中學(xué)生數(shù)形結(jié)合能力水平研究報告

1、-中學(xué)生數(shù)形結(jié)合能力水平研究俊強【緣起】：數(shù)形結(jié)合思想是中學(xué)生常用的、重要的一種數(shù)學(xué)思想方法，也是一種實用性很強解題方法；所謂數(shù)形結(jié)合，其實質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來，使*些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，實現(xiàn)抽象概念與具體圖形的轉(zhuǎn)化和聯(lián)系，以達化難為易的本質(zhì)。“數(shù)以形而直觀，形以數(shù)而入微這是我國數(shù)學(xué)家華羅庚對數(shù)學(xué)結(jié)合思想的精辟論述，數(shù)形結(jié)合的思想是最根本的數(shù)學(xué)思想之一，其應(yīng)用圍也較為廣泛。所以我們把?中學(xué)生數(shù)形結(jié)合能力水平研究?作為一個課題，以期能有所獲?！菊摹浚貉芯繕颖荆罕拘W(xué)生研究容：一、影響中學(xué)生數(shù)形結(jié)合水平的主要原因我校初中學(xué)生的數(shù)形結(jié)合水平普

2、遍很低，通過長期的跟蹤研究分析顯示影響學(xué)生數(shù)形結(jié)合水平的原因主要有兩方面：一學(xué)生自身的原因，主要有以下幾點：1.掌握的知識有限，個人學(xué)習(xí)方法不當(dāng) 有的學(xué)生在平時的學(xué)習(xí)中根底知識掌握的不夠扎實，甚至有局部學(xué)生什么知識都沒掌握，以致在解題中很難想到用數(shù)形結(jié)合思想來解題，還有的學(xué)生甚至從來就沒有聽過數(shù)形結(jié)合這個詞，乍聽起來還覺得很奇怪，數(shù)字與圖形根本就沒有關(guān)系，怎么會聯(lián)系在一起呢.也有一局部學(xué)生在平時的學(xué)習(xí)中可能會涉及到數(shù)形結(jié)合的方法，但是他們不能虛心的、腳踏實地的學(xué)習(xí)，以為會用數(shù)形結(jié)合的方法解幾個題目就掌握了數(shù)形結(jié)合的思想，從而使他們不能掌握數(shù)形結(jié)合思想的精華。2.平時疏于練習(xí) 有的學(xué)生在平時的練

3、習(xí)中很少用數(shù)形結(jié)合的方法來解題，遇到較難的題目時只從外表上思考去尋求解題的方法；也有的學(xué)生雖然想到用數(shù)形結(jié)合的方法來解題，但是懶于動腦思考，從而沒有引起太大重視，甚至有時覺得畫圖麻煩，在平時的練習(xí)中索性就干脆不用數(shù)形結(jié)合的方法去解題，所以在平時的練習(xí)中思想上就不重視數(shù)形結(jié)合的方法，以致在練習(xí)中根本就找不到用數(shù)形結(jié)合方法解題的影子，從而導(dǎo)致中學(xué)生數(shù)形結(jié)合能力水平的低下。3.思維定勢，靈活程度不夠 絕大多數(shù)學(xué)生分析判斷能力缺乏，審題缺乏完整性，遇到難題只從單一的角度去思考解題的方法，只要他們認定用什么方法去解題的話，即使他們解不出來他們也不會去尋求用別的方法去解題，下面我們來看一個例子：方程|*2

4、-4*+3|+k0有四個根,求k的取值圍。此題不少中學(xué)生一拿到題目就把題目單純的看著是方程問題，他們壓根就想不到把方程轉(zhuǎn)化成函數(shù)，也就是說在他們的頭腦中根本就沒有把方程轉(zhuǎn)化成函數(shù)圖象這一思想，仔細揣摩此題假設(shè)用代數(shù)方法解則首先要去掉絕對值，然后再要保證所得的方程*2-4*+3+k0和方程*2-4*+3-k0在各自的區(qū)間都要有兩個解，這樣解題又要用到分類討論和根的分布等知識，繼續(xù)解下去就會發(fā)現(xiàn)本來簡單的問題被我們復(fù)雜化了，再加上計算問題，這樣做顯然很煩瑣并且不容易做對，而我們用數(shù)形結(jié)合的方法解時只要畫出函數(shù)y|*2-4*+3|與yk的圖象,然后按照題目要求只須兩圖象有四個交點即可，這樣很容易求出

5、結(jié)果 1<k<0，如右圖。當(dāng)然要想利用數(shù)形結(jié)合解此題，首先要發(fā)現(xiàn)|*2-4*+3|k，然后再有把左右兩邊各自看成函數(shù)的思想，這也是用數(shù)形結(jié)合方法解題的難點所在，它要求中學(xué)生的思維要發(fā)散，對待同一個問題，要從多角度去對待問題，對待問題不能死板，要靈活處理問題，這樣才能培養(yǎng)中學(xué)生優(yōu)良的思維品質(zhì)，中學(xué)生才能形成改組思維定勢的根底。4.信心缺乏，缺乏創(chuàng)新精神 有的學(xué)生在用數(shù)形結(jié)合方法解題過程中做到一半就放棄了，認為用數(shù)形結(jié)合方法解題太懸，況且平時練習(xí)中用的很少，沒有把握好用數(shù)形結(jié)合方法解題的關(guān)鍵，最終與數(shù)形結(jié)合“失之交臂；另外絕大局部中學(xué)生在平時的學(xué)習(xí)和練習(xí)中沒有創(chuàng)新精神，僅僅滿足于依葫蘆

6、畫瓢，解決問題往往都是依照書上的例題和習(xí)題，并且解題后又不善于總結(jié)和思考，對題目中所表達的數(shù)學(xué)思想和方法不能作深一層的剖析，往往只要問題稍作改變，就觀察不出問題的本質(zhì)了，也就是說他們的行為只是單純的解題或純粹的模仿，不能夠從新的角度去看舊的問題。5.抽象和化歸意識淡薄 現(xiàn)在的絕大局部中學(xué)生往往被問題的外表現(xiàn)象所迷惑，不能透過其外表現(xiàn)象抓住問題的本質(zhì)，不能運用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識去解決遇到的問題，他們在解決問題的過程中不能意識到要對問題進展轉(zhuǎn)化，不能將已有問題轉(zhuǎn)化為自己已經(jīng)解決或待于解決的問題，明明用數(shù)形結(jié)合思想解起來很簡單的問題，他們卻按著外表的方法去解，結(jié)果往往是越陷越深。二教師教學(xué)不當(dāng)，主要表現(xiàn)

7、在以下幾點：1.局部教師無視數(shù)學(xué)思想的教學(xué) 在數(shù)學(xué)教學(xué)中，有的教師在無意中就把大局部數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的學(xué)習(xí)推給了學(xué)生自己，他們在上課時僅僅滿足于把書上的根底知識講完，他們根本不會拓寬講一些書本上沒有或者課標(biāo)上明確不考的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，從而導(dǎo)致有的中學(xué)生從來就沒聽過“數(shù)形結(jié)合這個詞，更不提用數(shù)形結(jié)合思想去解題了。2.教師講解不到位 在教學(xué)中也有一少局部教師在上課時可能講授諸如“數(shù)形結(jié)合等書上沒有的數(shù)學(xué)思想和方法，但他們講解的目的往往也是提高班級中一些“尖子生的解題能力的，講解時只要班級的一些“尖子生聽懂他就認為教學(xué)效果到達了，對于一些數(shù)學(xué)能力不強的學(xué)生他們是不會關(guān)心的，所以長此以往必然導(dǎo)致

8、中學(xué)生數(shù)形結(jié)合能力水平的低下。 二、提高學(xué)生數(shù)形結(jié)合能力的應(yīng)對策略一、培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)形結(jié)合思想的興趣“興趣是最好的教師，中學(xué)生自己要對數(shù)形結(jié)合思想產(chǎn)生興趣，要想學(xué)習(xí)數(shù)形結(jié)合思想，這樣才能有利于提高中學(xué)生自身的數(shù)形結(jié)合能力水平；教師在上課時也要善于激發(fā)學(xué)生的“數(shù)形結(jié)合興趣，熏中學(xué)生的“數(shù)形結(jié)合意識，怎么樣才能使中學(xué)生有著濃厚的數(shù)形結(jié)合思想呢.教師可以展現(xiàn)數(shù)學(xué)本身所蘊涵的數(shù)形美感，在教學(xué)的過程中教師可以不斷的向?qū)W生介紹數(shù)學(xué)史方面的知識，關(guān)鍵是要講出那些有關(guān)數(shù)學(xué)美的典型事例，比方黃金分割、正五邊形，勾股幾何圖等。二、充分利用教材容滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法1、把握代數(shù)局部的“數(shù)、 “形結(jié)合這局部容與原教學(xué)

9、大綱比，數(shù)形結(jié)合的容有很大改變和加強。它重視滲透和提醒根本的數(shù)學(xué)思想方法，加強數(shù)學(xué)部的聯(lián)系及其相關(guān)學(xué)科的聯(lián)系，如提前安排平面直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)的方法處理更多的容包括二元一次方程組，平移變換，對稱變換，函數(shù)等。又如，它改變了“先集中出方程，后集中出函數(shù)的做法，而是按照一次和二次的數(shù)量關(guān)系，使方程和函數(shù)交替出現(xiàn)，分層遞進，螺旋上升。在數(shù)與代數(shù)的教學(xué)里，我認為，應(yīng)該抓住實數(shù)與樹軸上的點一一對應(yīng)的關(guān)系，有序?qū)崝?shù)對與坐標(biāo)平面上的點的一一對應(yīng)關(guān)系，從數(shù)形結(jié)合的角度出發(fā)，借助數(shù)軸處理好相反數(shù)和絕對值的意義，有理數(shù)大小的比較，有理數(shù)的分類，有理數(shù)的加法運算，不等式的解集在數(shù)軸上的表示等。教師要賦予這些系統(tǒng)容新

10、的活力，采用符合課標(biāo)理念的教法，在吃透新課程標(biāo)準(zhǔn)和教材的根底上，讓學(xué)生經(jīng)歷試驗、探索的過程，體驗如何用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)和應(yīng)用的能力，從而激發(fā)其學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的原動力。這局部容有兩種情形：情形一：“數(shù)中“形例1、一元二次方程解的意義：a*2+b*+c=0(a0)是一元二次方程。它的解可以理解為函數(shù)y= a*2+b*+c的圖象與常值函數(shù)y=0，即*軸的交點的橫坐標(biāo)。則當(dāng)公共點有兩個時,對應(yīng)的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)解；當(dāng)公共點只有一個時,對應(yīng)的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)解；當(dāng)沒有公共點時,對應(yīng)的一元二次方程沒有實數(shù)解。例：*2-*-6=0，*1=-2，*2=3，y=*2-*-

11、6與*軸的公共點A(-2,0),B(3,0)。*2-2*+1=0，*1=*2=1，y= *2-2*+1與*軸的公共點A(1,0)。*2+1=0，沒有實數(shù)解，y= *2+1與*軸沒有公共點。y*ooy*o1y*o1圖 圖 圖例2、二元一次方程組的解的意義：二元一次方程組的解有三種情況：無解；無數(shù)個解； 只有一個解。這三種情況可以轉(zhuǎn)化為兩條直線a1*+b1y+c1=0、a2*+b2y+c2=0的三種位置關(guān)系：平行；重合； 相交。方程組的解轉(zhuǎn)化為兩條直線的交點。例：，方程組無解。兩條直線2*+y+3=0、4*+2y+1=0的位置關(guān)系如圖：平行。，方程組只有一個解。兩條直線2*+y+1=0、*+2y=

12、0的位置關(guān)系如圖：相交。，方程組有無數(shù)個解。兩條直線2*+4y=0、*+2y=0的位置關(guān)系如圖：重合。y*oy*oy*o123情形二：“形中“數(shù)cb0a*例3、圖形隱含條件：例：在數(shù)軸上的位置如圖，化簡：|a-b|-|b-c|+2|a+c|。解：b<0,c<0,b>c,a>b,|c|>|a|a-b>0,b-c>0,a+c<0。|a-b|-|b-c|+2|a+c|=(a-b)-(b-c)-2(a+c)=-a-2b-c。例4、完成以下計算，1+2=?1+2+3=?1+2+3+4=?如果以1+2+3+4為例，如圖：由此可知，1+2+3+4=10=1+2

13、+3+4=10=1+2+3+4+5=?1+2+3+ +100=?1+2+3+n=?此處教師可先讓學(xué)生思考，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、比較、歸納、提出猜想的過程后提供以上圖形，運用圖形的直觀性幫助學(xué)生理解，使學(xué)生從數(shù)與形的聯(lián)系中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，讓學(xué)生了解這兩個代數(shù)知識的幾何背景，感受數(shù)學(xué)的神奇魅力。在“數(shù)與代數(shù)的教學(xué)中，教師應(yīng)強調(diào)數(shù)與形的結(jié)合，讓學(xué)生建立由數(shù)想到形，由形想到數(shù)的思想，這樣可以加深學(xué)生對“數(shù)與代數(shù)的理解和認識，如利用圖形理解完全平方公式、平方差公式，利用函數(shù)圖像理解函數(shù)的變化趨勢等都是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的極好的素材。2、把握“空間與圖形中的數(shù)形結(jié)合新課程中的幾何容做了較大的刪改，削弱了以演繹推理

14、為主要形式的定理證明，降低了論證過程形式化的要求和證明的難度。我想，這無疑給了教師充分脫脂的空間。教師要把握好數(shù)學(xué)思想方法在整個教學(xué)開展中的地位，對于“數(shù)形結(jié)合，教師要善于挖掘教材和生活中的素材，從形到數(shù)，提醒“形中“數(shù)的本質(zhì)。例4、如圖，是連接在一起的兩個正方形，大正方形的邊長是小正方形邊長的2倍。問：假設(shè)只許剪兩刀應(yīng)如何裁剪，使之能拼成一個新的大正方形.1212對于這一問題學(xué)生往往采取實驗的方法，這里裁一刀，那里試一剪，但卻極少有人能在短時間拼湊好。如果對題目認真加以分析，我們不難發(fā)現(xiàn)，從到結(jié)論，圖形雖然變了，但其中卻還有沒變的東西面積，假設(shè)設(shè)小正方形的面積為1，則其邊長就是1，這樣一來，

15、我們僅需沿著圖4中邊長為的線段去考慮裁剪即可，而圖中這樣的線段沒有幾條，于是很快就能找到答案。問題之所以能很快解決，關(guān)鍵是我們從問題“變中看到了“不變，從“形的外表找到了“數(shù)這一實質(zhì)。一個似乎是純幾何的問題，在“數(shù)的引導(dǎo)下獲得了最好的解決方式，這種由表及里，形中有數(shù)的思想方法，正是數(shù)學(xué)中“數(shù)形結(jié)合的思想方法。又如，以下幾個題目也是數(shù)形結(jié)合的很好的例子。例5、1如圖，用長30m的籬笆與一堵墻圍一方土地，求籬笆能包圍的土地的最大面積。(2如圖，用長30m的籬笆與兩堵墻兩堵墻成120°角圍一方土地，求籬笆能包圍的土地的最大面積。(3)如圖8，用長12m的木方，做一個有一條橫檔的矩形窗子，圍

16、使透進的最多，應(yīng)選擇窗子的長寬各為多少m.在教學(xué)中，教師應(yīng)該不失時機的讓學(xué)生透過形的外表，觸及其在的數(shù)量關(guān)系，探索由形到數(shù)的聯(lián)系與規(guī)律。3、把握“統(tǒng)計與概率中的數(shù)形結(jié)合新課標(biāo)中的統(tǒng)計與概率，在部編排和容要求上卻由所加強，真正讓學(xué)生經(jīng)歷統(tǒng)計的全過程，發(fā)現(xiàn)并提出問題，運用適當(dāng)?shù)姆椒?，收集和整理?shù)據(jù)，運用適宜的統(tǒng)計表統(tǒng)計圖來展示數(shù)據(jù)做出決策。例6如圖略-21032-14-21032-14圖9圖10概率是新增加的容，其抽象性使它成為教學(xué)的難點，在計算簡單事件的概率時，采用畫樹狀圖的方法，樹形結(jié)合，能收到化難為易的效果。例7、一布袋中方有黃、白兩種球，其中一個黃球，兩個白球，它們除顏色外其它都一樣，小亮

17、從布袋中摸出一個球后放回去搖勻，再摸出一個球，求兩次都摸到白球的概率。黃黃黃白白白白白白由于數(shù)形結(jié)合具有形象直觀、易于承受的優(yōu)點，它對于溝通中知識間的聯(lián)系，活潑課堂氣氛，開闊學(xué)生的思路，開展學(xué)生的潛能，提高學(xué)生的創(chuàng)造思維能力和開拓精神，使學(xué)生充分揚個性，充分發(fā)揮潛能，真正實現(xiàn)個體的最優(yōu)化開展都有很大幫助。三、加強日常訓(xùn)練和指導(dǎo)，提高學(xué)生數(shù)形結(jié)合的解題水平要想提高中學(xué)生數(shù)形結(jié)合能力水平，在平時就要注意培養(yǎng)中學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，開展中學(xué)生良好的個性品質(zhì)，掌握好根底知識，細心審題，切實加強中學(xué)生代數(shù)與幾何、數(shù)字與圖形相結(jié)合的意識，注重數(shù)形結(jié)合思想方法的學(xué)習(xí)，重視數(shù)形結(jié)合思想方法的訓(xùn)練。首先，教師在課

18、堂教學(xué)中要注意引導(dǎo)學(xué)生用圖表、圖形表達數(shù)學(xué)信息，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合意識一個數(shù)學(xué)思想的形成不是一朝一夕能形成的，所以我們要在平時的教學(xué)中，就有意識的逐步引導(dǎo)學(xué)生用圖形圖畫來表達數(shù)學(xué)信息。這種引導(dǎo)在學(xué)生初學(xué)數(shù)學(xué)時就應(yīng)該貫穿始終，甚至始于小學(xué)一年級，比方在一年級學(xué)習(xí)數(shù)字時，先出示通過實物、畫片，在具體情境中數(shù)“出 1 頭象，“2頭犀牛, “3只長頸鹿，“4朵云，然后呈現(xiàn)數(shù), 這樣能使學(xué)生把物和數(shù)字符號對應(yīng)起來，讓學(xué)生充分認識到數(shù)學(xué)符號所表示的意義，充分認識到數(shù)和現(xiàn)實中的形有著在的聯(lián)系，為學(xué)生以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定了根底。其次，多為學(xué)生創(chuàng)設(shè)直觀的教學(xué)情境，讓學(xué)生在直觀的情境中感受題目的數(shù)量關(guān)系，讓學(xué)生感悟到數(shù)形結(jié)合的價值。引導(dǎo)學(xué)生充分利用直觀的“形，把抽象的數(shù)量關(guān)系形象具體地表示出來。通過一些看得見、摸得著的事物，抽取出實際問題中的數(shù)量，并用簡單圖形表達這些數(shù)量之間的關(guān)系，幫助學(xué)生理清數(shù)量關(guān)系，使復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題直觀化，為列式、建立方程