2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第一部分基礎(chǔ)與考點過關(guān)第六章不等式學(xué)案

1、第六章不等式第 1 課時 一元二次不等式及其解法重溫激材芬實基礎(chǔ) 課前”考點引領(lǐng)、婆畫點理自主學(xué)習(xí)掌握一元二次不等式解法，理解一元二次不等式、一元二次方程、二次函數(shù)之間的關(guān)系并能靈活運用.模型. 通過函數(shù)圖象了解一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系.會解含參數(shù)的一元二次不等式.1. （必修 5P 練習(xí) 2（2）改編）不等式 3x2 x 4W0的解集是 _ .答案：兇K xw324解析：由 3x x 4 0,得（3x 4）（x + 1）w0,解得一 K x0 的解集是_.答案：歆|x1（21解析： 2x x 10,.（2x + 1）（x 1）0,.x1 或 x0 的解集為 _.答案

2、：x| 3x12解析：原不等式可化為x + 2x 30，得3x0 對一切實數(shù) x 恒成立，則實數(shù)k 的取值范圍是_ .答案：k2 或 k 22解析：由 = 4 4（k 3）2 或 k0的解集是| -,-，則不等式 x bx av0 的解集是J23答案：x|2x3解析：由題意知一 2, 1 是方程 ax2 bx 1 = 0 的根，所以由根與系數(shù)的關(guān)系得a = 6,22解得 b = 5,不等式x-bx-av0即為x-5x+6V0,解得2x0（或v0）.因此，可以通過 y = ax2+ bx + c（a豐0）圖象與 x 軸的交點求得一元二次不等式的解，具體如表所示:考點新知 會從實際情境中抽象出一元

3、二次不等式1a，2二次隔數(shù)”元二 次方程一元二次不尊 It股 式y(tǒng) = + Aj- +c(a 0)6=bl-4urajr-+hx + t = 0(u0)UJ1bx +c0axL+0m疋=工？X工；x)/V rTgy0(a0)的算法過程將原不尊式化成般殆云血坤肛十心(KQD)題根1 一元二次不等式的解法解關(guān)于 x 的不等式：ax2+ (a 2)x 20.#.Vi) )町不等式雜齊舟(xSRl- *-Y求h稈住上+bx+t-0方4i-dx2+A.+=0的兩個實數(shù)很口巧泣有實玻根題型分婁深度剖折課中技巧點撥要盍導(dǎo)學(xué)各個擊破1解：當(dāng) a= 0 時,3原不等式化為 x+ K0,解得 xw1.4等式的恒成

4、立問題)22)設(shè)函數(shù) f(x) = mx mx 1.(1)若對于一切實數(shù) x, f(x)0恒成立，求 m的取值范圍；(2)若對于 x 1 , 3 ,f(x) m+ 5恒成立， 求 m的取值范圍. 解：若 m= 0,綜上，4mc 0.要使 f(x) 5 在 x 1 , 3上恒成立，即1 ?3、mx + 4m 60 時，g(x)在1 , 3上是增函數(shù)， 所以 g(x)max= g(3) ? 7m- 60,6 6所以 m7，所以 0m7;當(dāng) m= 0 時，一 60 恒成立；當(dāng) m 0 時，原不等式化為當(dāng) av0 時，原不等式化為2當(dāng) a -1，2當(dāng) a =-1，當(dāng) av1,a綜上所述，當(dāng) 2 =x|

5、x 亍或 xw1/av a=2 時,2 時,2xa2xa (x+1)w0.2解得一 1wxwa;%+1) 0,解得x a 或x-1解得 x = 1；” m 2 解得-w x 2 時,;當(dāng)一 2vav0 時，不等式的解集為的解集為x|x = 1;當(dāng) av2 時，不等式的解集為1;當(dāng) a 0 時，不等式的解集為f 2x|-wxw 1 :當(dāng) a= 2 時，不等式f214 時，一君一vxv十2a,a x/a2 4a 亠 a+ fa2 4a當(dāng) av0 時，xv或 x2a2a題型2 一元二次不要使 mf mx- 10 恒成立， 顯然10;mQ2解得一 4mQ = m + 4mQ若 0,5所以 g(x)ma

6、x= g(1) ? m- 60, 所以 m6,所以 m2,_ 23)(1)已知函數(shù) f(x) = x + ax + b(a , b R)的值域為0 ,+)，若關(guān)于 x 的不等式 f(x)c 的解集為x|mx0 恒成立，則實數(shù) a 的的值域為0,+),2ab 7 =0， f(x)ax+2 丿 c,即一|- cx0,26 m(x x + 1) 60,所以 ms .x x+ 16 6因為函數(shù)y=px x +1. - 2(解法 2)因為 x x + 1 =在1 , 3上的最小值為刁所以只需237+ 4ma恒成立，求實數(shù)(2)當(dāng) x 2, 2時，f(x)a恒成立,解：(1)當(dāng) x R 時，f(x)a恒成

7、立，即=a 4(3 a)w0,解得6a恒成立, 立，令 g(x) = x + ax + 3 a, 0, 0,a 的取值范圍； 求實數(shù) a 的取值范圍.x2+ ax+ 3 a0對任意實數(shù) a的取值范圍是6, 2.x 恒成立，則即 x + ax + 3 a 0 對任意 x 2, 2恒成ig(-2) 0解得7 0,題型3 三個二次之間的關(guān)系)例取值范圍是答案：(1) 9a|a 3解析:a22a4.(1)由題意知 f(x) = x + ax + b= |x + b 丁 f(x)/ f(x) (x + 2x) = g(x)恒成立.而 g(x) = (x + 2x) = (x + 1) + 1 在1,+s

8、)上單調(diào)遞減, g(x)max= g(1) = 3，故 a 3.實數(shù) a 的取值范圍是(一 3,+).備選變式(教師專享)1, 1 是方程 x2+ px+ q= 0 的兩實數(shù)根,_21212不等式 qx + px + 1 0 可化為一 gx + x + 10，即 x x 6v0，解得一 2vxv3,2 不等式 qx + px + 1 0 的解集為x| 2vxv3.題型,4 一元二次不等式的應(yīng)用)Z1,4)一個服裝廠生產(chǎn)風(fēng)衣，月銷售量x(件)與售價P(元/件)之間的關(guān)系為 p= 160 2x,生產(chǎn) x 件的成本 R= 500+ 30 x(元).(1)(2) 解:該廠月產(chǎn)量多大時，月利潤不少于1

9、300 兀？當(dāng)月產(chǎn)量為多少時，可獲得最大利潤，最大利潤是多少？2(1)由題意知，月利潤 y= px R,即 y = (160 2x)x (500 + 30 x) = 2x + 130 x500.由月利潤不少于1 300 元，得一 2x2+ 130 x 5001 300, 即卩 x2 65x + 900W0,解得20WxW45,故該廠月產(chǎn)量在 2045 件時，月利潤不少于 1 300 元.亠2|65 Y 3 225(2)由(1)得，y= 2x + 130 x 500= 2 x 三 +,由題意知，x 為正整數(shù)，故當(dāng) x = 32 或 33 時，y 最大為 1 612 ,所以當(dāng)月產(chǎn)量為 32 或 3

10、3 件時，可獲得最大利潤，最大利潤為1 612 元.備選變式(教師專享)某產(chǎn)品生產(chǎn)廠家根據(jù)以往的生產(chǎn)銷售經(jīng)驗得到下面有關(guān)生產(chǎn)銷售的統(tǒng)計規(guī)律：每生產(chǎn)產(chǎn)品 x(百臺)，總成本為 G(x)(萬元)，其中固定成本為 2 萬元，并且每生產(chǎn) 1 百臺的生產(chǎn)成本 為 1 萬元(總成本=固定成本+生產(chǎn)成本)；銷售收入 R(x)(萬元)滿足：R(x)=一 0 4x+4.2x0.8,0WxW5,假定該產(chǎn)品產(chǎn)銷平衡，那么根據(jù)上述統(tǒng)計規(guī)律求下列問題.10.2 , x5,(1)要使工廠有贏利，產(chǎn)量 x 應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？(2)工廠生產(chǎn)多少臺產(chǎn)品時，可使贏利最多？解：依題意，G(x) = x+ 2，設(shè)利潤函數(shù)為 f(x

11、)，貝 U產(chǎn)2(2)/ x1,+s)時，f(x)x2+ 2x+ ax0 恒成立，即2x + 2x + a0 恒成立,已知答案:解析:x2+ px+ qv0 的解集為制2x 0 的解集為 _x|2vxv32 x + px + qv0 的解集為由根與系數(shù)的關(guān)系得12=P，- 2 =q,解得1p=6180.4x+3.2x2.8,0WxW5,f(x)=8.2 x, x5.(1)要使工廠有贏利，即解不等式f(x)0 ,當(dāng) 0WXW5時，解不等式一0.4X2+3.2x 2.80 ,2即 x 8x + 70,得 1x7,. 15 時，解不等式 8.2 x0,得 x8.2 ,二 5x8.2.綜上所述，要使工廠

12、贏利，x 應(yīng)滿足 1x8.2，即產(chǎn)品產(chǎn)量應(yīng)控制在大于100 臺，小于820 臺的范圍內(nèi).(2) 當(dāng) OWx5 時，f(x) 0? 2x 1,得函數(shù)的定義域為(一 2, 1.I厶2.(2017 蘇錫常鎮(zhèn)一模)已知集合 U= 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, M= x|x2 6x + 5 0,x Z，則？uMA_.答案：6 , 7解析：M= x|1 x 0,所以 5 x 1 , x 4，則一 2 x 0,4.已知函數(shù) f(x) =i2則不等式 f(f(x)3的解集為_.|x + 2x, x0 ,答案：x|x 0時，f(f(x)= f( x) = ( x) 2x 3，即(x 3)(x +

13、1) 0,解得 2 2 2 2 20 x 3;當(dāng)一 2vxV0 時，f(f(x) = f(x + 2x) = (x + 2x) + 2(x + 2x) 3,即(x + 2x 1)(x2+ 2x + 3) 0,即一 2VxV0; 當(dāng) x 2 時，f(f(x)= f(x2+ 2x) = (x2+ 2x)2 3，解得 x 2.綜上，不等式的解集為x|x 0,2i 2若 f(3 a)Vf(2a)，則實數(shù) a 的取值范圍是x2x,xv0,答案：(3, 1)2.定義在 R 上的運算：x*y = x(1 y)，若不等式(x y)*(x + y)v1 對一切實數(shù) x 恒成3.1.已知函數(shù) f(x)解析：3 a

14、2畫出如圖，2a，解得3vav1.f(x)的圖象,/ f(3a2)vf(2a),10，則實數(shù) y 的取值范圍是答案：一 1 31 2，2 丿解析：2 2 2 2/ (xy)*(x+y)=(xy)(1xy)=xxy+yv1, /. y+yvxx+1,223 一 13要使該不等式對一切實數(shù)x 恒成立，則需有y + yv(x x + 1)min=4，解得yv?.11_ 23._ 已知 f(x)是定義域為 R 的偶函數(shù)，當(dāng) x0時，f(x) = x -4x，那么不等式 f(x + 2)5 的解集是_ .答案：x| 7x3222解析：令 x0,vx0時，f(x) = x 4x,. f( x) = ( x

15、) 4( x) = x + 4x.又 f(x)為偶函數(shù)，2,x2 4x, x 0, f( x) = f(x)，二 x0 時，f(x) = x + 4x，故有 f(x) = &2再求 f(x) 0,x0,的解，由=2得 OWxv5;由2得一 5x0，即 f(x)5 的解集為(一 5,5) 由x 4x5,x + 4x5 ,于 f(x)向左平移兩個單位即得f(x + 2)，故 f(x + 2)5 的解集為x| 7x3 4._已知函數(shù) f(x) =x + 3ax 1 ,g(x) = f (x) ax 5,其中 f (x)是 f(x)的導(dǎo)函數(shù).對 滿足Kawl的一切 a 的值，都有 g(x)0，

16、則實數(shù) x 的取值范圍是 _.f 2-3x x 20,2即*2解得一石x1.3x + x 80, ax + bx + c0 ,應(yīng)先討論 a 與 b 的大小再確定不等式的解，解一元二次不等式的一般過程是：一看(看二次項系數(shù)的符號)，二算(計算判別式，判斷方程的根的情況)，三寫(寫出不等式的解集).3.應(yīng)注意討論 ax2+ bx + c0 的二次項系數(shù) a 是否為 0.4.要注意體會數(shù)形結(jié)合與分類討論的數(shù)學(xué)思想.分類討論要做到“不重” “不漏”“最簡”的三原則.備課札記23 j)解析：由題意，知答案:g(x) = 3x ax + 3a 5，令 (a) = (3 x)a + 3x 5, 1waw1.

17、對1waw1,恒有 g(x)0，即 (a)0 , (1) 0,(1) 0,2. (必修 5P86練習(xí) 2(1)改編)不等式組*x+ y0,所表示的平面區(qū)域的面積是iXW3答案：25解析：直線 x y+ 4= 0 與直線 x+ y= 0 的交點為 A( 2, 2)，直線 x y + 4= 0 與直線 x =3 的交點為 B(3 , 7)，直線 x+ y = 0 與直線 x= 3 的交點為 C(3, 3)，則不等式組表示的 平面區(qū)域是一個以點A( 2, 2) , B(3 , 7) , C(3, 3)為頂點的三角形，所以其面積為SABC1=X5X10=25.x0,y 0,3. 設(shè)實數(shù) x, y 滿足

18、 則 z= 3x + 2y 的最大值是 _.x+yw3,2x + y x ,4. (必修 5P89練習(xí) 2 改編)設(shè)變量 x , y 滿足約束條件：(X + 2ykx+ b 表示直線 y= kx + b 上方的平面區(qū)域, y 0,所表示的平面區(qū)域的面0wxwt3積為 2,則答案:t 的值為解析:交點 B(t ,ywx+1,不等式組y 0,所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示由0wxwtt + 1).在 y = x+ 1 中，令 x = 0 得 y = 1,即直線 y = x+ 1 與 y 軸的交點為 C(0 ,(1 +t+1)XtI，得 t2+2t-3=0,解得 t=11).由平面區(qū)域的面積S=

19、合題意，舍去).。變式訓(xùn)練Jj1A/”=+ L摻若不等式組x+y-2W0,x+2y-20,x-y+2m0答案：1解析：如圖,y = x + 1,解得x = t ,一4表示的平面區(qū)域為三角形，且其面積等于 3,則要使不等式組表示的平面區(qū)域為三角形，則-2m 0,ELI,2)設(shè)變量 x, y 滿足 x+ y 30,則目標(biāo)函數(shù) z = 2x + 3y 的最2xy3W0,小值為;x+y 0,(2)變量 x, y 滿足約束條件 x 2y+ 20,若 z = 2x y 的最大值為 2，則實數(shù) m=!mx yw0.答案：7(2) 1解析：(1)作出可行域如圖所示，目標(biāo)函數(shù) z = 2x+ 3y 的幾何意義是

20、直線 y = |x + 在y 軸上的截距為彳，因此 z 的最小值也就是直線截距的最小值，平移直線 y = fx,經(jīng)過點 B(2,331)時，Zmin= 2X2+ 3X1= 7.x + y 0,(2)如圖所示，目標(biāo)函數(shù) z = 2x y 取最大值 2，即 y = 2x 2 時，畫出*表x2y+20示的區(qū)域，由于 mx y0,yw2.(1)若 z = ，求 z 的最大值和最小值，并求z 的取值范圍；x(2)若 z = x2+ y2，求 z 的最大值與最小值，并求z 的取值范圍.xy+1w0,解：由 x0,作出可行域，如圖中陰影部分所示.yw2,答案：15/t/ Xyy(1) z =表示可行域內(nèi)任一

21、點與坐標(biāo)原點連線的斜率，因此的范圍為直線 0B 的斜率到xx一x y + 1 = 0, 一直線 OA 的斜率(直線 OA 的斜率不存在，即 Zmax不存在)環(huán)得 B(1 , 2)，二 k0By= 2,2=1 = 2,即 Zmin= 2,. z 的取值范圍是2 , +m).(2) z = X2+ y2表示可行域內(nèi)的任意一點與坐標(biāo)原點之間距離的平方.因此X2+ y2的值最22xy+1=0,小為 oA(取不到)，最大值為OB.由弋得A(O, 1),x = 0,0A2= 02+ 12= 1, 0 扌=12+ 22= 5.Zmax= 5, Z 無最小值. z 的取值范圍是(1 , 5.題型匚 1,3 線

22、性規(guī)劃的實際應(yīng)用)EX1,3) 某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)每噸甲產(chǎn)品要用A 原料 3噸，B 原料 2 噸，生產(chǎn)每噸乙產(chǎn)品要用 A 原料 1 噸，B 原料 3 噸.銷售每噸甲產(chǎn)品可獲得利潤 5 萬元，銷售每噸乙產(chǎn)品可獲得利潤3 萬元，該企業(yè)在一個生產(chǎn)周期內(nèi)消耗A 原料不超過 13噸，B 原料不超過 18 噸，求該企業(yè)可獲得的最大利潤.12x+3y3w0,1.（2017 課標(biāo)H）設(shè) x, y 滿足約束條件2x 3y + 30,貝Uz = 2x + y 的最小值是y + 3 0,解：設(shè)甲、乙兩種產(chǎn)品分別需生產(chǎn)z 萬元，則 z= 5x + 3y.由題意可得,3x+yw13,2x + 3y 0,

23、y 0.作出可行域如圖所示.由圖可知當(dāng)z = 5x+ 3y 經(jīng)過可行域中的點(3 , 4)時，直線 z = 5x+ 3y 在 y 軸上的截距最大，故該企業(yè)可獲得的最大利潤Zmax= 5X3+ 3X4= 27（萬兀）.回克性規(guī)劃町實玩商用一x, y 噸，利潤為答案：1512192. (2017 南京、鹽城)已知實數(shù) x,解析：目標(biāo)函數(shù)即 y= 2x+ z，其中 z 表示斜率為 k = 2 的直線系與可行域有交點時 z= 12 3= 15.y滿足彳x+yW7，則;的最小值是-X + 2 1,貝 U z = 3x 2y公yw0,的最小值為答案：5解析：不等式組表示的可行域如圖陰影部分所示,易求得 A

24、( 1, 1) , B 3，越大，z 就越小，所以當(dāng)直線 z= 3x 2y 過點 A 時，z 取得最小值, 1)2X1= 5.|x | 在 y所以 i 的最小值為 3X(軸上的截距x 1，4. (2017 無錫期末)設(shè)不等式 x yw0,表示的平面區(qū)域為x+yW4M 內(nèi)的點，則實數(shù) k 的取值范圍是_ .答案：2 , 5解析：由約束條件作出可行域，如圖陰影部分所示.因為函數(shù)M.若直線 y= kx 2 上存在y= kx 2 的圖象是過點A(0， 2)，且斜率為 k 的直線 I，由圖知，當(dāng)直線 I 過點 B(1 , 3)時，k 取最大值 5,當(dāng)直線 I 過點 C(2 ,2)時，k 取最小值5 20

25、21精融題屋丄型導(dǎo))|yWx1,1.已知實數(shù) x, y 滿足 xw3, 則 z = 2x y 的最大值是x + y 4,答案：5解析：作出可行域如圖陰影部分所示，發(fā)現(xiàn)當(dāng)直線z= 2x y 過點 C(3, 1)時，目標(biāo)函數(shù)z 取最大值，且最大值為 5.2.若實數(shù) x, y 滿足 y x 10,若不等式 4x2+ y2 axyW0恒成立，則實數(shù) a 的最 y 4 0,y4w0,yy 4x得2wxw4.由已知得a】+則實數(shù)a的最小值為 5.y 4xx+4y13W0,4.已知變量 x, y 滿足約束條件 2y x+ 10, x + y 4 0, 個點(x , y)使目標(biāo)函數(shù) z = x + my 取得

26、最小值，則 答案：1且有無窮多mi=解析：作出線性約束條件表示的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示.L -04-13=0 2 3 45 6若 m= 0，則 z= x，目標(biāo)函數(shù) z = x + my 取得最小值的最優(yōu)解只有一個，不符合題意；若222311 z說 0,則目標(biāo)函數(shù)z=x+rny 可看作斜率為-m 的動直線 y 一 mx+mi若 m0,數(shù)形結(jié)合知使目標(biāo)函數(shù)z = x + my 取得最小值的最優(yōu)解不可能有無窮多個；1一若 m0,則m0(0,0, kx + b(,0 時，求目標(biāo)函數(shù) z= ax + by+ c 的最值的步驟：(1)作出可行域；(2)作出直線 lo： ax+ by = 0;(3)平移

27、直線 10： ax+ by = 0,依可行域判斷取得最值的最優(yōu)解的點；(4)解相關(guān)方程組，求出最優(yōu)解，從而得出目標(biāo)函數(shù)的最值.3.常見的非線性目標(biāo)函數(shù)的幾何意義：(1),x2+ y2表示點(x , y)與原點(0 , 0)的距離；(2), (x a)2+( y b)2表示點(x , y)與點(a , b)的距離；y(3)三表示點(x , y)與原點(0 , 0)連線的斜率值；y b(4)表示點(x , y)與點(a , b)連線的斜率值.備課札記x a|騷難指豈/24第 3 課時 基本不等式（對應(yīng)學(xué)生用書（文）、（理）9798 頁）.二重溫教材夯實基破,課前考點盲 要蠱梳理自主學(xué)習(xí)：?1S J

28、tffi考點靳舟）咚菽少*套存夸夸少*吝實再*尋少衿*尋夸*專直夸球夸少*晦夸少審尋夸審*總*來夸余審尋事審吝*夸來來少*畝尋BBSE1._（必修5F99練習(xí) 4 改編）若實數(shù) a, b 滿足 a+ b = 2,貝U3a+ 3b的最小值是 _ .答案：6解析：由基本不等式，得 3a+ 3b2：3a 3b= 2 3a+ b= 6，當(dāng)且僅當(dāng) a= b= 1 時取等號, 所以 3a+ 3b的最小值是 6.12._（必修5Pi05復(fù)習(xí)題 9 改編）若 f（x） = x+ - 2（xV0），貝Uf（x）的最大值為 _X答案：423._ (必修5屜復(fù)習(xí)題10改編)若 x 3，則 x+ x3 的最小值為 _

29、.答案：2 2 322 ! 2解析： x+30,.x+x=(x+3)+x32(x+3)Xx3=2 頁3,解析: 因為 xT7 三a恒成立，所以ax12* I .又 T=Wx 十 3x 十 1 max x + 3x 十 11x + 一十 3x1 1x =-，即 x = 1 時等號成立，所以 a5.5.（原創(chuàng)）已知 a0, b0,若不等式-十二2 1m2叫恒成立，則 m 的最大值為a b 2a+ b答案：9解析：原不等式恒成立等價于(2a+ b) I ，而|+1i(2a 十 b) = 5+2b十半_minva b/a bmin 5 十 2. 2b 2a=9,當(dāng)且僅當(dāng)a= b 時等號成立.所以m 0

30、,b 0;(2)等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍枺?3)結(jié)論：兩個非負(fù)數(shù) a, b 的算術(shù)平均數(shù)不小于其幾何平均數(shù).3.幾個重要的不等式(1)重要不等式：a2+ b2 2ab(a , b R).當(dāng)且僅當(dāng) a = b 時取等號.abwa= b 時取等號.ab(a , b R)，當(dāng)且僅當(dāng)a= b 時取等號.備課札記2651已知 x2)在 x= a 處取最小值，則 a =_ .x 2答案：(1)1(2) 351(1解析：(1)因為 x0，則 f(x) = 4x- 2 + x二 5 =- 5-4x + 頁不 + 32，所以 x 20,則 f(x) = x+ 口 = (x 2) + 口 + 22/ (x 2

31、)21+ 2 = 4,當(dāng)且僅當(dāng) x 2=，即 x= 3 時取等號.x 2所以當(dāng) f(x)取最小值時，x = 3, 即卩 a= 3. 。變式訓(xùn)練9、 2y 9x/2y 9x廠由題意可得 x+2y=(x+2y)x+y =19+719+2廠19+6 2，當(dāng)且僅當(dāng)乎=牛,即9X2=2y2時取等號，故 x+加的最小值為19+62.2通過常數(shù)代1 通過配湊法)1)若4vxV1，求2x 2x+ 21解： 2x 2= 2 4Vxv12x 2x + 2二、宀的最大值.2x 2(x 1)2+111x= 2(x1)+xI=1(x 1) 0,0.(x 1)從而(X1)+-2,-(X1丿1; 12 ( x 1 )1W1

32、,當(dāng)且僅當(dāng)一(x 1)=，即 x = 0 時取等號.即(x 1 )備選變式(教師專享)19正數(shù) x, y 滿足-+ = 1.x y求 xy 的最小值；求 x + 2y 的最小值.1 9鬥_91(1)由 1 = - + -2得 xy 36,當(dāng)且僅當(dāng)-=x y x yx(1)解:2x 2x + 21+( x 1 )=1.2x 2 max9y，即x=2，y=18時取等號,題型要點導(dǎo)常各個擊就利用基本不等式求最值27換法或消元法利用基本不等式求最值)28822)(1)已知 x0, y0 且 x+ y = 1,則-+ -的最小值為(2) 已知 x0, y0, x + 3y + xy = 9，則 x +

33、3y 的最小值為 _.答案：29解析：(1) 186(1)(常數(shù)代換法)/ x0y0 且 x + y= 1, 8+2=x y+ y) = 10 +8y+2x 10 + 2 x y8yx2x=18. y8y 2x=，即 x = 2y 時等號成立， x y218 2當(dāng) x = , y =石時，-有最小值 18.33x y9 3y由已知得 x=.1 + y(解法 1 ：消元法)當(dāng)且僅當(dāng)x0，y0 ,y0 , y0,. 9 (x + 3y) = xy = gx (3y) 0，則 t + 12t 1080, (t 6)(t + 18) 0.又 t0 , t 6.故當(dāng) x= 3, y = 1 時，(x +

34、 3y)min= 6.。變式訓(xùn)練(1)已知正實數(shù) x, y 滿足 xy + 2x + y = 4，則 x + y 的最小值為_(2)若 x, y (0 ,+)且 2x+ 8y xy = 0，則 x+ y 的最小值為答案：(1) 26 3 (2) 184 2x6解析：(1)由 xy + 2x + y = 4,解得 y =x+，貝 V x+ y = x 2+ x+1 = (x + 1) +x+1326 3，當(dāng)且僅當(dāng) x=6 1 時等號成立.(2) 由 2x+ 8y xy = 0，得 2x+ 8y = xy, 82、 8y 2xX+y=(x+y)x+廠10+7+廠10+22 8+ =1,y x4y

35、x+一10+2X2xy4yxy=18,當(dāng)且僅4y x當(dāng)，即 x= 2y 時取等號.又 2x+ 8y xy = 0,二 x = 12, y = 6,即當(dāng) x= 12, y = 6 時，x + y 取最小值 18.題型3 基本不等式與函數(shù)的綜合應(yīng)用)3) 已知函數(shù) f(x)2x + ax + 11-1-(a R)，右對于任意xN,f(x)3恒成立，則 a 的取值范圍是30(8、x + 3.8*設(shè) g(x) = x+ -，x N .x g(x)在(0 , 2 農(nóng)上單調(diào)遞減，在2 寸 2,+m)上單調(diào)遞增，而 xN,Ag(x)在 x 取距離 2 2 較近的整數(shù)值時達(dá)到最小，而距離 2 2 較近的整數(shù)為

36、 2 和 3,且 g(2) = 6, g(3)=亍41x+x+3x2=xy + 6x2,答案：|-3,解析：對任意-pmx N*, f(x)3恒成立，即2 x + ax + 11x+ 1可得 g(2)g(3), g(x)min=178、 8- - x+x +3- 3,故 a 的取值范圍是3。變式訓(xùn)練要制作一個如圖的框架(單位：m),要求所圍成的總面積為19.5 m1 2,其中四邊形 ABCD是一個矩形，四邊形 EFCD 是一個等腰梯形，梯形高h(yuǎn) = AB, tan / FED=3，設(shè) AB= x m , BC=y m.(1)求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)解析式；怎樣設(shè)計 x, y 的長度，才能使所用

37、材料最少?解:H H(1)如圖，作 DHLEF 于點31/ x 0, y0,所求解析式為 y= I9-0vxv65.2x 6 i533(2) 在 Rt DEH 中，Ttan /FED-,Asin / FEB?45DE =基丄 5=5x,sin / FED 236，設(shè)框架的周長為 I m.395=2y+6x=廠 3x+6x AB = 3 m, BC= 4 m 時，能使整個框架所用材料最少.湮型匚I,4 基本不等式的實際應(yīng)用）ELI,4）某單位擬建一個扇環(huán)面形狀的花壇（如圖所示），該扇環(huán)面是由以點 O 為圓心的兩個同心圓弧和延長后通過點O 的兩條直線段圍成的按設(shè)計要求扇環(huán)面的周長為 30 m,其中

38、大圓弧所在圓的半徑為10 m.設(shè)小圓弧所在圓的半徑為 x m 圓心角為9（弧度）.（1）求9關(guān)于 x 的函數(shù)解析式；（2）已知在花壇的邊緣（實線部分）進行裝飾時，直線部分的裝飾費用為 4 元/米，弧線部分的裝飾費用為 9 元/米設(shè)花壇的面積與裝飾總費用的比為y,求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)解析式，并求出 x 為何值時，y 取得最大值.解：(1)由題意可得，30=9(10 + x) + 2(10 x)，所以9=(0vxv10).10 十 x所以當(dāng) x = 1 時，花壇的面積與裝飾總費用的比最大.備選變式（教師專享）去年冬季，我國多地區(qū)遭遇了霧霾天氣，引起口罩熱銷.某品牌口罩原來每只成本為6元，售價為

39、 8 元，月銷售 5 萬只.（1）據(jù)市場調(diào)查，若售價每提高 0.5 元，月銷售量將相應(yīng)減少 0.2 萬只，要使月總利潤 不低于原392x0,解得 0vxv工6565則 l = (2x + 2y)5+2Xx+639x當(dāng)且僅當(dāng)3913即 x= 3 時取等號,此時 y392x5x = 4,6裝飾總費用為x1 2+ 5x 十 50170+10 x=99（10 十 x）十 8（10 x） = 170 十 10 x，所以花壇的面積與裝飾總費用的比x2 5x 5010 (17 十 x)丄103243t尸而當(dāng)且僅當(dāng) ty=18時取等129= 1122X3x+2 23答案：732來的月總利潤（月總利潤=月銷售總

40、收入一月總成本），該口罩每只售價最多為多少元？33(2)為提高月總利潤，廠家決定下月進行營銷策略改革，計劃每只售價投入 w(x 9)萬元作為營銷策略改革費用.據(jù)市場調(diào)查，每只售價每提高51.(2017 蘇北四市模擬)若實數(shù) x, y 滿足 xy + 3x = 3 0 xv是_.答案：8313111解析：由已知得 x =,而 0 x 3.則：+= y + 3+= y 3+y 十 32x y 一 3y 一 3y 一 3x(x 9)元，并0.5 元，月銷售量將相應(yīng)減少0.2(x 8)則當(dāng)每只售價x 為多少時，下月的月總利潤最大？并求出下月最大總利潤.解：(1)設(shè)每只售價為x 元(x8)x 85研X0

41、.2 (x 6) (8 6)X5,二378 25 (x 8)5答：當(dāng) x = 10 時,2.4 0.4x 1x 8 5x+T -、26,2(x5-4x 85(x8) + -5-x 8，即 x = 10 時取等號，ymax= 14.6) (x 9)=74+ 5=4，當(dāng)且僅當(dāng)2555 (x 8)5下月的月總利潤最大，且最大利潤為14 萬元.13411解析：由 x+y=1得 X+2+y+1=4, xT2 + yT7 =；+ 1 +4Jxf+x 1(5 + 4) = 4,當(dāng)且僅當(dāng) 1ii = 9y + 1 min 4.x + 2 + y + 1) = 442 1x =2, y = 3 時取等3. (2

42、017 泰州、南通模擬)若正實數(shù) x, y 滿足 x + y = 1,則?+牛的最小值是答案:解析:8y41 x 4_+ _ =xy xy+ = -+4(x + y) 1=y+4x+ 48.當(dāng)且僅當(dāng)-=4x，即幺 Wx yx y1 x=-,y =3 y2 時取等號.4. (201a 217 蘇錫常鎮(zhèn)二莫)已知 a, b 均為正數(shù)，且ab- a-2b=0，則才-2 + b2的最小值為號即答案：7343“、1 、十 68,當(dāng)且僅當(dāng) y= 4, x =刁時等號成立.即一十=8.7幺 y 3 _min352a2+b422a 221 a2_ +b 匚=-7+b17.4a b 45. (2016 江蘇卷)

43、在銳角三角形 ABC 中，若 sin A = 2sin Bsin C ，貝 U tan Atan Btan C 的最小值是.答案：8解析：(解法 1)Tsin A = 2sin Bsin C , sin A = sin(B + C)= sin Bcos C + cos Bsin C , / sin Bcos C +cos Bs in C = 2s in Bsi n C ,兩邊同除以 cos Bcos C，可得 tan B + tan C = 2tan Btan C ,tan B + tan Ctan Atan Btan C = tan(B + C)tan Btan C = tan Btan C

44、 =1 tan BtanC22 (tan Btan C )解析：Ta , b 均為正數(shù)，且ab a 2b= 0, 即卩 a+ 2b = ab,. - + b = 1.a b2 2則冷a+bb=I+/1.當(dāng)且僅當(dāng) a= 4, b = 2 時取等號.2+b2 8，當(dāng)且僅當(dāng)a= 4, b= 2 時取等號.7.忽視最值取得的條件致誤)1 2典例 (1)已知 x0, y0,且 x + y = 1，貝 U x + y 的最小值是 _3(2) 函數(shù) y= 1 2x(xv0)的最小值為 _.x易錯分析：(1)多次使用基本不等式，忽略等號成立的條件.如：xy 2 2 , x + y 2 xy 4 2,. (x

45、+ y)min= 4 2.(2)沒有注意到 xv0 這個條件，誤用基本不等式得2x +2 6.解析：(1) / x 0, y 0,x+y=(x+y) 1+* 2=3+氣3+22(當(dāng)且僅當(dāng) y= .2x時取等號),a一2b2b- a1 -b+tan Ata n Bta n C 8,當(dāng)且僅當(dāng) tan A = 2tan Btan C = 4 時取等號.363,4，利用線性規(guī)劃，可知z= 3x + 8y 分別在 （2 , 3）和 3, 4 處取最值，可得3a；8b的取值范圍是27 , 30.ac c c f 54. (2017 無錫期末)已知 a0, b0, c2，且 a + b = 2,貝 U +

46、的最小值為b ab 2 c 2答案：，10+ ,5ac c c /5 ia 115解析：由a0,b0,c2,且a+b=2,得 ac+不-2+c2=cb+爲(wèi)-2+三當(dāng) x = ；2 + 1, y = 27：/.2 時，(x + y)min= 3 +2:：.、:23(2)/ xv0,. y = 1 - 2x-= 1 + ( - 2x) +1+ 2 (-2x ) -x = 1 + 2 護,等號，故 y 的最小值為 1 + 2 6.答案：（1）3 + 2 2（2） 1 + 2 6特別提醒：（1）（2） 盡量避免多次使用191._ 已知正數(shù) a, b 滿足+ -=yab- 5，貝 U ab 的最小值為

47、_ab，得 ab ab-60,解得 /ab6, ab36.2.已知牛取最小值時，實數(shù) a的值是答案：-解析:21 * |a|a+屮1 a2|a| b 4|a| bb = 4 時等號成立.3. （2017 南京三模）已知 a,b,c 為正實數(shù)，且 a+ 2b 8c,232 3a + 8b計薩c，則 V 的取值范圍是_.答案：27 , 30解析：因為 a，b，c 為正實數(shù),a 2 b2a+2b8c的左右兩邊同除以c，得 a+/8；對 a+32,2c 3cw-的左右兩邊同乘 c,得一+ 0,Iy 0,ax = _,c.x0,y 0,y=b，則條件可轉(zhuǎn)化為x + 2yw8,再進行化簡，可得 x + 2

48、yw8,2 3 + -_+,2 2x 233轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃的問題，畫出可行域，對y= 2+2 求導(dǎo)，并令導(dǎo)函數(shù)值為-8 可得切點橫坐標(biāo)為 3，代入曲線，計算出切點坐標(biāo)為當(dāng)且僅當(dāng) x=-a+ b = 2,1= 3，當(dāng)且僅當(dāng) a=- 2,卜丄+乩一1 + 24|a|4|a| b 437=10+5.當(dāng)且僅當(dāng) c= 2+ 2 時等號成立.疑唯指m/m/a + ba, b R,而一廠 ab 成立的條件是 a0,時要注意公式成立的前提條件.2.在運用基本不等式時，要特別注意拆、 拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中的“一正”（即條件中字母為正數(shù)）“二定”（不等式的另一邊必須為定值）“三相等”（等號取得的條

49、件）.3.正確理解定理：“和一定，相等時積最大；積一定，相等時和最小”.4.連續(xù)使用公式兩次或以上，要求同時滿足任何一次的字母取值存在且一致.5.掌握函數(shù) y = ax+ -（a0, b0）的單調(diào)性，特別是當(dāng)運用基本不等式不能滿足“三相X等”時.備課札記c（2a2+2ab）卜呂由 2=上乎）2,可得22( a + b)亠22a + ab222a + 2 ab25a + b2abc 222ab2ab葺誥二#，當(dāng)且僅當(dāng) b = 5a 時等號成立，則原式-25c +52=，訂（c 2）4ab1+ +1c 21. a2+ b2 2ab 成立的條件是b 0,使用(c 2 )丄 + 1 c 238第 4

50、課時 不等式的綜合應(yīng)用（對應(yīng)學(xué)生用書（文）、（理）99100 頁）.二重溫教材夯實基破,課前考點盲 要蠱梳理自主學(xué)習(xí)：?1S Jtffi考點靳舟）咚菽少*套存夸夸少*吝實再*尋少衿*尋夸*專直夸球夸少*晦夸少審尋夸審*總*來夸余審尋事審吝*夸來來少*畝尋回歸教材41._ （必修5RO2習(xí)題 7 改編）函數(shù)y = x + -（x豐0）的值域是 _X4,47-=4 ;當(dāng) x pq，所以方案丙提價 最多.（1、x|3.設(shè) x R, f（x）=；，若不等式 f（x） + f（2x）Wk對于任意的 xR 恒成立，則實數(shù) k 的取值范圍是_ .答案：k22 84.（必修5PW6復(fù)習(xí)題 16 改編）已知 x

51、0, y0 且滿足+ - = 1,貝 U x + y 的最小值是答案：18 倫 8、2y 8x(掌握不等式的綜合應(yīng)用；掌握基本不等式的綜合應(yīng)用；掌握不等式與其他函數(shù)方程等知識的綜合應(yīng)用.解決應(yīng)用性問題的基本思路：讀題（背景、結(jié)論）一條件一建模一解題一反思一作 答.答案：(一a,4U4,+)4解析：當(dāng) x0 時，y = x + x次提價%其中 pq0,上述三種方案中提價最多的是解析：不等式轉(zhuǎn)化為kA岡 +|2x,因為1|x|2 (0,1，所以 kA2.39解析： x0, y0, x + y = (x + y) += 2 + 8+ A10+ 2 16= 18,當(dāng)且僅x yxy2y 82 8當(dāng)一=時

52、等號成立.又-+-= 1 , 當(dāng)=6, y = 12 時，x+ y 有最小值 18.yx yocxi-思疋魁媳 6Aqe.OA哮JOA(L十哮)0哮)J品o+yAe + q+BHqe亙粵CXIAq十eeoAq02曲直s(oo+ol -Mw亙o+q+enqeBq 6報HT.9412解：由 x x 20 得 xv1 或 x2,由 2x2+ (5 + 2k)x + 5kv0 得(2x + 5)(x + k)v0, 因為一 2 是原不等式組的解，所以kv2.亠亠 5由(2x + 5)(x + k)v0 有一vxvk.因為原不等式組的整數(shù)解只有一 所以一 2v kw3, 故 k的取值范圍是 。變式訓(xùn)練際

53、問題中的應(yīng)用)中 k 為常數(shù)，且 60wkw100.(1)若汽車以 120 km/h 的速度行駛時，每小時的油耗為11.5 L，欲使每小時的油耗不超過 9 L ,求 x 的取值范圍；(2)求該汽車行駛 100 km 的油耗的最小值.解：(1)由題意，當(dāng) x = 120 時，1x k+由1x 100 + 45wxw100./ 60wxw120,60wxw100.課中技巧點撥要點導(dǎo)常各個擊就題型分翼謙度剖析1 含參數(shù)的不x+ 5kv的解集中所含整數(shù)解只有-2,2,即一 3wkv-3,2).ax 1 0 (a x + 1解：原不等式等價于(ax 1)(x 當(dāng)a = 0 時，解關(guān)于 x 的不等式當(dāng) a

54、 0 時,當(dāng) av0 時,若-v1,a若- = 1,a若-1,a+ 1) 0.由一(x + 1) 0，得 xv1;x (x + 1) 0，解得 xv1 或 x -;a ，ax-a (x+1)v0；1不等式化為不等式化為即一 1vav0,則一vxv1 ；a即 a=- 1,則不等式解集為空集;1 即av 1,則一 1vxv-.af. 1av1 時，解集為 1x| 1x-；a= 1 時，原不等式無解；1vav0 時,.1aJ2 不等式在實11x 0 時，解集為，x|x=乙路行車安全，要求2) 某輛汽車以 x km/h 的速度在高速公路上勻速行駛(考慮到高速公60wxw120)時，每小時的油耗(所需要

55、的汽油量)為1x k +4 500 x，其4500=11.5，所以 k=100.xw9,得 x2145x+4 500w0,解集綜上所述,42（2）設(shè)該汽車行駛 100 km 的油耗為 yL ,則100y=1令 t=J，則 t|百4 500 x: 1 11 120，60 J=2020k+90 00(60wxw120).:x x2( k y = 90 000t 20kt + 20= 90 000 t 9k9 000|r_150 90.k9 000k2，即 x =時，ymin= 20 ；9 000k9001105 k即 60wkv75,則當(dāng) t = ，即 x = 120 時，ymin=.120462

56、0為L；當(dāng)60wkVk對稱軸為直線 t = 9000.T60wkw100,1k1右 9 0001202若丄,9000120答：當(dāng) 75Wk0, y 0,則二+y的最小值為.xy當(dāng)且僅當(dāng)x=型，即 y xx + 8y的最小值為xy16y=18,x1答案：.2 1yx y 1解析：設(shè)=t0貝 U+-=一解析:設(shè) x10,則 x + 2y+x 1 + 2t1 1 2 1y=時取等旦x號3.若 x, y, z 均為正實數(shù)，且2x2+ y2+ Z2=1，則丄僉嚴(yán)的最小值為答案：3+ 2 2 解析：x, y, z 均為正實數(shù)，且y 時取等號，則2 2(z +1)(1 + z)1 + z11rp = 3+

57、2 . 2.當(dāng)且僅2xyz z (1 z ) z (1 z)31+z)3 2 住1 + z當(dāng) z = 2 1, 即卩 x = y= . 2 1 時，取得最小值 3 + 2 2.414.已知 xy 0，且 x + y 2xy，當(dāng)且僅當(dāng) x =答案：9解析：由Tx , y 均為正實數(shù)， xy = 8+ x + y8+ 2 xy(當(dāng)且僅當(dāng) x= y 時等號成立)，即 xy 2 xy 80,解得 xy 4，即 xy 16.故 xy 的最小值為 16.變式訓(xùn)練1 x已知 x+ y= 1, y0, x0，則7 的最小值為2x y+1答案：541 xx + y x 1 y 1 y解析：將 x + y= 1

58、代入廠+ 中，得 + +.設(shè)=t 0,則原式2x y+ 12x x+ 2y 2 2x 2y x1 +x2 21 +11 2t + 3t + 31(1 + 2t ) + 2t + 1 + 4141=+=一(1+2t)+1 X21+ 2t 2 (1 + 2t )41 + 2t41 + 2t4+ 1)-)11+ 2t+ 2tX245461平行四邊形 ABCD 的面積為S?ABC=2X X1X2sin 1201-L/3當(dāng)點 F 與點 D 重合時，SACFE=CE- CD- sin 120 =x.1SACFE=4S?ABCD E 是 BC 的中點.當(dāng)點 F 在 CD 上時，1SACFE=sin 1202

59、1 CF =_.x在厶 CFE 中，EF= CE+ CF 2CE- CF- cos 120 y = 寸 x2+ *+ 13，當(dāng)且僅當(dāng) x= 1 時取等號, 此時 E 在 BC 中點處且 F 與 D 重合，符合題意；當(dāng)點 F 在 DA 上時, DF = 1 x.(i) 當(dāng) CE DF 時，過 E 作 EG/ CD 交 DA 于 G,在厶 EGF 中，EG= 1, GF= 2x 1,ZEGF= 120。，由余弦定理得 y= , 4x2 2x +1 ;由（i） , （i）可得 y= .4x2 2x + 13此時 E 在 BC 的八等分點（靠近 C）處且 DF= 4 百米，符合題意; 由414 (x

60、y) x+ 3y4 (x y)xV3y(X + 3y) + (x y)x + 3yx y5當(dāng)且僅當(dāng) 2（x y） = x + 3y，即 x= 5y= 3 時，取得最小值5. （2017 蘇州期中）如圖，有一塊平行四邊形綠地ABCD 經(jīng)測量 BC= 2 百米，百米，/ BCD= 120,擬過線段 BC 上一點 E 設(shè)計一條直路 EF（點 F 在四邊形 ABCD 勺邊上， 不計路的寬度），EF 將綠地分成兩部分，且右邊面積是左邊面積的3 倍設(shè) EC = x 百米，EF=y 百米.（2）當(dāng)點 F 與點 D 重合時，試確定點 E 的位置; 試求 x 的值，使路 EF 的長度 y 最短.CD = 1解:13=一