自動控制原理簡明版第4章根軌跡法ppt課件

1、6、根軌跡在實軸上的分別點與會合點、根軌跡在實軸上的分別點與會合點分別點或會合點的必要條件：分別點或會合點的必要條件：式中式中 0)()(11 dssHsGd)()()()()()(111111sHsGKpszsKsHsGnjjmii njjmiipszssHsG1111)()()()(設(shè)設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳送函數(shù)系統(tǒng)的開環(huán)傳送函數(shù))()()()(121mmiizszszszssP )()()()(121nnjjpspspspssQ 0)()(1)()(1)()(11111 sQsPKsHsGKsHsG0)()(1 sQsPK)()()()()()()()(11111sQsPKsHsGKpszsKs

2、HsGnjjmii 根軌跡在根軌跡在s平面上相遇，闡明系統(tǒng)有一樣的根。即根軌跡上平面上相遇，闡明系統(tǒng)有一樣的根。即根軌跡上的分別點的分別點(或會合點或會合點) 與特征方程式的重根相對應(yīng)。假設(shè)為二重與特征方程式的重根相對應(yīng)。假設(shè)為二重根，必同時滿足根，必同時滿足 和和 。因此求得：。因此求得：消去消去 ，可得到：，可得到：便于忘記，上式又可寫成：便于忘記，上式又可寫成： 或或 以上分析沒有思索以上分析沒有思索 (且為實數(shù)且為實數(shù))的約束條件，所以只需滿的約束條件，所以只需滿足足 的這些解，才是真正的分別點或會合點。的這些解，才是真正的分別點或會合點。0)(1 sf0)(1 sf 0)()(0)(

3、)(11sQsPKsQsPK1K0)()()()( sQsPsQsP0)()(11 dssHsGd0)()( dssHsGd01 K01 K例例: 設(shè)系統(tǒng)設(shè)系統(tǒng)試求該系統(tǒng)根軌跡在實軸上的會合點。試求該系統(tǒng)根軌跡在實軸上的會合點。解：系統(tǒng)的開環(huán)傳送函數(shù)：解：系統(tǒng)的開環(huán)傳送函數(shù)：求得：求得：代入特征方程代入特征方程1+G(s)H(s)=0檢驗：檢驗：s1代入，求得：代入，求得：K0，故故s1舍去；舍去；s2代入，求得代入，求得K0 。所以。所以s2會合點。會合點。22)2()()(21 sssKsHsG0)22(24222)()(222211 sssssssdsdsHsGdsd414.3586.0

4、21 ss(舍去舍去) 檢驗檢驗K1只需得到的符號即可只需得到的符號即可,不用出詳細(xì)的數(shù)值。不用出詳細(xì)的數(shù)值。 普通來說普通來說:假設(shè)根軌跡位于實軸上兩相鄰的開環(huán)極點假設(shè)根軌跡位于實軸上兩相鄰的開環(huán)極點(零點零點)之間；那么個分別點之間；那么個分別點(會合點會合點) 。假設(shè)根軌跡位于實軸上一個。假設(shè)根軌跡位于實軸上一個開開環(huán)極點與一個開環(huán)零點之間，那么或者既不存在分別點，也環(huán)極點與一個開環(huán)零點之間，那么或者既不存在分別點，也不不存在會合點，或者既存在分別點，又存在會合點。存在會合點，或者既存在分別點，又存在會合點。 四重分別點 復(fù)數(shù)分別點 另外兩種表達(dá)方式： (1) 由于令 , 即得到)()(

5、1sPsQK )(2)()()()(1sPsPsQsPsQdsdK 01 dsdK0)()(1 sQsPK0)()()()( sQsPsQsP01 dsdK0)()()()( sQsPsQsP仍以上例闡明仍以上例闡明:由于由于令令求得求得0)22()2()()(121 sssKsHsG22221 sssK0242 ss414. 3586. 021 ss01 dsdK(舍去舍去) (2) 由于 即 其中 即 所以 - njimiipszs1111)()()()(sQsQsPsP )(ln)(lnsQdsdsPdsd )()()()()()(2121nmpspspssQzszszssP nmpsp

6、spssQdsdzszszssPdsd 111)(ln111)(ln2121 njimiipszs11110)()()()( sQsPsQsP 仍以上例闡明仍以上例闡明: 由于由于 消去分母消去分母 解上式得到解上式得到 經(jīng)檢驗，經(jīng)檢驗，s2是根軌跡在實軸上的分別點。是根軌跡在實軸上的分別點。 對于采用上述三種方法，所得結(jié)果完全一致。由于后面對于采用上述三種方法，所得結(jié)果完全一致。由于后面兩種方法都是從第一種方法派生出來的，所以求得的結(jié)果一定兩種方法都是從第一種方法派生出來的，所以求得的結(jié)果一定要檢驗，舍去要檢驗，舍去K0所對應(yīng)的值。所對應(yīng)的值。 jsjss 1111210242 ss414.

7、 32 s舍去舍去 586. 01 s復(fù)雜情況用試探法。復(fù)雜情況用試探法。在在-2-3之間存在一個分別點。之間存在一個分別點。所以分別點的位置為所以分別點的位置為 3121111 ssss5 . 2 s4 . 067. 0,35 . 2125 . 215 . 2115 . 21?4 . 2 s247. 1715. 0 47. 2 s347. 21247. 2147. 21147. 21 635. 068. 0 47. 2 s34 . 2124 . 214 . 2114 . 21? 7、根軌跡的出射角與入射角、根軌跡的出射角與入射角 假設(shè)根軌跡的一個分支分開復(fù)極點假設(shè)根軌跡的一個分支分開復(fù)極點

8、的出射角為的出射角為 ，那么，那么 各零點到各零點到 的向量幅角的向量幅角 之和之和 其它各極點到其它各極點到 的向量幅角的向量幅角 之和之和假設(shè)根軌跡的一個分支終止于復(fù)零點假設(shè)根軌跡的一個分支終止于復(fù)零點 的入射角為的入射角為 ，那，那么么 (各極點到各極點到 的向量幅角的向量幅角 之和之和) (其它各零點到其它各零點到 的向量幅角的向量幅角 之和之和) apa )12(180ka i minajjjik11)12(180 bzbji mbiiinjjk11)12(180 apap )12(180kb bzjbz 出射角(或入射角)是指根軌跡離開復(fù)極點 (或終止復(fù)零點)處切線的傾角。 在根軌

9、跡曲線上取實驗點s1，與復(fù)極點-pa的間隔為 。當(dāng) 時，可近似地以為s1在切線上，切線的傾角就等于復(fù)極點的出射角。所以 的出射角: 0 ) 12(180)90(311kaaak2311)90()12(180a8. 根軌跡與虛軸交點根軌跡與虛軸交點 根軌跡與虛軸交點的縱坐標(biāo)為滿足特征方程根軌跡與虛軸交點的縱坐標(biāo)為滿足特征方程 的的 值。任務(wù)在此點時，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定形狀。值。任務(wù)在此點時，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定形狀。引見常用的三種方法。引見常用的三種方法。(1) 利用特征方程求取。用利用特征方程求取。用 替代替代s，令虛部、實部分別等于，令虛部、實部分別等于 零，求得零，求得 和對應(yīng)的和對應(yīng)的K1。(

10、2) 利用勞斯陣列求取。將勞斯陣列中利用勞斯陣列求取。將勞斯陣列中s2行系數(shù)構(gòu)造的輔助行系數(shù)構(gòu)造的輔助 方程求得。假設(shè)根軌跡與虛軸的交點多于兩個，那么應(yīng)取方程求得。假設(shè)根軌跡與虛軸的交點多于兩個，那么應(yīng)取勞斯勞斯 陣列中大于陣列中大于2的偶次方行的系數(shù)構(gòu)造的輔助方程求得。的偶次方行的系數(shù)構(gòu)造的輔助方程求得。(3) 利用試探法求取。先給出根軌跡的大致圖形，根據(jù)閱歷利用試探法求取。先給出根軌跡的大致圖形，根據(jù)閱歷 選擇滿足幅角條件的試探點求出選擇滿足幅角條件的試探點求出 ，再利用幅值條件確，再利用幅值條件確 定交點處的定交點處的K1值。值。)()(1 jHjG j j j 解：解： 起點：起點：0

11、 3 1j 1-j 終點：終點： (1) 漸近線：漸近線：n-m=4 條。條。傾角：傾角： 與實軸的交點：與實軸的交點： (2) 實軸上的根軌跡：實軸上的根軌跡：)22)(3()()(21 ssssKsHsG135,454)12(180)12(180 kmnk 25. 14)1()1(300)(4321jjmnpppp 例例 試?yán)L制根軌跡圖試?yán)L制根軌跡圖(3)分別點：分別點：試探法求得試探法求得(4) p2出射角出射角 :-p1,-p3,-p4到到-p2 的幅角分別的幅角分別 、 、 .所以所以同理不難求得極點同理不難求得極點-p3處的出射角：處的出射角：(5)根軌跡與虛軸的交點：根軌跡與虛軸

12、的交點： 方法一：由特征方程求：方法一：由特征方程求： 特征方程特征方程 ：01111311 jsjsss3 . 2 s3 135 6 .26 90 6 .71)906 .26135(1803 6 .714 06851234 Kssss0)6-5()8(3124 jK js 實部方程：實部方程： 虛部方程：虛部方程： 解得：解得：方法二：由勞斯陣列求：方法二：由勞斯陣列求：列出勞斯陣列列出勞斯陣列令令 s1行首項為零，即行首項為零，即求求K1 =8.16得，再根據(jù)行得，再根據(jù)行s2系數(shù)得到輔助方程系數(shù)得到輔助方程08124 K 0653 (舍去舍去)16. 81 K10111231434/ )

13、25204(5/346581KsKsKssKs 034252041 K053412 Ks1 . 1 1 . 13 1 . 12 01 9. 根軌跡的走向根軌跡的走向 當(dāng)當(dāng)n-m2滿足時，隨著滿足時，隨著K1添加，一些根軌跡分支向左添加，一些根軌跡分支向左方方挪動，那么另一些根軌跡分支將向右方挪動。挪動，那么另一些根軌跡分支將向右方挪動。開環(huán)傳送函數(shù)：開環(huán)傳送函數(shù)：特征方程：特征方程： 當(dāng)滿足當(dāng)滿足n-m2 時，上式時，上式sn-1項將沒有同次項可以合并，通項將沒有同次項可以合并，通常把稱之為極點的常把稱之為極點的“重心。重心。)()()()()()(111nmpspszszsKsHsG njn

14、jjnjnmimimmimpspszszsK1111111)( njnjjnjnpspssHsG111)()(1 mimimmimzKszKsK111111 njinp1/ 當(dāng)當(dāng)K1變化時，極點的重心變化時，極點的重心堅持不變。所以，為了平衡堅持不變。所以，為了平衡“重心的位置，當(dāng)一部分根重心的位置，當(dāng)一部分根軌軌跡隨著的添加向左方挪動時，跡隨著的添加向左方挪動時，另一部分根軌跡將向右方挪動另一部分根軌跡將向右方挪動.例例)()()()(4321PsPsPssKsHsG 10. 根軌跡上根軌跡上K1值的計算值的計算根軌跡上任一點根軌跡上任一點S1處的處的K1可由幅值條件來確定。即可由幅值條件來

15、確定。即 = mnzszspspssHsGK 1111111111)()(1所所引引向向量量長長度度的的乘乘積積零零點點至至所所引引向向量量長長度度的的乘乘積積極極點點至至11111111)()()()(ssHsGssHsG 例: 系統(tǒng)的開環(huán)傳送函數(shù)試畫根軌跡，并確定 時K1的值。 解：只對根軌跡曲線的特征點進(jìn)展分析。 (1) 漸近線：3條。 漸近線的夾角： 漸近線與實軸的交點：2分別點： 即 舍去)6)(4()()(1 sssKsHsG5 . 0 180,6013)12(180 k 33. 330)640( 061411 sss57. 11 s1 . 52 s0242032 ss3與虛軸的交

16、點與虛軸的交點系統(tǒng)的特征方程：系統(tǒng)的特征方程：s(s+4)(s+6)+K1=0令令 代入，求得代入，求得 實部方程實部方程: 虛部方程：虛部方程：解得：解得： (舍去舍去)4確定確定 時的時的K1 值：值： 過原點作過原點作OA射線交根軌跡于射線交根軌跡于A， 使得使得 ， 丈量得丈量得:求得求得 js 01012 K0243 2409 . 41K 001K 5 . 0 605 . 0cos1 AOC5 . 3, 3 . 5, 4 . 2 ACABOA5 .4413 . 55 . 34 . 21 KA點對應(yīng)的坐標(biāo)，即閉環(huán)的一個極點位置點對應(yīng)的坐標(biāo)，即閉環(huán)的一個極點位置:K1=44.5時另外兩個

17、極點時另外兩個極點同理可求得根軌跡在實軸上的分別點同理可求得根軌跡在實軸上的分別點-1.57處對應(yīng)的處對應(yīng)的K1=17。1 . 22 . 11js6 . 71 . 22 . 132 sjs繪制根軌跡圖的十條規(guī)那么繪制根軌跡圖的十條規(guī)那么序內(nèi)容規(guī) 則 1起點終點起始于開環(huán)的極點，終止于開環(huán)傳的零點（包括無限零點）2分支數(shù)等于開環(huán)傳遞函數(shù)的極點數(shù)（nm）3對稱性對稱于實軸4漸近線相交于實軸上的同一點：坐標(biāo)為： 傾角為：5實軸上分布實軸上的根軌跡在實軸的某一區(qū)間內(nèi)存在根軌跡，則其右邊開環(huán)傳遞函數(shù)的零點、極點數(shù)之和必為奇數(shù)mnzpnimjji11mnk) 12(180序序內(nèi)容內(nèi)容規(guī)規(guī) 則則 6 6分離

18、（回分離（回合）點合）點實軸上的分離（會合）點實軸上的分離（會合）點（必要條件）（必要條件）7 7出射角出射角入射角入射角復(fù)極點復(fù)極點處的出射角：處的出射角： 復(fù)零點復(fù)零點處的入射角：處的入射角：8 8虛軸交點虛軸交點 （1）滿足特征方程）滿足特征方程 的的 值；值；（2）由勞斯陣列求得（及）由勞斯陣列求得（及K1響應(yīng)的值）；響應(yīng)的值）；9 9走向走向當(dāng)當(dāng) 時時 ， 一些軌跡向右，則另一些將向左。一些軌跡向右，則另一些將向左。1010K1計算計算 根軌跡上任一點處的根軌跡上任一點處的K1：00)()(111 dsdKdssHsGd或或11180 (21)mnaijijj ak11180 (21

19、)nmbjijii bk 1()()0G jH j j1, 2 Kmn111111( )( )sKG s H ss開環(huán)極點至向量 長度的乘積開環(huán)零點至向量 長度的乘積一、復(fù)域分析一、復(fù)域分析1 1穩(wěn)定性分析：穩(wěn)定性分析：當(dāng)當(dāng)K1=240K1=240時，有一對虛根，處于臨界穩(wěn)定，輸出等幅時，有一對虛根，處于臨界穩(wěn)定，輸出等幅振蕩。振蕩。 當(dāng)當(dāng)K1240K1240時，根軌跡曲線進(jìn)入時，根軌跡曲線進(jìn)入S S右右半平面，系統(tǒng)有一對正實半平面，系統(tǒng)有一對正實 部的共軛復(fù)根，因此系統(tǒng)處部的共軛復(fù)根，因此系統(tǒng)處于不穩(wěn)定形狀。于不穩(wěn)定形狀。 當(dāng)當(dāng)K1240K1240時，系統(tǒng)根的實數(shù)部分均為負(fù)值，即根都分時，系

20、統(tǒng)根的實數(shù)部分均為負(fù)值，即根都分布在布在S S左半平面，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。左半平面，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。2 2穩(wěn)態(tài)性能分析：穩(wěn)態(tài)性能分析： 系統(tǒng)的開環(huán)根跡增益系統(tǒng)的開環(huán)根跡增益K1K1與開環(huán)放大系數(shù)成正比，與開環(huán)放大系數(shù)成正比，因此對穩(wěn)定的系統(tǒng)來說，因此對穩(wěn)定的系統(tǒng)來說，K1K1越大，越大，essess越小，穩(wěn)態(tài)性能越小，穩(wěn)態(tài)性能也越好，但也越好，但K1 K1 最終不能大于最終不能大于240240，否那么，系統(tǒng)將出，否那么，系統(tǒng)將出現(xiàn)不穩(wěn)定形狀?，F(xiàn)不穩(wěn)定形狀。4.3 控制系統(tǒng)性能的復(fù)域分析控制系統(tǒng)性能的復(fù)域分析3 3動態(tài)性能分析：動態(tài)性能分析：當(dāng)當(dāng)0K1170K117時，系統(tǒng)根為負(fù)實數(shù)，可看成三個慣性時

21、，系統(tǒng)根為負(fù)實數(shù)，可看成三個慣性環(huán)節(jié)串聯(lián)。環(huán)節(jié)串聯(lián)。當(dāng)當(dāng)17K124017K1240時，兩個根軌跡分支進(jìn)入復(fù)平面，產(chǎn)生時，兩個根軌跡分支進(jìn)入復(fù)平面，產(chǎn)生一對共軛復(fù)根，系統(tǒng)的階躍呼應(yīng)帶有振蕩特性。一對共軛復(fù)根，系統(tǒng)的階躍呼應(yīng)帶有振蕩特性。K1K1越越大，振蕩越厲害。大，振蕩越厲害。 假設(shè)取假設(shè)取=0.5=0.5，極點：，極點： s1=-1.2+j2.1 s1=-1.2+j2.1，s2=-1.2-s2=-1.2-j2.1j2.1， s3=-7.6 s3=-7.6。s1s1、s2s2可看成主導(dǎo)極點，可看成主導(dǎo)極點，s3s3可忽可忽略，即可用二階系統(tǒng)的來近似該系統(tǒng)。求得復(fù)域動態(tài)略，即可用二階系統(tǒng)的來近

22、似該系統(tǒng)。求得復(fù)域動態(tài)性能目的：性能目的：=0.5=0.5，n=2.4n=2.4對應(yīng)的時域目的：對應(yīng)的時域目的： ts= =2.9s ts= =2.9sp=16.3%p=16.3%n 5 . 3 0aassKsHsG1 abbsassKsHsG1 二、添加開環(huán)零、極點對系統(tǒng)性能的影響二、添加開環(huán)零、極點對系統(tǒng)性能的影響系統(tǒng)根軌跡的整體格局是由開環(huán)傳送函數(shù)的零點、系統(tǒng)根軌跡的整體格局是由開環(huán)傳送函數(shù)的零點、極點所共同決議的。開環(huán)零、極點位置不同，根軌跡極點所共同決議的。開環(huán)零、極點位置不同，根軌跡的走向差別很大。的走向差別很大。1添加極點以詳細(xì)系統(tǒng)加以闡明添加極點以詳細(xì)系統(tǒng)加以闡明 普通可以以為，當(dāng)函數(shù)普通可以以為，當(dāng)函數(shù)G(s)H(s)在在s左半平面添加極左半平面添加極點，會促使原根軌跡向右半部挪動，穩(wěn)定性下降。點，會促使原根軌跡向右半部挪動，穩(wěn)定性下降。設(shè)設(shè) 系統(tǒng)的開環(huán)傳送函數(shù)：系統(tǒng)的開環(huán)傳送函數(shù)：添加極點添加極點: s=-b 0aassKsHsG1 a