2018版高中數(shù)學(xué)第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用疑難規(guī)律方法學(xué)案蘇教版選修1-1

1、第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的計(jì)算包括八個(gè)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，以及和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則，它們 是導(dǎo)數(shù)概念的深化，也是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的基礎(chǔ)，起到承上啟下的作用那么在掌握和、差、積、 商的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則時(shí)，要注意哪些問題？有哪些方法技巧可以應(yīng)用？下面就以實(shí)例進(jìn)行說明.i 函數(shù)和(或差)的求導(dǎo)法則(f(x) g(x) =f(x) g(x)例 1 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：1(1)f(x) =x+ Inx;3(2)y=x 2x+ 3.11解f(x) = x2+x.32y= (x) (2x) + 3= 3x 2.點(diǎn)評(píng)記住基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式是正確求解導(dǎo)數(shù)的關(guān)鍵，此外函數(shù)和 可以推廣到任意有限個(gè)可導(dǎo)函數(shù)和(或差)

2、的求導(dǎo).2 函數(shù)積的求導(dǎo)法則f(x)g(x) =f(x)g(x) +f(x)g(x)例 2 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)f(x) =x2ex;f(x) = (x+ 1)(x+ 2)(x+ 3) 解(1)f(x)=(x2ex) =(x2) e+x2(ex)=2xex+x2ex.(2)f (x) = (x+ 1)(x+ 2)(x+ 3)=(x+ 1)(x+ 2) (x+ 3) + (x+ 1)(x+ 2)(x+ 3)=(x+ 1) (x+ 2) + (x+ 1)(x+ 2) (x+ 3) + (x+ 1)(x+ 2) = (x+ 2+x+ 1)(x+ 3) + (x+ 1)(x+ 2)2 2=(2x+

3、 3) (x+ 3) +x+ 3x+ 2 = 3x+ 12x+ 11.點(diǎn)評(píng)特別要注意：f(x)g(x)豐f (x)g (x).同時(shí)要記住結(jié)論：若c為常數(shù)，則cf(x) =cf( x)，由此進(jìn)一步可以得到af(x)bg(x) =af(x) bg(x).技巧點(diǎn)撥4i 巧用法則求導(dǎo)數(shù)(或差)的求導(dǎo)法則23 函數(shù)商的求導(dǎo)法則點(diǎn)評(píng) 應(yīng)在求導(dǎo)之前，先利用代數(shù)、三角恒等變換對(duì)函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后再求導(dǎo)，這樣可以 減少運(yùn)算，提高運(yùn)算效率.4 分式求導(dǎo) 對(duì)于能夠裂項(xiàng)的分式型函數(shù)，可將函數(shù)轉(zhuǎn)化為幾個(gè)單項(xiàng)式的和差形式，然后再利用和差的導(dǎo) 數(shù)公式來解決.例 4 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):2x 2x+ 3x g xf x g1g

4、 xJ2x(g(x)豐0)例 3 求下列函Inx(1)f(x) = ; (2)f(x)=tanx;z.f(x)=11 ,x411+ ,x,In x ,(1)f(x)=(=)= z.11：i x Inx |2x1 Inx2x，sin x ,f(x) ) =(tanx)=( () )dill x cus xsin x x；2cosx1.cosx(3)因?yàn)閒(x)=11 ,x_1_1 + “X1+1G21,x1+x1x2(1)(1)因?yàn)閥= “-2x+3x 1=x所以y02X1=1+匚2.2所以f(x) =(U =3因?yàn)閥=? X+7=x2+x3+x4,所以y= 2x+ 3x2+ 4x3.點(diǎn)評(píng) 本題

5、啟示我們，對(duì)于某些函數(shù)式，我們應(yīng)先根據(jù)它的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，適當(dāng)?shù)貙?duì)函數(shù)式中的項(xiàng)進(jìn)行合理的“拆”，然后“各個(gè)擊破”.導(dǎo)數(shù)的計(jì)算是導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)中的一個(gè)重要方面但由于同學(xué)們不能熟記公式及法則，不能理解公 式中的對(duì)應(yīng)量的含義，不能靈活的運(yùn)用化簡(jiǎn)及變形技巧而導(dǎo)致各種錯(cuò)誤下面對(duì)求導(dǎo)過程中 的常見錯(cuò)誤進(jìn)行梳理，希望對(duì)同學(xué)們有所幫助.1 未能區(qū)分好變量與常量而致錯(cuò)例 1 求f(x) =ax+ cosa的導(dǎo)數(shù)(其中a為常數(shù)).錯(cuò)解f(x) =axlna sina.錯(cuò)因分析本題錯(cuò)在忽視變量ax與常量 cosa的不同，常量的導(dǎo)數(shù)應(yīng)為0.正解f(x) =axlna.2 忽視導(dǎo)數(shù)定義中嚴(yán)謹(jǐn)結(jié)構(gòu)f )3Axf丿例 2 已知函數(shù)f(

6、x) = 2x3+ 5,求當(dāng)AXT0 時(shí)，趨近于何值.AxAy f+Axf 2錯(cuò)解一 因?yàn)槿?=-AxAx2 2+ Ax3+5 23+2=24+12Ax+2Ax.AxAyf 23Axf J當(dāng)AXT0時(shí)，丁T24.所以T24.AxAx錯(cuò)解二Ay2因?yàn)锳x=24+12Ax+2Ax，當(dāng)AXT0 時(shí)，24.Ax所以f一 J J3 3AX X_ T3X24= 72.Ax錯(cuò)因分析fxI Axfx未能把握導(dǎo)數(shù)定義中Ay與4x的嚴(yán)格對(duì)應(yīng)關(guān)系，實(shí)際上Ax中增量Ax分子與分母要一致，這與用哪個(gè)字母沒關(guān)系.正解因?yàn)榕?4+12Ax+2Ax2,易錯(cuò)警示4 42導(dǎo)數(shù)計(jì)算中的“陷阱”4Ay當(dāng)A XT0時(shí)，24.Axf ?

7、 3Axf所以T( 3)X24= 72.Ax3 混淆函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)2 015 x例 3 已知f(x)=，求f (2 015).錯(cuò)解/f(2 015) =1 2 01；益益 * * = 0， f (2 015) = (0) = 0.錯(cuò)因分析f (2 015)表示的含義不是在一點(diǎn)處的函數(shù)值的導(dǎo)數(shù)，應(yīng)先求f(x)，再求f (2 015).2 2 0152 0155f (2 015)=2 0151指點(diǎn)迷津上述的錯(cuò)誤都說明了對(duì)導(dǎo)數(shù)定義及運(yùn)算規(guī)律不理解,注重知識(shí)生成及本質(zhì)規(guī)律錯(cuò)誤并不可怕，可怕的是舍本逐末，不吸取教訓(xùn).同學(xué)們是否有這樣的感受，求導(dǎo)公式及運(yùn)算法則已經(jīng)背得很熟但在求某些函數(shù)

8、的導(dǎo)數(shù)時(shí)，仍 然很困難，甚至無從下手？雖然掌握了基礎(chǔ)知識(shí)，但還要掌握一定的方法和技巧，方能徹底解決問題，下面舉幾例來說 明.1 多項(xiàng)式函數(shù)展開處理 例 1 求f(x) = (x 3)(x 2)(x 1)的導(dǎo)數(shù).分析 若f(x)的表達(dá)式為兩個(gè)因式相乘可以展開求導(dǎo)，也可以不展開而利用積的求導(dǎo)法則, 但三個(gè)因式相乘最佳方法就是先展開再求導(dǎo).32解 /f(x) = (x 3)(x 2)(x 1) =x 6x+ 11x 6,2f(x) = 3x 12x+ 11.2 .分式函數(shù)化整式函數(shù)x x+2+ 2求函數(shù)f(x) =x x； 2 的導(dǎo)數(shù).分析 如果直接利用積與商的求導(dǎo)法則，運(yùn)算將很煩瑣，不如先看分子、

9、分母有無公因式可 約分.正解/f(x) =20,x(g,3)時(shí)，f，(x)0,x(a,+m)時(shí)，f(x)0 ,3a43因此，函數(shù)f(x)在x= 3 處取得極小值27a，在x=a處取得極大值 0.a當(dāng)a3，即a0,x(g,a)時(shí)，f(x)0,x(3,+g)時(shí)，f(x)0，此時(shí)f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x (1,+g)時(shí)，h(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.1當(dāng)a*0時(shí)，由f(x)=0,解得x=1,X2= 1,a11當(dāng)a= 2, 即卩為=X2時(shí)，h(x)0恒成立，此時(shí)f(x)w0,f(x)在(0,+g)上單調(diào)遞減;11思想方法6 導(dǎo)數(shù)中的分類討論思想122當(dāng) 0a10,2a13x (0,1

10、)時(shí)，h(x)o,f，(x)0,f(x)單調(diào)遞減,1x (1 ,1)時(shí)，h(x)0,f(x)單調(diào)遞增,a1x(一一 1,+s)時(shí)，h(x)0,f(x)0,f(x)單調(diào)遞減；a13當(dāng)a0 時(shí)，一 100 ,f(x)0,f(x)單調(diào)遞減，x (1,+s)時(shí)，h(x)0,f(x)單調(diào)遞增.綜上所述，當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1 ,+)上單調(diào)遞增；當(dāng)a=扌扌時(shí)，函數(shù)f(x)在(0,+)上單調(diào)遞減；111當(dāng) 0a0都有f(x) ax,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解令g(x) =f(x) ax,x一 x貝Ug (x) =f (x) a= e + e a,一1由于 ex+ ex= ex+g2

11、(當(dāng)且僅當(dāng)x= 0 時(shí)等號(hào)成立)，所以當(dāng)a2a0,故g(x)在(0 ,+)上為增函數(shù).所以當(dāng)x0時(shí)，g(x) g(0) = 0,即f(x) ax.當(dāng)a2 時(shí)，方程g(x) = 0 的根為X1= In此時(shí)，若x (0 ,X2)，則g(x)0,故g(x)在區(qū)間(0 ,X2)內(nèi)為減函數(shù).所以當(dāng)x (0 ,X2)時(shí)，g(x)g(0) = 0,即f(x)ax相矛盾.綜上所述，滿足條件的實(shí)數(shù)a的取值范圍為aw2.點(diǎn)評(píng) 本題對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后應(yīng)根據(jù)導(dǎo)數(shù)中含自變量部分的最值對(duì)a進(jìn)行分類討論.x2= ina+一一40,14小結(jié) 通過以上幾例我們可以總結(jié)出分類討論的原則：(1)要有明確的分類標(biāo)準(zhǔn)；(2)分類要不重復(fù)、不

12、遺漏；(3)當(dāng)討論的對(duì)象不止一種時(shí)，應(yīng)分層次進(jìn)行分類討論的一般步驟：先明 確討論對(duì)象，確定對(duì)象的范圍，再確定分類標(biāo)準(zhǔn)，逐段分析，獲得階段性結(jié)果，最后歸納總 結(jié)得出結(jié)論 .15通過求導(dǎo)，我們能夠探索函數(shù)極值的情況，根據(jù)對(duì)多種題型的分析，可從極值的有無和多少 進(jìn)行分類，有的函數(shù)僅有唯一極值點(diǎn)，有的函數(shù)無極值點(diǎn)，有的卻有兩個(gè)或兩個(gè)以上的極值 點(diǎn)，這些數(shù)量的不同從哪里體現(xiàn)出來呢？下面通過三個(gè)實(shí)例來討論.1破解無極值點(diǎn)類型例 1 若已知函數(shù)f(x) =x3+ax2a2x+m(a0)在x ( 1,1)內(nèi)沒有極值點(diǎn)，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.分析“沒有極值點(diǎn)”即導(dǎo)數(shù)方程在區(qū)間(-1,1)內(nèi)無解；在實(shí)數(shù)集上無解，

13、或在實(shí)數(shù)集上有解但其根均在區(qū)間(1,1)之外.解析 由題意，得f(x) = 3x2+ 2axa2,令f(x) = 0，解得x=彳彳或x=a.依題意知，兩根不在區(qū)間(一 1,1)內(nèi)，a31，則3aw1,所以a3,因此a的取值范圍為3 ,+).點(diǎn)評(píng) 本題還可以利用補(bǔ)集思想，先求出函數(shù)在(一 1,1)內(nèi)有極值點(diǎn)時(shí)a的取值范圍，再取其補(bǔ)集即可.2破解唯一極值點(diǎn)類型例 2 若函數(shù)f(x) =x4+ax3+ 2x2+b,其中a,b R,僅在x= 0 處存在極值，則實(shí)數(shù)a的取 值范圍是_.分析 問題中的“僅”即“存在且唯一”的意思，由此可得對(duì)應(yīng)符號(hào)語言.322_解析 由題意f(x) = 4x+ 3ax+ 4

14、x=x(4x+ 3ax+ 4)，而已知函數(shù)f(x)僅在x= 0 處存在極值，這說明方程 4x2+ 3ax+ 4 = 0 要么無解，要么有兩個(gè)相同實(shí)數(shù)根，因此它的判別式28 8 8 8=(3a) 64W0,解得一a0)在x=l時(shí)有極值，極大值為 4，極小值為 0，試17求a,b,c的值.分析 本題主要考查利用函數(shù)的極值來確定參數(shù)的值，解決本題的關(guān)鍵是運(yùn)用待定系數(shù)法求a,b，c的值.解 /y，= 5ax4 3bx2，令yz= 0，即 5ax4 3bx2= 0, x2(5ax2 3b) = 0.22-x= 0 或 5ax 3b= 0.Tx=1是極值點(diǎn)，.5a( 1)2 3b= 0 ,.5a= 3b.

15、極值點(diǎn)可能為x= 0,x= 1. 2 2/ a0,.y= 5ax(x 1).當(dāng)x變化時(shí)，y,y的變化情況如下表：x(m, 1)1(1,0)0(0,1)1(1 , +m)fy+0一0一0+y/極大值無極值極小值/由上表可知，當(dāng)x= 1 時(shí)，f(x)有極大值，當(dāng)x= 1 時(shí)，f(x)有極小值.一a+b+c= 4,a= 3,ab+c= 0,?b= 5,5a= 3bc= 2.經(jīng)檢驗(yàn)a= 3,b= 5,c= 2 符合題意.點(diǎn)評(píng)對(duì)于導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)較多時(shí)，要充分利用表格尋找極值點(diǎn).雖然導(dǎo)數(shù)確實(shí)為我們解決函數(shù)問題帶來了便利，但如果混淆某些概念，忽視了定理的應(yīng)用條件，就會(huì)得出錯(cuò)誤的結(jié)論. 本文將介紹在解題中出現(xiàn)的

16、幾種典型錯(cuò)誤，以幫助大家走出誤區(qū)，加深對(duì)概念的理解.1 .誤把切點(diǎn)當(dāng)極值點(diǎn)例 1 已知函數(shù)f(x) =ax4+bx2+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)(0,1)，且在x= 1 處的切線方程是y=x 2, 求f(x)8 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的常見誤區(qū)18的解析式.3錯(cuò)解f(x) = 4ax+ 2bx.將x= 1 代入y=x 2 中，得y= 1.下)=1,c=1,由題意知，f = 1, 即a+b+c= 1,f!1= 0,4a+ 2b= 0,42解得a= 2,b= 4,c= 1.因此f(x) = 2x 4x+ 1.剖析 本題錯(cuò)在將切點(diǎn)當(dāng)做極值點(diǎn)，得到f (1) = 0 的錯(cuò)誤結(jié)論其實(shí)，雖然切點(diǎn)和極值點(diǎn)都與導(dǎo)數(shù)有關(guān)，但它們卻是兩

17、個(gè)完全不同的概念，不能混為一談.正解f (1)表示函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(1 , 1)處的切線斜率，應(yīng)有f (1) = 1,再聯(lián)立f(0)595492=1,f(1) = 1 便可得到正確答案：a= ,b= -,c= 1，因此f(x) = x-x+ 1.2 .誤把零點(diǎn)當(dāng)極值點(diǎn)例 2 求函數(shù)f(x) =x4x5的極值，并說明是極小值還是極大值.錯(cuò)解f(x) = 4x3 3x2，令f(x) = 0,323即當(dāng) 4x 3x= 0,得X1= 0,X2=.4327所以f(0) =0,f(4)=256，327又f( )f(0)，故極小值為，極大值為 0.4256剖析 本題錯(cuò)在將導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)都認(rèn)為是極值點(diǎn)，其

18、實(shí)不然，導(dǎo)數(shù)為零僅是零點(diǎn)是極值點(diǎn)的必要不充分條件，錯(cuò)解中還有一個(gè)誤區(qū)就是認(rèn)為極大值一定大于極小值事實(shí)上，極值僅描述函數(shù)在該點(diǎn)附近的局部特征，極大值未必一定大于極小值.正解f(x) = 4x3 3x2，令f(x) = 0,323即 4x 3x= 0 時(shí)，得X1= 0,X2= 4.當(dāng)x變化時(shí)，f(x)、f(x)的變化情況如下表：x(m, 0)03(0,R343(4+呵f(x)一0一0+=0 不是函數(shù)的極值點(diǎn)，而函數(shù)f(x)在區(qū)間(0 , 4)上是減函數(shù)，在區(qū)間(4,)上是增函數(shù)，5319f(x)不是極值點(diǎn)極小值/3由上表可知，函數(shù)f(x)在區(qū)間(一8,0)上是減函數(shù)，在區(qū)間(0 , 4)上還是減函數(shù)，所以x203所以函數(shù)f(x)在x= 4 處取得極小值，極小值為27256.213 誤把必要不充分條件當(dāng)作充要條件例 3 已知f(x) =ax3+ 3x2x+ 1 在 R 上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.2錯(cuò)解f(X) = 3ax+ 6x 1. f (x)在 R 上是減函數(shù), f (x)0，即 3ax2+ 6x 10 在x R 上恒成立,a0 且 = 36+ 12a0,因此a 3.剖析f(x)在 R 上是減函數(shù)是f(x)0 的必要不充分條件，