定的三條拋物線都不與物線都不與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn).3分分由由yax22bxc，ybx22cxa，ycx22axb，得，得1(2b)24ac0，且，且2(2c)24ab0，且，且3(2a)24bc0.6分分同向不等式求和得：同向不等式求和得：4b24c24a24

20、ac4ab4bc02a22b22c22ab2bc2ac0，10分分(ab)2(bc)2(ac)20，abc.12分分這與題設(shè)這與題設(shè)a，b，c互不相等矛盾，互不相等矛盾，因此假設(shè)不成立，從而命題得證因此假設(shè)不成立，從而命題得證.14分分【名師點(diǎn)評(píng)】留意【名師點(diǎn)評(píng)】留意“至少有一個(gè)、至少有一個(gè)、“至多有一個(gè)至多有一個(gè)的否認(rèn)方式分別為的否認(rèn)方式分別為“一個(gè)也沒(méi)有、一個(gè)也沒(méi)有、“至少有兩個(gè)至少有兩個(gè)1用反證法證明問(wèn)題時(shí)要留意以下三點(diǎn)：用反證法證明問(wèn)題時(shí)要留意以下三點(diǎn)：(1)必需先否認(rèn)結(jié)論，即一定結(jié)論的反面，當(dāng)結(jié)論必需先否認(rèn)結(jié)論，即一定結(jié)論的反面，當(dāng)結(jié)論的反面呈現(xiàn)多樣性時(shí)，必需羅列出各種能夠結(jié)論，的反

21、面呈現(xiàn)多樣性時(shí)，必需羅列出各種能夠結(jié)論，短少任何一種能夠，反證都是不完好的；短少任何一種能夠，反證都是不完好的；(2)反證法必需從否認(rèn)結(jié)論進(jìn)展推理，即應(yīng)把結(jié)論反證法必需從否認(rèn)結(jié)論進(jìn)展推理，即應(yīng)把結(jié)論的反面作為條件，且必需根據(jù)這一條件進(jìn)展推的反面作為條件，且必需根據(jù)這一條件進(jìn)展推證否那么，僅否認(rèn)結(jié)論，不從結(jié)論的反面出發(fā)進(jìn)證否那么，僅否認(rèn)結(jié)論，不從結(jié)論的反面出發(fā)進(jìn)展推理，就不是反證法；展推理，就不是反證法；方法感悟方法感悟(3)推導(dǎo)出的矛盾能夠多種多樣，有的與知矛盾，推導(dǎo)出的矛盾能夠多種多樣，有的與知矛盾，有的與假設(shè)矛盾，有的與現(xiàn)實(shí)矛盾等，推導(dǎo)出的矛有的與假設(shè)矛盾，有的與現(xiàn)實(shí)矛盾等，推導(dǎo)出的矛盾必需是明顯的盾必需是明顯的2在反證法中，常見(jiàn)的在反證法中，常見(jiàn)的“結(jié)論詞與結(jié)論詞與“反設(shè)詞反設(shè)詞原結(jié)論詞原結(jié)論詞至少有一至少有一個(gè)個(gè)至多有一至多有一個(gè)個(gè)至少有至少有n個(gè)個(gè)至多至多有有n個(gè)個(gè)反設(shè)詞反設(shè)詞一個(gè)也沒(méi)一個(gè)也沒(méi)有有(不存不存在在)至少有兩至少有兩個(gè)個(gè)至多有至多有(n1)個(gè)個(gè)至少至少有有(n1)個(gè)個(gè)原結(jié)論原結(jié)論詞詞只有一個(gè)只有一個(gè)對(duì)所有對(duì)所有x成成立立對(duì)任意對(duì)任意x不不成立成立反設(shè)詞反設(shè)詞沒(méi)有或至沒(méi)有或至少有兩個(gè)少有兩個(gè)存在某個(gè)存在某個(gè)x不